MATEMATICA-BASES_

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HERINELTO DA FONSECA JOSEFA CASIMIRO 
 
MATEMÁTICA 
ELEMENTAR 
 
 CONJUNTOS, GRÁFICOS DAS FUNÇÕES 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES 
VOL. I 
 
 
 
 
 
BELGOROD-RÚSSIA 
2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 “A única maneira de aprender matemática é estudar matemática.” 
 Paul Halmos 
 
 
 
MATEMÁTICA 
ELEMENTAR 
 CONJUNTOS, GRÁFICOS DAS FUNÇÕES 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES 
VOL. I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em homenagem a: 
Maria Cristina Josefa 
 
2014 
 
УДК (UDC) 511.1 (07) 
ББК (BBC) 22.10Я7 
К 14 (C 14) 
 
Рецензенты: 
Г.Л.Окунева, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Института 
экономики и менеджментаБелгородского государственного технологического университета им. 
В.Г. Шухова; 
 
В.В. Флоринский,кандидат физико-математических наук, доцент 
кафедры «Программного обеспечения и вычислительной техники» Белгородского 
государственного технологического университета им. В.Г. Шухова 
Revisores: 
Galina L. Okuneva, candidata a ciências técnicas, docente do departamento de matemática superior do 
Instituto de economia e gestão da Universidade Estatal Técnica de Belgorod; 
 
Vyacheslav V. Flarenkii, candidato a ciências físicas e matemáticas, docente do departamento de 
Software e equipamento de computação da Universidade Estatal Técnica de Belgorod 
Herinelto da Fonseca Josefa Casimiro 
К 14 Matemática Elementar- Conjuntos, Gráficos das funções, Equações e Inequações / 
Casimiro Herinelto da Fonseca Josefa. Belgorod-Rússia: LitKaravan, 2014. – 215 pág. 
ISBN 978-5-902113-84-3 
Determinado manual «Matemática Elementar - Conjuntos, Gráficos das funções, Equações 
e Inequações» será muito útil para o desenvolvimento académico dos alunos e estudantes, que 
se encontram no curso preparatório. No determinado manual estão analisados as principais 
temáticas da matemática elementar. Está constituído por 8 capítulos, começando com o estudo 
dos conjuntos e terminando com as noções principais de equações e inequações. Recomenda-
se para uso no processo de ensino durante a elaboração de aulas e no trabalho individual dos 
alunos. 
Казимиру Эринелту да Фонсека Жозефа 
Данное пособие «Элементарная Математика- Множества, Графики функций, 
Уравнения и Неравенства» будет полезно для академического развития школьников и 
студентов, учащихся на подготовительном курсе. 
В данном пособии были рассмотрены основные разделы элементарной математики. 
Оно состоит из 8 глав, начиная с изучения множеств и завершая с основными 
понятиями уравнений и неравенств. 
ISBN 978-5-902113-84-3 
 © Herinelto da Fonseca Josefa Casimiro 
 © LitKaravan 
 
 
 
3 
 
 ÍNDICE 
INTRODUÇÃO ......................................................................................... 07 
AGRADECIMENTOS ............................................................................. 08 
I. TEORIA DOS CONJUNTOS 
1.1. Noção de um conjunto ............................................................. 09 
1.2. Tipos de conjuntos ................................................................... 10 
1.3. Subconjunto de um conjunto .................................................. 11 
1.4. Operações com conjuntos ....................................................... 12 
 II. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
2.1. Conceito de conjuntos numéricos ........................................... 17 
 III. NOÇÃO SOBRE OS NÚMEROS 
3.1. Tipos de números .................................................................... 20 
3.2. Critérios da divisibilidade dos números ................................. 22 
3.3. Decomposição dos números em factores simples .................. 23 
3.3.1. Máximo divisor comum (m.d.c) .......................................... 23 
3.3.2. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) ....................................... 24 
 IV. FRACÇÃO 
4.1. Noção de uma fracção ............................................................ 27 
4.2. Tipos de fracções .................................................................... 27 
4.3. Simplifição de fracções .......................................................... 29 
4.4. Comparação de fracções ......................................................... 29 
 
 
 
4 
 
4.5. Operações com fracções comuns ............................................ 31 
 V. POTÊNCIA 
5.1. Noção de potência ................................................................... 34 
5.2. Principais propriedades de potência ........................................ 34 
 VI. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
6.1. Definição de expressões algébricas .......................................... 37 
6.2. Expressões com variáveis ....................................................... 38 
6.2.1. Monómios, Binómios e Polinómios numa variável ............. 40 
6.2.1.1. Monómio ........................................................................... 40 
6.2.1.2. Binómio ............................................................................. 40 
6.2.1.3. Polinómios ......................................................................... 40 
6.2.1.3.1. Domínio de um polinómio ............................................. 41 
6.2.1.3.2. Grau de um polinómio ................................................... 41 
6.2.1.3.3. Polinómios ordenados ................................................... 41 
6.2.1.3.4. Operações com polinómio ............................................. 42 
6.3. Expressões racionais ................................................................ 47 
6.3.1. Definições ............................................................................. 47 
6.3.2. Domínio de expressões racionais fraccionárias ................... 47 
6.4. Simplifição de fracções algébricas .......................................... 48 
6.4.1. Operações com fracções algébricas racionais ..................... 48 
VII. FUNÇÃO 
7.1. Conceito de função ................................................................... 51 
 
 
 
5 
 
7.2. Formas de definição de uma função ........................................ 51 
7.3. Monotonia das funções ........................................................... 53 
7.4. Raiz de uma função ................................................................ 54 
7.5. Intervalo do sinal de uma função ............................................ 55 
7.6. Funções pares e ímpares ......................................................... 56 
7.7. Funções numéricas ................................................................. 58 
7.8. Funções com módulo .............................................................. 85 
7.9. Função potência ....................................................................... 105 
7.10. Função exponencial ............................................................... 109 
7.11. Função inversa ....................................................................... 112 
 VIII. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES 
8.1. Equações .................................................................................. 119 
8.1.1. Equações lineares ................................................................ 119 
8.1.2. Equações equivalentes ......................................................... 121 
8.1.3. Equações quadráticas ........................................................... 123 
8.1.4. Sistema de duas equações com duas variáveis ................... 129 
8.1.4.1. Métodos de resolução dos sistemas de duas equações 
com duas variáveis .......................................................................... 131 
8.2. Inequações ..............................................................................141 
8.2.1. Inequações lineares ............................................................ 142 
8.2.2. Inequações quadráticas ...................................................... 144 
8.2.3. Inequações fraccionárias ...................................................... 159 
 
 
 
6 
 
TESTE E EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................... 190 
I. BLOCO – TESTE .................................................................................. 190 
II. BLOCO – EXERCÍCIOS PROPOSTOS .............................................. 196 
RESPOSTAS DO TESTE .......................................................................... 203 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................... 205 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................... 214 
» outros Volumes da séria .................................................................. 215 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Introdução 
 
Matemática é uma das ciências práticas e usada diariamente pelas 
pessoas, mesmo não sabendo as principais regras e normas. 
Este manual contribuirá precisamente no desenvolvimento académico dos 
alunos, visto que o mesmo contém métodos simples e científicos para resolução 
e percepção de exercícios básicos de matemática. 
Neste manual estão resumidamente escritas as principais sessões do curso de 
matemática elementar para os alunos do ensino secundário (I e II ciclos do 
sistema educacional angolano), concretamente a partir da 7ª classe a 12ª classe e 
para os estudantes estrangeiros nas faculdades de ciclo preparatório, que têm 
como língua oficial o português. 
O Presente trabalho está constituído por 8 capítulos, tendo como primeiro, 
estudo dos conjuntos e por conclusão noções fundamentais de equações e 
inequações. O mesmo apresenta exemplos claros e com métodos de explicação a 
nível de linguagem acessível. 
O presente trabalho também pode ser útil para os estudantes do ensino 
superior, que apresentam insuficiências em resolver exercícios básicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Agradecimentos 
 
 
Em primeiro lugar, gostaria de agradecer ao nosso Senhor todo-poderoso, por 
me dar forças e decisão de escrever este manual, para ajudar aquelas pessoas 
necessitadas. Aos meus pais pela força, não se esquecendo pela plena ajuda dos 
meus orientadoresres científicos russos e angolanos, na correção e análise de 
certos exercícios,a ajuda oferecida pelos meus amigos e colegas quer financeira 
como espiritual. 
Obrigado a todos pelo vosso carinho e amor, porque essa obra não foi só 
escrita por mim, mas sim por todos nós. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
I. TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
1.1. Noção de um conjunto 
 
A noção de um conjunto em matemática é praticamente a mesma que se usa 
na linguagem comum, isto é: agrupamento, classe, colecção, sistema. Todo 
objecto que precisamente se encontra na formação de um conjunto é chamado 
de elemento. 
 
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} assim: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 são elementos do conjunto 𝐴. 
 
 
Um conjunto em geral é representado por uma letra maiúscula do alfabeto 
𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , … e os seus elementos são representados por letras menúsculas, como 
acima o conjunto representado. 
Se na representação de um conjunto usarmos um círculo, estaremos assim 
usando o chamado diagrama de Venn. 
 
Fig.1.1. Representação de um conjunto num diagrama de Venn 
 
Se na representação de um conjunto, o número dos seus elementos for finito e 
suficientemente pequeno enumerando explicitamente todos os seus elementos 
colocados entre chaves e separados por vírgulas, estaremos perante a 
representação extensiva de um conjunto. 
Ex.1: 
 
 
 
10 
 
𝐴 = { 𝐽𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜,𝑀𝑎𝑟ç𝑜,𝑀𝑎𝑖𝑜, 𝐽𝑢𝑛ℎ𝑜, 𝐴𝑔𝑜𝑠𝑡𝑜, 𝑂𝑢𝑡𝑢𝑏𝑟𝑜, 𝐷𝑒𝑧𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 } 
↓ 
 Conjunto dos meses de 31 dias. 
Ex.2: 
𝐵 = { 𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢 } 
↓ 
 Conjunto das vogais. 
Se na representação de um conjunto é enunciada uma propriedade 
característica dos seus elementos, isto é, uma propriedade que os seus e só os 
seus elementos possuam, então, estaremos perante a representação 
compreensiva de um conjunto. 
Ex.3: 
a) 𝐴 = {𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜} 
b) 𝐵 = {𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑜 } 
Assim, podemos definir um conjunto como agrupamento de elementos que 
possuem propreidades comuns. 
 
1.2. Tipos de conjuntos 
 
1- Conjunto finito 
Todo conjunto onde podemos determinar o primeiro e o último elemento. 
 
 A = {𝟏, 2, 3, 4, 5, 𝟔} 
 
 Último elemento 
 Primeiro elemento 
 
 2- Conjunto infinito 
 Todo conjunto onde é sempre impossível determinar o primeiro e o último 
elemento. 
 
 
 
11 
 
 𝐴 = {… − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 … } 
 
3- Conjunto vazio 
Todo conjunto que não tem elementos. 
𝐴 = {∅} 
4- Conjunto idênticos 
Todo conjunto com elementos iguais. 
𝐴 = {1, 2, 3, 4}, 𝐵 = {2, 3, 4, 1} 
5- Conjunto unitário 
Todo aquele conjunto que só possui um elemento. 
Ex.1: conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: 
𝐴 = {1}. 
 
1.3. Subconjunto de um conjunto 
 
Dados conjuntos 𝐴 e 𝐵 , o conjunto 𝐴 é considerado o subconjunto de 
conjunto 𝐵, somente se os elementos do conjunto 𝐴 pertencem também ao 
conjunto 𝐵. 
 
Fig.1.2. Conjunto 𝐵 e o seu subconjunto 𝐴 
 
A notação 𝐴 ⊆ 𝐵, indica-nos, que o conjunto 𝐴 é o subconjunto de 𝐵 ou 𝐴 
está contido em 𝐵. 
O símbolo ⊆ é denominado como sinal de inclusão, pela definição teremos: 
𝐴 ⊆ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
 
 
12 
 
Ex.1: 
𝐴 = {𝒎, 𝒏, 𝒐, 𝒑 }, 𝐵 = {𝒎, 𝑙, 𝒏, 𝒑, 𝑞, 𝒐 } 
↓ 
𝐴 ⊆ 𝐵 
↓ 
{𝒎, 𝒏, 𝒐, 𝒑 } ⊂ {𝒎, 𝑙, 𝒏, 𝒑, 𝑞, 𝒐 } 
 
A notação 𝐴 ⊈ 𝐵 indica-nos que o conjunto 𝐴 não está contido no conjunto 
𝐵. 
Ex.2: 
𝐴 = {𝑑, 𝑒} , 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} 
↓ 
 𝐴 ⊈ 𝐵. 
No caso em que, o conjunto 𝐴 possuir somente um elemento que também 
possui o conjunto 𝐵, de qualquer modo, indica-nos exclusão → 𝐴 ⊈ 𝐵. 
Ex.3: 
𝐴 = {𝑎, 𝒃, 𝒄} , 𝐵 = {𝒃, 𝒄, 𝑑, 𝑒 } 
↓ 
𝑎 ∉ {𝒃, 𝒄, 𝑑, 𝑒 } 
↓ 
𝐴 ⊈ 𝐵. 
Nota: conjunto vazio considera-se subconjunto de qualquer conjunto. 
 
1.4. Operações com conjuntos 
 
1- Intersecção ∩ 
Conjunto de elementos comuns, isto é, agrupamento de elementos que 
possuem ambos conjuntos em que consideram-se comuns. 
Podemos desenhar a intersecção: 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
 
 
13 
 
 
Fig.1.3 - Intersecção dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 
 
Ex.1: 
𝐴 = {𝒎, 𝒏, 𝒐, 𝑒 }, 𝐵 = {𝒎, 𝑙, 𝒏, 𝑝, 𝑞, 𝒐 } 
↓ 
 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝒎, 𝒏, 𝒐} 
 
Ex.2: 
𝐴 = {1,2, 𝟑, 𝟒}, 𝐵 = {𝟑, 𝟒, 5,6,7} 
↓ 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝟑, 𝟒}. 
2- União ∪ 
Conjunto de todos elementos. 
Podemos desenhar a União: 
 
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
Fig.1.4. União dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 
 
 
 
14 
 
Ex.1: 
𝐴 = {𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑒 }, 𝐵 = {𝑚, 𝑙, 𝑛, 𝑝, 𝑞, 𝑜 } 
↓ 
 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑚, 𝑛, 𝑙, 𝑜, 𝑒, 𝑝, 𝑞} 
 
Ex.2: 
𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 = {3,4,5,6,7} 
↓ 
 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6,7}. 
 
3- Diferença \ 
Conjunto de elementos que pertencem somente diminuendo. 
Podemos desenhar a diferença: 
𝐴\𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵} 
 
 Fig.1.5. Diferença dos conjuntos A e B 
 
Ex.1: 
𝐴 = {𝒎, 𝒏, 𝒐, 𝑒 }, 𝐵 = {𝒎, 𝑙, 𝒏, 𝑝, 𝑞, 𝒐 } 
↓ 
 𝐴 \ 𝐵 = {𝑒} 
Ex.2: 
𝐴 = {1,2, 𝟑, 𝟒}, 𝐵 = {𝟑, 𝟒, 5,6,7} 
↓ 
 
 
 
15 
 
𝐴 \ 𝐵 = {1,2}. 
 
4- Diferença simétrica ∆ 
A deferença simétrica dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 chama-se o conjunto 𝐴 𝛥 𝐵 ( 
diferença ), que é considerado como a união dasdiferenças dos conjuntos 𝐴\𝐵 𝑒 
𝐵\𝐴, isto é: 
𝐴 𝛥 𝐵 = (𝐴\𝐵) 𝑈 (𝐵\𝐴) 
Podemos desenhar a Diferença Simétrica: 
 
 Fig.1.6. Diferença Simétrica dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 
 
Ex.1: 
𝐴 = {𝒎, 𝒏, 𝒐, 𝑒 }, 𝐵 = {𝒎, 𝑙, 𝒏, 𝑝, 𝑞, 𝒐 } 
↓ 
 𝐴 \ 𝐵 = {𝑒} , 𝐵\ 𝐴 = {𝑙, 𝑝, 𝑞} 
↓ 
𝐴 𝛥 𝐵 = (𝐴\𝐵) 𝑈 (𝐵\𝐴) 
↓ 
𝐴 𝛥 𝐵 = {𝑒, 𝑙, 𝑝, 𝑞}. 
Ex.2: 
𝐴 = {1,2, 𝟑, 𝟒}, 𝐵 = {𝟑, 𝟒, 5,6,7} 
↓ 
 𝐴 \ 𝐵 = {1,2} , 𝐵 \ 𝐴 = {5,6,7} 
 
 
 
16 
 
↓ 
𝐴 𝛥 𝐵 = (𝐴\𝐵) 𝑈 (𝐵\𝐴) 
↓ 
𝐴 𝛥 𝐵 = {1,2,5,6,7}. 
Nas operações sobre os conjuntos são válidas as seguintes propriedades: 
1) Propriedade comutativa da união; 
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 
 
2) Propriedade comutativa da intersecção, 
 
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 
 
3) Propriedade associativa da união; 
 
(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) 
 
4) Propriedade associativa da intersecção; 
 
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) 
 
5) Propiredade distribuitiva da intersecção em relação à união; 
 
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 
 
6) Propriedade distribuitiva da união em relação à intersecção; 
 
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 
 
7) Propriedades das operações – união e intersecção; 
 
𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴; 
𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴; 
𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴; 
𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴. 
8) Propriedade do conjunto vazio; 
𝐴 ∪ Ø = 𝐴; 𝐴 ∩ Ø = Ø. 
 
