CAP 07 CUSTO DE PRODUÇÃO

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Capítulo 7: Custo de Produção
CAPÍTULO 7
CUSTO DE PRODUÇÃO
OBSERVAÇÕES PARA O PROFESSOR
Os principais tópicos desse capítulo são:
 a diferença entre custos contábeis e custos econômicos de produção,
 as definições de custo total,  custo médio e custo marginal no curto e no longo
prazo,
 a representação gráfica do custo total, médio e marginal, e
 a   minimização   de   custos,   apresentada   graficamente   ao   longo   do   capítulo   e
matematicamente no apêndice.
O   primeiro   tópico   acima,   relativo   à   distinção   entre   custos   contábeis   e
econômicos, é importante para deixar claro para os estudantes que uma situação com
lucro (econômico) zero pode ser um equilíbrio de longo prazo. As definições e gráficos
das curvas de custo formam a base dos tópicos a serem discutidos no capítulo 8 (oferta
da empresa), razão pela qual é recomendável dedicar bastante tempo à sua discussão.
Por fim, o problema de minimização de custos permite entender o processo de escolha,
por parte da empresa, dos insumos a serem utilizados na produção de determinada
quantidade   de   produto;   tal   discussão   está   baseada   no   conceito   de   isoquanta,
apresentado no capítulo 6. Além desses tópicos, o capítulo permite discutir a idéia de
utilização  dos   insumos  até   o   ponto  em que   o  preço   iguala  a   receita  do  produto
marginal do insumo (a ser aprofundada no capítulo 14). O capítulo também contém
três seções relacionadas a tópicos especiais (produção com dois insumos, mudanças
dinâmicas   nos   custos,   e   estimação   do   custo),   que   podem   ser   descartadas,   caso
desejado.
A noção de custo de oportunidade constitui a base conceitual desse capítulo.  A
maioria dos estudantes costuma pensar nos custos no sentido estritamente contábil; é
necessário, portanto, que eles passem a entender a diferença entre custo contábil,
custo econômico e custo de oportunidade. O conceito de custo de oportunidade do
capital pode apresentar dificuldades para os estudantes, que podem não entender a
razão pela qual a taxa de locação do capital deve ser considerada explicitamente pelos
economistas. A este respeito, é importante distinguir entre o preço de aquisição dos
equipamentos   e   o   custo  de   oportunidade  de  usar   tal   equipamento.    O   custo  de
oportunidade do tempo de um indivíduo também pode causar alguma confusão para
os estudantes.  
Após  a  discussão  sobre  custo  de  oportunidade,  o   capítulo  avança  em duas
direções; na primeira, apresentam­se os diferentes tipos de custo e as curvas de custo;
na segunda, analisa­se o problema da minimização de custos. Ambos os caminhos
convergem para a discussão sobre custo médio de longo prazo.
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Capítulo 7: Custo de Produção
A discussão   das   definições   de   custo   total,   custo   fixo,   custo  médio   e   custo
marginal, bem como das relações gráficas entre eles, pode parecer tediosa e/ou pouco
interessante para o estudante. Entretanto, trata­se de material importante para a
derivação da curva de oferta da empresa, no capítulo 8. A realização de exercícios
numéricos baseados em tabelas de custos pode ser útil para esclarecer as diferenças
entre os vários tipos de custos para alguns estudantes.  É importante frisar que cada
empresa possui um único conjunto de curvas de custo, baseadas na sua função de
produção específica e na conseqüente função de custo total.   Discuta a importância
dos rendimentos de escala, em particular da ocorrência de rendimentos decrescentes,
na determinação do formato das curvas de custo.  Os fatos de que o custo médio tenda
apresentar formato em "U" no curto prazo e o custo marginal intercepta as curvas de
custo médio e custo variável médio nos respectivos pontos de mínimo deveriam estar
claros para os estudantes. Após a discussão das curvas de custo, pode­se aplicar os
conceitos apresentados na escolha do nível de produção que maximiza o lucro e na
derivação da curva de oferta da empresa (e da indústria).
O problema de minimização de custos permite responder um tipo de pergunta
diferente,   relativo   à   quantidade   de   insumos   necessário   para   a   produção   de
determinado nível de produto.  Mostre aos estudantes que a condição necessária para
a minimização de custos, segundo a qual a razão dos produtos marginais deve ser
igual à razão dos preços dos insumos, é muito semelhante à condição necessária para
a maximização de lucros.  
Uma vez que os  conceitos  de custo a curto prazo e minimização de custos
estejam claros, os estudantes estarão em condições de entender a derivação do custo
médio de longo prazo.    No que diz respeito a esse último tópico,  enfatize que as
empresas operam ao longo das curvas de custo a curto prazo para cada nível do fator
fixo e que os custos a longo prazo não existem separadamente dos custos a curto
prazo.   O Exercício (6) ilustra a relação entre custo a longo prazo e minimização de
custos, ressaltando a importância do caminho de expansão.  Mostre a relação entre o
formato da curva de custo a longo prazo e os rendimentos de escala.
QUESTÕES PARA REVISÃO
1.   Uma empresa paga anualmente a seu contador honorários no valor de
$10.000.  Este custo é explícito ou implícito?
Os custos  explícitos  são  pagamentos  efetivos,  que   incluem,  portanto,
todos  os  custos  que  envolvam uma transação  monetária.    Um custo
implícito é um custo econômico que não envolve necessariamente uma
transação monetária, apesar de estar associado ao uso de recursos pela
empresa.     Quando   a   empresa   paga   a   seu   contador   $10.000   como
honorários anuais, ocorre uma transação monetária: o contador oferece
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seu tempo em troca de dinheiro.  Logo, os honorários anuais são custos
explícitos.
2.   A proprietária de uma pequena loja de varejo cuida pessoalmente do
trabalho contábil. De que forma você mediria o custo de oportunidade desse
trabalho?
Os custos de oportunidade são calculados a partir da comparação entre o
uso   corrente   do   recurso   e   seus   usos   alternativos.   O   custo   de
oportunidade do trabalho contábil é o tempo que deixa de ser gasto em
outras atividades, como a administração de um negócio ou a realização
de atividades de lazer. O custo econômico do trabalho contábil é dado
pelo maior valor monetário que poderia ser obtido através de outras
atividades.
3.  Suponha que um fabricante de cadeiras descubra que a taxa marginal de
substituição técnica de capital por trabalho em seu processo produtivo seja
substancialmente   maior   do   que   a   razão   entre   a   taxa   de   locação   das
máquinas e o custo do trabalho na linha de montagem.  De que forma você
