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LISTA 10: APLICAÇÃO DE DERIVAÇÃO 
 
 
1 CUSTO MARGINAL E RECEITA MARGINAL 
 
O custo marginal é o acréscimo do custo total em decorrência do aumento de 
uma unidade produzida. A função custo marginal é obtida pela derivada da 
função custo total. Se a função custo é simbolizada por C(q), então: 
 
Cmg = C’(q) 
 
A receita marginal nos dá a variação da receita correspondente ao aumento de 
uma unidade na venda de um produto. A função receita marginal é obtida pela 
derivada da função receita. Se a função receita é simbolizada por R(q), então: 
 
Rmg = R’(q) 
 
 
EXERCÍCIO 1 
Em uma empresa de confecção têxtil, o custo ($) para produzir q calças é dado 
por: 
 
C = 0,001q3 – 0,3q2 + 45q + 5.000 
 
 
a) Obtenha a função custo marginal. 
 
C = 0,001q3 – 0,3q2 + 45q + 5.000 
 
Cmg = 0,001 ∙ 3 ∙ q3-1 – 0,3 ∙ 2 ∙ q2-1 + 45 ∙ 1 ∙ q1-1 
 
Cmg = 0,003q2 – 0,6q + 45 
 
 
b) Obtenha o custo marginal ao nível q = 200, explicando seu significado. 
 
Cmg = 0,003q2 – 0,6q + 45 
 
Cmg (q=200) = 0,003 ∙ 2002 – 0,6 ∙ 200 + 45 = 120 – 120 + 45 = 45,00 
 
O valor $45,00 é o valor aproximado para produzir a 201ª calça. 
 
Então, para a fabricação da 201º calça, o custo é de R$45,00. Também 
podemos interpretar tal resultado de outra maneira. No nível de produção 
de 200 unidades, o custo adicional para a produção de mais uma unidade é 
de $45,00. Nesse exercício, o acréscimo de custo para o acréscimo de 1 
unidade produzida é conhecido como custo marginal. 
 
 
 2 
c) Calcule o valor real para produzir a 201ª calça e compare o resultado com o 
obtido no item “b”. 
 
C (q=200) = 0,001q3 – 0,3q2 + 45q + 5.000 
 
C (q=200) = 0,001 ∙ 2003 – 0,3 ∙ 2002 + 45 ∙ 200 + 5.000 = 10.000,00 
 
C (q=201) = 0,001 ∙ 2013 – 0,3 ∙ 2012 + 45 ∙ 201 + 5.000 = 10.045,30 
 
 
C’(200) = lim C(200+h) – C(200) 
 h→0 h 
 
Valor real = C(q=201) – C(q=200) = 10.045,30 – 10.000,00 = $45,30. 
 H 1 
 
O valor real de $45,30 difere do valor encontrado no item “b” em apenas 
$0,30. Esse exercício tem a intenção de mostrar que não é casual a 
proximidade entre os valores, e sim que existe um vínculo entre o custo de 
fabricação e a taxa de variação. 
 
 
d) Esboce o gráfico da receita marginal e da receita total e interprete. 
 
q CT Variação CT CMg
0 5.000,00R$ ///////////// 45,00R$ 
50 6.625,00R$ 1.625,00R$ 22,50R$ 
100 7.500,00R$ 875,00R$ 15,00R$ 
150 8.375,00R$ 875,00R$ 22,50R$ 
200 10.000,00R$ 1.625,00R$ 45,00R$ 
250 13.125,00R$ 3.125,00R$ 82,50R$ 
300 18.500,00R$ 5.375,00R$ 135,00R$ 
350 26.875,00R$ 8.375,00R$ 202,50R$ 
400 39.000,00R$ 12.125,00R$ 285,00R$ 
 R$ -
 R$ 5.000,00
 R$ 10.000,00
 R$ 15.000,00
 R$ 20.000,00
 R$ 25.000,00
 R$ 30.000,00
 R$ 35.000,00
 R$ 40.000,00
 R$ 45.000,00
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
CT
 R$ -
 R$ 50,00
 R$ 100,00
 R$ 150,00
 R$ 200,00
 R$ 250,00
 R$ 300,00
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
CMg
 
 
 
 3 
1ª situação 
Identifique a quantidade onde o Cmg é decrescente e relacione esses 
valores com o comportamento do custo total. 
 
O Cmg é decrescente em 0 < q ≤ 100 indicando que o custo total cresce a 
taxas decrescentes. 
 
 
2ª situação 
Identifique a quantidade onde o Cmg é mínimo e relacione esses valores 
com o comportamento do custo total. 
 
O Cmg é mínimo quando q = 100 e nesse ponto o custo total começa a 
crescer a taxas crescentes. 
 