 
 
17 
 
II. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
2.1. Conceito de conjuntos numéricos 
 
Considera-se conjunto numérico todo conjunto constituído por números. 
Esses conjuntos, por sua vez, podem ser: 
1- Conjunto dos números naturais (𝑁) 
𝑁 = {1,2,3,4… } 
Primeiro elemento do conjunto dos números naturais é o número 1 e o 
último elemento ou número é impossível determinar. 
Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais: adição e 
multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades: 
a. Associativa da adição 
 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) → para todos a , b, c ∈ 𝑁 
 
b. Comutativa da adição 
 
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 → para todos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 
 
c. Elemento neutro da adição 
 
𝑎 + 0 = 𝑎 → para todo 𝑎 ∈ 𝑁 
 
d. Associativa da multiplicação 
 
(𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎 (𝑏𝑐) → para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁 
 
e. Comutativa da multiplicação 
 
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 → para todos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 
 
f. Elemento neutro da multiplicação 
 
𝑎 ∙ 1 = 𝑎 → para todo 𝑎 ∈ 𝑁 
 
g. Elemento obsorvente da multiplicação 
 
 
 
18 
 
𝑎 ∙ 0 = 0 → para todo 𝑎 ∈ 𝑁 
 
h. Distribuitiva da multiplicação em relação à adição 
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 → para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁 
Veremos que os próximos conjuntos numéricos que serão apresentados são 
ampliados de 𝑁, isto é, contem 𝑁 e apresentam uma adição e multiplicação com 
as propriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem 
justamente o motivo da ampliação. 
Assim, dado um número natural 𝑎 ≠ 0, o simétrico de 𝑎 não existe em 𝑁, 
isto é, a subtração não é uma operação em 𝑁. Venceremos esta dificuldade 
introduzindo um novo conjunto numérico. 
2- Conjunto dos números inteiros (𝑍) 
 
 Esq. 2.1. Tipos de números inteiros 
 
Assim podemos escrever que: 𝑍 = {…− 4,− 3,−2,−1,0,1,2,3,4 … } 
 Logo, conjunto de números inteiros consideram-se todos números positivos 
e negativos. Os números positivos 𝑍+ são chamados de naturais 𝑁. 
No conjunto 𝑍, são definidas as operações de adição e multiplicação, como 
em 𝑁, mas acrescentando a propriedade de simetria ou oposto para adição. 
Para todo 𝑎 ∈ 𝑍 , existe −𝑎 ∈ 𝑍 , tal que : 𝑎 + (−𝑎) = 0 . Divido a esta 
propriedade podemos definir em Z , a operação de subtração, estabelecendo a 
relação: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏), para todos, a, b ∈ 𝑍. 
N ⊆ 𝑍 → Conjunto dos números naturais está incluso no conjunto de 
números inteiros. 
Em 𝑍 , o inverso não existe : 
1
𝑞
∄ 𝑍, por isso não podemos definir em 𝑍 a 
operaração de divisão, porque nem sempre é possivel, dar signifigado na 
 
 
 
19 
 
expressão 
𝑝
𝑞
. Vamos superar essa dificuldade introduzindo um outro conjunto 
numérico. 
3- Conjunto dos números racionais (𝑄) 
Conjunto em que, todos os números podem ser representados por uma 
fracção de dois números inteiros, isto é, a divisão é sempre possível. 
𝑄 = { 
𝑄+ → 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 
 
𝑄− → 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 
 
 
Esq. 2.2. Tipos de números racionais 
𝑍 ⊆ 𝑄 → Conjunto dos números inteiros está incluso no conjunto de 
números racionais. 
4- Conjunto de números irracionais (𝐼) 
Conjunto formado por números reais que não podem ser obtidos pela divisão 
de dois números inteiros, ou seja, são números reais, mas não racionais. 
5- Conjunto de números reais (𝑅) 
Conjunto de todos números . Assim podemos escrever: 
𝑁 ⊆ 𝑍 ⊆ 𝑄 ⊆ 𝑅; 𝐼 ⊆ 𝑅 
ou ainda em forma de diagrama: 
 
Fig.2.1. Representação dos conjuntos númericos num diagrama 
 
 
 
20 
 
III. NOÇÃO SOBRE NÚMEROS 
 
3.1. Tipos de números 
 
1- Números pares 
São todos números divisíveis por dois e que resulta um número inteiro, isto é, 
números que possuem a característica de um número inteiro. 
Ex.1: {2,4,6,8… } 
 2 ∙ 𝑛 onde 𝑛 ∈ 𝑁 → fórmula dos números pares (3.1) 
2- Números ímpares 
Ex.1: {1,3,5,7,9… } 
 2 ∙ 𝑛 − 1 onde 𝑛 ∈ 𝑁 → fórmula dos números ímpares. (3.2) 
3- Algarismos ou dígitos 
São símbolos usados na representação de números Inteiros ou Reais. 
Ex.1: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 . . . } 
4- Números com vários algarismos 
Esses números podem ser: 
Números com vários algarismos 
 
{
 
 
 
 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠: 17; 32; 43; 76… 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑡𝑟ê𝑠 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠: 144; 256; 314… 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠: 1024; 6174. .. 
 
Esq. 3.1. Tipos de números com vários algarismos 
 
5- Números simples 
Números naturais que possuem exactamente dois diferentes divisores 
naturais: 1 e si mesmo. 
Ex.1: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. . . } 
 
 
 
21 
 
6- Números compostos 
Números naturais maiores que 1 e divisíveis por si, por 1 e por outros 
números. 
Ex.1: {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24. . . } 
7- Números opostos 
Os números opostos também são denominados simétricos, isto é, números 
que quando representados na recta numérica possuem a mesma distância da 
origem. 
 
 -2 0 2 𝑅 
 
Observe que a distância entre os números 2 e – 2 até a origem (zero) é 
correspondente a uma unidade. A esse facto damos o nome de valor absoluto ou 
módulo do número. Por exemplo, o módulo dos números 2 e – 2 é representado 
da seguinte forma: 
|2| = 2 ; |−2| = 2 
 
Considerando que a distância entre 0 ↔ 2 e 0 ↔ – 2 são as mesmas e 
que o módulo de – 2 é o mesmo que o de 2, dizemos que esses números são 
opostos ou simétricos. 
8- Números positivos 
Todos os números que se encontram a direita de zero. 
 
 
 0 +∞ 
 
9- Números negativos 
Números que se encontram a esquerda de zero. 
 
 
 - ∞ 0 
 
 
 
 
 
22 
 
3.2. Critérios da divisibilidade dos números 
1- Divisibilidade por: 1 
Por 1 dividem todos números. 
2- Divisibilidade por: 2 
Por 2 dividem todos números pares. 
3- Divisibilidade por: 3 
Por 3 dividem todos os números em que a soma dos algarismos seja divisível 
por 3. 
Ex. 711 → 7 + 1 + 1 = 9 → é divisível por 3, logo 711→ é divisível por 
3. 
4- Divisibilidade por: 4 
Por 4 dividem todos números em que: 
₌₌ Os dois últimos algarismos 00, 
₌₌ Números formados por dois últimos algarismos que são divisíveis por 4. 
Ex. 312 → 12 é divisível por 4, logo 312 é divisível por 4 
5- Divisibilidade por: 5 
Por 5 divide números em que o último algarismo seja 0 ou 5. 
6- Divisibilidade por: 9 
Por 9 dividem todos números em que a soma dos algarismos seja divisível 
por 9. 
Ex. 774 → 7 + 7 + 4 = 18 → é divisível por 9, logo 774 é divisível por 9. 
7- Divisibilidade por: 10 
Por 10 todos números em que o último algarismo seja 0. 
8- Divisibilidade por: 25 
Por 25 dividem todos números em que: 
₌₌ Dois últimos algarismos sejam 00, 
₌₌ Números compostos de dois últimos algarismos que dividem por 25. 
 
 
 
23 
 
Todas provas de critérios da divisibilidade dos números, vocês podem ver no 
livro “ No mundo dos números1 ”. 
3.3. Decomposição dos números em factores simples 
 
O teorema fundamental da aritmétrica, afirma que, todo número natural maior 
que 1 pode ser apresentado por um produto de números simples ( primos ). 
 
Ex.1: 
 12 2 12 = 2 × 2 × 3 × 1 
 6 2 produto dos factores primos ( simples ) 
 3 3 
 1 
 
3.3.1. Máximo divisor comum ( m.d.c ) 
 
O máximo divisor comum, significa que entre dois ou mais números inteiros é 
o maior número inteiro que é o factor ( divisor ) de tais números. 
Para determinarmos o m.d.c, por exemplo dos números 264 e 488, são 
válidos os seguintes passos: 
1- Decompor os números em factores ou em multiplicadores simples; 
 
2- Escrever o produto dos factores obtidos na forma potencial; 
246 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 = 23 ∙ 3 ∙ 11 
 
1 No mundo dos números, livro escrito por Herinelto Casimiro e Tran Quang Vuong. 
 
 
 
24 
 
488 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 61 = 23 ∙ 61 
3- Pegar somente a potência com menor expoente entre os elementos 
comuns; 
4- Escrever o seu produto. 
m.d.c (264 , 488) = 23 = 8 
3.3.2. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 
 
O mínimo múltiplo comum de dois números inteiros ou mais, considera-se o 
menor número inteiro positivo não nulo que é mútiplo dos ambos números. 
Para determinarmos o m.m.c, devemos: 
1- Decompor os números em factores; 
 
2- Escrever o produto dos factores obtidos na forma potencial; 
264 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 = 23 ∙ 3 ∙ 11 
488 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 61 = 23 ∙ 61 
3- Pegar a potência de maior expoente (elementos comuns) e os não comuns 
com os expoentes que tiverem; 
23 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 61 
4- Escrever os seus produtos. 
m.m.c (264, 488) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 61 = 16104 
Existe uma relação entre o m.d.c e m.m.c de dois ou mais números naturais 
𝑎 e 𝑏. A relação em que, o valor do m.d.c multiplicando com o valor do m.m.c é 
igual a multiplicação dos ambos números, isto é: 
 
 
 
25 
 
𝒎.𝒅. 𝒄 (𝑎, 𝑏) × 𝒎.𝒎. 𝒄 (𝑎, 𝑏) = 𝑎 × 𝑏 
↓ 
(𝒎. 𝒅. 𝒄 (264 𝑒 488) → 8) × (𝒎.𝒎. 𝒄 (264 𝑒 488) → 16104) = 264 × 488 
8 × 16104 = 264 × 488 
128832 = 128832. 
Existem ainda outros métodos para determinar o mdc e m.m.c. O m.d.c por 
exemplo, pode ser determinado com ajuda do método Algoritmo de Euclides. 
Método que consiste na determinação do resto zero, por intermédio de uma série 
de divisões. Exemplo: 
Suponhamos que 𝑎 = 264 e 𝑏 = 488, analisando que 𝑏 > 𝑎, então para 
determinar o m.d.c, temos que ter em conta o seguinte: 
a) O 𝑏 será divido por 𝑎, neste caso o importante é o resto: 
≫ Se o resto for zero, na primeira operação, então o 𝑎 é mdc; 
≫ Se o resto não for zero, então o processo continuará conforme as regras: 
 b÷ a ↔ 488 264 
 264 1 
 224 
 resto ≠ 0 
continuaremos: 
 264 224 
 224 1 
 40 
resto ≠ 0 
continuaremos: 
 
 224 40 
 200 5 
 24 
resto ≠ 0 
 
 
 
26 
 
continuaremos: 
 40 24 
 24 1 
 16 
resto ≠ 0 
continuaremos: 
 24 16 
 16 1 
 8 
resto ≠ 0 
continuaremos: 
 16 8 
 16 2 
 0 
Logo o m.d.c ( 264 𝑒 488 ) = 8 
Para determinarmos o m.m.c, com ajuda de um outro método, só temos que 
multiplicar 264 com 488 e dividir com o valor de m.d.c dos mesmos, isto é: 
𝒎.𝒎. 𝒄 =
𝒂×𝒃
𝒎𝒅𝒄(𝒂;𝒃)
 
↓ 
𝑚.𝑚. 𝑐 =
264 × 488
8
= 16104 
Exercícios adicionais ( trabalho individual ): 
Determine o m.d.c e o m.m.c dos seguintes números: 
1) 1268 e 326 
2) 225 e 15 
3) 64 ; 256 e 96 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
IV. FRACÇÃO 
 
4.1. Noção de uma fracção 
 
Fracção considera-se número escrito na forma 
𝑎
𝑏
 ou 𝑎 𝑏⁄ , ou ainda 𝑎 𝑏⁄ , 
onde: 𝑎 → numerador, 𝑏 → denominador. 
4.2. Tipos de fracções 
As fracções de modo geral, podem ser classificadas dea seguinte maneira, 
conforme o esquema (4.1): 
 
Esq. 4.1. Classificação das fracções 
Segundo o esquema (4.1) acima escrito, temos as seguintes difinições sobre 
os tipos de fracções classificadas: 
1- Fracções próprias: fracções em que, o denominador é maior do que o 
numerador, isto é: 
𝑎
𝑏
 → 𝑎 < 𝑏. 
Ex.1: 
3
6
 ; 
1
4
 
2- Fracções impróprias: fracções em que, o numerador é igual ou maior 
igual do que denominador, isto é: 
𝑎
𝑏
 → 𝑎 ≥ 𝑏. 
Ex.1: 
10
7
 ; 
5
2
 
 
 
 
28 
 
3- Fracções decimais finitas: são todas fracções correspondidas por números 
decimais exactos. Números decimais são compostos por uma parte inteira ( 
números antes da vírgula ) e por uma parte decimal ( números após a vírgula ). 
Por exemplo: o número 1,22 corresponde a fracção 122/100. 
122/100 = 1,22 , onde 1 representa a parte inteira e 22 representa a parte 
decimal, assim a fracção apresentada pode ser decomposta da seguinte forma: 
122/100 = (100 + 22)/100 = 100/100 + 22/100 = 1 + 0,22 = 1,22. 
4- Fracções decimais infinitas periódicas: são fracções cujo resultado da 
divisão do numerador com o denominador é uma dízima periódica. Uma dízima 
periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma 
série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se 
repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma 
disposição e chamados de período. 
Se o período aparecer imediatamente após a vírigula, chamam-se infinitas 
periódicas simples. Se aparecer um ou mais algarismos entre a virgula e o 
período, que não entram na composição do período, chamam-se infinitas 
periodicas compostas. 
Ex.1: 2/3=0,666… 
 Infinita periódica simples 
 Periodo → 6 
Ex.2: 5/6= 0,8333 ... 
 
 Infinita periódica composta 
 
 Periodo → 3 
5- Número misto: é número quepossui uma parte inteira (número inteiro) e 
uma fracção própria, isto é, fracção da forma: 𝒅
𝒂
𝒃
 . 
 
 
 
29 
 
Para desfazermos um número misto só temos que multplicar o denominador 
(𝑏) com a parte inteira (𝑑) e somar com o numerador (𝑎) , mantendo-se o 
mesmo denominador. 
Ex. 5
3
4
 =
(4×5)+3
4
=
23
4
 . 
Para transformar uma fracção imprópria em um número misto, temos que: 
1) Dividir o numerador com o denominador , 
2) O resultado (quociente) da divisão é a parte inteira , 
3) O resto da divisão é o novo numerador, 
4) O denominador não mudará. 
Ex. 
22
7
 
 22 7 
 
 21 3 Parte inteira (𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) 
 1 Resto 
Assim teremos: 3
1
7
 . 
 
4.3. Simplificação de fracções 
 
Simplificar uma fracção, significa dividir o numerador e o denominador pelo 
número que seja divisível com os mesmos, até encontramos uma fracção 
inredutível ( fracção que não admite mais simplifições ). 
Ex.1: 
𝑎÷𝑑
𝑏÷𝑑
 → a é divisível por 𝑑, assim como 𝑏 é divisível por 𝑑 . 
Ex.2: Simplifica a fracção 
25
15
 
Resolução: 
1) Localize um número divisível por 25 e 15 
2) Realize facilmente a divisão. 
25÷5
15÷5
 = 
5
3
 
 
4.4. Comparação de fracções 
 
Para comparar fracções, temos que ter em conta as seguintes condições: 
 
 
 
30 
 
a) Se os denominadores forem iguais, a fracção maior será aquela que o 
numerador for maior; 
Ex.1: 
2
5
 e 
6
5
 logo: 
2
5
<
6
5
 
b) Se os numeradores forem iguais, a fracção maior será aquela que o 
denominador for menor; 
Ex.2: 
4
3
 e 
4
7
 logo: 
4
3
>
4
7
 
c) Se os numeradores e denominadores forem diferentes, para tal temos que 
calcular o mínimo múltiplo comum (m.m.c) e teremos a condição 𝑎. 
Ex.3: 
2
3
 e 
1
2
 ; m.m.c de 3 e 2 → 6, teremos as seguintes operações: 
≫ 6 ÷ 3 = 𝟐; 6 ÷ 2 = 𝟑; 
≫ 
2
3
 e 
1
2
 → 
4
6
 e 
3
6 
 ; logo: 
4
 6
>
3
6
 
 (2) (3) 
 
d) Se os numeradores e denominadores forem diferentes, a comparação pode 
ser feita com ajuda de um certo número. 
Ex.4: 
4
3
 e 
6
7
 , vamos comparar com ajuda do número 1. 
 