acha que ele deveria alterar sua utilização de capital e trabalho para que
possa minimizar seu custo de produção?
Para minimizar o custo, o fabricante deveria usar uma combinação de
capital e trabalho tal que a taxa de substituição de capital por trabalho
no seu processo produtivo  seja  igual  à   taxa de  troca  entre  capital  e
trabalho   nos  mercados   externos.     O   fabricante   estaria   em  melhor
situação se aumentasse o uso de capital e reduzisse o uso de trabalho.
Ao substituir  um pouco de  trabalho por capital,  a   taxa marginal  de
substituição técnica, TMST, diminuiria; o fabricante deveria continuar a
substituir trabalho por capital até o ponto em que a TMST fosse igual à
razão   entre   a   taxa   de   locação   do   capital   e   o   salário   pago   aos
trabalhadores.
4.  Por que as linhas de isocusto são retas?
A   linha   de   isocusto   representa   todas   as   possíveis   combinações   de
trabalho e capital que podem ser adquiridas a um custo total constante.
A inclinação da linha de isocusto é a razão entre os preços dos insumos
trabalho e capital.   Se os preços dos insumos são fixos, a razão desses
preços é fixa e a linha de isocusto é reta. A linha de isocustonão é reta
apenas no caso em que a razão dos preços dos insumos varia com as
quantidades utilizadas.
5.   Se o custo marginal de produção estiver aumentando, o custo variável
médio estará aumentando ou diminuindo?  Explique.
Um custo marginal crescente é compatível com um custo variável médio
crescente ou decrescente.  Se o custo marginal for menor (maior) que o
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Capítulo 7: Custo de Produção
custo   variável   médio,   cada   unidade   adicional   de   produção   estará
adicionando ao custo total menos (mais) que as unidades anteriores, o
que   implica   que   o  CVMe  está   diminuindo   (aumentando).     Logo,   é
necessário  saber se o  custo  marginal  é  maior ou menor que o  custo
variável médio para determinar se o CVMe é crescente ou decrescente.
6.  Se o custo marginal de produção for maior do que o custo variável médio,
o custo variável médio estará aumentando ou diminuindo?  Explique.
Para   que   o   custo   variável  médio   seja   crescente   (decrescente),   cada
unidade adicional de produção deve adicionar ao custo variável mais
(menos) que as unidades anteriores, na média; ou seja, o custo marginal
deve ser maior (menor) do que o custo variável médio.  Assim, se custo o
marginal   é   maior   do   que   o   custo   variável   médio,   este   deve   estar
aumentando.  
7.  Se as curvas de custo médio da empresa apresentam formato em U, por
que sua curva de custo variável médio atinge seu nível mínimo em um nível
de produção mais baixo do que a curva de custo médio total?
O custo total é igual ao custo fixo mais o custo variável.   O custo total
médio é igual ao custo fixo médio mais o custo variável médio.   Num
gráfico, a diferença entre as curvas de custo total médio e custo variável
médio, ambas em formato de U, é o custo fixo médio.  Se o custo fixo for
positivo, o custo variável médio mínimo deve ser menor do que o custo
total médio mínimo.   Além disso, dado que o custo fixo médio diminui
continuamente à medida que aumenta a produção, o custo total médio
deve   continuar   a   diminuir  mesmo   após   o   custo   variável  médio   ter
atingido seu ponto de mínimo, pois  a  redução no custo  fixo  médio é
inicialmente maior do que o aumento no custo variável médio. A partir
de um certo nível de produção, a redução no custo fixo médio torna­se
menor do que o aumento no custo variável médio, de modo que o custo
total médio passa a aumentar.
8. Se uma empresa estiver apresentando rendimentos crescentes de escala
até   um   determinado   nível   de   produção,   e   depois   tiver   rendimentos
constantes de escala,  o que você  poderia dizer a respeito do formato da
curva de custo médio de longo prazo dessa empresa?
Quando a empresa apresenta rendimentos crescentes de escala, a sua
curva  de   custo  médio  de   longo  prazo  apresenta   inclinação  negativa.
Quando a empresa apresenta rendimentos constantes de escala, a sua
curva   de   custo  médio   de   longo   prazo   é   horizontal.     Se   a   empresa
apresenta   inicialmente   rendimentos   crescentes   de   escala,   e   depois
rendimentos constantes de escala, a sua curva de custo médio de longo
prazo inicialmente cai, e depois se torna horizontal.
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Capítulo 7: Custo de Produção
9.  De que forma uma variação no preço de um dos insumos pode alterar o
caminho de expansão da empresa a longo prazo?
O   caminho   de   expansão   descreve   a   combinação   de   insumos   que   a
empresa deve escolher para obter cada nível de produção com o mínimo
custo. Tal combinação depende da razão entre os preços dos insumos: se
o preço de um insumo muda, a razão de preços também muda.   Por
exemplo,   se   o   preço   de  um   insumo  aumenta,  menor   quantidade  do
insumo deve ser  comprada para manter  o  custo  total   constante,  e  o
intercepto da linha de isocusto no eixo do insumo em questão se move na
direção da origem.  Além disso, a inclinação da linha de isocusto, dada
pela razão de preços, muda, e a empresa substitui parte do insumo que
se tornou relativamente mais caro pelo insumo mais barato.   Logo, o
caminho   de   expansão   se   inclina   na   direção   do   eixo   do   insumo
relativamente mais barato. 
10.   Faça uma distinção entre economias de escala e economias de escopo.
Por que um desses fenômenos pode estar presente sem o outro?
As economias de escala se referem à  produção de  um  bem e ocorrem
quando aumentos proporcionais nas quantidades de todos os insumos
levam   a   um   aumento  mais   do   que   proporcional   na   produção.     As
economias   de   escopo   se   referem  à   produção   de  mais  de  um  bem  e
ocorrem quando o custo da produção conjunta dos bens é menor do que a
soma dos custos de produzir cada bem separadamente.  Não há relação
direta entre rendimentos crescentes de escala e economias de escopo, de
modo   que   a   produção   pode   apresentar   uma   característica
independentemente da outra.   Veja o Exercício (13) para um caso com
rendimentos constantes de escala e economias de escopo.
EXERCÍCIOS
1.   Suponha que uma empresa fabricante de computadores tenha os custos
marginais   de  produção   constantes   a   $1.000  por   computador   produzido.
Entretanto, os custos fixos de produção são iguais a $10.000.
a. Calcule as curvas de custo variável médio e de custo total médio para
essa empresa.
O   custo   variável   de   produção   de   uma   unidade   adicional,   o   custo
marginal,   é   constante   e   igual   a   $1.000:  CV  =   $1000Q,   e
1000$
1000$

