Variável Aleatória - Estat. - Profa. Larissa Barreto

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1 Recife, 2016 
 
 
BIOESTATÍSTICA 
Profa. Larissa Santana Barreto 
Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE 
Departamento de Estatística e Informática 
2 
Sumário 
 Variáveis Aleatórias 
 
 Função de probabilidade e Função de distribuição 
 
Esperança matemática, Variância e Desvio-padrão 
 
 Distribuição discreta 
 
Distribuição contínua 
 
 
3 
 
 Seja E um experimento e S o espaço associado ao experimento. Uma 
função X, que associe a cada elemento s ∈ S um número real X(s) é 
denominada variável aleatória (v.a). 
 
 
 
 
 
 Note que uma v.a. assumirá sempre valores numéricos 
R S 
X 
s1 
s2 
... 
sn 
 
X(s1) 
X(s2) 
 ... 
X(sn) 
Variável Aleatória 
4 
 Variável Aleatória 
Observações: 
 
Como X é uma função, devemos lembrar que: 
 
1. Cada elemento s de S corresponderá a exatamente um valor; 
 
2. Diferentes valores s  S, podem levar a um mesmo valor de X; 
 
3. Nenhum elemento s  S poderá ficar sem valor de X. 
 
 
 
5 
 Exemplo 
6 
 Exemplo 
 
Experimento (E): Em uma linha de produção selecionar três peças e 
observar se é perfeita ou defeituosa 
 
S= {(PPP), (DDD), (PPD), (DPP), (PDP), (PDD), (DPD), (DDP)}. 
 
X: número de peças defeituosas nas três retiradas 
 
X={0,1,2,3} 
 
X=0 →corresponde ao evento (PPP). 
 
X=1 →corresponde aos eventos (PPD), (DPP) , (PDP). 
 
X=2 →corresponde ao evento (PDD), (DPD), (DDP). 
 
X=3 →corresponde ao evento (DDD). 
 
7 
 Exemplo 
Determine os possíveis valores das variáveis aleatórias 
 
Um sistema de irrigação com 100 conexões; 
X: número de conexões soldadas não conformes. 
 
 Um grupo de 100 vacas é testado segundo a presença de 
determinada bactéria no sangue, que diminui a produção de leite. 
Z: o número de vacas que carregam a bactéria. 
 
Uma grupo de 50 gatos contém 5 que não estão vacinados. Gatos são 
selecionadas sucessivamente, sem reposição, até que um gato não 
vacinado seja obtido. 
Y: número de gatos selecionados. 
 
8 
 Variável Aleatória Discreta 
 Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. 
 Dizemos que uma v.a é discreta quando seus possíveis valores 
podem ser dispostos em uma lista (finita ou infinita) ou seja se X 
assume valores inteiros a variável é donominada discreta. 
 Exemplos: 
 Número de cachorros em um canil. 
 Número de funcionários de uma empresa. 
 Número de bacterias detectados por um exame. 
 
9 
 Variável Aleatória Contínua 
 Dizemos que uma v.a é contínua quando ela pode assumir qualquer 
valor em um dado intervalo 
 Exemplos: 
 Tempo até a cura de uma doença 
 Cotação do dólar 
 Altura de cavalos 
 Concentração de CO2 na água 
 
10 
 Função de Probabilidade 
Seja X uma variável aleatória discreta. A cada possível resultado xi 
associaremos um número pi = P(X = xi), denominado probabilidade da 
variável aleatória X assumir o valor xi, satisfazendo as seguintes 
condições: 
 
1. 0 ≤ p(xi ) ≤ 1 
 
1.ΣP(xi) = 1. 
 
A função P é denominada função de probabilidade. 
 
 
11 
 Exemplo 
12 
 Exemplo 
 
Experimento (E): Em uma linha de produção selecionar três peças e 
observar se é perfeita ou defeituosa 
 
S= {(PPP), (DDD), (PPD), (DPP), (PDP), (PDD), (DPD), (DDP)}. 
 
X: número de peças defeituosas nas três retiradas 
 
Rx={0,1,2,3} 
 
X=0 →evento (PPP)com P(X=0)= 1/8 
 
X=1 →eventos (PPD), (DPP) e (PDP)com P(X=1)= 3/8 
 
X=2 →corresponde ao evento (PDD), (DPD), (DDP) com P(X=2)= 3/8 
 
X=3 →corresponde ao evento (DDD)com P(X=3)= 1/8 
 
13 
 
Dada uma variável aleatória discreta X, definimos F(x) a função de 
distribuição acumulada ou, simplesmente, função de distribuição (f.d) 
de X, dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
Função de Distribuição 
14 
 Exemplo 
Exemplo: Considerando o exemplo do lançamento de duas moedas, 
denote a função de distribuição da variável aleatória X. 
 
Solução: 
 
Seja X = número de caras obtidas no lançamento de 2 moedas. 
Denotamos a função de probabilidade de X por 
 
 
 
 
Por conseguinte, a função de distribuição acumulada de X é dada por 
 
 
 
 
 
xi 0 1 2 
P(X = xi) 1/4 1/2 1/4 
 
xi 0 1 2 
F(xi) = P(X  xi) 1/4 3/4 1 
 
15 
Considerações 
 A distribuição de probabilidades permite a definição de um 
modelo matemático apropriado a cada situação. 
 Os modelos para v.a’s discretas que estudaremos serão os 
Modelos Binomial e Poisson. 
 No caso de v.a’s contínuas a distribuição de probabilidades dá lugar 
à função densidade de probabilidade que depende de conceitos 
matemáticos um pouco mais complexos (integrais). 
 Lidaremos com o modelo para v.a's contínuas denominado modelo 
Normal, o qual é apropriado a diversas situações nas mais 
diferentes áreas. 
16 
Um par de dados é lançado. Seja X a variável aleatória que associa a 
cada ponto (d1, d2) de S a soma desses números, isto é, X(d1, d2) = d1 + 
d2. Determine a função de probabilidade de X. 
 
