8 - Delineamento em Blocos Casualizados

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EXPERIMENTAÇÃO ZOOTÉCNICA
Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
amanda@fcav.unesp.br
� Desejamos testar quatro fontes de energia em
uma linhagem de ave para corte.
� É possível conseguir um grande número de pintos
de um dia sexados para o ensaio que será
realizado em um laboratório de três andares com a
capacidade de 20 aves por andar.
� Há 10 baterias disponíveis
� Aparentemente, temos o controle sobre a
uniformidade amostral e as condições
ambientes.
� Aparentemente, temos o controle sobre a
uniformidade amostral e as condições
ambientes.
� Isso entretanto não é verdade.
� O calor que sobe por convecção dos andares
inferiores provoca desconforto térmico para as
aves dos andares superiores.
� Como existem 10 x 3 compartimentos para
alojarmos quatro fontes de energia, caberiam a
cada fonte de energia oito compartimentos,
sobrando dois deles.
� Como existem 10 x 3 compartimentos para alojarmos
quatro fontes de energia, caberiam a cada fonte de
energia sete compartimentos, sobrando dois deles.
� Se, por sorteio, localizássemos mais
frequentemente a fonte C de energia, no
compartimento superior (ou no segundo andar),
esta fonte estaria sendo prejudicada na sua
avaliação, neste caso, subestimada.
� Por outro lado, uma fonte que ocorresse mais
vezes no andar de baixo se beneficiaria pelo
conforto térmico em relação às demais.
� Para distribuir igualmente esse efeito térmico, ou
seja, para balancear este efeito entre todas as fontes
de energia, cada fonte deveria ocorrer com o mesmo
número de vezes em cada um dos andares.
� A única maneira de permitir isto será utilizando apenas
quatro ou oito das 10 baterias existentes, com o seguinte
croqui de instalação.
Baterias
1 2 3 4 5 6 7 8
Andar Superior A B D B D C C A
Andar Médio C A B D A D B C
Andar Inferior B C D C B A D A
�No caso de aves de corte, que costumavam revolver
com o bico a ração dos comedouros laterais, é
possível haver migração de material do comedouro
do andar de cima para o inferior.
� Quando estivermos testando elementos essenciais
� tipo cistina, que presentes em pequenas quantidades
podem afetar a resposta medida
o croqui acima não poderia ser empregado,
recomenda-se o alternativo para contornarmos o
problema da migração.
� A resposta a ser medida será o peso médio por
compartimento à idade de 45 dias.
� Note que a média de cada grupo será obtida sob
condições térmicas comuns a todos eles.
� Para cada andar, teremos a participação equitativa de
todos os grupos (4 grupos repetidos duas vezes)
Baterias
1 2 3 4 5 6 7 8
Andar Superior A B D B D C C A
Andar Médio A B D B D C C A
Andar Inferior A B D B D C C A
� Desta maneira, será possível medir o efeito das fontes
de energia e também do andar (implicitamente da
temperatura) ao utilizarmos seus totais na análise de
variância, agora com três diferentes fontes de
variação:
� a individual, a devido a fonte de energia e a devido ao
andar (ou temperatura)
� A nova fonte de variação, temperatura, foi
definida pela participação em blocos
homogêneos contendo a mesma representação
dos tratamentos
� Teremos então os três blocos assim definidos:
� Andar superior, médio e inferior
com 3 − 1 = 2 graus de liberdade que deverão constar na
análise de variância.
Será aconselhável escolhermos o ensaio com oito baterias,
pois nele cada tratamento terá seis repetições e o valor de ��
�
será obtido com 18 g.l. e não apenas 6 g.l. (com 4 baterias).
Fontes de Graus de Liberdade
Variação Com 4 baterias Com 8 baterias
Total 12 − 1 = 11 24 − 1 = 23
Tratamentos 4 − 1 = 3 4 − 1 = 3
Blocos 3 − 1 = 2 3 − 1 = 2
Erros 11 − 3 − 2 = 6 23 − 3 − 2 = 18
� Como o valor tabelado de t sobe mais rapidamente
no intervalo de 1 a 10 g.l., há um consenso geral,
mas não correto, de se permitir pelo menos 10 g.l.
para o erro ou resíduo na análise de variância.