Q
Q
Q
CVCVMe    O custo fixo médio é  Q
000.10$
.  O custo
total médio é dado pela soma do custo variável médio e do custo fixo
médio:  Q
CTMe 000.10$000.1$  .
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Capítulo 7: Custo de Produção
b. Caso fosse do interesse da empresa minimizar o custo total médio de
produção,   ela   preferiria   que   tal   produção   fosse  muito   grande   ou
muito pequena?  Explique.
A empresa preferiria a maior produção possível, pois o custo total médio
diminui  à  medida   que   aumenta  Q.   Se  Q  se   tornasse   infinitamente
grande, o CTMe seria igual a $1.000.
2.  Se uma empresa contratar um trabalhador atualmente desempregado, o
custo de oportunidade da utilização do serviço do trabalhador é zero. Isso é
verdade?  Discuta.
Do ponto de vista do trabalhador, o custo de oportunidade de seu tempo
corresponde ao período de tempo que ele deixa de gastar com outras
atividades,   incluindo   atividades   pessoais   ou   de   lazer.   O   custo   de
oportunidade de empregar uma mãe desempregada com filhos pequenos
é   certamente  diferente  de  zero!    A  dificuldade  de  atribuir  um valor
monetário   ao   tempo  de  que  um  indivíduo  desempregado  deixará   de
gozar ao ser empregado não deveria nos levar à conclusão de que seu
custo de oportunidade é zero.
Do ponto de vista da empresa, o custo de oportunidade de empregar o
trabalhador não é zero; a empresa poderia, por exemplo, adquirir outra
máquina em vez de empregar o trabalhador.
3.a.   Suponha que uma empresa deva pagar uma taxa anual de franquia,
que   corresponda   uma   quantia   fixa,   independente   da   empresa   realizar
qualquer produção.  Como esta taxa afetaria os custos fixos,  marginais e
variáveis da empresa?
O custo total,  CT, é igual ao custo fixo,  CF, mais o custo variável,  CV.
Os custos fixos não variam com a quantidade produzida.   Dado que a
taxa   de   franquia,  FF,   é   um  valor   fixo,   os   custos   fixos   da   empresa
aumentam no valor da taxa.  Logo, o custo médio, dado por  Q
CVCF 
, e o
custo fixo médio, dado por  Q
CF
, aumentam no valor da taxa média de
franquia 
FF
Q .  Observe que a taxa de franquia não afeta o custo variável
médio.  Além disso, tendo em vista que o custo marginal é a variação no
custo total associada à produção de uma unidade adicional e que a taxa
de franquia é constante, o custo marginalnão se altera.
b.   Agora suponha que seja cobrado um imposto proporcional ao número
de unidades produzidas. Novamente, como tal imposto afetaria os custos
fixos, marginais e variáveis da empresa?
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Capítulo 7: Custo de Produção
Seja t o imposto por unidade.  Quando um imposto é cobrado sobre cada
unidade produzida, o custo variável aumenta em tQ.   O custo variável
médio aumenta em t, e dado que o custo fixo é constante, o custo total
médio   também aumenta   em  t.   Além disso,   dado   que   o   custo   total
aumenta em  t  para cada unidade adicional, o custo marginal também
aumenta em t.
4.  Um artigo recente publicado na Business Week afirmava o seguinte:
Durante a recente queda nas vendas de automóveis, a GM, a Ford,
e   a   Chrysler   decidiram   que   era   mais   econômico   vender
automóveis   para   as   locadoras   com   prejuízo   do   que   despedir
funcionários. Isto porque é caro fechar e abrir fábricas, em parte
porque a negociação sindical atual prevê  a obrigatoriedade das
empresas pagarem salários  a muitos  trabalhadores,  mesmo que
estes não estejam trabalhando. 
Quando o artigo menciona a venda de carros com prejuízos, está se
referindo   ao   lucro   contábil   ou   econômico?   Explique   brevemente
como eles se distinguem neste caso.
Quando o artigo menciona a venda de carros com prejuízos, está  se
referindo ao   lucro  contábil.    O artigo  afirma que o  preço  obtido  na
venda dos automóveis para as locadoras era menor do que seu custo
contábil.  O lucro econômico seria a diferença entre o preço e o custo de
oportunidade dos automóveis.  Tal custo de oportunidade representa o
valor   de  mercado   de   todos   os   insumos   utilizados   na   produção   dos
automóveis.      O  artigo  menciona  que  as   empresas  automobilísticas
devem   pagar   a   seus   trabalhadores  mesmo   que   estes   não   estejam
trabalhando (e, portanto, produzindo automóveis).  Isso implica que os
salários   pagos   a   tais   trabalhadores   são   custos   "irreversíveis"   e,
conseqüentemente, não entram no custo de oportunidade da produção.
Por   outro   lado,   os   salários   são   incluídos  nos   custos   contábeis,   que
devem, portanto, ser maiores do que o custo de oportunidade.  Logo, o
lucro contábil deve ser menor do que o lucro econômico.
5.   Um fabricante de cadeiras contrata sua mão de obra para a linha de
montagem por $22 por hora e calcula que o aluguel de suas máquinas seja
de $110 por hora. Suponha que uma cadeira possa ser produzida utilizando­
se 4 horas entre tempo de trabalho e de máquina, sendo possível qualquer
combinação entre os insumos. Se a empresa atualmente estiver  utilizando 3
horas de trabalho para cada hora de máquina, ela estará minimizando seus
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Capítulo 7: Custo de Produção
custos de produção?  Em caso afirmativo, qual a razão?  Em caso negativo,
de que forma a empresa poderia melhorar essa situação?
Se a empresa pode produzir uma cadeira utilizando quatro horas de
trabalho   ou   quatro  horas   de  máquina,   ou   qualquer   combinação   dos
insumos, então a isoquanta é  uma linha reta com inclinação de ­1 e
interceptos em K = 4 e L = 4, conforme mostra a Figura 7.5.
A linha de isocusto,  CT = 22L + 110K  tem inclinação de   2,0
110
22

