MODELAGEM MATEMÁTICA UTILIZANDO EDO (Klayrton Rommel)

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MODELAGEM MATEMÁTICA UTILIZANDO-SE DE EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO). 
Klayrton Rommel Santos Ferreira1 
 
Resumo 
Neste trabalho verifica-se a aplicabilidade das Equações Diferenciais 
Ordinárias (EDO) em dois casos específicos: Drenagem de um Tanque e a Lei 
de Newton do Esfriamento/Aquecimento. Buscou-se a ligação entre a teoria de 
EDO e a seu real uso em áreas da engenharia. Para tanto utilizou-se de pesquisa 
de material existente sobre o assunto e afim de comprovar seus benefícios na 
resolução de problemas cotidianos. 
 
 
Introdução 
A utilização de um modelo matemático para descrever algum tipo de 
sistema é largamente explorada. Desta forma, as equações diferenciais se 
fazem presentes em vários estudos, independentemente de sua área de atuação 
(engenharias, físicas, estatísticas, biologia, medicina, etc.). 
Agindo como ferramentas matemáticas, as equações diferenciais são os 
instrumentos capazes de se calcular a evolução de um sistema, objetivando 
mensurar as variações que caracterizam o problema em questão, prevendo 
assim o seu comportamento. 
 
 
Metodologia 
 O presente trabalho foi balizado através de pesquisa descritiva 
bibliográfica já existentes sobre o assunto. Informações essas coletadas em 
sites, artigos e livros. 
 
 
 
1 Aluno do Curso de Engenharia Civil – FAP (Faculdade Paraíso do Ceará) 
 
Desenvolvimento 
 Ao longo da pesquisa, verificou-se as inúmeras aplicações das equações 
diferenciais, entre elas, as mais relatadas nos livros e materiais pesquisados são: 
 Dinâmica Populacional (para a modelagem de crescimento populacional); 
 Decaimento Radioativo; 
 Drenagem de um Tanque; 
 Lei de Newton do Esfriamento/Aquecimento; 
 Disseminação de uma Doença; 
 Reações Químicas; 
 Misturas de Soluções; 
 Circuitos em Séries. 
 
Nesta ocasião, será focado a aplicação das equações diferenciais em 
duas situações: Drenagem de Tanques e Lei de Newton do 
Esfriamento/Aquecimento, uma vez que se trata de assuntos bem discutidos nos 
cursos de engenharia civil. 
 
Drenagem de Tanques 
De acordo com Zill (2003, p.26) “a lei de Torricelli estabelece que a 
velocidade v do fluxo de água em um buraco com bordas na base de um tanque 
cheio até a uma altura h é igual à velocidade com que um corpo (no caso, uma 
gota d’água) adquiriria em queda livre em uma altura h – isto é, 𝑣 = √2𝑔ℎ, onde 
g é a aceleração devida à gravidade.” 
 
A equação indicada acima, é o resultado da energia cinética (
1
2
𝑚𝑣2) 
igualada a energia potencial (𝑚𝑔ℎ), conforme abaixo: 
1
2
𝑚𝑣2 = 𝑚𝑔ℎ 
𝑚𝑣2 = 2𝑚𝑔ℎ 
𝑣2 =
2𝑚𝑔ℎ
𝑚
 
𝑣2 = 2𝑔ℎ 
𝒗 = √𝟐𝒈𝒉 
Utilizando-se do exemplo dado por Zill (2003, p.27), supondo que um 
tanque cheio com água seja drenado por meio de um buraco sob a influência da 
gravidade, deseja-se calcular a altura h de água remanescente no tanque em um 
instante t, considerando a área do buraco como Ah e a velocidade da saída da 
água do tanque como 𝑣 = √2𝑔ℎ , verifica-se que o volume da saída de água do 
tanque é dado pela equação 𝐴ℎ√2𝑔ℎ, sendo que V(t) denota o volume de água 
no tanque no instante t, conforme abaixo: 
ⅆ𝑉
ⅆ𝑡
= −𝐴ℎ√2𝑔ℎ 
 
 Convém esclarecer que o sinal negativo de Ah é em função do volume de 
água está descendo (sendo atraído pela gravidade) 
 
Considerando que o volume de água em instante t possa ser escrito como 
𝑉(𝑡) = 𝐴𝑤ℎ , sendo 𝐴𝑤 a área da superfície do tanque, e substituindo na equação 
anterior, obtemos: 
 
ⅆ𝒉
ⅆ𝒕
= −
𝑨𝒉
𝑨𝒘
√𝟐𝒈𝒉 
 
 
 
 Desta forma, a equação diferencial acima pode 
ser utilizada para encontrar uma altura do nível de água 
de um tanque em um determinado instante de tempo t. 
 