Pelo que: 
 
4
3
>
3
3
→
4
3
> 1; 
 
6
7
<
6
6
 → 
6
7
< 1 
Então: 
 
4
3
> 1 >
6
7
 , logo 
4
3
>
6
7
 
 
Ex.5: 
5
9
 e 
6
13
 , com ajuda da fracção 
1
2
. 
 
 
Pelo que: 
× 
 
 
 
31 
 
 
5
9
>
5
10 
, sabendo que: 
5
10 
=
1
2 
, então 
5
9 
>
1
2 
 
 
6
13
<
6
12 
, sabendo que: 
6
12 
=
1
2 
, então 
6
13 
<
1
2 
 
Então: 
 
5
9
>
1
2
>
6
13
 , logo 
5
9
>
6
13
 
 
Exercícios adicionais ( trabalho individual ) 
 
Compare as seguintes fracções: 
 
a) 
3
4
 e 
7
4
 ; 
4
7
 e 
3
7
 ; 
1
8
 e 
11
8
 . 
 
b) 
1
4
 e 
1
2
 ; 
4
3
 e 
4
7
 ; 
10
3
 e 
10
11
 . 
 
c) 
3
4
 e 
4
3
 → com ajuda de 1 ; 
3
5
 e 
4
9
 → com ajuda de 
1
2
 ; 
2
7
 e 
3
8
 → com 
ajuda de 
1
3
 . 
4.5. Operações com fracções comuns 
 
As fracções comuns, em geral são desenvolvidas com as seguintes 
operações: 
1) Adição e subtração 
Para subtrair ou somar uma fracção com a outra, temos que, em primeiro 
lugar, verificar se ambas possuem mesmos denominadores, para simplesmente 
realizar a operação. Se os denominadores forem diferentes, temos que determinar 
o m.m.c e por fim efectuar a operação e simplificar caso seja possível. 
Ex.1: calcule: 
8
3 
 − 
5
3 
 ; 
2
3 
 + 
1
2 
 
O primeira exercício, como os denominadores são iguais, teremos: 
8 − 5
3 
=
3
3
 = 1 
 
 
 
32 
 
Na resolução do segundo exercício, será necessário determinar o m.m.c 
( 3 𝑒 2 que é 6 ), teremos: 
2
3 
 + 
1
2 
=
4+3
6
=
7
6
 . 
2) Multiplicação 
 Para multipar duas fracções é necessário por e simplesmente, multiplicar o 
numerador com o numerador e denominador com o denominador e simplificar a 
fracção caso seja possível. 
𝑎
𝑏
× 
𝑐
𝑑
=
𝑎 × 𝑐
𝑏 × 𝑑
 
Ex.2: 
3
4 
 × 
5
2 
 
3
4 
 × 
5
2 
=
3×5
4×2
=
15
8
 
Ex.3: 
3
8
 × 4 
3
8
× 4 =
3 × 4
8
=
12
8
=
12 ÷ 4
8 ÷ 4
=
3
2
= 1
1
2
 
Ex.4: 1 
2
5
 × 3 
1
2
5
× 3 =
7
5
× 3 =
7×3
5
=
21
5
= 4
1
5
 . 
3) Divisão 
Como a divisão é uma operação inversa da multiplicação, implica dizer que: 
para dividir uma fracção na outra, temos que transformar a divisão numa 
multiplicação, mas mediante uma transformação na segunda fracção, isto é: o 
numerador tornar-se-á o denominador e o denominador tornar-se-á numerador (o 
inverso ). 
𝑎
𝑏
÷ 
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
×
𝑑
𝑐
=
𝑎×𝑑
𝑏×𝑐
 . 
Ex.5: 
3
4 
 ÷ 
5
2
 
 
 
 
33 
 
3
4 
 ÷ 
5
2
 = 
3
4
×
2
5
=
6
20
 
simplificando teremos o seguinte: 
6÷2
20÷2
 =
3
10
 . 
Ex.6: 
1
4 
 ÷ 
1
8
 
1
4 
 ÷ 
1
8
 = 
1
4
×
8
1
=
8
4
=
8÷4
4÷4
 =
2
1
= 2. 
Ex.7: 20 ÷ 
8
7
 
20 ÷ 
8
7
 = 20 ×
7
8
=
20×7
8
=
140
8
=
140÷4
8÷4
 =
35
2
= 17
1
2
 . 
Existe uma série de exercícios em que podemos encontrar todas operacções 
apresentadas e para resolver, só temos que aplicar todas técnicas já explicadas. 
Ex.8: (
2
9
+
3
4
) × (
1
3
− 2
6
8
) 
Ex.9: [(4
5
12
− 3
13
24
) ×
4
7
+ (3
1
13
− 2
7
12
) × 1
1
11
] × 2
3
5
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
V. POTÊNCIA 
 
5.1. Noção de potência 
 
Uma potência de expoente natural é o resultado da multiplicação de um dado 
número por si mesmo um certo número de vezes, ou seja, é uma forma de 
representar sucessivas multiplicações de um só factor, repetido um determinado 
número de vezes. Assim, podemos representar uma Potência de um expoente 
natural de seguinte forma: 
 𝐚𝐧 = 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 × 𝒂… onde: 𝑎 → base, 𝑛 → expoente 
 
 𝑛 – vezes 
 elevação do número « 𝒂 » no expoente « 𝒏 » . 
 
5.2. Principais propriedades de potência 
Seja 𝑎 base da potência em que 𝑎 ∈ 𝑅 e o seu expoente 𝑛 ∈ 𝑅, são válidas 
as seguintes propriedades: 
1) Toda potência de base 𝑎 positiva e com expoente 𝑛 par ou ímpar também 
positivos, o resultado depois da operação será um número positivo; 
 22 = 4 ; 23 = 8 
2) Toda potência de base 𝑎 negativa e com expoente 𝑛 par e positivo, o 
resultado depois da operação será um número positivo; 
(−2)2 = 4 
3) Toda potência de base 𝑎 negativa e de expoente n ímpar, teremos um 
número negativo; 
(−2)3 = −8 
4) Toda potência de base 𝑎 positiva ou negativa e com expoente 𝑛 zero, será 
igual a 1; 
 
 
 
35 
 
 a0 = 1 ; (−𝑎)0 = 1 → 300 = 1 ; 1000 0 = 1. 
5) Divisão de duas potências de bases iguais e de expoentes diferentes, 
mantem-se uma só base e subtrair-se os expoentes; 
𝑎𝑛
𝑎𝑚
= 𝑎𝑛−𝑚 → 37/34 = 37−4= 33 = 27. 
6) Multiplicação de duas potências de bases iguais, mantem-se uma só base e 
soma-se os expoentes; 
𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 → 23 × 22= 23+2= 25= 32. 
7) Potência de expoente 𝑛, em caso da existência de um outro expoente m que 
se encontra ao lado do expoente n, mas fora de parenteses da expressão 
exponencial, multiplica-se ambos expoentes; 
(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛×𝑚 → (23)2 = 23×2= 26 = 64. 
8) Toda potência de base 𝑎 e com expoente 𝑛 par ou ímpar negativos, neste 
caso escreve-se o inverso de 𝑎 e o 𝑛 torna-se-á positivo; 
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
 → 3−2 =
1
32
 ; (
𝑎
𝑏
)
−𝑛
= (
𝑏
𝑎
)
𝑛
→ (
2
3
)
−2
= (
3
2
)
2
 
 
9) Multiplicação de duas potências de bases 𝑎 e 𝑏 diferentes e expoentes𝑛 
iguais, multiplica-se as bases mantendo um só expoente; 
𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 → 23 ∙ 53 = (2 ∙ 5)3 = 103. 
Nota: veremos na segunda edição do manual a propriedade √𝑎𝑛
𝑚
 , depois de 
estudarmos os radicais detalhadamente. 
Ex.1: Resolve a expressão: 
1410
26×79
×
136×84
268
 
 Para resolvermos esse tipo de exercício, temos os seguntes passos: 
≫ Igualar as bases, isto é, decompor em factores ( as bases ); 
 
 
 
 
36 
 
210×710
26 ×79
 × 
136×212
138 ×28
 
≫ Aplicar as propriedades. 
210×710
26 ×79
 × 
136×212
138 ×28
 = 2(10−6) ∙ 7(10−9) ∙ 13(6−8) ∙ 2(12−8) = 
= 24 ∙ 71 ∙ 13−2 ∙ 24=2(4+4) ∙ 7 ∙ 13−2 =
28.7
132
 =
1792
169
 = 10
102
169
 
Exercícios adicionais ( trabalho individual ) 
Resolve: 
a) 
37×56
34×58
×
63×29
65×24
 ; b) 
9
3+
1
2
34
 ÷ 
8
7−
1
3
274
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
VI. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
6.1. Definição de expressões algébricas 
 
Chama-se expressões algébricas todas as expressões constituídas por 
números em que não incidem outras operações além de: adições, multiplicações, 
divisões e extracções de raizes ( com um número finito de dados ). 
Ex.1: 4 + (6 ÷ 2) × 3 ; 3(4 × 5) × (4 ÷ 2). 
As expressões algébricas classificam-se em racionais e irracionais, 
esquematicamente teremos: 
 
Esq. 6.1. Classificação de expressões algébricas 
Expressões algébricas racionais são todas aquelas expressões que não 
indicam nenhuma extracção de raiz em que o radicando contenha variável. 
Ex.2: (𝑥 − 2) × 2 ; 𝑥2 + 𝑥 − 2 
Expressões algébricas irracionais são todas as expressões que não são 
racionais. 
Ex.3: √𝑥 
3
 ; 
2𝑥+2
√𝑥2+1
 
Expressões algébricas racionais inteiras são aquelas que não indicam 
nenhuma divisão em que a variável figura no divisor. 
Expressões algébricas racionais fraccionárias são todas expressões que não 
forem inteiras, isto é, indicam uma divisão em que a variável figura no divisor. 
 
 
 
38 
 
Ex.4: 
2
𝑥+4
 ; 
3𝑥−2
𝑥2
 
6.2. Expressões com variáveis 
 
Expressões com variáveis consideram-se todas aquelas expressões 
constituídos por números, operações ( divisão, multiplicação, adição e subtração 
), parênteses, potências e variáveis. 
Ex.1: 
1
𝑥+1
 ; (3𝑥 − 2)/𝑥 
Todas expressões com variáveis possuem domínio de números admissíveis ou 
conjunto de solução ou ainda domínio da expressão ( números que podemos 
escrever no lugar das variáveis ). 
Para determinar o domínio de uma expressão com variável, temos a seguinte 
tabela (6.1) de apoio: 
 
Tabela 6.1 
Tabala de apoio para determinar o domínio de uma expressão com variável 
Nomeclatura Desenho Descrição 
Intervalo numérico 
 
 
 - ∞ + ∞ 
 (−∞ ;+∞) 
Segmento ou interseção 
- Intervalo fechado 
 
 [ ] 
 a b 
 
[𝐚 ; 𝐛] 
Intervalo 
- Intervalo aberto 
 
 ( ) 
 a b 
 
(𝐚 ; 𝐛) 
Intervalo misto 
 
- Semi-aberto à esquerda 
- Semi-aberto à direita 
 
 
 ( ] 
 a b 
 [ ) 
 a b 
 
 
(𝐚 ; 𝐛] 
 [𝐚 ; 𝐛) 
 
 
 
 
39 
 
Continuação da tabela 6.1 
Intervalo que tende ao 
infinito: 
 
- Aberto tendendo ao +∞ 
- Fechado tendendo ao +∞ 
- Aberto tendendo ao −∞ 
- Fechado tendendo ao −∞ 
 
 
 
 
 ( 
 a 
 [ 
 a 
 ) 
 a 
 ] 
 a 
 
 
 
(𝒂 ; +∞) 
 
[𝒂 ; +∞) 
 
(−∞ ; 𝒂) 
 
(−∞ ; 𝒂] 
 
 
Assim, o exercício: 
1
𝑥+1
 , para determinarmos os números que são 
admissíveis para a variável x, temos que diferenciar em primeiro lugar o 
denominador a zero, assim teremos: 
1
𝑥+1
 → 𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −1 
 
Assim, o domínio dos números admissiveis será : 𝐷 = (−∞;− 1) ∪
(−1;+∞) ou 
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ≠ −1}, isto é, a variável 𝑥 admite qualquer número real, 
excepto −1. 
Ex.2: Determine os números admissíveis da expressão: 𝑥2 
Resolução: 𝑥 ∈ 𝑅 
 
 𝑅 
 𝐷 = (−∞;+∞) 
 
Pela representação apresentada acima, resume-se que, a variável 𝑥 admite 
qualquer número real. 
 
 
 
40 
 
OBS: O domínio de uma expressão racional fraccionária é o conjunto de 
números reais que não anulam nenhum dos denomoinadores. 
A tabela acima apresentada, nos será útel mais a diante, quando trataremos de 
inequações e inequações quadráticas. 
 
6.2.1. Mоnómios, Binómios e Polinómios numa variável 
 
6.2.1.1. Monómio 
 
Definição: 
Chama-se monómio, uma constante ou uma expressão racional, pelo qual 
estão indicadas por multiplicação. 
Ex.1: 
20
7
𝑥2 ; 4 ; 7𝑥 
O grau de um monómio, considera-se o expoente da variável. 
Ex.2: 
20
7
𝑥2 → monómio de grau 2 
OBS: Quando o monómio for uma constante ( número ), o grau desse 
monómio será igual a zero. 
Ex.3: 4 → monómio de grau 0, pelo que: 4 = 4𝑥0. 
6.2.1.2. Binómio 
 
Definição: 
Chama-se binómio, duas expressões inteiras não semelhantes em que estão 
indicadas por adição ou subtração. 
Ex.1: 4𝑥 + 8𝑥𝑦 ; 𝑥 − 4𝑦𝑧. 
 
6.2.1.3. Polinómios 
 
Como é do nosso conhecimento que, entre as expressões racionais inteiras 
contam-se os polinómios, isso permite-nos apresentar a seguinte definição de 
polinómios. 
Definição: 
 
 
 
41 
 
No universo 𝑅 , considera-se polinómio na variável real 𝑥, toda expressão do 
tipo: 
𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + 𝑎2𝑥
𝑛−2 +⋯ 𝑎𝑛−1 𝑥 + 𝑎𝑛 
Onde: 𝑎0 ; 𝑎1 ; 𝑎2…𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 → são considerados números Reais e 𝑛 → 
designação dos elementos em 𝑁0 ( conjunto de números naturais incluindo o 
zero ), assim: 
𝑎0𝑥
𝑛 ; 𝑎1𝑥
𝑛−1 … 𝑎𝑛 ( monómios ), são chamados de termos do polinómios 
e os números 𝑎0 ; 𝑎1 ; 𝑎2 … 𝑎𝑛 , são chamados de coificientes. 
Ao termo 𝑎𝑛 , dá-se o nome de termo independente . 
Ex.1: 4𝑥5 + 2𝑥4 + 6𝑥3 − 
3
2
𝑥2 + 4 ; Polinómio que possui 5 termos, entre 
os quais: 4 ; 2 ; 6 ;− 
3
2
 → são os coeficientes e 4 → termo independente. 
6.2.1.3.1. Domínio de um polinómio 
 
Visto que as operações de adição, subtração e divisão são possíveis em 𝑅 e 
todas estas operações são precisamente indicadas nos polinómios. Conclui-se 
que o domínio de um polinómio é em 𝑅. 
 
6.2.1.3.2. Grau de um polinómio 
 
No caso em que o polinómio não se reduz, o grau do polinómio considera-se 
maior dos graus dos seus termos ( monómios ) não nulos. 
Ex.1: 8𝑥4 + 2𝑥 + 3 → polinómio de grau 4. 
 
6.2.1.3.3. Polinómios ordenados 
 
Dado polinómio: 𝑥2 + 2 + 4𝑥3 + 𝑥 ; temos como termos: 𝑥2 → cujo grau 2; 
2 → cujo grau 0 ; 4𝑥3 → cujo grau 3 ; 𝑥 → cujo grau 1. 
Podemos deste modo organizar ou ordenar segundo as potências crescentes 
de 𝑥, assim teremos: 
 
 
 
42 
 
4𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 2 
 
Logo, diz-se que o polinómio está ordenado segundo as potências crescentes 
de variável 𝑥. 
O polinómio acima representado tem como grau 3. E como todos os termos 
de grau inferior ao terceiro nãosão nulos, o polinómio diz-se completo. 
 
