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Geometria Analítica
Prof. M.Sc. Fábio Hipólito
Aula 1
Sistemas de Coordenadas e 
Vetores
Geometria Analítica – Prof. Fábio HipólitoAula 1: Sistemas de Coordenadas e Vetores
Introdução
Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas
por um número (e a unidade correspondente).
Exemplos: a) 4 m de comprimento
b) 7 kg de massa
outras, no entanto, requerem mais do que isso. Por exemplo,
para caracterizarmos uma força ou uma velocidade, precisamos
dar a direção, a intensidade (ou módulo) e o sentido:
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Representação gráfica de um vetor
Exemplo:
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Segmento orientado
Um segmento orientado é um par ordenado (A, B) de pontos no
espaço. A é dito origem, B extremidade do segmento orientado.
Os segmentos orientados da forma (A, A) são ditos nulos.
Observe que se A ≠ B, (A, B) é diferente de (B, A).
Exemplo:
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Vetores equipolentes
São vetores de mesmo comprimento, mesma direção, (isto é,
paralelas) e mesmo sentido.
Exemplo:
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Vetor
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto
de todos os segmentos orientados de mesmo comprimento,
mesma direção e mesmo sentido.
Veja: O vetor determinado por AB é
indicado por 𝐴𝐵 ou B – A ou Ԧ𝑣.
O módulo de Ԧ𝑣 se indica por
Ԧ𝑣 𝑜𝑢 | Ԧ𝑣 |.
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Vetor
Quando escrevemos Ԧ𝑣 = 𝐴𝐵, estamos
afirmando que o vetor Ԧ𝑣 é determinado
pelo segmento orientado AB.
Qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma
direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo
vetor Ԧ𝑣.
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Casos particulares de vetores – Vetores paralelos
a) Dois vetores 𝑢 e Ԧ𝑣 são paralelos, e indica-se por 𝑢 // Ԧ𝑣, se os
seus representantes tiverem a mesma direção. Na Figura abaixo,
tem-se 𝑢 // Ԧ𝑣 // 𝑤, onde 𝑢 e Ԧ𝑣 têm o mesmo sentido, enquanto
𝑢 e Ԧ𝑣, têm sentido contrário ao de 𝑤.
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Casos particulares de vetores – Vetores iguais
b) Dois vetores 𝑢 e Ԧ𝑣 são iguais, e indica-se por 𝑢 = Ԧ𝑣, se
tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido.
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Casos particulares de vetores – Vetor nulo
c) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou
vetor nulo), que é indicado por 0 ou 𝐴𝐴 (a origem coincide com
a extremidade).
Pelo fato deste vetor não possuir direção e sentido definidos,
considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor.
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Casos particulares de vetores – Vetores opostos
d) A cada vetor não nulo Ԧ𝑣 corresponde um vetor oposto − Ԧ𝑣, de
mesmo módulo e mesma direção de Ԧ𝑣 , porém, de sentido
contrário. Se Ԧ𝑣 = 𝐴𝐵, o vetor 𝐵𝐴 é o oposto de 𝐴𝐵, ou seja,
𝐵𝐴 = −𝐴𝐵.
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Casos particulares de vetores – Vetor unitário
e) Um vetor 𝑢 é unitário se 𝑢 = 1.
A cada vetor Ԧ𝑣, Ԧ𝑣 ≠ 0, é possível associar dois vetores unitários
paralelos a Ԧ𝑣: O vetor unitário
𝑢
𝑢
de mesmo sentido de Ԧ𝑣 é o
versor de Ԧ𝑣.
Exemplo: se Ԧ𝑣 = 5, o versor de Ԧ𝑣 é
𝑣
5
;
se Ԧ𝑣 = 10, o versor de − Ԧ𝑣 é −
𝑣
10
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Casos particulares de vetores – Vetores ortogonais
f) Dois vetores 𝑢 e Ԧ𝑣 são ortogonais, e indica-se por 𝑢 ⊥ Ԧ𝑣, se algum
representante de 𝑢 formar ângulo reto com algum representante de Ԧ𝑣.