�Na verdade, variáveis pouco instáveis podem
admitir valores inferiores a 10 g.l. para o erro.
�Entretanto, variáveis muito instáveis, demandarão muito
mais do que este valor sob pena de executarmos a
comparação de médias com intervalos de confiança grandes
demais e portanto com pouca chance de detectar alguma
diferença entre elas, por insuficiência de amostragem.
� A nova fonte de variação incorporada na análise de
variância, a devida a blocos, será calculada pelo mesmo
raciocínio das demais somas de quadrados.
� Cada bloco será representado pela soma de observações nele
contidas (neste caso 8) e a fórmula seria:
�������� = ∑ ������	�
�
�������
+
∑ ������	�
�
�������
+
∑ ������	�
�
�������
−
∑ � �
	
� Resultados obtidos com o experimento descrito, considerando o
croqui de instalação.
Baterias (tratamento)
1 (A) 2 (B) 3 (D) 4 (B) 5 (D) 6 (C) 7 (C) 8 (A) Total
Andar Superior 1,6 1,5 1,4 1,3 1,5 1,1 1,5 1,9 11,8
Andar Médio 2,2 1,6 1,6 1,5 2,0 1,6 1,4 2,0 13,9
Andar Inferior 3,0 2,6 2,4 2,3 2,5 2,4 2,3 2,8 20,3
Baterias (tratamento)
1 (A) 2 (B) 3 (D) 4 (B) 5 (D) 6 (C) 7 (C) 8 (A)
Andar Superior 1,6 1,5 1,4 1,3 1,5 1,1 1,5 1,9
Andar Médio 2,2 1,6 1,6 1,5 2,0 1,6 1,4 2,0
Andar Inferior 3,0 2,6 2,4 2,3 2,5 2,4 2,3 2,8
Fonte de Observação:
Baterias (tratamento)
1 (A) 8 (A) 2 (B) 4 (B) 6 (C) 7 (C) 3 (D) 5 (D) TOTAL
B
L
O
C
O
S Andar Superior 1,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,5 1,4 1,5 11,8
Andar Médio 2,2 2,0 1,6 1,5 1,6 1,4 1,6 2,0 13,9
Andar Inferior 3,0 2,8 2,6 2,3 2,4 2,3 2,4 2,5 20,3
n 6 6 6 6 24,0
��� 13,5 10,8 10,3 11,4 46,0
���� 31,85 20,8 19,03 22,78 94,46
�� 2,25 1,80 1,717 1,90 --
� Para obtenção da análise de variância, calculemos (com quatro casas após a
vígula):
������� = ∑�� − ∑ 	
�
= 1,6� + 2,2� +⋯+ 2,0� + 2,8� −
��,
 �
��
= 6,2933
������������� = ∑ 	�	
�
��
+
∑ 	�
�
��
+
∑ 	�
�
��
+
∑ 	�
�
��
−
∑ 	 �
=
=
��,� �
�
+
�
,� �
�
+
�
,� �
�
+
��,� �
�
−
��,
 �
��
= 0,9900
�������� = ∑ 	���	
��
	
�
����	
��
+
∑ 	
	���
�
�
	���
+
∑ 	���	
��
�
����	
��
−
∑ 	 �
=
=
��,� �
�
+
��,� �
�
+
�
,� �
�
−
��,
 �
��
= 4,9008
������ = ������� − ������������� − ��������
������ = 6,2933 − 0,9900 − 4,9008 = 0,4025
��� =
������
	 − 1 − 
� − 1 − (
� − 1) =
0,4025
24 − 1 − 4 − 1 + 3 − 1
=
0,4025
18
= 0,0,224
�� = ��
�
	�
=
,
���
��
��
= 0,0781~7,8%
Análise de variância dos pesos finais
Fonte de 
Variação 
(FV)
Graus de 
Liberdade (g.l.)