6.2.1.3.4. Operações com polinómio 
1) Adição 
Ex.1: Consideremos dados polinómios: 
𝑥4 + 2𝑥 + 3 
𝑥2 + 4 − 𝑥 
Considerando que o primeiro polinómio seja igual 𝑓(𝑥) e o segundo 
polinómio 𝑔(𝑥), teremos: 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥 + 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 4 − 𝑥 
Para calcular a soma 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), temos que em primeiro lugar ordenar os 
termos dos polinómios, por formas que fiquem em coluna de termos semelhantes 
ordenados. Assim, teremos: 
 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥 + 3 
 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 4 
 
𝑓(𝑥)
+ 
𝑔(𝑥)
} = 𝑥4 + 𝑥2 + 𝑥 + 7 
Na adição dos polinómios são válidas as seguintes propriedades: 
a) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⇒ propriedade comutativa; 
b) (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) + ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)) ⇒ propriedade 
associativa; 
c) 𝑓(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥) ⇒ propriedade do elemento neutro da adição. 
2) Subtração 
 
 
 
43 
 
Considera-se diferença de dois polinómios 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), que representa-se 
por 𝑓(𝑥) – 𝑔(𝑥), o polinómio que se obtém somando o polinómio 𝑓(𝑥) com 
o simétrico de 𝑔(𝑥), isto é: 
𝑓(𝑥) – 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (−𝑔(𝑥)) 
Ex.2: 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 𝑥 + 2 e g(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 
Pelo que: −𝑔(𝑥) = −3𝑥2 − 4𝑥 
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 4𝑥2 − 𝑥 + 2 + (−3𝑥2 − 4𝑥) = 4𝑥2 − x + 2 − 3𝑥2 − 4𝑥
= 𝑥2 − 5x + 2 
3) Multiplicação 
Para multiplicar dois polinómios é necessário: 
a) Multiplicar cada monómio do primeiro polinómio com cada monómio do 
segundo polinómio; 
b) Agrupar os termos semelhantes e simplificar os termos simétricos. 
 
Ex.3: (𝑥 − 2) × (𝑥 − 3) = 𝒙𝟐 − 3𝑥 − 2𝑥 + 𝟔 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
 
 
4) Divisão 
Dividir um polinómio 𝑓(𝑥) por um outro 𝑔(𝑥) , significa encontrar os 
polinómios 𝑚(𝑥) → quociente e 𝑟(𝑥) → o resto, que satisfazem as seguintes 
exigências ( condições ): 
a) 𝑔(𝑥) × 𝑚(𝑥) + 𝑟(𝑥) = 𝑓(𝑥); 
b) O expoente do polinómio 𝑟(𝑥) é menor que o expoente do polinómio 
𝑔(𝑥). 
Ex.4: Divide os seguintes polinómios: 
(16𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 2) ÷ (4𝑥2 − 𝑥 + 2); 
Orientações metodológica: 
 
 
 
44 
 
≫ Dividir o monómio 16𝑥2 por primeiro monómio do divisor; 
16𝑥3
4𝑥2
= 4𝑥 
≫ Multiplicar a expressão obtida com o divisor; 
4𝑥 × (4𝑥2 − 𝑥 + 2) = 16𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥 
≫ Meter o resultado da multiplicação por baixo do dividendo em 
correspondência com os expoentes; 
≫ O sinal menos (−) multiplicará com o polinónomio 16𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥; 
−(16𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥)= −16𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥 
≫ Realize facilmente as operações de adição e subtração e assim 
sucessivamente até encontrarmos uma expressão 𝑟(𝑥) de expoente menor que 
𝑔(𝑥). 
≫ Verificar o resultado, isto e multiplicando o valor do quociente com o 
valor do divisor e somar com o resto e tem que ser igual ao valor do dividendo. 
A divisão pode ser feito da seguinte forma: 
 
 16𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 2 4𝑥2 − 𝑥 + 2 
 -(16𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥) 4𝑥 + 3 
 12𝑥2 − 13𝑥 + 2 
 -(12𝑥2 − 3𝑥 + 6) 
 −10𝑥 − 4 
 
 
Verificando o resultado: 
((4𝑥2 − 𝑥 + 2) ∗ (4𝑥 + 3)) + (−10𝑥 − 4) = 16𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 2 
Existe uma outra maneira para verificar o resultado obtido na divisão de dois 
polinómios, só temos que meter qualquer número no lugar da variável 𝑥, o valor 
do membro esquerdo e direito devem ser iguais. 
 
 
 
45 
 
Na prática pegaremos: 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 1 
Quando 𝑥 = 0, obteremos: 
Membro esquerdo 
↓ 
((4𝑥2 − 𝑥 + 2) ∗ (4𝑥 + 3)) + (−10𝑥 − 4) 
↓ 
((4. 02 − 0 + 2) ∗ (4.0 + 3)) + (−10.0 − 4) 
↓ 
 2 ∗ 3 − 4 = 2 
Membro direito 
↓ 
16𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 2 → 16. 03 + 8. 02 − 5.0 + 2 = 2 
 
Quando 𝑥 = 1, obteremos: 
Membro esquerdo 
↓ 
((4𝑥2 − 𝑥 + 2) ∙ (4𝑥 + 3)) + (−10𝑥 − 4) 
↓ 
((4. 12 − 1 + 2) ∙ (4.1 + 3)) + (−10.1 − 4) 
↓ 
5 ∙ 7 − 14 = 35 − 14 = 21. 
Membro direito 
↓ 
16𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 2 → 16. 13 + 8. 12 − 5.1 + 2 = 16 + 8 − 5 + 2 = 21. 
Analisando que o valor do membro direito igual a membro esquerdo, 
podemos concluir que a divisão foi bem realizada. 
4) Factorização de um polinómio 
 
 
 
46 
 
Sabendo que um polinómio é uma soma de monómios não semelhantes, mas 
num dado polinómio pode-se encontrar o chamado factor comum. 
Chama-se factor comum dum polinómio ao número divisível por todos os 
números que constituem o polinómio e que no qual podem ou não possuir a 
mesma parte literal (variável). 
Ex.1: 6𝑎𝑥 − 3𝑎2𝑥2 + 9𝑎3𝑥 = 𝟑𝒂𝒙 (2 − 𝑎𝑥 + 3𝑎2) 
 
 Factor comum 
5) Fórmulas de simplificação da multiplicação de expressões 
a) Diferença de quadrados 
𝑥2 − 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) 
b) Quadrado perfeito da soma 
O quadrado perfeito da soma é quadrado do primeiro termo, mais o dobro do 
produto do primeiro pelo segundo, mais quadrado do segundo termo. 
(𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 
c) Soma de cubos 
(𝑥3 + 𝑎3) = (𝑥 + 𝑎)(𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑎2) 
d) Cubo perfeito da soma 
(𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3 
e) Cubo perfeito da diferença 
(𝑥 − 𝑎)3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 − 𝑎3 
f) Diferença de cubos 
(𝑥3 − 𝑎3) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2) 
g) Quadrado de 3 membros 
(𝑥 + 𝑦 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦 
h) Quadrado perfeito da diferença 
 
 
 
47 
 
(𝑥 − 𝑎)2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 
 
Exercícios de aplicação: 
1) (𝑥 + 3)2 − 16 = (𝑥 + 3)2 − 42 = (𝑥 + 3 − 4)(𝑥 + 3 + 4) = 
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 7) 
 
 Diferença de quadrado 
2) 4𝑥3 − 4𝑦3 = 4(𝑥3 − 𝑦3) = 4(𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) 
 
 Diferença de cubos 
3) 6𝑥2 + 24𝑥𝑦 + 24𝑦2 = 6(𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦2) = 6(𝑥 + 2𝑦)2 
 
 Quadrado perfeito da soma 
 
6.3. Expressões racionais 
 
6.3.1. Definições 
 
Chama-se fracção algébrica toda 𝑎 expressão da forma 
𝑎
𝑏
 , em que 𝑎 e 𝑏 são 
considerados termos da fracção, no qual 𝑎 → numerador e 𝑏 → denominador. 
Ex.1: 
𝑥+2
(𝑥+1)2
 ; 
𝑥+4
(𝑥+3)(𝑥+1)
 ; 
2
𝑥+1
 
Toda fracção, em que o numerador e o denominador são polinómios, como 
nos exemplos acima, toma o nome de fracção racional (denominador não nulo). 
 
6.3.2. Domínio de expressões racionais fraccionárias 
 
No domínio em 𝑅, a divisão só é possível se o divisor for diferente de zero. 
Assim, o domínio de uma expressão racional fraccionária é um conjunto de 
números que não anulam nenhum dos denominadores. E com ajuda da tabela 
(5.1), apresentada nas expressões com variáveis, permite-nos determinar o 
domínio de uma determinada expressão racional fraccionária dada. 
 
 
 
48 
 
Ex.2: Determine o domínio da fracção raccional: 
1
𝑥 + 3
+ 
2
𝑥 + 1
 
Para determinarmos o domínio dessa fracção, temos que: 
≫ Diferenciar os numeradores a zero, caso tiverem variáveis; 
𝑥 + 3 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −3 ; 𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −1 ; assim o domínio será: 
 Domínio = { 𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ≠ −3 ; 𝑥 ≠ −1} ou D = (−∞ , −3) ∪ (−3,−1) ∪
 (−1 ,+ ∞). 
6.4. Simplifição de fracções algébricas 
 
Dada expressão fraccionária algébrica, 
𝑥+2
𝑥2+3𝑥+2
 , para simplificar é 
necessário: 
 
1) Decompor em factores o numerador e o denominador, caso seja possível; 
𝑥+2
(𝑥+2)(𝑥+1)
 
2) Simplificar os termos semelhantes. 
𝑥+2
(𝑥+2)(𝑥+1)
=
1
𝑥+1
 
Exercícios adicionais ( trabalho individual ) 
 
Simplifique as expressões: 
 
a) 
𝑥+1
𝑥2+𝑥
 ; 
b) 
𝑥3+𝑥2+𝑥
𝑥
 
6.4.1. Operações com fracções algébricas racionais1) Adição e subtração 
Para efectuar uma adição ou uma subtração de duas fracções racionais, é 
necessário: 
 
 
 
49 
 
a) Diferenciar os denominadores a zero, caso tenham variáveis; 
b) Determinar o denominador comum; 
c) Reduzir o numerador,isso é, agrupando os termos semelhantes e 
efectuando a subtração ou adição; 
d) Decompor a fracção e simplificá-la, caso for possível. 
Ex.1: 
𝑥
𝑥+2
+
4
𝑥2+3𝑥+2
; 
𝑥 + 2 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −2 
𝑥2 + 3𝑥 + 2 ≠ 0⇔(𝑥 + 2)(𝑥 + 1) ≠ 0 ⇨ {
𝑥 + 2 ≠ 0
𝑥 + 1 ≠ 0
 ⇔ {
𝑥 ≠ −2
𝑥 ≠ −1
 
 
𝑥
𝑥+2
+
4
(𝑥+2)(𝑥+1)
=
𝑥(𝑥+1)+4
(𝑥+2)(𝑥+1)
=
𝑥2+𝑥+4
(𝑥+2)(𝑥+1)
 
 (𝑥 + 1) (1) 
 
2) Multiplicação 
Para multiplicar duas fracções algébricas, temos que ter em conta o seguinte: 
a) Numerador é o produto dos numeradores; 
b) Denominador é o produto dos denominadores; 
c) Diferenciar o denominador a zero, caso tenha variável; 
d) Simplificar a fracção, caso seja possível. 
Ex.2: 
𝑥
𝑥+1
×
𝑥2−1
𝑥2+2𝑥
=
𝑥
𝑥+1
×
(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥(𝑥+2)
=
𝑥−1
𝑥+2
 
3) Divisão 
Como a divisão é a operação inversa da multiplicação,isso quer dizer que, 
perante uma divisão de duas expressões algébricas temos que aplicar essa 
inversabilidade, cujo segundo termo escreveremos o seu recíproco. Deste modo 
,teremos o seguinte: 
 
 
 
50 
 
Ex.3: 
4𝑥
𝑥+2
÷
𝑥2
𝑥3+8
 
Resolução: 
Transformando a divisão em multiplicação, teremos: 
4𝑥
𝑥+2
÷
𝑥2
𝑥3+8
=
4𝑥
𝑥+2
×
𝑥3+8
𝑥2
=
4𝑥
𝑥+2
×
𝑥3+23
𝑥.𝑥
 = 
 
=
4𝑥
𝑥+2
×
(𝑥+2)(𝑥2−2𝑥+4)
𝑥.𝑥
 = 
𝟒 (𝑥2−2𝑥+4)
𝒙
 = 
4𝑥2−8𝑥+16
𝒙
 = 4𝑥 − 8 +
16
𝑥
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
VII. FUNÇÃO 
 
7.1. Conceito de função 
 
Função considera-se a dependência da variável 𝑦 na variável 𝑥, mediante a 
qual, para cada elemento da variável 𝑥 corresponde a um único elemento da 
variável 𝑦. 
Uma função representa-se da seguinte maneira: 𝑓(𝑥) → 𝑦 ou ainda 𝑓(𝑥) =
𝑦, lê-se função 𝑓 de 𝑥. 
Para resolver uma função, temos que ter em conta o seguinte: 
1) 𝐷(𝑥): domínio da função (constituído por elementos da variável x); 
2) 𝐸(𝑥): conjunto imagem (constituído por todos elementos da variável y); 
3) 𝑥: variável independente; 
4) 𝑦: variável dependente; 
5) (X0Y): eixos; 
6) 𝑓(𝑥0): valor da função no ponto 𝑥0. 
7.2. Formas de definição de uma função 
Formas de definição de uma função 
 
{
 
 
 
 
 Analítica: 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑗𝑢𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎
Tabular: 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑗𝑢𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 
 
Gráfica: com ajuda de um gráfico 
 
Esq. 7.1. Formas de definição de uma determinada função em 𝑅 
 
Ex.1: Resolve: 
𝑦 = 2𝑥 + 1 
 
 
 
52 
 
Para resolver teremos de ter em conta o seguinte: 
1) Construir uma tabela de valores; 
2) Atribuir quaisquer elementos na variável 𝑥 ( dois, três elementos ou mais) 
e substitui-los na fórmula, por formas a determinar os valores da variável 𝑦; 
3) Construir o gráfico. 
Resolvendo, teremos a seguinte tabela e gráfico: 
 
𝑥 −2 −1 0 1 2 
𝑦 = 𝑓(𝑥) −3 −1 1 3 5 
 
𝑥 = −2 → 𝑓(−2) = 2. (−2) + 1 = −3; 
𝑥 = −1 → 𝑓(−1) = 2(−1) + 1 = −1; 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 2 ∙ 0 + 1 = 1; 
𝑥 = 1 → 𝑓(1) = 2 ∙ 1 + 1 = 3 
𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 2 ∙ 2 + 1 = 5 
 
 
Gráf. 7.1. Representação gráfica da função 𝑦 = 2𝑥 + 1 
 
 
 
53 
 
7.3. Monotonia das funções 
 
Quanto a monotonia, as funções podem ser: 
1- Função crescente 
Consideramos a 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, pelo que : 𝑥 ∈ 𝑅 . Pela representação 
gráfica (𝑔𝑟𝑎𝑓. 1 ), vimos que é visível uma recta. Para melhor análise da 
monotonia da função pegaremos os pontos: A(𝑥1; 𝑦1) e B(𝑥2; 𝑦2) → 𝐴(−2;−3) 
e 𝐵(1; 3), 
{
𝑥1 = −2
𝑥2 = 1 
 e {
𝑦1 = −3
𝑦2 = 3 
 
Comparando dadas coordenadas: 𝑥1 < 𝒙𝟐 e 𝑦1 < 𝒚𝟐 , vê-se que, o maior 
valor da abcissa (eixo horizontal) corresponde o maior valor da ordenada (eixo 
vertical), isto é, os valores de x aumentam e os valores de y também aumentam. 
Definição: uma função chama-se crescente no intervalo numérico de 𝑥, se o 
maior valor da abcissa corresponde precisamente o maior valor da ordenada. 
2- Função decrescente 
Dada função : 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1, apresentando graficamente: 
 
𝑥 −2 −1 0 1 2 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 5 3 1 −1 −3 
 
 
𝑥 = −2 → 𝑓(−2) = −2 ∙ (−2) + 1 = 5; 
𝑥 = −1 → 𝑓(−1) = −2(−1) + 1 = 3; 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = −2 ∙ 0 + 1 = 1; 
𝑥 = 1 → 𝑓(1) = −2 ∙ 1 + 1 = −1 
𝑥 = 2 → 𝑓(2) = −2 ∙ 2 + 1 = −3 
 
 
 
 
54 
 
 
Gráf.7.2. Representação gráfica da função 𝑦 = −2𝑥 + 1 
 
A(𝑥1; 𝑦1) e B(𝑥2; 𝑦2) → 𝐴(−2; 5) e 𝐵(1;−1), 
{
𝑥1 = −2
𝑥2 = 1 
 e {
𝑦1 = 5
 𝑦2 = −1
 
Veremos que: 𝑥1 < 𝒙𝟐 𝑒 𝒚𝟏 > 𝑦2 , em que, o maior valor da abcissa (eixo 
horizontal) corresponde o menor valor da ordenada (eixo vertical ), isto é, 
valores de 𝑥 aumentam e os valores de 𝑦 diminuem. 
Definição: uma função chama-se decrescente, aquela que decresce no 
intervalo numérico de 𝒙, se o maior valor da abcissa corresponde precisamente 
o menor valor da ordenada. 
 
