Material 1º Semestre Uri , SI - Rosângela

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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA INFORMÁTICA A 2013 
 
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1. Conceito de Função 
Uma função é uma relação entre duas variáveis x e y tal que o conjunto de valores para x é determinado, e a 
cada valor x está associado um e somente um valor para y. 
 A relação é expressa por y = f(x). 
 O conjunto de valores de x é dito domínio da função. 
 As variáveis x e y são ditas, respectivamente, independente e dependente. 
Consideremos um exemplo: 
 O valor que uma dona de casa gasta, por mês, com café em pó, no supermercado, depende de quantos pacotes 
ela compra. Observe a tabela de preços a seguir. 
 
Número de pacotes de 250g (x) Valor em reais (p) 
1 1,18 
2 2,36 
3 3,54 
4 4,72 
 
Note que obtemos o valor pago da seguinte maneira: p = 1,18.x (esta é a lei matemática da função). As letras 
p e x são chamadas de variáveis (pois a medida que x muda p também varia). 
Agora é com você! 
 Se a mesma dona de casa comprar 10 pacotes de café, qual o preço que ela terá de pagar? 
 E se ela gastou R$ 16,52 em café no mercado, quantos pacotes ela comprou? 
 
Domínio, imagem e contradomínio de uma função: 
Considerando o exemplo anterior, note que temos dois conjuntos de números: 
 X P 
 1• • 1,18 
 2• • 2,36 
 3 • • 3,54 
 4 . • 4,72 
 
 
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O primeiro conjunto representa o número de pacotes de café (denominado domínio), e o segundo que 
representa o preço (denominado conjunto imagem). 
 
Generalizando: dados dois conjuntos A e B 
 Quando temos uma função de um conjunto A em um conjunto B, dizemos que A é o domínio desta função; 
 O conjunto imagem da função é formado por todas as imagens dos elementos do domínio; 
 Quando temos uma função de um conjunto A em um conjunto B, dizemos que B é o contradomínio desta 
função; 
 
2. Gráfico a função: 
A relação entre as variáveis x e y tem uma representação, de grande apelo visual, que evidencia propriedades 
da função. Evidencia, por exemplo, se as variáveis estão em relação crescente (isto é, aumento em x corresponde a 
aumento em y) ou se a variação de y é maior ou menor que a variação de x, etc... 
Esta representação é o gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O plano cartesiano é formado pelo eixo x e pelo eixo y. Cada ponto do plano corresponde a um par ordenado (x, y) 
de números reais x e y, chamados coordenadas do ponto. 
 
 A notação (x, y) representa tanto um ponto no plano como um intervalo aberto na reta real. O contexto indicará o 
resultado. 
 
EX1: Marque os pontos (-1, 2); (3, 2); (0, 0); (3, 0); (0, -2 e (-2, -3) no plano cartesiano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
y 
3º quadrante 
2º quadrante 
Eixo x 
Eixo y 
1º quadrante 
4º quadrante 
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Função de 1º grau 
Definição 
 
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por 
uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. 
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo 
constante. 
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: 
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
Gráfico 
 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos 
Ox e Oy. 
 
Exemplo: 
 
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: 
 
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: 
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). 
 
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é . 
 
 
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. 
 
x y 
0 -1 
 
0 
 
 
 
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. 
 
 O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado 
à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. 
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O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o 
coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. 
 
Zero de função 
 
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que 
f(x) = 0. 
Temos: 
f(x) = 0 ax + b = 0 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: 
 
f(x) = 0 2x - 5 = 0 
 
2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: 
g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2 
 
3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas: 
 
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: 
h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5 
 
 
Crescimento e decrescimento 
 
 
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que 
ocorre com y: 
 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 
y -10 -7 -4 -1 2 5 8 
 
 
 
 
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes a valores de y também aumentam. 
Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. 
Observamos novamente seu gráfico: 
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Regra geral: 
 a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); 
 a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0); 
 
Sinal 
 
 Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os 
valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. 
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função 
se anula pra raiz . Há dois casos possíveis: 
 
 1º) a > 0 (a função é crescente) 
 y > 0 ax + b > 0 x > 
 
 y < 0 ax + b < 0 x < 
 
 Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores 
que a raiz 
 
 
 