Soma de 
Quadrados 
(SQ)
Variância ou 
Quadrado Médio
(QM)
Total (24 − 1) = 23 6,2933
Tratamentos (4 − 1) = 3 0,9900
Blocos (3 − 1) = 2 4,9008
Erro 23 − 3 − 2 = 18 0,4025 0,0224
As comparações de médias, pelo teste � de Student seriam:
� Fonte A X Fonte B
� = ��
 − ���
����
 +
�����
=
2,25 − 1,80
0,0224
6
+
0,0224
6
=
0,45
0,0864
= 5,208
� O valor de t tabelado a 18 graus de liberdade é 2,101 ao nível de
5%
� Logo �
��
����� > ��������� , então as fontes A e B se diferem
estatisticamente e, além disso, a diferença é significativa em favor
da fonte A.
� Note que o denominador do teste t é constante, pois todos os
tratamentos tem o mesmo número de repetições
� = ��� − ���
����� +
�����
=
2,25 − 1,80
0,0224
6
+
0,0224
6
=
0,45
0,0864
= 5,208
� Note que o denominador do teste t é constante, pois todos os tratamentos
tem o mesmo número de repetições.
� A significância da comparação dependerá exclusivamente da diferença entre
as médias testadas.
� =
�������
��
�
�
�
��
�
�
=
�������
���
��
� A diferença será significativa se � > �����	�
�, ou seja,
� > �����	�
� 	⇒ 				 ��� − ��
 		> �����	�
�
���
�
�
� Assim, a diferença mínima significativa (dms) seria:
��� = ���������
	��
�
Em nosso caso,
��� = ��������� 	
�
�
� = 	,���
	× �,		
�
= �,����~�,��	
� Apresentando as médias em ordem decrescente:
* médias com pelo menos uma letra em comum são equivalentes.
� Não haveria dúvida na indicação da fonte A como promotora de maior
resposta. As fontes D e B foram equivalentes, assim como B e C.
Fonte de Energia 
(tratamento) Média (kg) Comparação*
A 2,250 a
D 1,900 b
B 1,800 bc
C 1,717 c
� O delineamento em blocos ao acaso é balanceado no
sentido de conter todos os tratamentos em cada
bloco.
� Esta é a única maneira de medir o verdadeiro efeito
de blocos através da sua soma de quadrados.
� Se no decorrer do ensaio, alguma observação for perdida,
pela morte acidental de um animal, contaminação ou
extravio de amostra, etc., o balanceamento fica
comprometido: em um dos blocos um tratamento estará
ausente e, neste tratamento, faltará a participação do
bloco onde ocorreu a parcela perdida.
� Apenas o delineamento inteiramente casualizado
prescinde do cálculo de parcela perdida, porque ali é
possível agrupar tratamentos com diferentes
números de repetições.
� Para que não haja comprometimento da análise de
um ensaio balanceado, será necessário estimar o
valor mais provável da parcela perdida.
� O ônus dessa estimativa será a perda de um grau de
liberdade por observação estimada, para o erro
experimental.
� O critério matemático para defini-lo busca um valor
que minimiza o ������ , assegurando futuras
comparações de medias com intervalos de confiança
menores.
� Existem duas maneiras de calcular dados perdidos,
todas duas provenientes do critério supra citado e,
portanto, com resultados idênticos. A escolha
dependerá do domínio matemático do pesquisador.
CRITÉRIO 1. SOLUÇÃO LITERAL
� Substituir cada parcela perdida por uma incógnita
(letra) e proceder a analise de variância literalmente.
� O valor da ������ conterá todas as letras correspondentes
às parcelas perdidas (pp).
� Derivar a ������ em relação a cada incógnita (pp)
separadamente e igualar cada equação obtida a zero.
� Teremos então p equações com p incógnitas (parcelas
perdidas).
� Resolve-se o sistema pxp por álgebra matricial, obtendo-se
a resolução simultânea de todas as parcelas perdidas.
CRITÉRIO 2. SOLUÇÃO ITERATIVA
� Quando existe apenas uma observação perdida, a
fórmula abaixo substitui a solução literal (é derivada
dela), com menos manipulações matemáticas.
