Lista Integrais duplas

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Quinta lista de exercícios – Engenharia Civil – Turma 2000
Integrais Duplas – Parte 1 
Prof. Paulo Laerte Natti – Departamento de Matemática/UEL
Exercício 1 – Calcule as integrais duplas dadas abaixo. Em seguida, identifique a região de integração, inverta a ordem de integração e recalcule a integral resultante.
a) 
 b) 
c) 
 d) � EMBED Equation.3 ��
Exercício 2: Calcule a integral 
 dupla sobre a região R triangular de vértices 
. Solução: 
Exercício 3: Ache o volume do sólido que está no primeiro octante e é delimitado pelos três planos coordenados e pelos cilindros 
 . 
Solução: 
 (unidades de volume)
Exercício 4: Ache o volume do sólido delimitado pelos gráficos das equações 
 (calha ortogonal ao plano-xy, alinhada com eixo-z e simétrica com relação ao plano-yz) , 
 (calha ortogonal ao plano-xz, alinhada com eixo-y e simétrica com relação ao plano-yz) , 
 (plano) e 
 (plano) . 
Solução: � EMBED Equation.3 �� (unidades de volume)
Exercício 5: Calcule a integral dupla 
� EMBED Equation.3 ��. Mostre que a região R de integração não é limitada. Por que a integral dada é finita se a região de integração não é limitada.
Exercício 6: Calcule a área da região R limitada pela parábola 
 e pela reta 
. 
a) Calcule como uma região 
 b) Calcule como uma região 
 Solução: 9/2 (unidades de área)
Exercício 7: Calcule a área da região R limitada pela parábola 
 e pelas retas 
 , 
 e 
 .
a) Calcule como uma região 
 b) Calcule como uma região 
 Solução: 1 (unidade de área)
Exercício 8: Estabeleça uma integral dupla para calcular a área da parte do gráfico da equação dada , situada acima da região R no plano-xy e com a fronteira indicada. Utilize a simetria sempre que possível.
 
 Região R : quadrado de vértice (1,1) , (1,-1) , (-1,1) e (-1,-1).
Exercício 9: Ache a área da superfície S, se S é a parte do parabolóide 
 cortada pelo plano 
 . Resposta: 
Exercício 10: Uma tenda em forma de uma cúpula deve Ter o chão circular com raio de 5m e o teto com a forma do gráfico de 
 . Calcule a quantidade de metros quadrados de lona para construir a tenda. Solução: 247,4 m
.
Exercício 11: Calcule as integrais triplas abaixo.
a) 
 b) 
Exercício 12: Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas e encontre o seu volume.
a) 
 Resposta: 
Exercício 13: Uma lâmina com densidade de massa por área 
 tem a forma de uma região delimitada pelos gráficos de 
 . Ache o centro de massa da lâmina.
Exercício 14: Uma lâmina com densidade de massa por área 
, no ponto P(x,y), sendo diretamente proporcional à distância do ponto P ao eixo-y , tem a forma de uma região delimitada pelos gráficos da parábola 
 e da reta 
. Ache o centro de massa da lâmina. Solução: 
Exercício 15: A densidade 
 de um ponto P de um sólido cúbico de aresta a é diretamente proporcional ao quadrado da distância de P a um vértice fixo do cubo. Ache o centro de massa do cubo. Solução: 
 com o vértice fixo na origem O.
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