7.4. Raiz de uma função 
Considera-se raiz de uma função a intercepção do gráfico de uma função na 
recta 0𝑋. Em outras palavras mais simples, a raiz de uma funções qualquer, 
aparece nas condições, quando o valor da variável dependente 𝑦 for igual a zero, 
pois no momento em que a recta intersecta o eixo 0𝑋, 𝑦 = 0. 
 
 
 
55 
 
 
Gráf. 7.3. Demonstração gráfica das raízes da função 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6 
 
7.5. Intervalo do sinal de uma função 
 
Intervalo do sinal de uma função, considera-se os intervalos onde a função 
conserva o seu sinal. 
Por exemplo a função: 
𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6 
Conforme o 𝑔𝑟𝑎𝑓. 7.3, podemos notar que uma parte do gráfico encontra-se 
abaixo do eixo 0𝑋, então a função conserva sinal menos ( − ) nos intervalos: 
𝑥 ∈ (−∞;−3) ∪ (−1; 2) 
Conforme o 𝑔𝑟𝑎𝑓. 7.3, podemos notar ainda que uma parte do gráfico 
encontra-se acima do eixo 0𝑋, então a função conserva sinal mais ( + ) nos 
intervalos: 
𝑥 ∈ (−3;−1) ∪ (2;+∞) 
Nos pontos 𝐴(−3; 0), 𝐵(−1; 0), 𝐶(2; 0), gráfico interseta o eixo 0𝑋. Então 
podemos concluir que: 𝑥 = {−3,−1,2} , são as raízes da equação: 
 
 
 
56 
 
𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0 
Graficamente teremos: 
 
 
Gráf. 7. 4. Representação gráfica dos sinais da função 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6 
 
7.6. Funções pares e ímpares 
 
Definição: Chamam-se Funções pares todas funções em que cumpri-se a 
seguinte condição: 
 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) (7.1) 
O gráfico da função par é simétrico na recta 0𝑌. 
Exemplo. Dada função, 𝑓(𝑥) = 𝑥2, verificaremos a condição acima 
apresentada, 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥2, substituindo na condição 3 obteremos: 
 
𝑓(− 𝑥)2 = (−𝑥)2 = 𝑥2 = 𝑓(𝑥) 
 
Vimos que, a condição da função par e aceitável, então dada função 
considera-se par. Agora veremos o seu gráfico: 
𝑥 −2 −1 0 1 2 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 4 1 0 1 4 
x 
y 
 
 
 
57 
 
𝑥 = −2 → 𝑓(−2) = (−2)2 = 4; 
𝑥 = −1 → 𝑓(−1) = (−1)2 = 1; 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = (0)2 = 0. 
𝑥 = 1 → 𝑓(1) = (1)2 = 1; 
𝑥 = 2 → 𝑓(2) = (2)2 = 4; 
 
 
Gráf. 7.5. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥2 
 
Definição: Consideram-se funções ímpares todas funções em que cumpri-se 
a condição: 
 
 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) (7.2) 
 
O grafico da função ímpar é relativamente simétrico no começo das 
coordenadas (0,0). 
Exemplo: Dada função, 𝑓(𝑥)3 , verficando a condição, teremos: 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 = −𝑥3 = −𝑓(𝑥), 
a condição é aceitável e teremos o seguinte gráfico: 
 
 
 
 
58 
 
 
 
𝑥 = −2 → 𝑓(−2) = (−2)3 = −8; 
𝑥= −1 → 𝑓(−1) = (−1)3 = −1; 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = (0)3 = 0; 
𝑥 = 1 → 𝑓(1) = (1)3 = 1; 
𝑥 = 2 → 𝑓(2) = (2)3 = 8. 
 
 
Gráf. 7.6. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥3 
 
7.7. Funções numéricas 
 
Consideram-se Funções numéricas, todas as funções em que são aplicadas as 
seguintes condições: 
 𝐷(𝑓) ⊂ 𝑅 e 𝐸(𝑓) ⊂ 𝑅 
Assim, as funções numéricas podem ser: 
1- Função linear 
Função dada pela fórmula: 
𝑥 −1 −2 0 1 2 
𝑦 −8 −1 0 1 8 
 
 
 
 
59 
 
 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3 = 0 (7.3) 
 
Onde: 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 ∈ 𝑅 
 
Com ajuda da fórmula acima escrita, obteremos: 
𝑎2𝑦 = −𝑎1𝑥 − 𝑎3 
Sabendo que 𝑎2 ≠ 0 , as duas partes serão dividas por 𝑎2, obteremos: 
𝑦 = −
𝑎1
𝑎2
𝑥 −
𝑎3
𝑎2
 
Vamos designar: 
 {
𝑎 = −
𝑎1
𝑎2
𝑏 = −
𝑎3
𝑎2
 , (7.4) 
 
Então obteremos equação da recta na forma canónica: 
 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (7.5) 
Onde 𝑥 e 𝑦 consideram-se variáveis, 𝑎 e 𝑏 números reais, em que 𝑎 
coeficiente do ângulo. 
Gráfico será uma recta e para construção necessita-se de dois importantes 
pontos: 
≫ Primeiro ponto 𝐴(𝑥0; 0) → ponto de intersecção do gráfico no eixo 0𝑋. 
Analisando que 𝐴(𝑥0; 0) ∈ gráfico 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, então: 
0 = 𝑎 ∙ 𝑥0 + 𝑏 → 𝑥0 = −𝑏/𝑎 
≫ Segundo ponto 𝐵(0; 𝑦0) → ponto de intersecção do gráfico no eixo 0𝑌. 
Analisando que 𝐵(0; 𝑦0) ∈ o gráfico 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, então: 
𝑦0 = 𝑎 ∙ 0 + 𝑏 → 𝑦0 = 𝑏 
Conclusão: 
 
 
 
60 
 
{
𝐴(𝑥0; 0)
𝐵(0; 𝑦0)
 = {
 𝐴 (−
𝑏
𝑎
; 0) 
𝐵(0; 𝑏) 
 
Ex.1: 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 
Essa determinada equação encontra-se na forma geral, agora vamos 
transformá-la na forma canónica: 
2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 
3𝑦 = −2𝑥 – 6 
𝑦 = − 
2
3
𝑥 − 2 
Com ajuda desses dois pontos traça-se a recta. 
O primeiro ponto 𝐴 (𝑥0, 0 ) ∈ y = − 
2
3
𝑥 − 2 → ponto de intersecção do 
gráfico no eixo 0𝑋: 
0 = − 
2
3
𝑥0 − 2 
𝑥0 = −3 
O segundo ponto 𝐵(0,𝑦0) ∈ y = − 
2
3
𝑥 − 2 → ponto de intersecção do gráfico 
no 0𝑌. 
𝑦0 =
2
3
∙ 0 − 2 
𝑦0 = −2 
Gráfico da determinada função passa nos dois pontos 𝐴(−3; 0) e 𝐵(0;−2), 
logo teremos a seguinte tabela e representação gráfica: 
 
 
 
 
𝑥 −3 0 
𝑦 0 −2 
 
 
 
61 
 
 
Gráf. 7.7. Representação gráfica da função y = − 
2
3
𝑥 − 2 
Notamos que a direcção do gráfico da função depende do coeficiente do 
ângulo 𝑎: 
a) Se 𝑎 > 0, gráfico da função terá uma direcção positiva no eixo 0𝑋 (função 
crescente) formando um ângulo menor de 90 graus (agudo). 
Ex.2: 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 
Essa determinada equacação encontra-se na forma geral, agora vamos 
transformá-la na forma canónica: 
2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 
−𝑦 = −2𝑥 − 1 
𝑦 = 2𝑥 + 1 
 
 
Primeiro ponto 𝐴(𝑥0, 0): 
0 = 2 ∙ 𝑥0 + 1 
𝑥 −1 2⁄ 0 
𝑦 0 1 
 
 
 
 
62 
 
𝑥0 = −1/2 
Segundo ponto 𝐵(0, 𝑦0): 
𝑦0 = 2 ∙ 0 + 1 
𝑦0 = 1 
b) Se 𝑎 < 0, gráfico da função terá uma direcção positiva no eixo O𝑥 ( 
função descrecente), formando um ângulo obtuso, maior de 90 graus. 
Ex.3: 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 
Esta determinada equação encontra-se na forma geral, agora vamos 
trnsformá-la na forma canónica: 
2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 
𝑦 = −2𝑥 + 1 
 
 
Primeiro ponto 𝐴(𝑥0, 0): 
0 = −2 ∙ 𝑥0 + 1 
𝑥0 = 1/2 
Segundo ponto 𝐵(0, 𝑦0): 
𝑦0 = −2 ∙ 0 + 1 
𝑦0 = 1. 
A recta da determinada função 𝑦 = −2𝑥 + 1 passa nos dois pontos principais 
- 𝐴(1/2; 0) 𝑒 𝐵(0; 1) e a recta da função 𝑦 = 2𝑥 + 1 passa nos dois pontos 
principais - 𝐴(−1/2; 0) 𝑒 𝐵(0; 1) , logo teremos as seguintes representações 
gráficas: 
𝑥 1/2 0 
𝑦 0 1 
 
 
 
63 
 
 
Gráf. 7.8. Representação gráfica da função 𝑦 = 2𝑥 + 1 linear crescente com 
𝑎 = 2 
 
 
 
 
Gráf. 7. 9. Representação gráfica da função 𝑦= −2𝑥 + 1 linear descrescente com 
𝑎 = −2 
Casos especiais: 
Analisaremos mais uma vez equação da recta na forma geral: 
𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3 = 0 
 
 
 
 
 
64 
 
São possíveis 3 casos especiais: 
1) Quando 𝑎3 = 0 ; a partir da expressão (7.4) que possui 𝑏 = −
𝑎3
𝑎2
 , daí 
obteremos 𝑏 = 0, então a função (7.5) terá a seguinte forma: 
𝑦 = 𝑎𝑥 
Gráfico será uma recta e para construção necessita-se de dois importantes 
pontos: 
≫ Quando 𝑥 = 0 , 𝑦 = 𝑎 ∙ 0 = 0, a recta da função sempre passa no ponto 
(0,0); 
≫ Quando 𝑥 = 1 , 𝑦 = 𝑎 ∙ 1 = 𝑎, a recta da função sempre passa no ponto 
(1, 𝑎). 
Ex.4: −3𝑥 + 2𝑦 = 0 
Segundo a comparação da determinada funcão do exemplo acima com a 
equação canónica da recta: 
𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3 = 0 
Notaremos que: 𝑎1 = −3 , 𝑎2 = 2 , 𝑎3 = 0 , a partir da expressão (7.4), 
obteremos: 
{
 
 𝑎 = −
𝑎1
𝑎2
= −
−3
 2
= 
3
2
𝑏 = −
𝑎3
𝑎2
= −
0
2
= 0 
 
Então a equacão (7.5) terá a forma: 
 𝑦 =
3
2
x (*) 
Na prática podemos fazer de seguinte maneira: 
– 3𝑥 + 2𝑦 = 0 
2𝑦 = 3𝑥 
 
 
 
65 
 
𝑦 =
3
2
x 
 
 
 
 
 
Gráf. 7.10. Representação gráfica da função y = 
3
2
x 
2) Quando 𝑎2 = 0 ; a partir da equação (7.3), obteremos: 
𝑎1𝑥 + 𝑎3 = 0 
𝑎1𝑥 = −𝑎3 
𝑥 = −
𝑎3
𝑎1
 
Ex.5: 2𝑥 − 5 = 0 
2𝑥 − 5 = 0 
2𝑥 = 5 
𝑥 = 
5
2
 
 
𝑥 0 1 
𝑦 0 3 2⁄ 
 
 
 
66 
 
 
Gráf. 7.11. Representação gráfica da função x = 
5
2
 
3) Quando 𝑎1 = 0 ; a partir da equação (7.3), obteremos: 
𝑎2𝑦 + 𝑎3 = 0 
𝑎2𝑦 = −𝑎3 
𝑦 = −
𝑎3
𝑎2
 
Ex.6: 2𝑦 − 5 = 0 
2𝑦 − 5 = 0 
2𝑦 = 5 
𝑦 = 
5
2
 . 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
Gráf. 7.12. Representação gráfica da função y = 
5
2
 
2- Função quadrática 
Funcão quadrática na forma canónica, possui a forma: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Para melhor compreensão e interpretação por parte dos leitores, vamos 
analisar muito detalhadamente os três principais e essencias casos que 
frequentemente aparecem nos estudos das funções quadráticas. Deste modo, 
temos: 
≫ Primeiro caso, quando 𝑏 = 𝑐 = 0, função quadrática apresenta-se na 
forma simples: 
 𝑦 = 𝑎𝑥2 (7.6) 
Notamos que função (7.6) é par, porque: 
𝑦(−𝑥) = 𝑎(−𝑥)2 = 𝑎𝑥2 = 𝑦(𝑥). 
Quando 𝑎 > 0, gráfico será do tipo: 
 
 
 
68 
 
 
 
Quando 𝑎 < 0, gráfico será do tipo: 
 
Vimos que gráfico da função sempre passa no ponto inicial (0; 0) e 
relativamente simétrico ao eixo 0𝑌. 
Para a contrução do gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 são necessários no mínimo 5 
pontos simétricos: 
(−2; −1; 0; 1; 2) 
Ex.1: 𝑦 =
3
2
𝑥2 
𝑥 −2 −1 0 1 2 
𝑦 6 3 2⁄ 0 3 2⁄ 6 
Parábola 
Vértice da parábola 
Parábola 
Vértice da parábola 
 
 
 
69 
 
 
Gráf. 7.13. Representação gráfica da função 𝑦 =
3
2
𝑥2 
≫ Segundo caso, quando b = 0, função quadrática apresenta-se na forma 
simples: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐 
𝑦 − 𝑐 = 𝑎𝑥2 
Substituindo: 
{
 𝑋 = x 
𝑌 = 𝑦 − 𝑐 
 
Obteremos: 
 
 𝑌 = 𝑎 ∙ 𝑋2 (7.7) 
Quando: 
 
{ 
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = x 
0 = 𝑦 − 𝑐 
 ↔ {
 
𝑥 = 0 
𝑦 = 𝑐 
 
O gráfico da função (7.7), constrói-se igualmente como o gráfico da função 
(7.6) e relativamente simétrico ao eixo 0𝑌. A diferença entre ambos é que o 
gráfico da função (7.6) possui vértice no ponto (0;0), e gráfico da função (7.7) 
possui vértice no ponto 𝐴(0; 𝑐 ). 
 
 
 
70 
 
Agora mostraremos no gráfico a movimentação (transferência) paralela dos 
eixos: 
𝑂(0; 0)→ 𝐴(0; 𝑐) 
 
Gráf. 7.14. Demonstração da movimentação paralela dos eixos 
 
Para a contrução do gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐 são necessários no 
mínimo 5 pontos simétricos relativamente ao ponto 𝟎: 
(−2; −1; 𝟎; 1; 2) 
 
Ex.2: 𝑦 = 2𝑥2 − 3 
𝑦 = 2𝑥2 − 3 
𝑦 + 3 = 2𝑥2 
Substituindo: 
{
 𝑋 = 𝑥 
 
𝑌 = 𝑦 + 3 
 
Obteremos: 
𝑌 = 2 ∙ 𝑋2 
 
 
 
71 
 
Quando: 
 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = x 
0 = 𝑦 + 3 
 ↔ {
 
𝑥 = 0 
𝑦 = −3 
 
Para a contrução do gráfico da função 𝑦 = 2𝑥2 − 3 são necessários no 
mínimo 5 pontos simétricos relativamente ao ponto 0: 
(−2;−1; 𝟎; 1; 2) 
x -2 -1 0 1 2 
y 5 -1 -3 -1 5 
𝑦 = 2𝑥2 − 3 
𝑥 = −2 → 𝑓(−2) = 2(−2)2 − 3 = 5; 
𝑥 = −1 → 𝑓(−1) = 2(−1)2 − 3 = −1; 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 2(0)2 − 3 = −3; 
𝑥 = 1 → 𝑓(1) = 2(1)2 − 3 = −1; 
𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 2(2)2 − 3 = 5. 
 