�� =
�� + �� − �
	�� − � − � + 1
� � = número de tratamentos sendo testados
� � = total de tratamento onde ocorreu a parcela perdida
� 
 = número de blocos de ensaio
� � = total do bloco onde ocorreu a parcela perdida
� � =grande total e todas as observações do ensaio
� � = número de repetições por tratamento em um mesmo bloco
� EXEMPLO. Com apenas uma parcela perdida.
� Vamos supor que o compartimento inferior da bateria 2
(tratamento B) deixou de ser pesado em meio a grande atividade
no último dia do ensaio e quando se percebeu a omissão, as aves
já estavam abatidas e limpas, prontas para outras mensurações.
Baterias (tratamento)
1 (A) 2 (B) 3 (D) 4 (B) 5 (D) 6 (C) 7 (C) 8 (A)
Andar Superior 1,6 1,5 1,4 1,3 1,5 1,1 1,5 1,9
Andar Médio 2,2 1,6 1,6 1,5 2,0 1,6 1,4 2,0
Andar Inferior 3,0 � 2,4 2,3 2,5 2,4 2,3 2,8
� EXEMPLO. Com apenas uma parcela perdida.
.
� Utilizando o CRITÉRIO 2 para resolução temos que:
o O total (T) do tratamento B passou a ser 10,8 − 2,6 = 8,2
o (2,6 é a parcela que foi supostamente perdida).
o O grande total G passou a ser 46 − 2,6 = 43,4
o O total do bloco (andar inferior) B foi 20,3 − 2,6 = 17,7
o � = 4 tratamentos, � = 3 blocos (andares) e � = 2 (em cada andar
tem 2 repetições de cada tratamento). Logo:
Baterias (tratamento)
1 (A) 8 (A) 2 (B) 4 (B) 6 (C) 7 (C) 3 (D) 5 (D) TOTAL
B
L
O
C
O
S
Andar Superior 1,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,5 1,4 1,5 11,8
Andar Médio 2,2 2,0 1,6 1,5 1,6 1,4 1,6 2,0 13,9
Andar Inferior 3,0 2,8 � 2,3 2,4 2,3 2,4 2,5 
�,� − 
,�
n 6 6 6 6 24,0
��� 13,5 �	,
− �,� 10,3 11,4 
�,	− �,�
� EXEMPLO. Com apenas uma parcela perdida.
�� =
�� + �� − �
	�� − � − � + 1
=
4 × 8,2 + 3 × 17,7 − 43,4
2 × 4 × 3 − 4 − 3 + 1
=
42,5
18
= 2,36	kg
� Utilizando o CRITÉRIO 1 para resolução temos que:
o ������ = ∆ + 0,75�� − 3,54166�, onde � é o valor literal da
parcela perdida e ∆ uma constante. Derivando essa
expressão em relação a � e igualando-a a zero, obtém-se:
1,5� − 3,54166 = 0	 ⇒ 		� = 2,36		��
� EXEMPLO. Com mais de uma parcela perdida.
� Vamos supor que o compartimento inferior da bateria 2 (tratamento B)
deixou de ser pesado em meio a grande atividade no último dia do
ensaio e quando se percebeu a omissão, as aves já estavam abatidas e
limpas, prontas para outras mensurações.
� Consideremos que, além do andar inferior da segunda bateria
(tratamento B), tivéssemos também perdido o andar superior da
bateria n. 8 (tratamento A). Esses valores, no exemplo tinham
sido 2,6 e 1,9 kg, respectivamente, que substituídos por � e �.
Baterias (tratamento)
1 (A) 2 (B) 3 (D) 4 (B) 5 (D) 6 (C) 7 (C) 8 (A) Total
Andar Superior �,� �,� �,� �,� �,� �,� �,� � ��,�− �,�
Andar Médio �,� �,� �,� �,� �,	 �,� �,� �,	 ��,�
Andar Inferior �,	 � �,� �,� �,� �,� �,� �,� �	,�− �,�
� EXEMPLO. Com mais de uma parcela perdida.
