Lista_4Q - Limites

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UFPB – CCE N – DEPART AMENT O DE MATEMÁTICA 
CÁL CUL O DIFERENCI AL E INTEG RAL I 
4 a L I S T A D E E X E R C Í C I O S – P E R Í O D O 2 0 0 7 . 1 
1 . N o s e x e r c í c i o s 1 a ) → 1 p ) , c a l c u l e o l i m i t e d e )( xf , q u a n d o ax → . 
1 a ) 7,52)( −=+= axxf 1 b ) 0,
113
3)( =++= axxf 
1 c ) 5,
5
103
)(
2
−=+
−+= a
x
xxxf 1 d ) 2,
2
42)( 23 −=+
−−= a
xx
xxf 
1 e ) 1,
23
1)( =−+
−= a
x
xxf 1 f ) 1,
1
38
)(
2
−=+
−+= a
x
x
xf 
1 g ) 1,
1
1)( 3
4
=−
−= a
x
xxf 1 h ) 9,
9
3
)( =−
−= a
x
x
xf 
1 i ) 0,)(
2
=+= a
x
xxxf 1 j ) 2,2
208
)( 2
2
=−−
−+= a
xx
xxxf 
1 k ) 3,
1
11
)( =−−
+−= a
xx
x
xf 1 l ) 1,12
12
)( 23
4
=++
+−= a
xx
xxxf 
1 m ) 2,
2
2
)(
33
=−
−= a
x
x
xf 1 n ) 1,1
16)3(
)( 3
43
=−
−−= a
x
xxf 
1 o ) 1,
1
23
)( 2
2
=−
−+= a
x
x
xf 1 p ) 1,
1
12
)(
3
−=+
−+= a
x
x
xf 
2 . S e f é u m a f u n ç ã o d e f i n i d a e m R e 1
0
=
x
)x(flim
x a
, m o s t r e q u e 
a ) 33
0
=
x
)x(flim
x a
 b ) 0
2
0
=
x
)x(flim
x a
 
3 . S e 122
=
− x
)x(flim
x a
, c a l c u l e )x(flim
x 2−a
 e 
x
)x(flim
x 2−a
. 
4 . S a b e n d o - s e q u e 3
2
5
2
=−
−
x
)x(flim
x a
, d e t e r m i n e )x(flim
x 2a
. 
5 . S e ϕ é u m a f u n ç ã o t a l q u e 
2
1
4
1
22 x)x(x +≤ϕ≤− , 0≠∀ x , c a l c u l e )x(lim
x
ϕ
0a
. 
6 . S e j a m f e g f u n ç õ e s c o m m e s m o d o m í n i o D , s a t i s f a z e n d o 0=)x(flim
ax a
 e 
Mxg ≤)( , ∀ x D∈ , o n d e M é u m n ú m e r o r e a l p o s i t i v o . 
U s e o T e o r e m a d o S a n d u í c h e p a r a m o s t r a r q u e 0=⋅ )x(g)x(flim
ax a
. 
7 . S e g é a f u n ç ã o d e f i n i d a p o r ⎩⎨
⎧
>−
≤=
0,1
0,1
)(
xpara
xpara
xg , e x i s t e )x(glim
x 0a
? 
E )x(gxlim
x
2
0a
 e x i s t e ? 
8 . N o s e x e r c í c i o s 8 a ) → 8 j ) , c a l c u l e o l i m i t e d e )( xf q u a n d o −→ ax e q u a n d o 
+→ ax . 
8 a ) 2,
2
3)( −=+
+= a
x
xxf 8 b ) 2,
)2(
)( 2 =−= ax
xxf 
8 c ) 1,
)1(
2)( 3 =−
−= a
x
xxf 8 d ) 2,
2
4)(
2
=−
−= a
x
xxf 
8 e ) 0,
554
)(
2
=−++= a
x
xx
xf 8 f ) 2,
2
2
)3()( −=+
++= a
x
x
xxf 
8 g ) 1,
1
)1(2
)( =−
−= a
x
xx
xf 8 h ) 3,
9
3)(
2
−=−
+= a
x
xxf 
8 i ) 1,
1
1)(
2
=−
−= a
x
xxf 8 j ) 2,4
2)(
2
−=−
+= a
x
xxf 
9 . C a l c u l e 2
2
−
+
xlim
x a
. E x i s t e 2
2
−
−
xlim
x a
? 
1 0 . N o s e x e r c í c i o s 1 0 a ) → 1 0 z ) , c a l c u l e o s l i m i t e s i n d i c a d o s . 
1 0 a ) 
x
lim
x
1
0 +a
 1 0 b ) 
x
lim
x
1
0 −a
 1 0 c ) 
20
1
x
lim
x +a
 1 0 d ) 20
1
x
lim
x −a
 
