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Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice CAPÍTULO 7 TEORIAS DE PRODUÇÃO E CUSTO — TRATAMENTO ALGÉBRICO EXERCÍCIOS 1. Dentre as funções de produção a seguir, quais apresentam rendimentos crescentes, constantes ou decrescentes de escala? a. F(K, L) = K2 L b. F(K, L) = 10K + 5L c. F(K, L) = (KL)0,5 Os rendimentos de escala referemse à relação existente entre nível de produção e aumentos proporcionais de todos os seus insumos. Representamos esta relação da seguinte forma: F(K, L) > F(K, L) implica rendimentos crescentes de escala; F(K, L) = F(K, L) implica rendimentos constantes de escala; e F(K, L) < F(K, L) implica rendimentos decrescentes de escala. a. Aplicando estas relações à equação F(K, L) = K2L, F(K, L) = (K)2 (L) = 3K2L = 3F(K, L). que é maior que F(K, L); portanto, essa função de produção apresenta rendimentos crescentes de escala. b. Aplicando a mesma técnica a F(K, L) = 10K + 5L, F(K, L) = 10K + 5L = F(K, L). A função de produção apresenta rendimentos constantes de escala. c. Aplicando a mesma técnica a F(K, L) = (KL)0.5, F(K, L) = (K L)0.5 = (2)0.5 (KL)0.5 = (KL)0.5 = F(K, L). Essa função de produção apresenta rendimentos constantes de escala.. 2. A função de produção de um determinado produto é dada por Q = 100KL. Sendo o custo do capital de $120 por dia e o do trabalho $30 por dia, qual será o custo mínimo de produção para 1000 unidades de produto? A combinação de capital e mãodeobra minimizadora de custos é aquela onde r w PMg PMgTMST K L . 87 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice O produto marginal da mãodeobra é dQ dL K100 . O produto marginal do capital é dQ dK 100L . Portanto, a taxa marginal de substituição técnica é 100 100 K L K L . Para determinar a razão ótima entre capital e mãodeobra, considere a taxa marginal de substituição técnica igual à razão entre a remuneração da mãodeobra e a taxa de locação do capital: K L 30 120 , ou L = 4K. Substitua esse valor de L na função de produção e resolva para o K que gera uma produção de 1.000 unidades: 1.000 = (100)(K)(4K), ou K = 1,58. Como L é igual a 4K, L é igual a 6,32. Com esses níveis para os dois insumos, o custo total é: CT = wL + rK, ou CT = (30)(6,32) + (120)(1,58) = $379,20. Para verificar se K = 1,58 e L = 6,32 são os níveis minimizadores de custo dos insumos, considere pequenas mudanças em K e L. em torno de 1,58 e 6,32. Para K = 1.6 e L = 6.32, o custo total é $381,60, e para K = 1,58 e L = 6,4, o custo total é $381,6, ambos maiores do que $379,20. Logo, concluímos que os níveis calculados de K e L são aqueles que minimizam o custo. 3. Suponha que uma função de produção tenha a expressão F(K, L) = KL2 e que o custo do capital seja $10 e o do trabalho seja $15. Qual será a combinação de trabalho e capital capaz de minimizar o custo de produção para qualquer quantidade de produto? A combinação de capital e trabalho que minimiza o custo satisfaz a condição r w PMg PMgTMST K L . O produto marginal do trabalho é dQ dL KL2 . O produto marginal do capital é dQ dK L 2 . Para determinar a razão ótima entre capital e trabalho, iguale a taxa marginal de substituição técnica à razão entre os preços dos insumos: 88 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice 2 15 102 KL L , ou K = 0.75L. Logo, a razão capitaltrabalho deve ser de 0,75 para que o custo de produzir qualquer nível de produto seja minimizado. 