� Utilizando o CRITÉRIO 1 para resolução temos que:
������ = ∆ + 0,75�� − 3,7� + 0,75�� − 2,88333� + 0,08333��
o Derivando essa expressão em relação a � e a �
separadamente igualando-as a zero, obtém-se:
� 1,5� + 0,08333� − 3,7 = 0
0,08333� + 1,50� − 2,88333 = 0
ou seja,
1,50 0,08333
0,8333 1,50
�
� =
3,7
2,88333
Cuja solução
�
� =
1,50 0,08333
0,08333 1,50
� 
×
3,7
2,88333
� EXEMPLO. Com mais de uma parcela perdida.
� Lembrando que a inversa de uma matriz A é dada por:
�� = 
!"#	(
)
× ��� �
� Assim,
det
1,50 0,08333
0,08333 1,50
= 1,50 × 1,50 − 0,08333 × 0,08333 = 2,2431
��� 1,50 0,08333
0,08333 1,50
=
1,50 −0,08333
−0,08333 1,50
� Logo,
1,50 0,08333
0,08333 1,50
��
=
1
2,2431
×
1,50 −0,08333
−0,08333 1,50
1,50 0,08333
0,08333 1,50
��
= 0,4458 ×
1,50 −0,08333
−0,08333 1,50
=
0,6687 −0,0371
−0,0371 0,6687
� EXEMPLO. Com mais de uma parcela perdida.
Cuja solução
�
� =
1,50 0,08333
0,08333 1,50
� 
×
3,7
2,88333
�
�
=
0,6687 −0,0372
−0,0372 0,6687
×
3,7
2,88333
�
�
=
2,3672
1,7907
Se em um ensaio de blocos ao acaso houver parcelas
perdidas, as médias de tratamentos podem ser comparadas
sem perda alguma de maneira usual, com o cálculo da
diferença mínima significativa dada por:
��
 = �%.�.	&''(	 		
�
�
���
Onde
� �%.�.	&''( =	é o valor de t tabelado com os graus de liberdade do erro
� 
�� = é o valor da variância do erro, obtido na analise de variância
� � = é o número de repetições de cada tratamento por bloco
� � = é o número de blocos no ensaio
Quando existe apenas uma parcela perdida e o
tratamento que a contém é comparado com a média do
outro, o valor da dms é:
��
 = �%.�.	&''(	 
�� 	��+
�
�� ��− � �− �
� ��.�.	���� =	é o valor de t tabelado com os graus de liberdade do erro
� ��
� = é o valor da variância do erro, obtido na analise de variância
� 
 = é o número de repetições de cada tratamento por bloco
� � = é o número de blocos no ensaio
� t= é o número de tratamentos testados
� Quando existirem mais de uma parcela perdida, será
necessáriodefinir o número de repetições efetivas (�
�
)	
para cada tratamento envolvido na comparação.
Vamos supor que o compartimento inferior da bateria 2
(tratamento B) deixou de ser pesado em meio a grande
atividade no último dia do ensaio e quando se percebeu a
omissão, as aves já estavam abatidas e limpas, prontas
para outras mensurações.
Baterias (tratamento)
1 (A) 2 (B) 3 (D) 4 (B) 5 (D) 6 (C) 7 (C) 8 (A)
Andar Superior 1,6 1,5 1,4 1,3 1,5 1,1 1,5 1,9
Andar Médio 2,2 1,6 1,6 1,5 2,0 1,6 1,4 2,0
Andar Inferior 3,0 � 2,4 2,3 2,5 2,4 2,3 2,8
Baterias (tratamento)
1 (A) 2 (B) 3 (D) 4 (B) 5 (D) 6 (C) 7 (C) 8 (A)
Andar Superior 1,6 1,5 1,4 1,3 1,5 1,1 1,5 1,9
Andar Médio 2,2 1,6 1,6 1,5 2,0 1,6 1,4 2,0
Andar Inferior 3,0 � 2,4 2,3 2,5 2,4 2,3 2,8
Fonte de Observação:
Baterias (tratamento)
1 (A) 8 (A) 2 (B) 4 (B) 6 (C) 7 (C) 3 (D) 5 (D) Total
B
L
O
C
O
S Andar Superior 1,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,5 1,4 1,5