A Figura abaixo apresenta dois representantes de 𝑢 e Ԧ𝑣, com origem no
ponto A, formando ângulo reto.
Considera-se o vetor zero
ortogonal a qualquer vetor.
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Casos particulares de vetores – Vetores coplanares
g) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano no qual
esses vetores estão representados. É importante observar que dois
vetores 𝑢 e Ԧ𝑣 quaisquer são sempre coplanares, pois basta considerar um
ponto P no espaço e, com origem nele, traçar os dois representantes de 𝑢
e Ԧ𝑣 pertencendo ao plano 𝜋 que passa por aquele ponto.
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Casos particulares de vetores – Vetores coplanares
Três vetores podem ser coplanares ou não.
𝑢, Ԧ𝑣 e 𝑤 são coplanares 𝑢, Ԧ𝑣 e 𝑤 não são coplanares
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Operações com vetores – Adição de vetores
Sejam os vetores 𝑢 e Ԧ𝑣 representados pelos segmentos orienta-
dos AB e BC.
Veja:
Os pontos A e C determinam um vetor Ԧ𝑠 que é, por definição, a
soma dos vetores 𝑢 e Ԧ𝑣, isto é, Ԧ𝑠 = 𝑢+ Ԧ𝑣.
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Operações com vetores – Adição de vetores
Sendo 𝑢 // Ԧ𝑣, a maneira de se obter 𝑢 + Ԧ𝑣 é a mesma e está
ilustrada na Figura a seguir.
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Operações com vetores – Diferença de vetores
Chama-se diferença de dois vetores 𝑢 e Ԧ𝑣, e se representa por
Ԧ𝑑 = 𝑢 − Ԧ𝑣, ao vetor 𝑢 + − Ԧ𝑣 .
Veja:
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Operações com vetores – Propriedades
I) Comutativa: 𝑢 + Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣 + 𝑢
II) Associativa: 𝑢 + Ԧ𝑣 + 𝑤 = Ԧ𝑣 + 𝑢 + 𝑤
III) Elemento neutro: 𝑢 + 0 = 𝑢
IV) Elemento oposto: 𝑢 + −𝑢 = 0
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Operações com vetores – Multiplicação por um nº real
Dado um vetor Ԧ𝑣 ≠ 0 e um número real
𝑘 ≠ 0, chama-se produto do número real
𝑘 pelo vetor Ԧ𝑣 o vetor Ԧ𝑝 = 𝑘. Ԧ𝑣, tal que:
a) módulo: Ԧ𝑝 = 𝑘. Ԧ𝑣 = 𝑘 Ԧ𝑣 ;
b) direção: a mesma de Ԧ𝑣;
c) sentido: o mesmo de Ԧ𝑣 se 𝑘 > 0, 
e contrário ao de Ԧ𝑣 se 𝑘 < 0.
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Operações com vetores – Propriedades
Se 𝑢 e Ԧ𝑣 são vetores quaisquer e 𝑎 e 𝑏 números reais, temos:
I) 𝑎 𝑏 Ԧ𝑣 = 𝑎𝑏 Ԧ𝑣 (associativa)
II) 𝑎 + 𝑏 Ԧ𝑣 = 𝑎 Ԧ𝑣 + 𝑏 Ԧ𝑣 (distribuição em rel. à soma de escalares)
III) 𝑎 𝑢 + Ԧ𝑣 = 𝑎𝑢 + 𝑎 Ԧ𝑣 (distribuição em rel. à soma de vetores)
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Decomposição de um vetor no plano
Dados dois vetores Ԧ𝑣1 e Ԧ𝑣2, não colineares, qualquer vetor Ԧ𝑣
(coplanar com Ԧ𝑣1 e Ԧ𝑣2 ) pode ser decomposto segundo as
direções de Ԧ𝑣1 e Ԧ𝑣2.