(com o capital no eixo vertical) e interceptos em 
110
CTK   e 
22
CTL  .   O
ponto de custo mínimo é uma solução de canto, onde  L  = 4 e  K  = 0.
Nesse ponto, o custo total é $88.
Capital
Trabalho
2
1
3
4
1 2 3 4 5
Isoquanta para Q = 1
Isocusto (inclinação = ­0,20)
Solução de canto
minimizadora de custo
Figura 7.5
6.  Suponha que economia entre em recessão e o custo de mão de obra caia
50%, sendo que se espera que venha a permanecer em tal nível por um longo
tempo.   Mostre   graficamente   de   que   forma   essa   variação   de   preço   do
trabalho   em   relação   ao   preço   do   capital   influenciaria   o   caminho   de
expansão da empresa.
A  Figura   7.6  mostra   uma   família   de   isoquantas   e   duas   curvas   de
isocusto.    As  unidades  de   capital   são  medidas  no  eixo  vertical   e  as
unidades   de   trabalho   no   eixo   horizontal.     (Observação:   A   figura
pressupõe   que   a   função   de   produção   que   dá   origem   às   isoquantas
apresente rendimentos constantes de escala, o que resulta num caminho
de expansão linear.   Entretanto, os resultados a seguir não dependem
dessa hipótese.)
Se o preço do trabalho diminui enquanto o preço do capital é constante,
a curva de isocusto gira para fora em torno de seu intercepto no eixo do
82
Capítulo 7: Custo de Produção
capital.    O caminho de expansão é  o conjunto de pontos nos quais a
TMST  é   igual  à   razão dos  preços;   logo,  à  medida que as  curvas  de
isocusto giram para fora, o caminho de expansão gira na direção do eixo
do trabalho.   Com a redução do preço relativo do trabalho, a empresa
utiliza mais trabalho à medida que a produção aumenta.
Capital
Trabalho
2
1
3
4
1 2 3 4 5
Caminho de expansão 
antes da redução no salário
Caminho de expansão 
após a redução no salário
Figura 7.6
7.   Você  é responsável pelo controle de custos em um grande distrito de
trânsito metropolitano. Um consultor contratado lhe apresenta o seguinte
relatório:
Nossa pesquisa revelou que o custo de operação de um ônibus a
cada   viagem   é   de   $30,   independentemente   do   número   de
passageiros   que   esteja   transportando.   Cada   ônibus   tem
capacidade para transportar 50 passageiros. Nas horas de pico,
quando os ônibus estão lotados, o custo médio por passageiro é
de $0,60. Entretanto, durante as horas fora de pico, a média de
passageiros transportados cai para 18 pessoas por viagem e o
custo   sobe   para   $1,67   por   passageiro.   Conseqüentemente,
recomendamos uma operação mais intensa nas horas de pico,
quando   os   custos   são   menores,   e   um   número   menor   de
operações nas horas fora de pico, nas quais os custos são mais
altos.
Você seguiria as recomendações do consultor?  Discuta.
O consultor não entende a definição de custo médio.   O aumento do
número de passageiros sempre diminui o custo médio, independente de
se tratar de uma hora de pico ou não. Se o número de passageiros cair
para 10, os custos aumentarão para $3,00 por passageiro.   Além disso,
83
Capítulo 7: Custo de Produção
nas horas de pico os ônibus estão lotados. Como seria possível aumentar
o  número  de   passageiros?    Em vez   de   seguir   as   recomendações   do
consultor,  seria melhor  incentivar os  passageiros  a  passar a usar os
ônibus nas horas fora de pico ­ através, por exemplo, da cobrança de
preços mais elevados nas horas de pico.
8.     Uma   refinaria   de   petróleo   é   composta   de   diferentes   unidades   de
equipamento de processamento, cada qual com diferentes capacidades de
fracionamento do petróleo cru, com alto teor de enxofre, em produtos finais.
O   processo   produtivo   dessa   refinaria   é   tal   que   o   custo   marginal   do
processamento de gasolina é constante até um certo ponto, desde que uma
unidade  de  destilação  básica  esteja   sendo  alimentada  por  petróleo   cru.
Entretanto, à medida que a capacidade desta unidade se esgota, o volume
de petróleo cru que pode ser processado no curto prazo se revela limitado.
