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Disciplina: Geometria Analítica Aluno(a): 
Professor: Fábio Hipólito Belém, ____ de _______________ de 2017 
 
Conteúdo: Sistemas de coordenadas e vetores: Projeções ortogonais. Cálculo da distância entre dois pontos. 
Coordenadas cartesianas no espaço tridimensional. Representação de vetores na forma de pares ordenados. 
 
 
Introdução 
 
Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas por um número (e a unidade 
correspondente). 
 
Exemplos: a) 4 m de comprimento b) 7 kg de massa 
 
outras, no entanto, requerem mais do que isso. Por exemplo, para caracterizarmos uma força ou uma 
velocidade, precisamos dar a direção, a intensidade (ou módulo) e o sentido: 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segmento orientado: é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do 
segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado de origem A e extremidade B será 
representado por AB ou (A, B) e, geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o 
sentido do segmento. 
. 
 
Exemplo: 
 
 
Observações: 
1) Suponha (A, B) e (C, D) não nulos. Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesma direção se AB // CD. Nesse 
caso dizemos que (A, B) e (C, D) são paralelos. 
2) Suponha que (A, B) e (C, D) têm mesma direção 
a) Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido caso os segmentos AC e 
BD tenham interseção vazia. Caso AB  CD ≠ , dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrário. 
 
 
 
3) (A, B) e (C, D) são equipolentes, e indica-se (A, B) ~ (C, D), se 
ambos são nulos ou, se nenhum é nulo, devem ter o mesmo 
comprimento, mesma direção e mesmo sentido. 
 
 
# Vetor 
 
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados de 
mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. 
 
Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
Casos particulares de vetores 
a) Dois vetores �⃗� e 𝑣 são paralelos, e indica-se por �⃗� // 𝑣 , se os seus 
representantes tiverem a mesma direção. Na Figura abaixo, tem-se �⃗� // 𝑣 // �⃗⃗� , 
onde �⃗� e 𝑣 têm o mesmo sentido, enquanto �⃗� e 𝑣 , têm sentido contrário ao de �⃗⃗� . 
 
b) Dois vetores �⃗� e 𝑣 são iguais, e indica-se por �⃗� = 𝑣 , se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido. 
 
c) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por 0⃗ ou 𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ (a 
origem coincide com a extremidade). 
 
Pelo fato deste vetor não possuir direção e sentido definidos, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer 
vetor. 
 
d) A cada vetor não nulo 𝑣 corresponde um vetor oposto −𝑣 , de mesmo módulo e 
mesma direção de 𝑣 , porém, de sentido contrário. Se 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, o vetor 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ é o oposto 
de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, ou seja, 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
e) Um vetor �⃗� é unitário se |�⃗� | = 1. 
A cada vetor 𝑣 , 𝑣 ≠ 0⃗ , é possível associar dois vetores unitários paralelos a 𝑣 : O vetor unitário 
�⃗⃗� 
|�⃗⃗� |
 de mesmo 
sentido de 𝑣 é o versor de 𝑣 . 
Exemplo: se |𝑣 | = 5, o versor de 𝑣 é 
�⃗� 
5
; 
 se |𝑣 | = 10, o versor de −𝑣 é −
�⃗� 
10
 
 
f) Dois vetores �⃗� e 𝑣 são ortogonais, e indica-se por �⃗� ⊥ 𝑣 , se algum representante de �⃗� formar ângulo reto 
com algum representante de 𝑣 . 
 
A Figura ao lado apresenta dois representantes de �⃗� e 𝑣 , com origem 
no ponto A, formando ângulo reto. 
 
 
Considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor. 
 
O vetor determinado por AB é indicado por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ou B – A ou 𝑣 . 
 
O módulo de 𝑣 se indica por |𝑣 | 𝑜𝑢 ||𝑣 ||. 
 
Qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção 
e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor 𝑣 . 
g) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano 
no qual esses vetores estão representados. É importante 
observar que dois vetores �⃗� e 𝑣 quaisquer são sempre 
coplanares, pois basta considerar um ponto P no espaço e, 
com origem nele, traçar os dois representantes de �⃗� e 𝑣 
pertencendo ao plano 𝜋 que passa por aquele ponto. 
 