O problema consiste em determinar dois vetores cujas direções
sejam as de Ԧ𝑣1 e Ԧ𝑣2 e cuja soma seja Ԧ𝑣. Em outras palavras,
iremos determinar dois números reais 𝑎1 e 𝑎2 tais que:
Ԧ𝑣 = 𝑎1 Ԧ𝑣1 + 𝑎2 Ԧ𝑣2
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Decomposição de um vetor no plano – Exemplo
1) Dados os vetores Ԧ𝑣1 e Ԧ𝑣2 não colineares e Ԧ𝑣 (arbitrário), a figura
mostra como é possível formar um paralelogramo em que os lados são
determinados pelos vetores 𝑎1 Ԧ𝑣1 e 𝑎2 Ԧ𝑣2 e, portanto, a soma deles é o
vetor Ԧ𝑣, que corresponde à diagonal desse paralelogramo.
Veja:
2211 vavav


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Decomposição de um vetor no plano
Dizemos que Ԧ𝑣 é combinação linear de Ԧ𝑣1 e Ԧ𝑣2. 
O par de vetores Ԧ𝑣1 e Ԧ𝑣2, não colineares, é 
chamado base no plano. 
Os números 𝑎1 e 𝑎2 são chamados de 
componentes ou coordenadas de Ԧ𝑣 em 
relação à base { Ԧ𝑣1, Ԧ𝑣2}. 
O vetor 𝑎1 Ԧ𝑣1 é chamado de projeção de Ԧ𝑣
sobre Ԧ𝑣1 segundo a direção de Ԧ𝑣2. 
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Decomposição de um vetor no plano
Uma base { Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2} é dita ortonormal se os seus 
vetores forem ortogonais e unitários, isto é,
Ԧ𝑒1 ⊥ Ԧ𝑒2 e Ԧ𝑒1 = Ԧ𝑒2 = 1
Na figura a seguir consideramos uma base 
ortonormal { Ԧ𝑒1, Ԧ𝑒2} no plano xOy e um vetor Ԧ𝑣
com componentes 3 e 2, respectivamente, isto é, 
Ԧ𝑣 = 3 Ԧ𝑒1 + 2Ԧ𝑒2.
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Decomposição de um vetor no plano
Existem naturalmente infinitas bases 
ortonormais no plano xOy, porém uma 
delas é particularmente importante. 
Estes vetores são simbolizados com Ԧ𝑖 e Ԧ𝑗
e a base Ԧ𝑖, Ԧ𝑗 é chamada de canônica.
Ԧ𝑣 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗
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Expressão analítica de um vetor
Fixada a base Ԧ𝑖, Ԧ𝑗 , fica estabelecida uma correspondência biunívoca
entre os vetores do plano e os pares ordenados (𝑥, 𝑦) de números reais.
Nestas condições:
Vetor no plano é um par ordenado (𝑥, 𝑦) de números reais e se
representa por: Ԧ𝑣 = 𝑥, 𝑦 que é a expressão analítica de Ԧ𝑣.
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Expressão analítica de um vetor
A primeira componente 𝑥 é chamada abscissa e a segunda, ordenada. Por
exemplo, em vez de escrever Ԧ𝑣 = 3Ԧ𝑖 − 5Ԧ𝑗, pode-se escrever Ԧ𝑣 = 3,−5 .
Assim também,
Exemplos: −Ԧ𝑖 + Ԧ𝑗 = −1, 1
3Ԧ𝑗 = 0, 3
−10Ԧ𝑖 = −10, 0
e, particularmente, Ԧ𝑖 = 1, 0 , Ԧ𝑗 = 0, 1 e 0 = 0, 0 .
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Igualdade entre vetores
Dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e Ԧ𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 são iguais se, e somente se, 
𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2, e escreve-se 𝑢 = Ԧ𝑣.
Exemplos:
1) Os vetores 𝑢 = 3, 5 e Ԧ𝑣 = 3, 5 são iguais.