 
3ª situação 
Identifique a quantidade onde o Cmg é crescente e relacione esses valores 
com o comportamento do custo total. 
 
O Cmg é crescente em q > 100 indicando que o custo total cresce a taxas 
crescentes. 
 
 
2 CUSTO MÉDIO E RECEITA MÉDIA 
 
O custo médio é igual ao custo total dividido pelo número de bens produzidos. 
 
CT = CVT + CFT 
 
onde: 
CT = custo total 
CVT = custo variável total 
CFT = custo fixo total 
 
CMe = CVT + CFT 
 q q 
 
onde: 
CMe = custo médio 
CVT/q = custo variável médio 
CFT/q = custo fixo médio 
 
 
A receita média é igual à receita total dividida pelo número de bens vendidos. 
 
RT = p*q 
 
onde: 
RT = receita total 
 4 
P = preço de venda 
Q = quantidade vendida 
 
RMe = p*q / q = p 
 
onde: 
RMe = receita média 
 
 
EXERCÍCIO 
Em uma fábrica de móveis, o custo ao produzir q unidades de um sofá é: 
 
C(q) = 5q² + 200q + 500 
 
 
a) Obtenha as funções custo médio (Cme) e custo médio marginal (Cmemg). 
 
O custo médio é obtido dividindo-se a função custo por q: 
 
Cme = C(q) = 5q² + 200q + 500 = 5q + 200 + 500/q 
 q q 
 
O custo médio marginal é obtido derivando a função custo médio. 
 
Cme = 5q + 200 + 500/q = 5q + 200 + 500 q-1 
 
Cme’ = 5 ∙ q1-1 + 0 + 500 ∙ (–1) ∙ q-1-1 = 5 – 500 q-2 = 5 – 500/q² 
 
 
b) Obtenha o número de sofás produzidos que dá o custo médio mínimo. 
 
O custo médio mínimo pode ser obtido fazendo a derivada do custo médio 
(custo médio marginal) valer zero e testando o valor encontrado na derivada 
segunda do custo médio. 
 
Cme’ = Cmemg = 5 – 500/q² 
 
5 – 500/q² = 0 
 
5 = 500/q² 
 
q² = 500/5 = 100 
 
q = ±√ 100 = ±10 
 
A quantidade negativa é descartada e devemos testar q = 10 na derivada 
segunda do custo médio. 
 
Cme’ = 5 – 500 q-2 
 
 5 
Cme’’= 0 – 500 ∙ (–2) ∙ q-2-1 = 1.000 q-3 = 1.000 / q3 
 
Supondo q = 10, temos: 
 
Cme’’= 1.000 / q3 = 1.000 / 103 = 1 
 
O ponto q = 10 representa o valor onde o custo médio é mínimo. 
 
 
c) Poderíamos ter encontrado a quantidade que minimiza o custo médio 
lembrando que o custo médio mínimo ocorre em um ponto onde o custo 
marginal é igual ao custo médio. Faça a verificação. 
 
Cmg = Cme 
 
Cme = 5q + 200 + 500 q-1 
 
Cmg = 10q + 200 
 
Cme = Cmg 
 
5q + 200 + 500/q = 10q + 200 
5q + 200 + 500/q – 10q – 200 = – 5q + 500/q 
 
– 5q² + 500 = 0 
 q 
 
– 5q² + 500 = 0 
 
5q² = 500 
 
q = ± √ 100 = ±10 
 
 
d) Calcule o custo médio mínimo. 
 
Cme = 5q + 200 + 500 / q = 5 ∙ 10 + 200 + 500 / 10 = $300,00 
 
 
e) Calcule o limite da função Cme quando q tende para zero. Verifique se 
existe uma assíntota vertical. 
 
 lim (5q + 200 + 500/q) = 5*0,0000001 + 200 + 500/0,0000001 = +∞ 
 q→0 
 
Quando q tende a zero pelo lado positivo, 5q tende a zero e 500/q tende a 
mais infinito. Esses dois resultados fazem com que o Cme tenda para + ∞, 
originando uma assíntota ao eixo vertical. 
 
 
 6 
f) Analise o que significa o encontro do custo médio com o custo marginal. 
 
Ao sobrepormos a reta do custo marginal ao gráfico do custo médio, 
observamos o encontro dos dois gráficos no ponto q = 10, que dá o custo 
médio mínimo de $300,00. 
 
q Cme Cmg
5q + 200 + 500/q 10q + 200
1 705 210 
3 382 230 
7 306 270 
10 300 300 
20 325 400 
30 367 500 
40 413 600 
50 460 700 
Custo Médio
-
100
200
300
400
500
600
700
800
0 10 20 30 40 50 60
quantidade
Cme