Três vetores podem ser coplanares ou não. 
 
Decomposição de um vetor no plano 
 
Dados dois vetores 𝑣 1 e 𝑣 2, não colineares, qualquer vetor 𝑣 (coplanar com 𝑣 1 e 𝑣 2) pode ser decomposto 
segundo as direções de 𝑣 1 e 𝑣 2. O problema consiste em determinar dois vetores cujas direções sejam as de 
𝑣 1 e 𝑣 2 e cuja soma seja 𝑣 . Em outras palavras, iremos determinar dois números reais 𝑎1 e 𝑎2 tais que: 
 
𝑣 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 
 
Exemplo: 
1) Dados os vetores 𝑣 1 e 𝑣 2 não colineares e 𝑣 (arbitrário), a figura mostra como é possível formar um 
paralelogramo em que os lados são determinados pelos vetores 𝑎1𝑣 1 e 𝑎2𝑣 2 e, portanto, a soma deles é o 
vetor 𝑣 , que corresponde à diagonal desse paralelogramo. 
 
Veja: 
 
 
 𝑣 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 
 
Dizemos que 𝑣 é combinação linear de 𝑣 1 e 𝑣 2. O par de 
vetores 𝑣 1 e 𝑣 2, não colineares, é chamado base no 
plano. Aliás, qualquer conjunto {𝑣 1, 𝑣 2} de vetores não 
colineares constitui uma base no plano. Os números 𝑎1 e 
𝑎2 são chamados de componentes ou coordenadas de 𝑣 
em relação à base {𝑣 1, 𝑣 2}. O vetor 𝑎1𝑣 1 é chamado de 
projeção de 𝑣 sobre 𝑣 1 segundo a direção de 𝑣 2. Do 
mesmo modo 𝑎2𝑣 2 é a projeção de 𝑣 sobre 𝑣 2 segundo a 
direção de 𝑣 1. 
 
 
Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. 
Uma base {𝑒 1, 𝑒 2} é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto é, 𝑒 1 ⊥ 𝑒 2 e |𝑒 1| =
|𝑒 2| = 1. 
 
Na figura a seguir consideramos uma base ortonormal {𝑒 1, 𝑒 2} no plano xOy e um vetor 𝑣 com componentes 
3 e 2, respectivamente, isto é, 𝑣 = 3𝑒 1 + 2𝑒 2. 
 
 
 
No caso de uma base ortonormal como esta, os vetores 3𝑒 1 e 2𝑒 2 são projeções ortogonais de 𝑣 sobre 𝑒 1 e 
𝑒 2, repectivamente. 
 
Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano xOy, porém uma delas é particularmente 
importante. Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos orientados com origem 
em O e extremidade nos pontos (1, 0) e (0, 1). Estes vetores são simbolizados com 𝑖 e 𝑗 e a base {𝑖 , 𝑗 } é 
chamada de canônica. 
 
 
 
Dado um vetor 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 no qual 𝑥 e 𝑦 são as componentes de 𝑣 em relação à base {𝑖 , 𝑗 }, o vetor 𝑥𝑖 é a 
projeção ortogonal de 𝑣 sobre 𝑖 (ou sobre o eixo dos x) e 𝑦𝑗 é a projeção ortogonal de 𝑣 sobre 𝑗 (ou sobre o 
eixo dos y). como a projeção será ortogonal, diremos somente projeção. 
 
 
Expressão analítica de um vetor 
 
Fixada a base {𝑖 , 𝑗 }, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os vetores do plano e os pares 
ordenados (𝑥, 𝑦) de números reais. Nestas condições: 
 
Vetor no plano é um par ordenado (𝑥, 𝑦) de números reais e se representa por: 𝑣 = (𝑥, 𝑦) que é a expressão 
analítica de 𝑣 . 
 