O custo marginal de processamento da gasolina é também constante até um
determinado limite de capacidade, quando o petróleo cru passa por uma
unidade mais sofisticada de hidrocraqueamento. Elabore o gráfico do custo
marginal da produção de gasolina, quando são utilizadas uma unidade de
destilação básica e uma unidade de hidrocraqueamento.
A produção de gasolina envolve duas etapas: (1) destilação do petróleo
cru; e (2) refino do produto destilado, que é transformado em gasolina.
Dado que o  custo  marginalde  produção  é   constante  até  o   limite  de
capacidade   para   ambos   os   processos,   as   curvas   de   custo  marginal
apresentam formato semelhante em L.
Custo Marginal
QuantidadeQ1 Q2
CMg1
CMgT
CMg2
Figura 7.8
O custo total marginal,  CMgT, é a soma dos custos marginais dos dois
processos, i.e., CMgT = CMg1 + CMg2, onde CMg1 é o custo marginal da
destilação até o limite de capacidade, Q1, e CMg2 é o custo marginal de
refino até o limite de capacidade, Q2.  O formato da curva de custo total
84
Capítulo 7: Custo de Produção
marginal é horizontal até o menor limite de capacidade.  Se o limite de
capacidade da unidade de destilação for menor que o limite da unidade
de hidrocraqueamento, o CMgT será vertical ao nível de Q1.  Se o limite
da unidade de hidrocraqueamento for menor que o limite da unidade de
destilação, o CMgT será vertical ao nível de Q2.
9.     Você   é   o   gerente   de   uma   fábrica   que   produz  motores   em   grande
quantidade por meio de equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de
montagem. A tecnologia pode ser resumida pela função de produção:
Q = 4 KL
em que Q é o número de motores por semana, K é o número de máquinas, e
L o número de equipes de trabalho.  Cada máquina é alugada ao custo r =
$12.000 por semana e cada equipe custa  w  = $3.000 por semana.   O custo
dos motores é dado pelo custo das equipes e das máquinas mais $2.000 de
matérias   primas   por   máquina.     Sua   fábrica   possui   10   máquinas   de
montagem.
a. Qual  é   a   função  de   custo  de   sua   fábrica  —  isto  é,   quanto   custa
produzir  Q  motores?     Quais   os   custos   médio   e   marginal   para
produzir Q motores?  Com os custo médios variam com a produção?
K é   fixo   ao  nível  de  10.    A   função   de  produção   de   curto   prazo  é,
portanto, Q = 40L. Isso implica que, para qualquer nível de produção
Q, o número de equipes de trabalho contratadas será 
40
QL  .  A função
de   custo   total  é   dada  pela   soma  dos   custos  de   capital,   trabalho,   e
matérias primas:
CT(Q)  = rK + wL + 2000Q = (12.000)(10)  +  (3.000)(Q/40) + 2.000
Q
= 120.000 + 2.075Q
A função de custo médio é dada por:
CMe(Q) = CT(Q)/Q = 120.000/Q + 2.075
e a função de custo marginal é:
 CT(Q) /  Q = 2.075
Os custos marginais são constantes e os custos médios são decrescentes
(devido ao custo fixo de capital).
b. Quantas equipes são necessárias para produzir 80 motores? Qual o
custo médio por motor?
Para produzir Q = 80 motores, são necessárias 
40
QL  ou L=2 equipes
de trabalho.  O custo médio é dado por 
85
Capítulo 7: Custo de Produção
CMe(Q) = 120.000/Q + 2.075  ou CMe = 3575.
c. Solicitaram a você que fizesse recomendações para o projeto de uma
nova fábrica. O que você sugeriria? Em particular, com que relação
capital/trabalho  (K/L)  a   nova   planta   deveria   operar?   Se   custos
médios menores fossem o único critério, você sugeriria que a nova
fábrica tivesse maior ou menor capacidade que a atual? 
Agora, abandonamos a hipótese de que K é fixo.  Devemos encontrar a
combinação de K e L que minimiza os custos para qualquer nível de
produção Q. A regra de minimização de custo é dada por:
w
PMg
r
PMg LK 
Para   calcular   o   produto   marginal   do   capital,   observe   que,   se
aumentarmos  K em 1 unidade,  Q aumentará   em 4L,  de  modo  que
PMgK  =  4L.    Analogamente,   observe  que,   se  aumentarmos  L  em 1
unidade,   Q   aumentará   em   4K,   de   modo   que   PMgL  =   4K.
(Matematicamente,   L
K
QPMgK 4

