Limites e Continuidade de Funções

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LISTA 4: LIMITES 
 
 
1. CARACTERIZAÇÃO GERAL 
 
A noção natural de limites tem a ver com a busca da tendência da variável 
dependente de uma função, quando a variável independente tende a um 
determinado ponto. 
 
Portanto, chama-se limite de uma função quando x tende ao número y, que 
indica a tendência da função. É expresso da seguinte forma: 
 
 lim x = y 
x → b 
 
2. PROPRIEDADES 
 
As propriedades são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em outras palavras, isso significa dizer que: 
 
 o limite de uma função constante é a própria constante. 
 o limite da soma é a soma dos limites, caso esses limites existam. 
 o limite da diferença é a diferença dos limites, caso esses limites existam. 
 o limite do produto é o produto dos limites, caso esses limites existam. 
 o limite de constante vezes uma função é a constante vezes o limite da 
função, caso esse limite exista. 
 o limite do quociente é o quociente dos limites, caso esses limites 
existam e o limite do denominador seja diferente de zero. 
 o limite da raiz de uma função é a raiz do limite da função se o limite 
existe e é maior ou igual a zero. 
 
 
 
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3. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 
 
Dizemos que uma função f(x) é contínua em x = a se, grosso modo, o gráfico 
da função não tem quebras ou pulos no ponto (a, f(a)), isto é, f(x) é contínua 
em x = a se pudermos desenhar o gráfico através do ponto (a, f(a)) sem tirar o 
lápis do papel. 
 
Os eventos econômicos podem ser expressos em funções matemáticas, com 
base no histórico do evento. O cálculo do limite possibilita ao economista 
prever situações e planejar ações que conduzam à melhor alocação de 
recursos para obter um melhor resultado. 
 
 
EXERCÍCIO 1 
A tarifa mensal para água em uma pequena cidade é dada por: 
 
 18 se 0 ≤ x ≤ 20 
Y = f(x) = 
 0,1x + 16 se x > 20 
 
 
a) Desenhe o gráfico colocando no eixo das abscissas a quantidade 
consumida (m³) e no eixo das ordenadas a tarifa mensal (R$). 
 
Qtde
Tarifa 
Mensal
0 18,00R$ 
5 18,00R$ 
10 18,00R$ 
15 18,00R$ 
20 18,00R$ 
20 18,00R$ 
25 18,50R$ 
30 19,00R$ 
35 19,50R$ 
40 20,00R$ 
 R$ 17,50
 R$ 18,00
 R$ 18,50
 R$ 19,00
 R$ 19,50
 R$ 20,00
 R$ 20,50
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Tarifa Mensal
 
 
b) A função é contínua em x = 20? Se não, determine os valores de x para os 
quais essa função é descontínua. Justifique. 
 
lim 18 = 18 
 x → 20 
 
lim (0,1x + 16) = 0,1 * 20 + 16 = 18 
 x → 20 
 
Portanto, como os limites laterais coincidem, pode-se dizer que a função é 
contínua em x = 20 
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EXERCÍCIO 2 
Para um laticínio em um segmento do mercado de laticínios, a quantidade q 
ofertada pelos produtores e o preço p do laticínio estão relacionados de acordo 
com: 
 
q = 200p + 400 
 p + 4 
 
onde a oferta é dada em toneladas e o preço em $ por quilo ($ / kg). Pede-se: 
 
 
a) Analise onde a função é definida. 
 
Para que a função exista é necessário que 
 
p + 4 ≠ 0 p ≠ –4 
 
Assim, a função é definida para qualquer valor de p exceto p = – 4. 
 
 
b) Indique se existe assíntota vertical e onde ocorre? Existe significado para o 
fabricante? Qual? Para você verificar se existe assíntota vertical, calcule o 
limite da função quando p tende ao valor onde a função não é definida. 
 
 lim 200p + 400 
p → –4 p + 4 
 
 lim 200 ∙ (–3,999999) + 400 = – ∞ 
p → –4 –3,999999 + 4 
 
Quando o preço tende a –4, temos uma assíntota vertical, pois q tende a – 
∞. Significa dizer que quanto menor o preço, menos o fabricante está 
disposto a ofertar. 
 
 
c) Indique se existe assíntota horizontal e onde ocorre? Existe significado para 
o fabricante? Qual? Para você verificar se existe assíntota horizontal, 
calcule o limite da função q quando p tende a infinito. Para o cálculo use o 
número 1.000.000 representando o infinito. Coloque 4 casas após a 
vírgula no resultado final. 
 
 
 lim 200p + 400 
p → –4 p + 4 
 
 
 lim 200 ∙ (1.000.000) + 400 = 200.000.400 = 199,9996 
p → +∞ 1.000.000 + 4 1.000.0004 
 
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Se p assumir valores cada vez maiores, q assume valores cada vez mais 
próximos de 200, porém nunca ultrapassa 200. Essa linha é chamada de 
assíntota horizontal. O valor do limite indica, em termos práticos que, por 
maior que seja o preço, a quantidade ofertada não excede o valor de 200 
porque esse valor é o limite de sua capacidade instalada. 
 
 
d) Desenhe o gráfico, colocando o preço no eixo horizontal e a quantidade 
ofertada no eixo vertical. 
 
 
p q
-R$ 100 
5,00R$ 156 
10,00R$ 171 
20,00R$ 183 
40,00R$ 191 
60,00R$ 194 
80,00R$ 195 
100,00R$ 196 
120,00R$ 197 
140,00R$ 197 
160,00R$ 198 
180,00R$ 198 
200,00R$ 198 
220,00R$ 198 
240,00R$ 198 
260,00R$ 198 
280,00R$ 199 
 -
 50
 100
 150
 200
 250
 R$ - R$ 50,00 R$ 100,00 R$ 150,00 R$ 200,00 R$ 250,00 R$ 300,00
Oferta de laticínios
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO 
Existem algumas funções racionais cujos gráficos se aproximam bastante de 
uma reta vertical, que é denominada assíntota vertical. Para determinar 
assíntotas verticais para uma função iguale a zero a função do denominador e 
encontre suas raízes. Analise o comportamento da função quando x se 
aproxima dessa raiz. Se a função tender para o infinito positivo ou negativo 
quando se aproxima dessa raiz, então temos uma assíntota vertical. Observe 
que o gráfico de uma função nunca cruza uma assíntota vertical. A existência 
de assíntotas horizontais depende do comportamento de uma função para 
valores positivos grandes de x e valores negativos grandes de x. Em outras 
palavras, quando x tende para o infinito positivo ou negativo, a função tende 
para um valor especifico. Diferente da assíntota vertical, o gráfico de uma 
função pode cruzar uma assíntota horizontal várias vezes. Analise a função a 
seguir: 
 
y = cos x 
 x 
 
A função possui uma assíntota horizontal em y = 0 e pode-se observar que o 
gráfico da função cruza essa assíntota uma infinidade de vezes. 
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