 
Gráf. 7.15. Representação gráfica da função 𝑦 = 2𝑥2 − 3 
 
 
 
72 
 
Na prática faz-se de uma forma mais simples e simplificada: 
Ex.3: 𝑦 = 2𝑥2 − 3 
Determinar as coordenadas do vértice 𝐴(0; 𝑐) → 𝐴(0;−3) 
Para a contrução do gráfico da função 𝑦 = 2𝑥2 − 3, são necessários no 
mínimo 5 pontos simétricos relativamente ao ponto 0: 
(−2;−1; 𝟎; 1; 2) 
 
𝑥 −2 −1 𝟎 1 2 
𝑦 5 −1 −3 −1 5 
 
O gráfico constrói-se igualmente como construímos acima. 
≫ Terceiro caso, analisaremos a função quadrática completa: 
 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (7.8) 
onde: 𝑎, 𝑏, 𝑐 consideram-se constante em 𝑅, pelo que 𝑎 ≠ 0. 
Para construir gráfico da função (7.8), utilizaremos a forma canónica da 
própria função (7.8), de seguinte modo: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑦 = 𝑎(𝑥2 + 2 
𝑏
2𝑎
𝑥 +
𝑏2
4𝑎2
) − 
𝑏2
4𝑎
 + c 
𝑦 = 𝑎(𝑥 +
𝑏
2𝑎
) 2 + 𝑐 − 
𝑏2
4𝑎
 
𝑦 = 𝑎(x +
𝑏
2𝑎
) 2 + 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 
𝑦 − 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 = 𝑎(𝑥 +
𝑏
2𝑎
) 2 
Substituindo: 
{
 𝑋 = 𝑥 +
𝑏
2𝑎
 
𝑌 = 𝑦 − 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 
 
 
 
 
73 
 
Obteremos: 
 𝑌 = 𝑎 ∙ 𝑋2 (7.9) 
Quando: 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = 𝑥 +
𝑏
2𝑎
 
0 = 𝑦 − 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 
 ↔ {
 
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑦 = 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 
Gráfico da função (7.9), constrói-se igualmente como o gráfico da função 
(7.6). A diferença entre ambos é que o gráfico da função (7.6) possui vértice no 
ponto (0,0) e relativamennte simétrico ao eixo 0𝑌, e gráfico da função (7.8) 
possui vértice no ponto 𝐴 (−
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ) e relativamennte simétrico a recta 𝑥 =
−
𝑏
2𝑎
 . 
Agora mostraremos no gráfico a movimentação (transferência) paralela dos 
eixos: 
𝑂(0; 0) → 𝐴(−
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ) 
 
 
Gráf. 7.16. Demonstração da movimentação paralela dos eixos 
 
 
 
74 
 
Para construir gráfico da determinada função 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 
construiremos da função 𝑌 = 𝑎 ∙ 𝑋2 , com o começo da coordenada no ponto 
𝐴 (−
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ). O gráfico dessa função é relativamente simétrico a recta 𝑥 =
−
𝑏
2𝑎
 . O gráfico será construído com ajuda de 5 pontos simétricos relativamente 
a recta − 
𝑏
2𝑎
. 
(−
𝑏
2𝑎
− 2;−
𝑏
2𝑎
− 1;−
𝒃
𝟐𝒂
; −
𝑏
2𝑎
+ 1;−
𝑏
2𝑎
+ 2). 
 
 
Ex.4: 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
𝑦 = (𝑥2 − 2𝑥 + 1) − 4 
𝑦 = (𝑥 − 1)2 − 4 
𝑦 + 4 = (𝑥 − 1)2 
Substituindo: 
{
 𝑋 = 𝑥 − 1 
 𝑌 = 𝑦 + 4 
 
Obteremos: 
 
 𝑌 = 𝑋2 
Quando: 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = x − 1 
0 = 𝑦 + 4 
 
↓ 
{ 
 
𝑥 = 1 
𝑦 = −4 
 
 
 
 
75 
 
Para construir o gráfico da determinada função 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 , 
construiremos da função 𝑌 = 𝑋2, com o começo da coordenada no ponto 
𝐴(1,−4). O gráfico dessa função é relativamente simétrico a recta 𝑥 = 1. O 
gráfico será construído com ajuda de 5 pontos simetricos relativamente 
simétricos a 1: 
(1 − 2; 1 − 1; 𝟏; 1 + 1; 1 + 2) ↔ (−1; 0; 𝟏; 2; 3) 
 
x -1 0 1 2 3 
y 0 -3 -4 -3 0 
 
 
Gráf. 7.17. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
 
Ex.5: 𝑦 = −
2
3
𝑥2 −
2
3
𝑥 + 4 
𝑦 = −
2
3
𝑥2 −
2
3
𝑥 + 4 
𝑦 = −
2
3
(𝑥2 + 2 ∙
1
2
𝑥 +
1
4
) + 
25
6
 
 
 
 
76 
 
𝑦 = −
2
3
(𝑥 +
1
2
) 2 + 
25
6
 
𝑦 − 
25
6
 = −
2
3
(𝑥 +
1
2
) 2 
 
Substituindo: 
{
 𝑋 = 𝑥 + 
1
2
 
 
 𝑌 = 𝑦 − 
25
6
 
 
Obteremos: 
 
 Y = −
2
3
𝑋2 
Quando: 
 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = 𝑥 + 
1
2
 
0 = 𝑦 − 
25
6
 
 
↓ 
{
 
 
 
 
 
 
 𝑥 = −
1
2
 
𝑦 = 
25
6
 
 
 
Para construir gráfico da determinada função 𝑦 = −
2
3
𝑥2 −
2
3
𝑥 + 4 , 
construiremos gráfico da função 𝑌 = 𝑋2, com o começo da coordenada no 
ponto 𝐴 (−
1
2
;
25
6
). O gráfico dessa função é relativamente simétrico a recta 𝑥 =
−
1
2
 . O gráfico será construído com ajuda de 5 pontos simétricos relativamente 
simétricos a recta −
𝟏
𝟐
: 
 
 
 
77 
 
(−
1
2
 -2;− 
1
2
 -1;−
𝟏
𝟐
;−
1
2
 +1;−
1
2
 +2) ↔ (−
5
2
; −
3
2
; −
𝟏
𝟐
; 
1
2
; 
3
2
) 
𝑥 −5 2⁄ −3 2⁄ −1 2⁄ 1/2 3/2 
𝑦 3/2 7/2 25 6⁄ 7/2 3/2 
 
 
Gráf. 7.18. Representação gráfica da função 𝑦 = −
2
3
𝑥2 −
2
3
𝑥 + 4 
Na prática podemos analisar a função quadrática completa, de seguinte 
maneira: 
Ex.6: 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
≫ Utilizaremos a fórmula 𝐴 (−
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ), para encontramos as 
coordenadas do vértice: 
𝐴(−
−2
2 ∙ 1
;
4 ∙ 1 ∙ (−3) − (−2)2
4 ∙ 1
 ) 
↓ 
𝐴(1;−4 ) 
≫ Escolher o conjunto de 5 pontos relativemente simétricos a recta −
𝑏
2𝑎
 
=−
−2
2∙1
= 𝟏; 
 
 
 
78 
 
≫ Utilizaremos a fórmula: 
(−
𝑏
2𝑎
− 2; −
𝑏
2𝑎
− 1; −
𝒃
𝟐𝒂
; −
𝑏
2𝑎
+ 1; −
𝑏
2𝑎
+ 2) 
↓ 
(1 − 2; 1 − 1; 𝟏 ; 1 + 1; 1 + 2) 
↓ 
(−1; 0; 𝟏; 2; 3) 
Agora é só construir a tabela e o gráfico, como fizemos acima! 
O gráfico da função quadrática depende do coeficiente 𝑎 e como se não 
bastasse, a função quadrática apresenta algumas especialidades, tabela (7.1): 
 
Tabela 7.1 
Especialidades da função quadrática 
 
Coeficiente 
 
 
e direcção 
 
Especialidades nas 
raizes 
 
Coeficiente 
a pode ser: 
 
Direcção dos 
ramos da 
parábola 
∆> 0 → 𝑥1 ≠ 𝑥2 
a função tem duas 
raízes 
∆= 0 → 𝑥1 = 𝑥2 
a função tem uma só 
raiz 
∆< 0 → ∄ 𝑥, 
a função não tem raízes 
 
 
𝒂 > 0 
 
 
 
 
Os ramos da 
parábola 
estarão 
direccionados 
para cima 
 
 
 
𝒂 < 0 
 
 
 
 
Os ramos da 
parábola 
estarão 
direccionados 
para baixo 
 
 
 
 
79 
 
3- Funções inversamente proporcionais 
 𝑦 =
𝑘
𝑥−𝑎
+ 𝑏 (7.10) 
Em casos simples quando 𝑎 = 𝑏 = 0 , obteremos a função inversamente 
proporcional dada pela forma: 
 𝑦 = 
𝑘
𝑥
 (7.11) 
Onde: 𝑥 , 𝑦 consideram-se variáveis e 𝑘 coeficiente da inversabilidade da 
variável 𝑥 da proporcionalidade, em que: 
𝐷(𝑓) = (−∞; 0) ∪ (0;+∞), isso é: 𝑓(𝑥) = (−∞;0) ∪ (0;+∞) 
O gráfico dessas funções não podem intersectar o eixo das coordenadas 𝑥 e 𝑦, 
isso é, o gráfico será uma hipérbole, para construção, necessita-se de 10 pontos 
simétricos: 
(−3; −2; −1; −
1
2
; −
1
4
; 
1
4
; 
1
2
; 1; 2; 3). 
Tudo isso porque, a hipérbole é constituídapor duas parábolas e cada 
parábola para estabilidade da construção nessecita de 5 pontos, como afirmamos 
anteriormente. 
O gráfico depende precisamente do coeficiente angular 𝑘: 
a) Se 𝑘 > 0 , os ramos das hipérboles inclinam-se no I e no III quadrantes 
ou coordenadas dos ângulos. 
b) Se 𝑘 < 0, os ramos das hipérboles inclinam-se no II e IV quadrantes ou 
coordenadas dos ângulos. 
Ex.1: dada função 𝑦 =
1
𝑥
 , onde 𝑘 = 1 > 0, resolvendo teremos: 
𝑥 −3 −2 −1 −1 2⁄ −1 4⁄ 1/4 1/2 1 2 3 
𝑦 −1 3⁄ −1 2⁄ −1 −2 −4 4 2 1 1/2 1/3 
 
 
 
 
80 
 
 
 Gráf. 7.19. Representação gráfica 𝑦 = 2/𝑥 inversamente proporcional 
 
Ex.2: dada função: 𝑦 = −
1
𝑥
 , onde 𝑘 = −1 < 0, assim teremos: 
 
𝑥 −3 −2 −1 −1 2⁄ −1 4⁄ 1/4 1/2 1 2 3 
𝑦 1/3 1/2 1 2 4 −4 −2 −1 −1 2⁄ −1 3⁄ 
 
 
 Gráf. 7.20. Representação gráfica 𝑦 = −1/𝑥 
 
Conforme os gráficos (7.19) e (7.20), as linhas indicam os pontos simétricos. 
E agora mostraremos a forma geral em 𝑓(𝑥) =
𝑘
𝑥2𝑛+1
 , é considerado uma função 
ímpar: 
III 
II 
I 
IV 
 
 
 
81 
 
𝑓(−𝑥) =
𝑘
(−𝑥)2𝑛+1
 = − 
𝑘
𝑥2𝑛+1
 = − 𝑓(𝑥) 
Em casos concretos quando 𝑛 = 0 obteremos 𝑓(𝑥) =
𝑘
𝑥
 , que ja foi analisada 
anteriomente. 
Analisaremos a função inversamente proporcional na forma geral: 
𝑦 =
𝑘
𝑥 + 𝑎
+ 𝑏 
↓ 
𝑦 − 𝑏 =
𝑘
𝑥 + 𝑎
 
 
Substituindo: 
{
 𝑋 = x + a 
𝑌 = 𝑦 − 𝑏 
 
Obteremos: 
 
𝑌 = 
𝑘
𝑋
 
Quando: 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = x + a 
0 = 𝑦 − 𝑏 
 ↔ {
 
𝑥 = −𝑎 
𝑦 = 𝑏 
 
O gráfico da função (7.10), constrói-se igualmente como o gráfico da função 
(7.11). A diferença entre ambos, é que o gráfico da função (7.11) possui ponto 
simétrico (0; 0) e gráfico da função (7.10) possui ponto simétrico 𝐴(−𝑎; 𝑏 ). 
Agora mostraremos no gráfico a movimentação (transferência) dos eixos: 
𝑂(0; 0) → 𝐴(−𝑎; 𝑏 ) 
Para construir o gráfico da função (7.10) são necessários 10 pontos 
simétricos relativamente ao ponto – 𝑎. 
 
 
 
82 
 
(−𝑎 − 3; −𝑎 − 2; −𝑎 − 1; −𝑎 −
1
2
;−𝑎 −
1
4
;−𝑎 +
1
4
;−𝑎 +
1
2
; −𝑎 + 1; −𝑎 + 
+2;−𝑎 + 3) 
 
 
Gráf. 7.21. Demonstração da movimentação dos eixos 
 
Ex.3: 𝑦 =
1
𝑥−2
+
3
2
 
𝑦 −
3
2
=
1
𝑥 − 2
 
 
Substituindo: 
{
 𝑋 = x − 2 
 
𝑌 = 𝑦 − 
3
2
 
 
Obteremos: 
Y = 
1
𝑋
 
Quando: 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = x − 2 
0 = 𝑦 − 
3
2
 ↔ {
 
𝑥 = 2 
 𝑦 = 
3
2
 
 
 
 
 
83 
 
Agora mostraremos no gráfico a movimentação (transferência) dos eixos: 
𝑂(0; 0) → 𝐴 (𝟐; 
3
2
 ) 
Na prática só há necessidade de encontrar a movimentação dos eixos. 
𝐴(−𝑎; 𝑏) → 𝐴(𝟐;
 3
2
) 
(𝟐 − 3; 𝟐 − 2; 𝟐 − 1; 𝟐 −
1
2
; 𝟐 −
1
4
; 𝟐 +
1
4
; 𝟐 +
1
2
; 𝟐 + 1; 𝟐 + 2; 𝟐 + 3) 
(−1; 0; 1; 
3
2
; 
7
4
; 
9
4
; 
5
4
; 3; 4; 5) 
𝑥 −1 0 1 3/2 7/4 9/4 5/2 3 4 5 
𝑦 7/6 1 1/2 −1 2⁄ −5 2⁄ 11 2⁄ 7/2 5/2 2 11 6⁄ 
 
 
Gráf. 7.22. Representação gráfica 𝑦 =
1
𝑥−2
+
3
2
 
A função inversamente proporcional é considerada par, se for apresentada na 
forma: 
𝑓(𝑥) =
𝑘
𝑥2𝑛
 
𝑓(−𝑥) =
𝑘
(−𝑥)2𝑛
 = 
𝑘
𝑥2𝑛
 = 𝑓(𝑥) 
 
 
 
84 
 
Quando 𝑛 = 1, teremos uma função do tipo 𝑦 = 
𝑘
𝑥2
 , onde: 𝑥 , 𝑦 
consideram-se variáveis e 𝑘 coeficiente da inversabilidade da variável 𝑥 da 
proporcionalidade, em que: 
𝐷(𝑓) = (−∞;0) ∪ (0;+∞) 
O gráico dessas funções não podem intersectar o eixo das coordenadas 𝑥 e 𝑦, 
isso é, o gráfico será uma hipérbole, para constração, necessita-se de 10 pontos 
simétricos: 
(−3; −2,−1; −
1
4
; −
1
2
; 
1
4
; 
1
2
; 1; 2; 3) 
Tudo isso porque, a hipérbole é constituída por duas parábolas e cada 
parábola para estabilidade da construção são necessários 5 pontos. 
O gráfico depende precisamente do coeficiente angular 𝑘: 
a) Se 𝑘 > 0 , os ramos das hipérboles inclinam-se no I e no II quadrantes 
ou coordenadas dos ângulos. 
Ex.4: dada função y =
1
𝑥2
 , em que 𝑘 = 1 > 0, resolvendo teremos: 
𝑥 −3 −2 −1 −1 2⁄ −1 4⁄ 1/4 1/2 1 2 3 
𝑦 1/9 1/4 1 4 16 16 4 1 1/2 1/3 
 
 
Gráf. 7.23. Representação gráfica 𝑦 = 1/𝑥2 
 
 
 
85 
 
b) Se 𝑘 < 0 , os ramos das hipérboles inclinam-se no III e no IV quadrantes 
ou coordenadas dos ângulos. 
 Ex.5: dada função 𝑦 = −
1
𝑥2
 , em que 𝑘 = 1 > 0, resolvendo teremos: 
x −3 −2 −1 −1 2⁄ −1 4⁄ 1/4 1/2 1 2 3 
y −1 9⁄ −1 4⁄ −1 −4 −16 −16 −4 −1 −1 2⁄ −1 3⁄ 
 
 
Gráf. 7.24. Representação gráfica 𝑦 = −1/𝑥2 
OBS: Nas funções inversamente proporcionais quanto menor for o 
coeficiente k, mais próximas estarão as hipérboles do eixos das coordenadas. 
7.8. Funções com módulo 
As funções com módulo apresentam-se de seguinte forma: 
 
𝑦 = |𝑓(𝑥)| + 𝑔(𝑥) 
 
Primeiramente analisaremos os casos mais simples de funções lineares com 
módulo: 
 
 𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝑐 (7.12) 
Onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅. 
 
 
 
86 
 
1) Quando 𝑐 = 0 , função linear com módulo apresenta-se da seguinte 
maneira: 
 𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏| (7.13) 
Para construir o gráfico da função linear com módulo, é necessário: 
a) Escrever a função sem o módulo; 
𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏| → 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
b) Aplicar os métodos de construição do gráfico de uma função linear, isto é, 
o gráfico será uma recta e para tal serão necessários 2 pontos importantes. 
Recordemos que estes pontos são pontos de intersecção do gráfico da recta 
com os eixos 0𝑋 e 0𝑌. 
c) O gráfico dessa função sempre se encontra em cima do eixo 0𝑋, porque 
y ≥ 0. E para construir o gráfico da função com módulo, pegaremos a parte do 
gráfico da função sem módulo que se encontra abaixo do eixo 0𝑋 , no seu 
simétrico relativamente ao eixo 0𝑋. 
≫ Determinar as coordenadas do ponto de passagem; 
 𝑦 = 0 
0 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
𝐴 = (−
𝑏
𝑎
; 0) → coordenadas do ponto de passagem 
≫ Adicionar mais um ponto na variável independente, que se encontra mais 
abaixo do gráfico relativamente ao eixo 0𝑋, esse ponto consideremos de ponto 
𝐵; 
≫ Agora localizaremos o ponto 𝐵1 , que é simétrico ao ponto 𝐵 e 
relativamente ao eixo 0𝑋; 
≫ Unir o ponto de passagem 𝐴 com o ponto 𝐵1. 
 