   e   K
L
QPMgL 4

 .)     Inserindo
essas fórmulas na regra de minimização de custo, obtemos:
4
1
000.12
000.344

r
w
L
K
w
K
r
L
.
A nova planta deveria operar com uma razão capital/trabalho de 1/4.
A razão capital­trabalho da empresa é  atualmente 10/2 ou 5.    Para
reduzir   o   custo  médio,   a   empresa  deveria  utilizar  mais   trabalho   e
menos   capital   para   gerar   a   mesma   produção   ou   contratar   mais
trabalho e aumentar a produção.
*10.     A   função   custo   de   uma   empresa   fabricante   de   computadores,
relacionando   seu   custo   médio   de   produção,   CMe,   com   sua   produção
acumulada,   QA   (em   milhares   de   computadores   produzidos),   e   com   o
tamanho   de   sua   fábrica   em   termos   de   milhares   de   computadores
produzidos anualmente, Q, é dada, para uma produção na faixa entre 10.000
e 50.000 computadores, pela equação 
CMe = 10 ­ 0,1QA + 0,3Q.
a. Existe um efeito de curva de aprendizagem?
A   curva   de   aprendizagem   descreve   a   relação   entre   a   produção
acumulada e  os   insumos  necessários  para produzir  uma unidade  de
produção.  O custo médio mede os requisitos de insumo por unidade de
produção.  Existe um efeito de curva de aprendizagem se o custo médio
cai à medida que aumenta a produção acumulada.  No caso em questão,
86
Capítulo 7: Custo de Produção
o custo médio diminui à medida que aumenta a produção acumulada,
QA.  Logo, existe um efeito de curva de aprendizagem.
b. Existem rendimentos crescentes ou decrescentes de escala?
Para medir os rendimentos de escala, calcule a elasticidade do custo
total, CT, com relação à produção, Q:
CMe
CMg
Q
CT
Q
CT
Q
Q
CT
CT
EC 