 
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 2º) a < 0 (a função é decrescente) 
 y > 0 ax + b > 0 x < 
 
 y < 0 ax + b < 0 x > 
 
 
 Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores 
que a raiz. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Construir o gráfico das funções: 
a) y = 2x + 4 b) y = 2x c) y = 2x – 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) y = - 2x + 4 e) y = - 2x f) y = - 2x - 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
Ao estudarmos a função afim vimos que sua lei de formação é baseada em um polinômio do 
primeiro grau na variável x. Analogamente a lei de formação de uma função quadrática é baseada num 
polinômio do segundo grau na variável x. 
Toda função na forma , com ( , e ) 
é denominada função quadrática, ou função polinomial do 2° grau. 
Lembre-se que o polinômio ax
2
 + bx + c é um polinômio do segundo grau na variável x. 
Concavidade da Parábola 
Vamos identificar os coeficientes destas funções. 
Para a função y = -x
2
 + 10x - 14 temos: 
 
Já para a funçãoy = x
2
 + 3x + 1 temos: 
 
Observe que na primeira função o coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda função este mesmo 
coeficiente é positivo. 
 
O gráfico da função é côncavo para baixo quando a < 0: 
 
Por outro lado quando a > 0 o gráfico da função tem a sua concavidade voltada para cima: 
 
Representação Gráfica de uma Função Quadrática 
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Devido ao fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma 
reta, como no caso de uma função afim, para montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer apenas dois 
pares ordenados pertencentes à curva da função, no caso da função quadrática precisamos de mais alguns 
pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico. 
 
Vamos analisar o gráfico ao lado e a tabela abaixo que contém alguns pontos deste gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na tabela temos cada um dos sete pontos destacados no gráfico. 
Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas 
De uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c). 
Na função y = -x
2
 + 10x - 14, vista acima, o coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da parábola do 
gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, -14). 
 
Raiz da Função Quadrática 
Observe no gráfico anterior que a parábola da função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Estes 
pontos são denominados raiz da função ou zero da função. 
x y = -x
2
 + 10x - 14 
2 y = -2
2
 + 10 . 2 - 14 = 2 
3 
 
4 
 
5 
 
6 
 
7 
 
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Uma função quadrática possui de zero a duas raízes reais distintas. 
Sendo a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e 
solucionarmos a equação do segundo grau obtida: 
 
Estes são os valores de x que levam a y = 0, estes valores são portanto as raízes desta função. 
Coordenadas do Vértice da Parábola 
A abscissa do vértice xv é dada pela fórmula: 
 
Já ordenada do vértice yv pode ser obtida calculando-se yv = f(xv), ou ainda através da fórmula: 
 
Vamos tomar como exemplo novamente a função y = -x
2
 + 10x - 14 e calcularmos as coordenadas do seu 
vértice para conferirmos com o ponto indicado na tabela inicial. 
Seus coeficientes são: 
 
Então para a abscissa do vértice xv temos: 
 
A ordenada do vértice yv vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, mas para 
isto antes precisamos calcular o discriminante da equação -x
2
 + 10x - 14 = 0: 
 
Visto que o discriminante é igual a ______, a ordenada do vértice é: 
 
Portanto o vértice da parábola é o ponto (___,___) como apontado inicialmente pela tabela. 
 
 
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RESUMO DOS GRÁFICOS E SINAIS DA FUNÇÃO: 
 
0
 
0
 
0
 
 
 
a > 0 
 
 
 
 
 
 
a < 0 
 
 
 
 
 
 
1: Construir o gráfico das funções: 
a) y = x2 – 2x – 3 
b) y = -x2 + 4x - 4 
c) y = x2 – 2x + 2 
d) y = x2 + 4 
e) y = - x2 – 4x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Localize no plano cartesiano ortogonal os pontos: A(2,6), B(-4,5), C(-5,-2), D(4,-3), E(3,0), 
F(0,4), G(-4,0) e H(0,-1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o quadrante ao qual pertence cada um dos pontos a seguir. 
a) A(
12 
, 4 - ) b) B (
23 
,
25 
) c) C (2 - , 2) d) D (
13 
, 3 - ) 
 
 
 
 
 
 
3. Determine as coordenadas dos pontos indicados na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Determine m e n para que; 
a) (2m -3, n+4) = (6,5) 
 
 
 
 
5. No gráfico a seguir, os pontos A(-1,-1) e B ( 3,-1) são vértices do quadrado ABCD. 
Quais as coordenadas dos vértices C e D? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CALCULE: 
 
1) A função quadrática 
    1x2mx4my 22 
esta definida quando: 
a) 
4m
 d) 
2m
 
b) 
4m
 e) nda 
c) 
2m 
 
2) 2Se 
  1x7xf 
,então 
   
3
9f12f 
é igual a: 
a) -1 d) 7 
b) 3 e) nda 
c) 5 
 
3)A função 
f
 é definida por 
  baxxf 
. Sabendo que 
  31 f
 e 
  11 f
, o valor de 
 3f
 é: 
a)0 b) 2 c) -5 d) -3 e) –1