AULA 3-4 VETORES - TRATAMENTO GEOMÉTRICO

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GEOMETRIA ANALÍTICA
PROFESSOR: SANDER BERNARDI
E-MAIL:sanderbernardi@unipampa.edu.br
AULA: 3-4
DATA: 15/03/2019
UNIDADE 1 - VETORES NO PLANO E NO 
ESPAÇO
• Notação e nomenclatura.
• VETORES.
Notação e nomenclatura
Para melhor compreensão da linguagem adotada, os
elementos serão representados conforme listado abaixo:
• Pontos – Letras latinas maiúsculas 𝑨,𝑩, 𝑪, 𝑷, 𝑸 .
• Retas – Letras latinas minúsculas 𝒓, 𝒔, 𝒕 .
• Planos – Letras gregas minúsculas 𝜶,𝜷, 𝝅 .
Também utilizadas para 
representar números reais
P
Q
reta PQ
A B
C
BÂC
VETORES
Nesta seção serão introduzidos os conceitos iniciais 
relacionados à vetores. Sendo feita uma abordagem 
segundo dois tratamentos.
• Geométrico
• Algébrico
Tratamento Geométrico
❑Grandezas escalares
São definidas por completo através de um número 
acompanhado por uma unidade de medida.
Ex.:Comprimento, área, volume, temperatura, densidade etc.
❑Grandezas vetoriais
Necessita de módulo, direção e sentido.
Ex.: Força, velocidade, aceleração etc.
Tratamento Geométrico
▪ Retas paralelas ou colineares possuem mesma direção.
▪ Para uma dada direção (vertical, horizontal etc.) 
podemos associar dois sentidos.
r1
r2
r1 r2
r3
Só existem sentidos iguais ou contrários em uma mesma direção.
A BA AB B
Exemplo:
I. Considerando um avião que se desloca a uma
velocidade de 400km/h para nordeste. Sua direção
forma um ângulo de 40°(sentido horário) em relação
ao sentido norte. Como podemos representar esta
grandeza?
Tratamento Geométrico
Um vetor é representado por um segmento orientado AB. Quando
dois ou mais segmentos orientados apresentarem mesmo
comprimento, mesma direção e mesmo sentido serão chamados de
Segmentos Equipolentes, sendo considerados representantes de um
mesmo vetor, que será indicado por: 𝒗 = 𝑨𝑩 𝒐𝒖 𝑩 − 𝑨
B
A
O módulo de um vetor é representado por:
𝒗 𝒐𝒖 𝒗
𝒗
Tratamento Geométrico
Dados um vetor 𝒗 = 𝑨𝑩 e um ponto P, existe apenas um ponto Q,
que formará um segmento PQ de mesmo comprimento, mesma direção e
mesmo sentido de AB.
A
B
P
Q
Tratamento Geométrico
❑ Casos particulares de vetores
❑ Vetores paralelos: 𝒖 ∥ 𝒗.
❑ Vetores iguais: 𝒖 = 𝒗 𝒐𝒖 𝒖~𝒗.
❑ Vetor nulo: Qualquer ponto no espaço 𝟎 𝒐𝒖 𝑨𝑨 . A origem
coincide com a extremidade e é considerado paralelo a
qualquer vetor.
❑ Vetores opostos: 𝒗 = −𝒗 𝒐𝒖 𝑨𝑩 = −𝑩𝑨.
❑ Vetor unitário: Vetor com módulo igual a 1, ou seja, 𝒗 = 𝟏
❑ Versor: é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido
de 𝒗.
❑ Vetores ortogonais: 𝒖 ⊥ 𝒗.
❑ Vetores coplanares: Existe um plano onde dois ou mais
vetores estão representados. Obs.: dois vetores serão sempre
coplanares.
Tratamento Geométrico
❑ Exemplo: Analise a figura abaixo e verifique se as
afirmações são verdadeiras ou falsas:
Tratamento Geométrico
❑ Operações com vetores
❑ Adição de vetores:
Para encontrar a soma entre dois vetores 𝒖 𝒆 𝒗 devemos
estabelecer um ponto A como origem e traçar um segmento
orientado AB representante de 𝒖. A partir de B será traçado
outro segmento orientado BC representante de 𝒗. O segmento de
origem em A e extremidade em C representa o vetor resultante
da soma de 𝒖 𝒆 𝒗, ou seja:
𝒖 + 𝒗 = 𝑨𝑪
𝒐𝒖
𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 = 𝑨𝑪
Tratamento Geométrico
❑Adição de vetores:
❑ Caso 𝒖 ∥ 𝒗.
❑ Caso 𝒖 𝒆 𝒗 não paralelos.
❑ Soma de três ou mais vetores.
❑ Propriedades da adição de vetores:
I. Comutativa: 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖
II. Associativa: 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 = 𝒖+ 𝒗 + 𝒘
III.Elemento neutro: 𝒖 + 𝟎 = 𝒖
IV. Elemento oposto: 𝒖 + −𝒖 = 𝟎
❑ A diferença entre 𝒖 𝒆 𝒗 é dada pelo vetor 𝒖 + −𝒗 = 𝒖 − 𝒗
Tratamento Geométrico
❑ Exemplo: Determinar os valores abaixo, expressando-
os com a origem em A:
Tratamento Geométrico
❑ Multiplicação de número real por vetor:
Dado um vetor 𝒗 ≠ 𝟎 e um número real 𝜶 ≠ 𝟎,o produto do número real
𝜶 pelo vetor 𝒗 é estabelecido por, 𝛂𝒗, de modo que:
a. Módulo: 𝜶𝒗 = 𝜶 𝒗
b. Direção: 𝜶𝒗 é paralelo a 𝒗
c. Sentido: 𝜶𝒗 e 𝒗 têm o mesmo sentido se 𝜶 > 𝟎, e sentido oposto caso 𝜶 < 𝟎
Obs.:
i. Supondo 𝒖 ∥ 𝒗, 𝒗 ≠ 𝟎, sempre existirá um número real, tal que: 𝒖 = 𝜶𝒗.
ii. O versor de 𝒗 é dado por:
𝒗
𝒗
Tratamento Geométrico
❑ Ângulo de dois vetores
A
B
O
𝜽
𝒖
𝒗
𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅
Ou
𝟎° ≤ 𝜽 ≤ 𝟏𝟖𝟎°
Referências Bibliográficas
❑ WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. Makron Books,
2000.
❑ BOULOS, P. & CAMARGO, I. Geometria analítica: um tratamento
vetorial. Pearson Education, 3ª Ed., 2005.
❑ Vídeos:
❑ Vetores
https://www.youtube.com/watch?v=J8PZvr_y02k
❑ Módulo ou Norma de um Vetor
https://www.youtube.com/watch?v=OIAr4rai-_k&list=PL53AF5032B8C16697&index=3
❑ Versor de um vetor
https://www.youtube.com/watch?v=1uBiM15H5gM&index=4&list=PL53AF5032B8C16697
❑ vetores e operações vetoriais
https://www.youtube.com/watch?v=xxLvzazHpBA&index=7&t=0s&list=WL
https://www.youtube.com/watch?v=J8PZvr_y02k
https://www.youtube.com/watch?v=OIAr4rai-_k&list=PL53AF5032B8C16697&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=1uBiM15H5gM&index=4&list=PL53AF5032B8C16697
https://www.youtube.com/watch?v=xxLvzazHpBA&index=7&t=0s&list=WL