Se a elasticidade for maior (menor) que 1, há rendimentos decrescentes
(crescentes) de escala, pois o custo total aumenta mais (menos) rápido
que a produção.  A partir do custo médio, podemos calcular o custo total
e o custo marginal:
CT = Q(CMe) = 10Q ­ (0,1)(QA)(Q) + 0,3Q2,   logo
QQA
dQ
dCTCMg 6,01,010  .
Dado que o custo marginal é maior do que o custo médio (pois 0,6Q >
0,3Q), a elasticidade, EC, é maior que 1; há rendimentos decrescentes de
escala.   O   processo   produtivo   apresenta   um   efeito   de   curva   de
aprendizagem e rendimentos decrescentes de escala.
c. Ao longo de sua existência, a empresa já produziu um total de 40.000
computadores e estará produzindo 10.000 máquinas este ano. No ano
que   vem,   ela   planeja   aumentar   sua   produção   para   12.000
computadores.   Seu   custo   médio   de   produção   aumentará   ou
diminuirá?  Explique.
Primeiro, calcule o custo médio no ano corrente:
CMe1 = 10 ­ 0,1QA + 0,3Q = 10 ­ (0,1)(40) + (0,3)(10) = 9.
Segundo, calcule o custo médio no ano seguinte:
CMe2 = 10 ­ (0,1)(50) + (0,3)(12) = 8,6.
(Observação: A produção acumulada aumentou de 40.000 para 50.000) 
O custo médio diminuirá devido ao efeito da aprendizagem.
11.   A função de custo total a curto prazo de uma empresa expressa pela
equação C=190+53Q,  em que C é  o  custo total  e  Q é  a  quantidade total
produzida, sendo ambos medidos em dezenas de milhares de unidades.
a. Qual é o custo fixo da empresa?
Quando Q = 0, C = 190, de modo que o custo fixo é igual a 190 (ou 
$1.900.000).
87
Capítulo 7: Custo de Produção
b. Caso a empresa produzisse 100.000 unidades de produto, qual seria
seu custo variável médio?
Com 100.000 unidades, Q = 10.  O custo total é 53Q = (53)(10) = 530 por
unidade (ou $5.300.000 por 10.000 unidades). O custo variável médio é
53$
10
530$

Q
CVT
por unidade  ou $530.000 por 10.000 unidades.
c. Qual é o custo marginal por unidade produzida?
Com um custo variável médio constante, o custo marginal é  igual ao
custo   variável   médio,   $53   por   unidade   (ou   $530.000   por   10.000
unidades).
d. Qual  é seu custo fixo médio?
Para  Q  =  10,  o  custo  fixo  médio é   19$
10
190$

Q
CFT
por unidade ou
($190.000 por 10.000 unidades).
e. Suponha que a empresa faça um empréstimo e expanda sua fábrica,
Seu   custo   fixo   sobe   em $50.000,   porém seu   custo  variável   cai   em
$45.000 para cada 10.000 unidades.   A despesade juros (I) também
entra na equação.  Cada aumento de 1% na taxa de  juros  eleva os
custos em $30.000. Escreva a nova equação de custo
O custo fixo muda de 190 para 195.  O custo total diminui de 53 para 45.
O custo fixo também inclui pagamento de juros: 3I.  A equação do custo
é
C = 195 + 45Q + 3I.
*12.  Suponha que a função de custo total a longo prazo para uma empresa
seja   expressa  pela   equação   cúbica:  CT   =   a   +  bQ  +   cQ2  +   dQ3.    Mostre
(utilizando o cálculo integral) que esta função de custo é consistente com a
curva de custo médio com formato em U, pelo menos para alguns valores
dos parâmetros a, b, c, d.
Para mostrar que a equação de custo cúbica implica uma curva de custo
médio  com  formato  de  U,  utilizamos  a  álgebra,  o   cálculo  e  a   teoria
econômica  para   impor   restrições   sobre   os   sinais   dos   parâmetros   da
equação.  Essas técnicas são ilustradas no exemplo abaixo.
Primeiro, se a produção é igual a zero, então, CT = a, onde a representa
os custos fixos.  No curto prazo, os custo fixos são positivos, a > 0, porém,
no   longo  prazo,   onde   todos  os   insumos  são  variáveis,  a =  0.    Logo,
impomos a restrição de que a deve ser zero.
88
Capítulo 7: Custo de Produção
Em seguida, sabendo que o custo médio deve ser positivo, divide­se CT
por Q:
CMe = b + cQ + dQ2.
Essa  equação  é   simplesmente  uma  função  quadrática,  que  pode   ser
representada graficamente em dois formatos básicos:  formato de  U  e
formato de U invertido.  Estamos interessados no formato de U, ou seja,
em uma curva com um ponto de mínimo (custo médio mínimo), em vez
do formato de U invertido, com um ponto de máximo.
À  esquerda do ponto de mínimo, a inclinação deve ser negativa.   No
ponto de mínimo, a inclinação deve ser zero, e à  direita, a inclinação
deve ser positiva.   A primeira derivada da curva de custo médio com
relação a Q deve ser igual a zero no ponto de mínimo.  Para uma curva
de CMe com formato de U, a segunda derivada da curva de custo médio
deve ser positiva.
A primeira derivada é c + 2dQ; a segunda derivada é 2d.  Se a segunda
derivada deve ser positiva, d > 0. Se a primeira derivada deve ser igual
a zero, resolvendo para c em função de Q e d obtemos: c = ­2dQ.  Se d e
Q são positivos, c deve ser negativo: c < 0.
A restrição sobre b baseia­se no fato de, no seu ponto de mínimo, o custo
médio dever ser positivo.  O ponto de mínimo ocorre quando c + 2dQ = 0.
Resolve­se   para  Q  em   função   de  c  e  d:  Q c
d
 