 
Lei de Newton do Esfriamento/Aquecimento 
O grande estudioso Isaac Newton2 elaborou um dos modelos para análise 
da variação de temperatura em um corpo por perda de calor para o meio externo 
 
2 Isaac Newton foi um cientista inglês, mais reconhecido como físico e matemático, embora tenha sido 
também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. Construiu o primeiro telescópio refletor 
operacional e desenvolveu a teoria das cores baseada na observação que um prisma decompõe a luz 
branca em várias cores do espectro visível. Ele também formulou uma lei empírica de resfriamento e 
estudou a velocidade do som, cálculo infinitesimal, contribuiu para o estudo das séries de potências, 
(meio ambiente). Segundo Figueiredo e Neves (2008), o cientista inglês adotou 
o modelo abaixo, após estudos a uma esférica metálica que sofreu aquecimento: 
ⅆ𝑇
ⅆ𝑡
= 𝑘 (𝑇 − 𝑇𝑚) 
 E verificou-se os seguintes aspectos: 
a) A temperatura T é a mesma em todo o corpo e é dependente apenas do 
tempo t. 
b) A temperatura Tm do meio externo (meio ambiente) passa a ser constante 
com o tempo e é a mesma em todo o ambiente. 
c) O fluxo de calor através das extremidades do corpo indica à variação entre 
as temperaturas do corpo e do meio ambiente 
ⅆ𝑇
ⅆ𝑡
. 
Onde k é uma constante positiva que depende de propriedades físicas do 
corpo. 
Desta forma, resolvendo a EDO separável, teremos: 
ⅆ𝑇
(𝑇 − 𝑇𝑚)
= 𝑘 ⅆ𝑡 
 
∫
ⅆ𝑇
(𝑇 − 𝑇𝑚)
= ∫ 𝑘 ⅆ𝑡 
 
ln(𝑇 − 𝑇𝑚) = 𝑘𝑡 + 𝑐 
 
(𝑇 − 𝑇𝑚) = 𝑒
𝑘𝑡+𝑐 
 
𝑇 = 𝑒𝑘𝑡+𝑐 + 𝑇𝑚 
 
𝑻 = 𝒄 𝒆𝒌𝒕+𝒄 + 𝑻𝒎 
 
Onde 𝑐 é uma constante. 
 
generalizou o teorema binomial para expoentes não inteiros, e desenvolveu o método de Newton para a 
aproximação das raízes de uma função, além de muitas outras contribuições importantes. 
Conclusão 
 Neste trabalho buscou-se entender a aplicabilidade das equações 
diferenciais na engenharia civil, as particularmente na drenagem de um tanque 
em formato cilíndrico e na verificação do esfriamento de um corpo. 
 
Concluiu-se que até mesmo as equações diferenciais mais simples são 
capazes de modelar matematicamente situações reais, e mesmo as situações 
mais complexas podem ser modeladas por equações diferenciais (mais 
complicadas) cujas soluções podem ser obtidas através de métodos numéricos 
e computacionais. 
 
 
Bibliografia 
FIGUEIREDO, D. G.; NEVES, A. F. Equações diferenciais aplicadas. 3. ed. 
IMPA, 2008. 
LEÃO, L. S. Aplicações de Equações Diferenciais Ordinárias à Engenharia 
Civil. 2016. Matemática e Estatística em Foco. Disponível em: < 
http://www.seer.ufu.br/index.php/matematicaeestatisticaemfoco/article/view/304
61>. Acesso em: 25 novembro 2016. 
 
ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. São 
Paulo: Thomson, 2003.