Solução: 
 
O espaço amostral S é formado de 36 pares ordenados, 
S = {(1,1), (1,2), ..., (5,6), (6,6)}. 
 
Então, a variável aleatória X = d1 + d2 assume os seguintes valores X = 
{2, 3, 4, ..., 12}. 
 
Exemplo (v.a discreta) 
17 
 
Por conseguinte, a função de probabilidade de X é obtida, calculando-se: 
 
P (X = 2) = P(d1=1,d2=1) = 1/6  1/6 = 1/36 
P (X = 3) = P(d1=1,d2=2) + P(d1=2,d2=1) = 1/36 + 1/36 = 2/36 . . . 
P (X = 12) = P(d1=6,d2=6) = 1/36 
 
Logo, a função de probabilidade de X será representada por 
 
 
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
P(X = xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 
 
Exemplo (v.a discreta) 
18 
 Valor Esperado de uma v.a Discreta 
Seja X uma variável aleatória discreta com possíveis valores x1, x2, . . . 
,xn . Seja p(xi) = P (X = xi ), i = 1, 2, ..., n. Então, o valor esperado ou 
média da variável aleatória X é definido por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



n
i
ii xpxXE
1
)()(
19 
 Exemplo (v.a discreta) 
Considere o exemplo do lançamento de duas moedas, onde a variável 
aleatória X = número de caras obtidas no lançamento de 2 moedas. 
Relembrando que a função de probabilidade é: 
 
 
 
obtemos a E(X) por 
 
 
 
xi 0 1 2 
P(X = xi) 1/4 1/2 1/4 
 
 
1
4
1
2
2
1
1
4
1
0)()(3
1


















 

i
i
i xpxXE
20 
 Propriedades da Esperança 
Seja X uma v.a e c = constante, então: 
 
 O valor esperado (média) de uma constante é a própria constante: 
E(c) = c 
 
 Multiplicando-se c por uma variável aleatória X, sua média fica 
multiplicada por esta constante: 
E(cX) = cE(X) 
 
 Somando ou subtraindo c de uma variável aleatória X, sua média 
fica somada ou subtraída desta constante : 
 E(X  c) = E(X)  c 
 
 
 
21 
 
 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, o valor esperado da 
soma/subtração de variáveis aleatórias equivale a soma/subtração 
dos valores esperados de X e Y: 
 
E(X  Y) = E(X)  E(Y) 
 
 Lembre-se que toda função de uma v.a X, também é uma variável 
aleatória. Logo, podemos falar na esperança de , entre 
outras. Assim, 
 
Se X é discreta 
 
 
 
X2, 2X + 1 




1
22 )()(
i
ii xpxXE
Propriedades da Esperança 
22 
 Exemplo (v.a discreta) 
Um hospital veterinário mantém extensos registros dos atendimentos 
diários dos pacientes. Com os dados coletados construiu a seguinte 
distribuição de probabilidade da variável aleatória X = número de 
pacientes atendidos por hora: 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule o número esperado de pacientes atendidos por hora. 
b) Calcule a probabilidade de se atender mais que 2 pacientes por 
hora. 
c) Calcule a probabilidade de se atender no máximo um paciente 
por hora. 
d) Calcule a probabilidade de se atender exatamente um paciente 
por hora. 
xi 0 1 2 3 4 5 
p(xi) 0,05 0,15 0,42 0,20 0,08 0,10 
23 
 Exemplo (v.a discreta) 
Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de 
probabilidade: 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine o valor da constante "C" que torna legítima a função 
de probabilidade acima. 
b) Calcule a P(X>1), P(X≥3), P(X≤4), P(5/2<X≤5). 
 
P X k
c k
c k
( )
,
,
 





 , para 3, 5
 , para 4
1
2 2
24 
 Variância de uma v.a 
 
 Definição: Seja X uma variável aleatória (discreta ou contínua) com 
esperança dada por E(X). A variância de X é definida por 
 
 
 
 Obs: A variância nos dá a dispersão dos valores da variável em relação 
ao valor esperado. 
 
 Notação: 
 
 Desvio Padrão: É definido como a raiz quadrada positiva da variância, 
isto é, 
 
 
 22 )()()( XEXEXVar 
2)( XVar
)()( XVarXDP 
25 
Propriedades da Variância 
Sejam X uma v.a. e c = constante, então 
 
 A variância de uma constante é zero: 
 
 Multiplicando-se c por uma v.a X, sua variância fica multiplicada 
pelo quadrado da constante: 
 
Somando-se ou subtraindo-se uma constante à variável aleatória, 
sua variância não se altera: 
 
 
0)( cVar
)()( 2 XVarccXVar 
)()( XVarXcVar 
26 Departamento de Estatística, UFPE 
 Exemplo (v.a discreta) 
 
Considere a variável aleatória discreta X: 
 
 
 
Calcule a Var(X) 
 
Xi 0 1 2 
p(xi) 1/4 1/2 1/4 





















3
1
,1
4
1
.2
2
1
.1
4
1
.0)()(
i
ii xpxXE





















3
1
22222 ,
2
3
4
1
.2
2
1
.1
4
1
.0)()(
i
ii xpxXE
2
1
2
23
1
2
3
)1(
2
3
)]([)()( 222 

 XEXEXVar