 
 
87 
 
Conclusão: a parte da recta que se encontra acima do eixo 0𝑋 é o que se 
considera gráfico da função linear com módulo. 
Ex.1: 𝑦 = |𝑥 + 1| 
𝑦 = |𝑥 + 1| → 𝑦 = 𝑥 + 1 
Determinar as coordenadas do ponto de passagem; 
 𝑦 = 0 
0 = 𝑥 + 1 
𝑥 = −1 
𝐴 = (−1; 0) → coordenadas do 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑚 
 
𝑥 0 −1 −2 
𝑦 1 0 −1 
 
 
Gráf. 7.25. Representação gráfica da função 𝑦 = |𝑥 + 1| e a demonstração da 
sua construção 
Na prática função linear com módulo, pode ser apresentada de seguinte 
forma: 
 𝑦 = −|𝑎𝑥 + 𝑏| (7.14) 
B
 
𝑩𝟏 
A 
 
 
 
88 
 
A construção do gráfico da função (6.14) é a mesma como a construição da 
função (6.13), a diferença é que o gráfico da função (6.13) encontra-se acima do 
eixo 0𝑋 e gráfico da função (6.14) encontra-se abaixo do eixo 0𝑋 e simétricos 
relativamente ao eixo 0𝑋. 
Ex.2: 𝑦 = −|𝑥 + 1| 
 
Gráf. 7.26. Representação gráfica da função 𝑦 = −|𝑥 + 1| e a demonstração da 
sua construção 
 
2) Quando 𝑐 ≠ 0, mostraremos como construir o gráfico dessa função. 
 
Com forma geral: 
 
𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝑐 
𝑦 − 𝑐 = |𝑎𝑥 + 𝑏| 
Substituindo: 
{
 𝑋 = 𝑥 
 𝑌 = 𝑦 − 𝑐 
 
Obteremos: 
 
 𝑌 = |𝑎𝑋 + 𝑏| 
Quando: 
B
 
𝑩𝟏 
A 
 
 
 
89 
 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = 𝑥 
0= 𝑦 − 𝑐 
 
↓ 
{ 
 
 𝑥 = 0 
𝑦 = 𝑐
 
 
 
Gráf. 7.27. Movimentação dos eixos O(0,0) → 𝐴(0; 𝑐). 
Para construir o gráfico da função linear com módulo na forma geral, é 
necessário: 
a) Escrever a função sem o módulo; 
𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝑐 → 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 
b) Aplicar os métodos de construção do gráfico de uma função linear, isto é, 
o gráfico será uma recta e para tal serão necessários 2 pontos importantes. 
Recordemos, que estes pontos são pontos de intersecção do gráfico da recta 
com os eixos 0𝑋 e 0𝑌. 
c) O gráfico dessa função sempre se encontra em cima da recta 𝑦 = 𝑐, porque 
y ≥ c. E para construir o gráfico da função com módulo, pegaremos a parte do 
gráfico da função sem módulo que se encontra abaixo da recta 𝑦 = 𝑐, no seu 
simétrico relativamente ao recta 𝑦 = 𝑐. 
 
 
 
90 
 
≫ Determinar as coordenadas do ponto de passagem; 
 𝑦 = 𝑐 
𝑐 = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 
0 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
𝐴 = (−
𝑏
𝑎
; 0) → coordenadas do 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑚 
≫ Adicionar mais um ponto na variável independente, que se encontra mais 
abaixo do gráfico relativamente a recta 𝑦 = 𝑐, esse ponto consideremos de ponto 
𝐵; 
≫ Agora localizaremos o ponto 𝐵1 , que é simétrico ao ponto 𝐵 e 
relativamente a recta 𝑦 = 𝑐; 
≫ Unir o ponto de passagem 𝐴 com o ponto 𝐵1. 
Conclusão: a parte que se encontra acima da recta 𝑦 = 𝑐 é o que se 
considera gráfico da função linear com módulo. 
Ex.3: 𝑦 = |𝑥 + 1| + 2 
𝑦 − 2 = |𝑥 + 1| 
Substituindo: 
{
 𝑋 = 𝑥 
 𝑌 = 𝑦 − 2 
 
Obteremos: 
 
 𝒀 = |𝑿 + 1| 
Quando: 
 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = 𝑥 
0 = 𝑦 − 2 
 
↓ 
 
 
 
91 
 
{ 
 
 𝑥 = 0 
𝑦 = 2
 
 
Movimentação dos eixos O(0,0) → 𝐴(0; 2). 
a) Escrever a função sem o módulo; 
𝑦 = |𝑥 + 1| + 2 → 𝑦 = 𝑥 + 1 + 2 
↓ 
𝑦 = 𝑥 + 3 
 
b) Aplicar os métodos de construção do gráfico de uma função linear, isto é, 
o gráfico será uma recta e para tal serão necessários 2 pontos importantes. 
𝑥 0 −3 
𝑦 3 0 
 
c) Determinar as coordenadas do ponto de passagem; 
 𝑦 = 𝑐 
↓ 
𝑦 = 2 
↓ 
2 = 𝑥 + 1 + 2 
↓ 
0 = 𝑥 + 1 
↓ 
𝑥 = −1 
𝐴 = (−1; 2) → coordenadas do 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑚 
≫ Adicionar mais um ponto na variável independente, que se encontra mais 
abaixo do gráfico relativamente a recta 𝑦 = 2, esse ponto consideremos de ponto 
→ 𝐵(−2,1) ∈ 𝑦 = 𝑥 + 3; 
 
 
 
92 
 
≫ Agora localizaremos o ponto 𝐵1(-2,3), que é simétrico ao ponto 𝐵(−2,1) 
e relativamente a recta 𝑦 = 2; 
≫ Unir o ponto de passagem 𝐴 = (−1; 2) com o ponto 𝐵1(−2; 3). 
Conclusão: a parte que se encontra acima da recta 𝑦 = 2 , é o que se 
considera gráfico da função linear com módulo. 
 
 
Gráf. 7.28. Representação gráfica da função 𝑦 = |𝑥 + 1| + 2 
As funções lineares com módulo podem ser ainda apresentadas de seguinte 
forma: 
𝑦 = −|𝑎𝑥 + 𝑏| + c 
Construiremos o gráfico da função 𝑦 = −|𝑎𝑥 + 𝑏| + c, do mesmo jeito como 
se construiu gráfico da função 𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏| + c, a diferença é que, com a função 
𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏| + c pegaremos a parte do gráfico mais abaixo da recta 𝑦 = 𝑐 no 
seu simétrico relativamente a própria recta e com a função 𝑦 = −|𝑎𝑥 + 𝑏| + c 
pegaremos a parte do gráfico acima da recta 𝑦 = 𝑐 no seu simétrico 
relativamente a própria recta. 
Ex.4: 𝑦 = −|𝑥 + 1| + 2 
 
 
 
93 
 
Escrever a função sem o módulo; 
𝑦 = −|𝑥 + 1| + 2 → 𝑦 = −𝑥 − 1 + 2 
↓ 
𝑦 = −𝑥 + 1 
 
𝑥 0 1 
𝑦 1 0 
 
 
Gráf. 7.29. Representação gráfica da função 𝑦 = −|𝑥 + 1| + 2 
Na prática podemos construir os gráficos das funções lineares com módulo, 
de seguinte modo: 
𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝑐 
↓ 
{
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 → 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −
𝑏
𝑎
𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑏 + 𝑐 → 𝑠𝑒 𝑥 < −
𝑏
𝑎
 
 
Para construir o gráfico da função com módulo 𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏| + c, nós temos 
que somente construir gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 e pegaremos a parte do 
 
 
 
94 
 
gráfico que se encontra a direita da recta relativemente a 𝑥 = −
𝑏
𝑎
, em seguida 
construiremos gráfico da função 𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑏 + 𝑐 e pegaremos a parte do 
gráfico que se encontra a esquerda da recta relativamente a 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 . 
Ex.5: 𝑦 = |𝑥 + 1| + 2 
𝑦 = |𝑥 + 1| + 2 
↓ 
{
𝑦 = 𝑥 + 1 + 2 → 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −1 
𝑦 = −𝑥 − 1 + 2 → 𝑠𝑒 𝑥 < −1 
 
 
↓ 
{
𝑦 = 𝑥 + 3 → 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −1 
𝑦 = −𝑥 + 1 → 𝑠𝑒 𝑥 < −1
 
 
 
Gráf. 7.30. Representação gráfica da função 𝑦 = |𝑥 + 1| + 2 
2) Quadráticas com módulo 
Analisaremos a função Quadrática com módulo na forma: 
 𝑦 = |𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐| (7.15) 
 
 
 
95 
 
Onde: 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ∈ 𝑅. 
Suponhamos que 𝑎 > 0: 
a) Escrever a função sem módulo; 
𝑦 = |𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐| 
↓ 
 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (7.16) 
 
As coordenadas do vértice do gráfico da função (7.16) são dadas pela 
fórmula: 
𝐴(−
𝑏
2𝑎
; 
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
 ) 
≫ Se 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
≥ 0, então o gráfico da função (7.16) totalmente encontra-se 
acima do eixo 0𝑋, portanto os gráficos das funções (7.15) e (7.16) coincidem. 
≫ Se 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
< 0, então o gráfico da função (7.16) interseta o eixo 0𝑋 em 
dois pontos, isto é, o gráfico da (7.16) é constituído por duas partes: primeira 
parte encontra-se acima do eixo 0𝑋 e segunda parte abaixo do eixo 0𝑋. Portanto 
para construção do gráfico função (7.15), temos que: 
● Ou pegaremos a parte de baixo da parábola relativamente ao eixo 0𝑋 no 
simétrico, 
● Ou podemos construir gráficos de duas funções: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑦 = −𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐 
Conclusão: a parte que se encontra acima do eixo 0𝑋, é o gráfico da função 
quadrática com módulo. 
Ex.1: 𝑦 = |𝑥2 + 2𝑥 + 2| 
 
Na função vemos que: 𝑎 > 0. 
a) Escrever a função sem módulo; 
𝑦 = |𝑥2 + 2𝑥 + 2| 
 
 
 
96 
 
↓ 
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2 
As coordenadas do vértice do gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2, é dada 
pela fórmula: 
𝐴 (−
𝑏
2𝑎
; 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ) → 𝐴 (−
2
2.1
; 
4.1.2− 22
4.1
 ) 
↓ 
𝐴(−1 ; 1 ) 
≫ Como 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
= 1 ≥ 0 , então o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2 
totalmente encontra-se acima do eixo 0𝑋, portanto os gráficos das funções 𝑦 =
|𝑥2 + 2𝑥 + 2| e 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2 coincidem. 
b) O gráfico será uma parábola e para contrução são necessários não menos 
de 5 pontos; 
Vamos recordar como escolher os 5 pontos simétricos relativamente ao ponto 
−𝟏. 
𝑥 −3 −2 −𝟏 0 1 
𝑦 5 2 1 2 5 
 
 
 
Gráf. 7.31. Representação gráfica da função 𝑦 = |𝑥2 + 2𝑥 + 2| 
Ex.2: 𝑦 = |𝑥2 + 2𝑥 − 3| 
𝑦 = |𝑥2 + 2𝑥 − 3| 
 
 
 
97 
 
↓ 
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 
As coordenadas do vértice do gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 , é 
dada pela fórmula: 
𝐴 (−
𝑏
2𝑎
 ; 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ) → 𝐴 (−
2
2.1
 ; 
4.1.(−3)−22
4.1
 ) 
↓ 
𝐴(−1 ; −4 ) 
≫ Como 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
= −4 < 0, então o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3, 
interseta o eixo OX em dois pontos, isto é, o gráfico da 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3, é 
constituído por duas partes: primeira parte encontra-se acima do eixo 0𝑋 e 
segunda parte abaixo do eixo 0𝑋. Portanto para construção do gráfico função 
𝑦 = |𝑥2 + 2𝑥 − 3|, podemos fazer de seguinte maneira: 
● Ou pegaremos a parte de baixo da parábola relativamente ao eixo 0𝑋 no 
simétrico, 
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 
𝑥 −3 −2 −1 0 1 
𝑦 0 −3 −4 −3 0 
 
 
 
Gráf. 7.32. Representação gráfica da função 𝑦 = |𝑥2 + 2𝑥 − 3| 
 
 
 
98 
 
● Com ajuda das duas funções: 
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 
𝑥 −3 −2 −1 0 1 
𝑦 0 -3 -4 -3 0 
𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 
x −3 −2 −1 0 1 
y 0 3 4 3 0 
 
 
Gráf. 7.33. Representação gráfica da função 𝑦 = |𝑥2 + 2𝑥− 3| 
 
Suponhamos que 𝑎 < 0: 
 
a) Escrever a função sem módulo; 
𝑦 = |𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐| 
↓ 
 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (7.17) 
 
As coordenadas do vértice do gráfico da função (7.17) é dada pela fórmula: 
 
𝐴(−
𝑏
2𝑎
; 
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
 ) 
 
 
 
 
99 
 
≫ Se 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
≤ 0, então o gráfico da função (7.17) totalmente encontra-se 
abaixo do eixo 0𝑋 , Portanto para construção do gráfico da função (7.15), 
pegaremos o gráfico inteiro no simétrico relativamente 0𝑋. 
≫ Se 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
> 0, então o gráfico da função (7.17) interseta o eixo 0𝑋 em 
dois pontos, isto é, o gráfico da (7.17) é constituído por duas partes: primeira 
parte encontra-se acima do eixo 0𝑋 e segunda parte abaixo do eixo 0𝑋. Portanto 
para construção do gráfico da função (7.15), podemos fazer de seguinte maneira: 
● Ou pegaremos a parte de baixo da parábola relativamente ao eixo 0𝑋 no 
simétrico, 
● Ou podemos construir gráficos de duas funções: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑦 = −𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐 
Conclusão: a parte que se encontra acima do eixo 0𝑋, é o gráfico da função 
quadrática com módulo. 
Ex.3: y = |−𝑥2 + 2𝑥 + 2| 
 
Escrever a função sem módulo; 
𝑦 = |−𝑥2 + 2𝑥 − 2| 
↓ 
𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 − 2 
 
As coordenadas do vértice do gráfico da função 19 é dada pela fórmula: 
 
𝐴 (−
𝑏
2𝑎
; 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ) → 𝐴(−
2
2(−1)
; 
4(−1)(−2)− 22
4(−1)
 ) 
 
↓ 
𝐴(1; −1) 
 
 
 
100 
 
≫ Como 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
= −1 < 0, então o gráfico da função 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 − 2 
totalmente encontra-se abaixo do eixo 0𝑋, Portanto, para construção do gráfico 
função 𝑦 = | − 𝑥2 + 2𝑥 − 2| , pegaremos o gráfico inteiro no simétrico 
relativamente 0𝑋. 
𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 − 2 
𝑥 −1 0 1 2 3 
𝑦 −5 −2 −1 −2 −5 
 
 
Gráf. 7.34. Representação gráfica da função 𝑦 = | − 𝑥2 + 2𝑥 − 2| 
 
Ex.4: 𝑦 = | − 𝑥2 − 2𝑥 + 3| 
 
𝑦 = | − 𝑥2 − 2𝑥 + 3| 
↓ 
𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 
As coordenadas do vértice do gráfico da função 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3: 
𝐴 (−
𝑏
2𝑎
 ; 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ) → 𝐴 (−
−2
2.(−1)
 ; 
4.(−1).3−(−2)2
4.(−1)
 ) 
 
↓ 
𝐴(−1 ; 4 ) 
 
 
 
 
101 
 
≫ Como 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
= 4 > 0, então o gráfico da função 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3, 
interseta o eixo 0𝑋 em dois pontos, isto é, o gráfico da 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3, é 
constituído por duas partes: primeira parte encontra-se acima do eixo 0𝑋 e 
segunda parte abaixo do eixo 0𝑋. Portanto para construção do gráfico função 
𝑦 = | − 𝑥2 − 2𝑥 + 3|, podemos fazer de seguinte maneira: 
● Pegaremos a parte de baixo da parábola relativamente ao eixo 0𝑋 no 
simétrico, 
𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 
𝑥 −3 −2 −1 0 1 
𝑦 0 5 4 3 0 
 
 
 
Gráf. 7.35. Representação gráfica da função 𝑦 = | − 𝑥2 − 2𝑥 + 3| 
 
● Com ajuda das duas funções: 
𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 
𝑥 −3 −2 −1 0 1 
𝑦 0 3 4 3 0 
 
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 
𝑥 −3 −2 −1 0 1 
𝑦 0 −3 −4 −3 0 
 
 
 
102 
 
 
 
Gráf. 7.36. Representação gráfica da função 𝑦 = | − 𝑥2 − 2𝑥 + 3| 
 
Analisaremos agora alguns tipos de exercícios de funções quadráticas com 
módulo: 
● 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏|𝑥| + 𝑐 
Para construir o gráfico dessa função: 
≫ Primeiro passo, escrever a função sem módulo: 
{
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
𝑦 = 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
 