4. Suponha que o processo de produção de agasalhos esportivos da empresa Polly’s Parkas seja descrito pela função: Q = 10K0,8(L 40)0,2 em que Q é o número de agasalhos produzidos, K é o número de horas máquina e L é o número de horas de trabalho. Além de capital e trabalho, $10 de matériasprimas são consumidos na produção de cada agasalho. Conhecemos a função de produção: Q = F(K,L) = 10K.8(L 40).2 Também sabemos que o custo de produção inclui, além dos custos do capital e do trabalho, $10 de matérias primas por unidade produzida. Logo, a função de custo total é: CT(Q) = wL + rK + 10Q a. Minimizando o custo sujeito à função de produção, derive as demandas de K e L como função do produto (Q), salários (w), e aluguel das máquinas (r). Derive a função de custo total, (custos como função de Q, r, w e da constante referente aos $10 de matériaprima por unidade produzida). Precisamos encontrar as combinações de K e L que minimizam tal função de custo para qualquer nível de produção Q e preços dos insumos r e w. Para tanto, montamos o Lagrangeano: = wL + rK + 10Q [10K.8 (L 40).2 Q] Derivando com relação a K, L, e , e igualando a zero: 89 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice (1) 90 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice ∂Φ ∂K =r−10λ(.8)K−.2(L−40).2=091 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice (2) 92 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice ∂Φ ∂L =w−10λK.8(.2)(L−40)−.8=093 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice (3) 94 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice ∂Φ ∂λ =10K.8(L−40).2−Q=0. 95 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice As primeiras duas equações implicam: 2,02,0 )40()8,0(10 LKr e 8,08,0 )40)(2,0(10 LKw ou 96 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice r w = 4(L−40) K . 97 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice que pode ser reescrito da seguinte forma: r LwK )40(4 e w rKL 4 40 . Inserindo as equações acima na equação (3), obtemos soluções para K e L: 2,08,0 8,0 )40()40( 4 10 LL r wQ e 2,0 8,0 4 10 w rKKQ . ou 40 3,30 8,0 8,0 w QrL e 2,0 2,0 6,7 r QwK Estes são os valores de K e L que minimizam o custo. Inserindo tais valores na função de custo total, podemos obter a função de custo em função de r,w, e Q: QrKwLQCT 10)( QQwrwQrwQCT Q r Qrww w QwrQCT 10 6,7 40 3,30 )( 10 6,7 40 3,30 )( 2,08,08,02,0 2,0 2,0 8,0 8,0 b. Este processo requer trabalhadores qualificados que ganham $32 por hora. O valor do aluguel das máquinas é de $64 por hora. Sendo estes os preços dos fatores, qual é o custo total como função de Q? Esta tecnologia apresenta rendimentos crescentes, decrescentes ou constantes de escala? Dados os valores w = 32 e r = 64, a função de custo total pode ser escrita da seguinte forma: CT(Q)=19,2Q+1280. A função de custo médio é dada por CMe(Q) = 19,2 + 1280/Q. Para determinar o tipo de rendimentos de escala, inicialmente escolha uma combinação de insumos e calcule o nível de produção; em seguida, dobre as quantidades de todos os insumos calcule o novo nível de produção e compare com o nível original. Supondo K=50 e L=60, o nível de produção é Q1= 10(50)0.8(6040)0.2 = 416.3. Para K=100 e L=120, o nível de produção passa a ser Q2= 10(100)0.8(12040)0.2 = 956. Dado que Q2/Q1 > 2, a função de produção apresenta rendimentos crescentes de escala. c. A empresa Polly’s Parkas planeja produzir 2000 unidades por semana. Com o preço dos fatores indicados acima, quantos trabalhadores eles 98 Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice deveriam contratar (considere 40 horas de trabalho semanal) e quantas máquinas deveriam alugar (também considere utilização de 40 horas semanais)? Quais os custos marginal e médio neste nível de produção? Dado Q = 2.000 por semana, podemos calcularas quantidades necessárias dos insumos K e L a partir das fórmulas obtidas no item (a): 40 3,30 8,0 8,0 w QrL e 2,0 2,0 6,7 r QwK Logo, L = 154,9 horas de trabalho e K = 2.000/8,7 = 229,9 horas de máquina. Supondo uma semana de trabalho de 40 horas, obtemos L = 154,9/40 = 3,87 trabalhadores por semana e K = 229,9/40 = 5,74 máquinas por semana. Polly’s Parkas deveria contratar 4 trabalhadores e alugar 6 máquinas por semana. Sabemos que as funções de custo total e custo médio são dadas por: CT(Q) = 19,2Q + 1280 CMe(Q) = 19,2 + 1280/Q de modo que a função de custo marginal é CMg(Q) = d CT(Q) / d Q = 19,2. O custo marginal é constante e igual a $19,2 por agasalho e o custo médio é 19,2+1280/2000 = $19,84 por agasalho. 99
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