2) Se o vetor 𝑢 = 𝑥 + 1, 4 é igual ao vetor Ԧ𝑣 = 5, 2𝑦 − 6 , de acordo 
com a definição de igualdade dos vetores, 𝑥 + 1 = 5 e 2𝑦 – 6 = 4 ou 𝑥 =
4 e 𝑦 = 5. Assim, se 𝑢 = Ԧ𝑣, então 𝑥 = 4 e 𝑦 = 5.
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Operações entre vetores
Sejam os vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e Ԧ𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 e 𝑎 ∈ 𝐼𝑅. Define-se:
a) 𝑢 + Ԧ𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2
b) a𝑢 = 𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1
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Decomposição do vetor no plano
No plano, qualquer conjunto Ԧ𝑣1, Ԧ𝑣2 de dois vetores, não colineares, é
uma base e, portanto, todo vetor Ԧ𝑣 deste plano é combinação linear dos
vetores da base, isto é, sempre existem os números 𝑎1 e 𝑎2 reais tais que:
Ԧ𝑣 = 𝑎1 Ԧ𝑣1 + 𝑎2 Ԧ𝑣2
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Decomposição do vetor no espaço
No espaço, qualquer conjunto Ԧ𝑣1, Ԧ𝑣2, Ԧ𝑣3 de três vetores não coplanares
é uma base e, de forma análoga, demonstra-se que todo vetor Ԧ𝑣 do
espaço é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre existem
números reais 𝑎1, 𝑎2 e 𝑎3 tais que:
Ԧ𝑣 = 𝑎1 Ԧ𝑣1 + 𝑎2 Ԧ𝑣2 + 𝑎3 Ԧ𝑣3
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Decomposição do vetor no espaço
Uma base no espaço é
ortonormal se os três vetores
forem unitários e dois a dois,
ortogonais. Por analogia ao
que fizemos no plano, dentre
as infinitas bases ortonormais
existentes, escolheremos para
nosso estudo a base canônica
representada por Ԧ𝑖, Ԧ𝑗, 𝑘 .
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Decomposição do vetor no espaço
A cada ponto 𝑃 do espaço vai corresponder uma terna (𝑎, 𝑏, 𝑐) de
números reais, chamadas coordenadas de 𝑃 e denominadas abscissa,
ordenada e cota. Se traçarmos os planos 𝑥𝑦, 𝑥𝑧 e 𝑦𝑧 pelo ponto 𝑃, fica
determinado um paralelepípedo retângulo.
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Decomposição do vetor no espaço
Exemplo: para 𝑃(2, 4, 3) temos:
Com base nesta figura, um ponto
A(2, 0, 0)  está no eixo dos x quando y = 0 e z = 0;
C(0, 4, 0)  está no eixo dos y quando x = 0 e z = 0;
E(0, 0, 3)  está no eixo dos z quando x = 0 e y = 0;
B(2, 4, 0)  está no plano xy quando z = 0;
D(0, 4, 3)  está no plano yz quando x = 0;
F(2, 0, 3)  está no plano xz quando y = 0.
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Distância entre dois pontos
A distância 𝑑 entre os pontos 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) é assim definida:
𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 + 𝑧2 − 𝑧1 2
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Projeção de um vetor
Sejam os vetores 𝑢 e Ԧ𝑣, com 𝑢 ≠ 0 e Ԧ𝑣 ≠ 0, e  o ângulo por eles
formado. Pretendemos calcular o vetor 𝑤 que representa a projeção de
𝑢 sobre Ԧ𝑣.
Portanto, o vetor projeção 𝑢 de Ԧ𝑣 sobre 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 = 𝑤 é: 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 =
𝑢. Ԧ𝑣
Ԧ𝑣. Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
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Projeção de um vetor – Exemplo
1) Determine o vetor projeção de 𝑢 = (2, 3, 4) sobre Ԧ𝑣 = (1,−1, 0).
Solução: utilizando a fórmula 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 =
𝑢.𝑣
𝑣.𝑣
Ԧ𝑣
tem-se: 
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 =
2,3,4 . 1,−1,0
1,−1,0 . 1,−1,0
1,−1,0 =
2−3+0
1+1+0
1,−1,0 = −
1
2
,
1
2
, 0