1 0 e ) 
3
5
3 −+ xlimx a 1 0 f ) 3
5
3 −− xlimx a 
1 0 g ) 
x
xlim
x
12
0
+
+a
 1 0 h ) 
20
3
x
xlim
x
−
−a
 
1 0 i ) 
xx
lim
x −+ 20
3
a
 1 0 j ) 
xx
lim
x −− 20
3
a
 1 0 k ) 
96
3
2
2
3 +−
−
+ xx
xxlim
x a
 1 0 l ) 
xx
xlim
x +
+
+− 21
12
a
 
1 0 m )
xx
xlim
x +
+
+ 20
12
a
 1 0 n ) 2
2
1 1
43
x
xlim
x −
−
+−a
 1 0 o ) ( )234 ++
∞+
xxlim
x a
1 0 p ) ( )234 +−
∞−
xxlim
x a
 1 0 q ) ( )123 3 ++
∞+
xxlim
x a
 1 0 r ) ( )123 3 ++
∞−
xxlim
x a
1 0 s ) ( )5245 xxxlim
x
−+−
∞+a
 1 0 t ) ( )5245 xxxlim
x
−+−
∞−a
 1 0 u )
26
165
3
3
+
+−
∞+ x
xxlim
xa
 
1 0 v )
36
165
2
3
++
+−
∞+ xx
xxlim
xa
 1 0 x ) 
x
xlim
x 23
5
+
−
∞−a
 1 0 z ) 
3
1
+
+
∞+ x
x
lim
x a
 
 
1 1 . N o s e x e r c í c i o s 1 1 a ) → 1 1 d ) , c a l c u l e o l i m i t e d e )( xf , q u a n d o ∞+→x . 
1 1 a ) 3)( +−= xxxf 1 1 b ) 3)( 2 +−= xxxf 
1 1 c ) 3)( 3 +−= xxxf 1 1 d ) 32)( 2 +−= xxxf 
1 2 . C o n s i d e r e f a f u n ç ã o d e f i n i d a p o r 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−
−
=
1,3
1,
1
1
)(
2
xpara
xpara
x
x
xf . 
C a l c u l e )x(flim
x 1a
 e d e c i d a s e f é c o n t í n u a e m 1=a . 
1 3 . S e j a f u m a f u n ç ã o r e a l c o n t í n u a , d e f i n i d a e m t o r n o d o p o n t o 1=a , t a l q u e 
1
23)(
2
−
+−=
x
xxxf , p a r a t o d o 1≠x . Q u a n t o v a l e )1(f ? P o r q u ê ? 
1 4 . D e t e r m i n e o v a l o r d e k , d e m o d o q u e c a d a u m a d a s f u n ç õ e s d a d a s a b a i x o s e j a 
c o n t í n u a n o p o n t o i n d i c a d o . 
 a ) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−
−
=
2,
2,
2
8
)(
3
xparak
xpara
x
x
xf , n o p o n t o 2=a ; 
 b ) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠>−
−
=
3,
30,
3
3
)(
xparak
xexpara
x
x
xf , n o p o n t o 3=a . 
1 5 . S e j a f a f u n ç ã o d a d a p o r 
1
)(
2
+
+=
x
xxxf , s e 1−≠x , c o m 2)1( =−f . 
f é c o n t í n u a n o p o n t o 1− ? E n o p o n t o 0 ? P o r q u ê ? 
1 6 . D ê e x e m p l o d e u m a f u n ç ã o f , d e f i n i d a e m R , q u e n ã o s e j a c o n t í n u a n o p o n t o 2 , 
m a s q u e s a t i s f a ç a )x(flim)x(flim
xx +−
=
22 aa
. 
1 7 . A a f i r m a ç ã o “ )x(flim)x(flim
axax +−
=
aa
 ⇒ f é c o n t í n u a e m a ” é v e r d a d e i r a ? 
1 8 . S e j a f u m a f u n ç ã o s a t i s f a z e n d o 2)( xxf ≤ , p a r a t o d o x e m R . M o s t r e q u e f é 
c o n t í n u a n o p o n t o 0 . 
1 9 . E n c o n t r e o s p o n t o s d e d e s c o n t i n u i d a d e d a f u n ç ã o f , d e f i n i d a p o r 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥−
<<−
≤+
=
3,3
31,56
1,
5
32
)(
2
xparax
xparax
xparax
xf . 
2 0 . N o s e x e r c í c i o s 2 0 a ) → 2 0 d ) , e s b o c e o g r á f i c o d a f u n ç ã o d a d a e d i g a s e e l a é 
c o n t í n u a n o p o n t o i n d i c a d o . 
2 0 a ) 
⎩⎨
⎧
≤
>−=
1,
1,2
)( 2 xparax
xparax
xf , 0=a ; 2 0 b ) 1,
1
32)(
2
−=+
−−= a
x
xxxf ; 
2 0 c ) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−
−
=
2,1
2,
2
2
)(
xpara
xpara
x
x
xf , 0=a ; 
2 0 d ) ⎩⎨
⎧
≥
<=
0,]][[
0,0
)(
xparax
xpara
xf , 1=a , o n d e [[x ]] r e p r e s e n t a “ o m a i o r i n t e i r o 
q u e n ã o s u p e r a x ” , o u , e q u i v a l e n t e m e n t e , “ o m a i o r i n t e i r o m e n o r o u i g u a l a x ” . 
2 1 . S e f é a f u n ç ã o c u j o g r á f i c o e n c o n t r a - s e e s b o ç a d o a b a i x o , d e t e r m i n e : 
 a ) ( )xflim
x 0a
; 
 b ) ( )xflim
x 3a
; 
 c ) ( )3f . 
 f é c o n t í n u a n o p o n t o 0 ? 
 E n o p o n t o 3 ? 
 