2
0 .     Em   seguida,
substitui­se  Q  por  este   valor  na  nossa   expressão  de   custo  médio,   e
simplifica­se a equação:
2
2
22





 




 
d
cd
d
ccbdQcQbCMe , ou
0
444
2
42
22222

d
cb
d
c
d
cb
d
c
d
cbCMe
o que implica 
d
cb
4
2
 .  Dado que c2 >0 e d > 0, b deve ser positivo.
Em resumo, para curvas de custo médio de longo prazo com formato de U,
a deve ser zero, b e d devem ser positivos, c deve ser negativo, e 4db > c2.
Entretanto, as condições não asseguram que o custo marginal seja positivo.
Para assegurar que o custo marginal possua um formato de U e que seu
ponto de mínimo seja positivo, utilizando o mesmo procedimento, ou seja,
resolvendo  para  Q  no  custo  marginal  mínimo   c d/ ,3   e   substituindo na
expressão do custo marginal b + 2cQ + 3dQ2, encontramos que c2 deve ser
menor que 3bd.   Observe que os valores dos parâmetros que satisfazem
essa   condição   também satisfazem 4db  >   c2;   o   contrário,   porém, não  é
verdadeiro.
89
Capítulo 7: Custo de Produção
Por exemplo, sejam a = 0, b = 1, c = ­1, d = 1.  O custo total é Q ­ Q2 + Q3;
o custo médio é 1 ­ Q + Q2; e o custo marginal é 1 ­ 2Q + 3Q2.  O custo
médio mínimo é Q = 1/2 e o custo marginal mínimo é 1/3 (suponha que
Q seja medido em dúzias de unidades, de modo que não há produção de
unidades fracionadas).  Veja a Figura 7.12.
Custos
0.17 0.33 0.50 0.67 0.83 1.00 Quantidade
em dúzias
1
2
CMg
CMe
Figura 7.12
*13.  Uma empresa de computadores produz hardware e software utilizando
a mesma fábrica e os mesmos trabalhadores. O custo total da produção de
unidades  de  hardware  H  e  de  unidades  de   software  S  é   expresso  pela
equação: 
CT = aH + bS ­ cHS,
na qual a, b, e c são positivos.  Esta função de custo total é consistente com a
presença de  rendimentos  crescentes  ou  decrescentes  de  escala?    E  com
economias ou deseconomias de escopo?
Há  dois   tipos  de economias  de escala a se considerar:  economias  de
escala multiproduto e economias de escala específicas a cada produto.
Aprendemos na Seção 7.5 que as economias de escala multiproduto para
o caso de dois produtos, SH,S, são dadas por
))(())((
),(
,
SH
SH CMgSCMgH
SHCTS


onde  CMgH  é o custo marginal de produção de hardware e  CMgS  é o
custo   marginal   de   produção   de   software.   As   economias   de   escala
específicas a cada produto são:
90
Capítulo 7: Custo de Produção
))((
),0(),(
H
H CMgH
SCTSHCTS     e
))((
)0,(),(
S
S CMgS
HCTSHCTS 
onde, CT(0,S) implica a não produção de hardware e CT(H,0) implica a
não produção de software.  Sabe­se que o custo marginal de um insumo
é a inclinação do custo total com relação àquele insumo.  Sendo
ScHbaHbSHcSaCT )()(  ,
obtém­se CMgH = a ­ cS e CMgS = b ­ cH.
Inserindo tais expressões  nas fórmulas de SH,S, SH, e SS:
    SH ,S 
aH  bS  cHS
H a  cS  S b  cH     ou
                                S aH bS cHS
Ha Sb cHSH S,

 
 

2
1 , porque cHS > 0.  Além disso,
)(
)(
cSaH
bScHSbSaHSH 

 ,  ou
                       1
)(
)(
)(
)(







cSa
cSa
cSaH
cHSaHSH    e similarmente
1
)(
)(




cHbS
aHcHSbSaHSS
Há economias de escala multiproduto,  SH,S > 1, porém rendimentos de
escala específicos a cada produto constantes, SH = SS = 1.
Temos economias de escopo se SC > 0, onde (a partir da equação (7.8) no
texto):
),(
),(),0()0,(
SHCT
SHCTSCTHCTSC

 ,   ou,
),(
)(
SHCT
cHSbSaHbSaHSC

 ,  ou
0
),( SHCT
cHSSC 
Dado que ambos cHS e CT são positivos, ocorrem economias de escopo.
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