A primeira componente 𝑥 é chamada abscissa e a segunda, ordenada. Por exemplo, em vez de escrever 𝑣 =
3𝑖 − 5𝑗 , pode-se escrever 𝑣 = (3, −5). Assim também, 
 
Exemplos: −𝑖 + 𝑗 = (−1, 1) 3𝑗 = (0, 3) −10𝑖 = (−10, 0) 
 
e, particularmente, 𝑖 = (1, 0), 𝑗 = (0, 1) e 0⃗ = (0, 0). 
 
Igualdade entre vetores 
 
Dois vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) são iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2, e escreve-se �⃗� =
𝑣 . 
 
Exemplos: 
1) Os vetores �⃗� = (3, 5) e 𝑣 = (3, 5) são iguais. 
2) Se o vetor �⃗� = (𝑥 + 1, 4) é igual ao vetor 𝑣 = (5, 2𝑦 − 6), de acordo com a definição de igualdade dos 
vetores, 𝑥 + 1 = 5 e 2𝑦 – 6 = 4 ou 𝑥 = 4 e 𝑦 = 5. Assim, se �⃗� = 𝑣 , então 𝑥 = 4 e 𝑦 = 5. 
 
Operações entre vetores 
 
Sejam os vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) e 𝑎 ∈ 𝐼𝑅. Define-se: 
a) �⃗� + 𝑣 = (𝑥1+ 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
b) a�⃗� = (𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1) 
 
Decomposição do vetor no plano 
 
No plano, qualquer conjunto {𝑣 1, 𝑣 2} de dois vetores, não colineares, é uma base e, portanto, todo vetor 𝑣 
deste plano é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre existem os números 𝑎1 e 𝑎2 reais tais 
que: 
𝑣 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 
 
Decomposição do vetor no espaço 
 
No espaço, qualquer conjunto {𝑣 1, 𝑣 2, 𝑣 3} de três vetores não coplanares é uma base e, de forma análoga, 
demonstra-se que todo vetor 𝑣 do espaço é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre existem 
números reais 𝑎1, 𝑎2 e 𝑎3 tais que: 
 
𝑣 = 𝑎1𝑣 1 + 𝑎2𝑣 2 + 𝑎3𝑣 3 
 
Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e dois a dois, ortogonais. Por analogia 
ao que fizemos no plano, dentre as infinitas bases ortonormais existentes, escolheremos para nosso estudo 
a base canônica representada por {𝑖 , 𝑗 , �⃗� }. 
 
Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A cada ponto 𝑃 do espaço vai corresponder uma terna (𝑎, 𝑏, 𝑐) de números reais, chamadas coordenadas 
de 𝑃 e denominadas abscissa, ordenada e cota. Se traçarmos os planos 𝑥𝑦, 𝑥𝑧 e 𝑦𝑧 pelo ponto 𝑃, fica 
determinado um paralelepípedo retângulo. 
 
Exemplo: para P(2, 4, 3) temos: 
 
Com base nesta figura, um ponto 
A(2, 0, 0)  está no eixo dos x quando y = 0 e z = 0; 
C(0, 4, 0)  está no eixo dos y quando x = 0 e z = 0; 
E(0, 0, 3)  está no eixo dos z quando x = 0 e y = 0; 
B(2, 4, 0)  está no plano xy quando z = 0; 
D(0, 4, 3)  está no plano yz quando x = 0; 
F(2, 0, 3)  está no plano xz quando y = 0. 
 
Distância entre dois pontos 
 
A distância 𝑑 entre os pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) é assim definida: 
 
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 
 
Projeção de um vetor 
 
Sejam os vetores �⃗� e 𝑣 , com �⃗� ≠ 0⃗ e 𝑣 ≠ 0⃗ , e  o ângulo por eles formado. Pretendemos calcular o vetor �⃗⃗� 
que representa a projeção de �⃗� sobre 𝑣 . 
 
 
 
Portanto, o vetor projeção �⃗� de 𝑣 sobre (𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗� �⃗� = �⃗⃗� ) é: 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗� �⃗� = (
�⃗⃗� .�⃗� 
�⃗� .�⃗� 
)𝑣