 
 
2 2 . E x i s t e u m n ú m e r o α c a p a z d e f a z e r c o m q u e 
2
33
2
2
2 −+
+α+α+
− xx
xxlim
x a
 e x i s t a ? 
2 3 . U m a c o m p a n h i a f e r r o v i á r i a c o b r a R $ 1 0 , 0 0 p o r k m , p a r a t r a n s p o r t a r u m v a g ã o a t é 
u m a d i s t â n c i a d e 2 0 0 k m , c o b r a n d o a i n d a R $ 8 , 0 0 p o r c a d a k m q u e e x c e d a a 2 0 0 . 
A l é m d i s s o , e s s a m e s m a c o m p a n h i a c o b r a u m a t a x a d e s e r v i ç o d e R $ 1 . 0 0 0 , 0 0 p o r 
v ag ã o , i n d e p e n d e n t e m e n t e d a d i s t â n c i a a p e r c o r r e r . 
D e t e r m i n e a f u n ç ã o q u e r e p r e s e n t a o c u s t o p a r a t r a n s p o r t a r u m v a g ã o a u m a 
d i s t â n c i a d e x k m e e s b o c e s e u g r á f i c o . E s s a f u n ç ã o é c o n t í n u a p a r a 200=x ? 
2 4 . U m a f á b r i c a é c a p a z d e p r o d u z i r 1 5 . 0 0 0 u n i d a d e s d e u m c e r t o p r o d u t o , e m u m t u r n o 
d e 8 h o r a s d e t r a b a l h o . P a r a c a d a t u r n o d e t r a b a l h o , s a b e - s e q u e e x i s t e u m c u s t o 
f i x o d e R $ 2 . 0 0 0 , 0 0 , r e l a t i v o a o c o n s u m o d e e n e r g i a e l é t r i c a . S u p o n d o - s e q u e , p o r 
u n i d a d e p r o d u z i d a , o c u s t o v a r i á v e l , d a d o o g a s t o c o m m a t é r i a p r i m a e s a l á r i o s , é 
d e R $ 2 , 0 0 , d e t e r m i n e a f u n ç ã o q u e r e p r e s e n t a o c u s t o t o t a l p a r a a f a b r i c a ç ã o d e x 
u n i d a d e s e e s b o c e s e u g r á f i c o . A f u n ç ã o e n c o n t r a d a é c o n t í n u a p a r a 
000450 .x ≤≤ ? 
2 5 . U m e s t a c i o n a m e n t o c o b r a R $ 3 , 0 0 p e l a p r i m e i r a h o r a , o u p a r t e d e l a , e R $ 2 , 0 0 p o r 
h o r a s u c e s s i v a , o u p a r t e , a t é o m á x i m o d e R $ 1 0 , 0 0 . E s b o c e o g r á f i c o d o c u s t o d o 
e s t a c i o n a m e n t o c o m o u m a f u n ç ã o d o t e m p o d e c o r r i d o e a n a l i s e a s d e s c o n t i n u i d a d e s 
d e s s a f u n ç ã o . 
2 6 . P r o v e q u e a e q u a ç ã o 015 =++ xx t e m p e l o m e n o s u m a r a i z n o i n t e r v a l o ]0,1[− . 
2 7 . P r o v e q u e a e q u a ç ã o 0243 =+− xx a d m i t e t r ê s r a í z e s r e a i s d i s t i n t a s . 
2 8 . S e ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤−−
<≤−+=
20,2
02,2
)(
2
2
xparax
xparax
xf , e x i s t e ]2,2[−∈α t a l q u e 0)( =αf ? 
E s t e f a t o c o n t r a d i z o C o r o l á r i o d o T e o r e m a d o V a l o r I n t e r m e d i á r i o ? 
––––