Andar Médio 2,2 2,0 1,6 1,5 1,6 1,4 1,6 2,0
Andar Inferior 3,0 2,8 � 2,3 2,4 2,3 2,4 2,5
n
���
����
Baterias (tratamento)
1 (A) 2 (B) 3 (D) 4 (B) 5 (D) 6 (C) 7 (C) 8 (A)
Andar Superior 1,6 1,5 1,4 1,3 1,5 1,1 1,5 1,9
Andar Médio 2,2 1,6 1,6 1,5 2,0 1,6 1,4 2,0
Andar Inferior 3,0 � 2,4 2,3 2,5 2,4 2,3 2,8
Fonte de Observação:
Baterias (tratamento)
1 (A) 8 (A) 2 (B) 4 (B) 6 (C) 7 (C) 3 (D) 5 (D) Total
B
L
O
C
O
S
Andar Superior 1,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,5 1,4 1,5 11,8
Andar Médio 2,2 2,0 1,6 1,5 1,6 1,4 1,6 2,0 13,9
Andar Inferior 3,0 2,8 � 2,3 2,4 2,3 2,4 2,5 ��,� + �
n 6 6 6 6 24
��� 13,5 8,2+� 10,3 11,4 ��,� + �
���� ��,�� ��,�� + �� ��,�� 
,�� ��,� + ��
� Utilizando o CRITÉRIO 1 para resolução temos que:
��� �!" = ∑�
� −
∑ � �
$
=
= 1,6� + 2,2� + 3,0� + 1,5� + 1,6� + �� +⋯+ 2,0� + 2,8� −
%&,%�' �
�%
= 87,7 + �� −
�.((&,)*�(*,('�'�
�%
=
�.�+%,(+��%'���.((&,)*�(*,('�'�
�%
	
=
���,�%�(*,('��&'�
�%
���,!�!-./� 0 =
∑ ��	
�
��
+
∑ ��
�
��
+
∑ ��
�
��
+
∑ ��
�
��
−
∑ � �
$
=
=
�&,) �
*
+
(,��' �
*
+
�+,& �
*
+
��,% �
*
−
%&,%�' �
�%
=
�(�,�)�*1,�%��*,%'�'���+*,+2���2,2*
*
−
�.((&,)*�(*,('�'�
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%(),)%��*,%'�'�
*
−
�.((&,)*�(*,('�'�
�%
=
=
�.2%�,�*�*),*'�%'���.((&,)*�(*,('�'�
�%
=
=
)(,*+���,�'�&'�
�%
�������� = ∑ ���������	
�
���������
+
∑ �	�
��
�
�	�
��
+
∑ ���������
�
���������
−
∑ � �
	
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�/
= 0,75�� − 3,54166 �+ ∆
� Derivando essa expressão em relação a � tem-se:
� ������
��
= 1,5� − 3,54166
� Agora iguale a derivada a zero e encontre a
solução de �:
1,5� − 3,54166 = 0
1,5� = 3,54166
� = 2,36		��
A motilidade dos espermatozoides observada no sêmen
bovino após seu descongelamento pode ser afetada pelo diluente
utilizado antes da criopreservação.
Um ensaio testou quatro diluentes: gema de ovo, soro de
leite, água de coco e soro fisiológico.
O pesquisador utilizou um ejaculado único de cada um dos
seis touros da mesma raça sorteados de uma Central de
Inseminação. Em seus ejaculados ainda frescos podiam-se notar
motilidades distintas.
Cada ejaculados foi dividido em alíquotas e cada uma delas
diluída por sorteio com diluentes A, B, C e D. Após a diluição, os
microtubos (continentes) foram conservados em nitrogênio
liquido e descongelados após 30 dias. Aos alcançar a
temperatura de 36 oC, motilidades foram registradas.
Defina o delineamento e apresente o esquema de análise de
variância para este ensaio.
� Touros com variação inicial de motilidade
� Tratamento (diluentes)
� Blocos
Como todos os tratamentos estão igualmente presentes em
cada bloco o delineamento em questão é Bloco ao Acaso com o
seguinte esquema de Análise de Variância.
Fonte de Variação (FV) Graus de Liberdade (g.l.)
Total (24 − 1) = 23
Diluentes (tratamentos) (4 − 1) = 3
Blocos (touros) 6 − 1 = 5
Erro 23 − 3 − 5 = 15