≫ Segundo passo, construir o gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, e 
pegaremos a parte do gráfico que se encontra a direita, simétrico relativamente 
ao eixo 0𝑌. Depois construiremos o gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐, e 
pegaremos a parte gráfica que se encontra a esquerda, simétrico relativamente ao 
eixo 0𝑌. 
Ex.5: 𝑦 = 𝑥2 + 2|𝑥| − 3 
Escrever a função sem módulo: 
{
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
 
 
 
 
103 
 
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 
𝑥 −3 −2 −1 0 1 
𝑦 0 −3 −4 −3 0 
 
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
𝑥 −1 0 1 2 3 
𝑦 0 −3 −4 −3 0 
 
 
Gráf. 7.37. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥2 + 2|𝑥| − 3 
 
● 𝑦 = 𝑎𝑥2 + |𝑏𝑥 + 𝑐| + 𝑑 
Para construir o gráfico dessa função: 
≫ Primeiro passo, escrever a função sem módulo: 
{
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑑, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −
𝑐
𝑏
 
𝑦 = 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐 + 𝑑, 𝑠𝑒 𝑥 < −
𝑐
𝑏
 
 
≫ Segundo passo, construir o gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑑, e 
pegaremos a parte do gráfico que se encontra a direita, simétrico relativamente a 
recta 𝑥 = −
𝑐
𝑏
. Depois construiremos o gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐 +
 
 
 
104 
 
𝑑, e pegaremos a parte gráfica que se encontra a esquerda, simétrico 
relativamente a recta 𝑥 = −
𝑐
𝑏
. 
Ex.6: 𝑦 = 𝑥2 + |2𝑥 − 3| + 1 
{
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥
3
2
 
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 <
3
2
 
 
↓ 
{
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≥
3
2
 
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 4, 𝑠𝑒 𝑥 <
3
2
 
 
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 2 
𝑥 −3 −2 −1 0 1 
𝑦 1 −2 −3 −2 1 
 
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 4 
𝑥 −1 0 1 2 3 
𝑦 7 4 3 4 7 
 
 
 
Gráf. 7.38. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥2 + |2𝑥 − 3| + 1 
 
 
 
105 
 
3) Inversamente proporcionais com módulo 
Funções dadas pela fórmula: 
 𝑦 = |
𝑘
𝑥
| (7.18) 
Para construir gráfico da (7.18), só temos que construir gráfico dessa função 
sem módulo, depois pegaremos a parte do gráfico que se encontra abaixo eixo 
0𝑋, no seu simétrico. 
Ex.1: 𝑦 = |
1
𝑥
| 
 
𝑦 =
1
𝑥
 
 
𝑥 −3 −2 −1 −1 2⁄ −1 4⁄ 1/4 1/2 1 2 3 
𝑦 −1 3⁄ −1 2⁄ −1 −2 −4 4 2 1 1/2 1/3 
 
 
 
Gráf. 7.39. Representação gráfica da função 𝑦 = |
1
𝑥
| 
 
7.9. Função potência 
 
Considera-se função de uma potência, a função dada pela fórmula 𝑦 = 𝑥𝑛, e 
que são válidas as seguintes variantes de análise: 
1) Função dada pela fórmula 𝑦 = 𝑥𝑛, onde 𝑛 ∈ 𝑁; 
 
 
 
 
106 
 
a) Se 𝑛 = 1, então a função será dada pela fórmula 𝑦 = 𝑥. Essa é uma função 
linear, gráfico será uma recta que é bissectrice das coordenadas dos ângulos, 
gráfico do tipo: 
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
Gráf. 7.40. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥 
Propriedades: 
1) 𝐷(𝑓) = (−∞ ,+∞); 
2) 𝐸(𝑓) = (−∞ ,+∞); 
3) Uma função ímpar e possui ponto simétrico (0,0). 
b) Se n = 2, então a função será dada pela fórmula 𝑦 = 𝑥2. Essa é uma função 
quadrática e o gráfico será uma parábola do tipo: 
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
Gráf. 7.41. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥2 
 
L1 
L2 
 L1 = L2 
 
 
 
107 
 
Propriedades: 
1) 𝐷(𝑓) = (−∞ ;+∞); 
2) 𝐸(𝑓) = [0;+∞) 
3) Uma função par e possui eixo simétrico 0𝑌. 
c) Se 𝑛 = 3, então será dada pela fórmula 𝑦 = 𝑥3, gráfico será uma parábola 
cúbica do tipo: 
 
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
Gráf. 7.42. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥3 
 
Propriedades: 
1) 𝐷(𝑓) = (−∞ ,+∞); 
2) 𝐸(𝑓) = (−∞ ,+∞); 
3) Uma função ímpar e possui ponto simétrico (0,0). 
 
2) Função dada pela fórmula 𝑦 = 𝑥𝑛, onde 𝑛 ∈ 𝑍−; 
a) Se 𝑛 = −1, a função será dada pela fórmula 𝑦 = 𝑥−1 → 𝑦 =
1
𝑥
 . Essa é 
uma função inversamente proporcional e o gráfico será uma hipérbole, com 
inclinações habituais dos ramos, do tipo: 
 
 
 
 
108 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
Gráf. 7.43. Representação gráfica da função 𝑦 =
1
𝑥
 
 
Propriedades: 
1) 𝐷(𝑓)= (−∞,0) ∪ (0 ,+∞); 
2) 𝐸(𝑓) = (−∞,0) ∪ (0 , +∞); 
3) Uma função ímpar e possui ponto simétrico (0,0). 
b) Se 𝑛 = −2, a função será dada pela fórmula 𝑦 = 𝑥−2 → 𝑦 =
1
𝑥2
 . Essa é 
uma função inversamente proporcional, gráfico será uma hipérbole, mas não 
com inclinações habituais dos ramos, do tipo: 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
Gráf. 7.44. Representação gráfica da função 𝑦 =
1
𝑥2
 
 
 
 
109 
 
Propriedades: 
1) 𝐷(𝑓) = (−∞,0) ∪ (0 ,+∞); 
2) 𝐸(𝑓) = (0 ,+∞); 
3) Uma função par e possui eixo simétrico OY. 
 
3) Função dada pela fórmula 𝑦 = 𝑥𝑛, onde 𝑛 = 0, teremos a função 𝑦 =
𝑥0 = 1, gráfico será uma recta do tipo: 
 
 y 
 
 
 1 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
Gráf. 7.45. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥0 = 1 
 
Propriedades: 
1) 𝐷(𝑓) = (−∞,0) ∪ (0 ,+∞); 
2) 𝐸(𝑓) = 1; 
3) Gráfico será paralelo ( || ) ao eixo 0X e possui ponto simétrico (0,1). 
7.10. Função exponencial 
Considera-se função exponencial, função dada pela fórmula: 
 𝑦 = 𝑎𝑥 (7.19) 
Onde a ∈ (0; 1) ∪ (1;+∞). 
Notaremos que, quando 𝑥 = 0 , logo 𝑦 = 𝑎0 = 1 , o gráfico da função 
sempre passa no ponto 𝐴(0,1). 
 
 
 
110 
 
Analisaremos dois casos: 
1) Se a base 𝒂 > 1, a função é crescente, para construção são necessários 5 
pontos simétrico relativamente ao ponto 0. 
(−2;−1 ; 0; 1; 2) 
Ex.1: 𝑦 = 2𝑥 
𝑦 = 2𝑥 
𝑥 −2 −1 0 1 2 
𝑦 1/4 1/2 1 2 4 
A tabela preenche-se de seguinte maneira: 
𝑥 = −2 → 𝑦 = 2−2 =
1
4
; 
𝑥 = −1 → 𝑦 = 2−1 =
1
2
; 
𝑥 = 0 → 𝑦 = 20 = 1; 
𝑥 = 1 → 𝑦 = 21 = 2; 
𝑥 = 2 → 𝑦 = 22 = 4. 
 
Gráf. 7.46. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑎𝑥 
OBS: Quando x tende à −∞ , gráfico da função estará muito próximo do eixo 0𝑋, mas de 
maneira alguma cruzará o eixo. Nestas condições dizemos que, 0𝑋 é assimptota horizontal. 
 
 
 
111 
 
2) Se a base 𝑎 for um número real entre 0 e 1, (0 < 𝑎 < 1) a função é 
decrescente, para construção são necessário 5 pontos simétrico relativamente ao 
ponto 0. 
(−2;−1; 0 ; 1; 2) 
Ex.2: 𝑦 = (
1
2
)
𝑥
 
𝑦 = (
1
2
)
𝑥
 
x −2 −1 0 1 2 
y 4 2 1 1/2 1/4 
A tabela preenche-se de seguinte maneira: 
𝑥 = −2 → 𝑦 = (
1
2
)
−2
= 4; 
𝑥 = −1 → 𝑦 = (
1
2
)
−1
= 2; 
𝑥 = 0 → 𝑦 = (
1
2
)
0
= 1; 
𝑥 = 1 → 𝑦 = (
1
2
)
1
=
1
2
; 
𝑥 = 2 → 𝑦 = (
1
2
)
2
=
1
4
. 
 
Gráf. 7.47. Representação gráfica da função 𝑦 = (
1
2
)
𝑥
 
 
 
 
112 
 
OBS: Quando x tende à −∞, gráfico da função estará muito próximo do eixo 0𝑋, mas 
não cruzará o eixo. Nestas condições dizemos que, 0𝑋 é assimptota horizontal. 
 
7.11. Função inversa 
 
Função 𝑔(𝑥) considera-se função inversa da função 𝑓(𝑥) se 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥. 
Para determinar a função 𝑔(𝑥), vamos expressar 𝑥 atravez 𝑓(𝑥) (meter x a 
esquerda e f(x) a direita) e obteremos 𝑥 = 𝑓−1(𝑦), e depois vamos substituir 𝑥 
que se encontra a esquerda com 𝑔(𝑥) e 𝑦 que se encontra a direita vamos 
substituir com 𝑥. 
 
𝑓(𝑥) → 𝑥 = 𝑓−1(𝑦), 
 
↓ 
 
 𝑔(𝑥) = 𝑓 −1(𝑥) (7.20) 
 
Propriedade: os gráficos das funções 𝑓(𝑥) 𝑒 g(𝑥) são simétricos 
relativamente a recta da função 𝑦 = 𝑥. 
Ex.1: Determine a função inversa 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1, e constroi o gráfico. 
 
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1 
↓ 
2𝑥 = −𝑓(𝑥) + 1 
↓ 
𝑥 =
−𝑓(𝑥) + 1
2
 
↓ 
𝑥 = −
𝑓(𝑥)
2
+
1
2
 
 
 
 
113 
 
↓ 
𝑔(𝑥) = −
1
2
𝑥 +
1
2
 
 
 
 
Graf. 7.48. Representação gráfica das funções: 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) =
−
1
2
𝑥 +
1
2
 
 
Ex.2: Determine a função inversa 𝑓(𝑥) = 𝑥2, e constroi o gráfico. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
↓ 
𝑥2 = 𝑓(𝑥) 
↓ 
[
𝑥 = √𝑓(𝑥) 
𝑥 = −√𝑓(𝑥)
 
 
 
 
114 
 
↓ 
[
𝑔(𝑥) = √𝑥 
𝑔(𝑥) = −√𝑥
 
 
 
 
Gráf. 7.49. Representação gráfica das funções: 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑔(𝑥) =
√𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = −√𝑥 
 
Ex.3: Determine a função inversa 𝑓(𝑥) =
1
8
𝑥3, e constroi o gráfico. 
 
𝑓(𝑥) =
1
8
𝑥3 
↓ 
𝑥3 = 8𝑓(𝑥) 
↓ 
𝑥 = √8𝑓(𝑥)
3
 
 
 
 
115 
 
↓ 
𝑥 = 2√𝑓(𝑥)
3
 
↓ 
𝑔(𝑥) = 2√𝑥
3
 
 
 
 
Gráf. 7.50. Representação gráfica das funções: 𝑓(𝑥) =
1
8
𝑥3 𝑒 𝑔(𝑥) = 2√𝑥
3
 
 
Ex.4: Determine a função inversa 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
+ 1 , e constroi o gráfico. 
 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
+ 1 
↓ 
𝑓(𝑥) − 1 =
1
𝑥
 
↓ 
1
𝑥
= 𝑓(𝑥) − 1 
 
 
 
116 
 
↓ 
𝑥 =
1
𝑓(𝑥) − 1
 
↓ 
𝑔(𝑥) =
1
𝑥 − 1
 
 
 
 
Gráf. 7.51. Representação gráfica das funções: 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
+ 1 𝑒 𝑔(𝑥) =
1
𝑥−1
 
 
Ex.5: Determine a função inversa 𝑓(𝑥) =
4
𝑥2
 , e constroi o gráfico. 
 
𝑓(𝑥) =
4
𝑥2
 
↓ 
𝑥2 =
4
𝑓(𝑥)
 
↓ 
 
 
 
117 
 
[
 
 
 
 
 
 
𝑥 = √
4
𝑓(𝑥)
 
𝑥 = −√
4
𝑓(𝑥)
 
↓ 
[
 
 
 
 
 𝑥 =
2
√𝑓(𝑥)
 
𝑥 = −
2
√𝑓(𝑥)
 
 
↓ 
[
 
 
 
 𝑔(𝑥) =
2
√𝑥
 
𝑔(𝑥) = −
2
√𝑥
 
 
 
 
 
Gráf. 7.52. Representação gráfica das funções: 𝑓(𝑥) =
4
𝑥2 
, 𝑔(𝑥) =
2
√𝑥
 e 
𝑔(𝑥) = −
2
√𝑥
 
 
 
 
118 
 
Ex.6: Determine a função inversa 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, e constroi o gráfico. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
↓ 
𝑒𝑥 = 𝑓(𝑥) 
↓ 
𝑙𝑛 𝑒𝑥 = 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) 
𝑙𝑛 𝑒𝑥 = 𝑥 
↓ 
𝑥 = 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) 
↓ 
𝑔(𝑥) = ln 𝑥 
 
 
Gráf. 7.53. Representação gráfica das funções: 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 e 𝑔(𝑥) = ln 𝑥 
 
 
 
 
119 
 
VIII. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES 
 
8.1. Equações 
 
Consideram-se equações as igualdades entre duas funções: 
 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) (8.1) 
Onde 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) → funções, 𝑥 → variável. 
O domínio de função dessa equação: 
𝐷 = 𝐷(𝑓) ∪ 𝐷(𝑔) 
Ex.1: √−4𝑥 + 1 + 2 = 2𝑥2 +
3
𝑥
+ 1 
Onde: 𝑓(𝑥) = √−4𝑥 + 1 + 2 e 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 +
3
𝑥
+ 1 
Logo: 𝐷(𝑓) = {𝑥 | − 4𝑥 + 1 ≥ 0} → 𝐷(𝑓) = {𝑥 | 𝑥 ≤
1
4
} → le-se: O 
domínio da função 𝑓(𝑥) é igual ao conjunto dos valores da variável x, que 
satisfazem a desigualdade −4𝑥 + 1 ≥ 0. 
Igualmente localizaremos o domínio da função 𝐷(𝑔): 
𝐷(𝑔) = {𝑥 | 𝑥 > 0} 
Fazendo, 𝐷(𝑓) ∪ 𝐷(𝑔) = {𝑥 | 𝑥 ≤
1
4
 ; 𝑥 > 0} → {𝑥| 0 < 𝑥 ≤
1
4
 } , então o 
domínio de função da equação acima será 𝐷 = {𝑥| 0 < 𝑥 ≤
1
4
 }. 
 
( ] 
 0 1/4 
 
8.1.1. Equações lineares 
 
Quando 𝑓(𝑥) , 𝑔(𝑥) são apresentadas na forma: 
𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 
𝑔(𝑥) = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 
 
 
 
120 
 
Obteremos equação linear com uma variável (Monovariável ): 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
↓ 
𝑎1𝑥 + 𝑏1 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 
↓ 
𝑎1𝑥 − 𝑎2𝑥 = 𝑏2 − 𝑏1 
↓ 
(𝑎1 − 𝑎2)𝑥 = 𝑏2 − 𝑏1 
Quando 𝑎1 − 𝑎2 = 0, obteremos: 
0𝑥 = 𝑏2 − 𝑏1 
Quando 𝑎1 − 𝑎2 ≠ 0 
↓ 
𝑥 =
𝑏2−𝑏1
𝑎1−𝑎2
 
Se 𝑏2 − 𝑏1 ≠ 0, a equação não possui solução: 𝑥 = ∅. 
Se 𝑏2 − 𝑏1 = 0, a equação possui infinitas múltiplas soluções: 𝑥 = 𝑅. 
Ex.1: 3𝑥 + 4 = 2𝑥 − 2 
3𝑥 + 4 = 2𝑥 − 2 
3𝑥 − 2𝑥 = −2 − 4 
𝑥 = −6 
Ex.2: 3𝑥 + 4 = 3𝑥 − 2 
3𝑥 + 4 = 3𝑥 − 2 
3𝑥 − 3𝑥 = −2 − 4 
0𝑥 = −6 
 
 
 
121 
 
 𝑥 = ∅. 
Ex.3: 3𝑥 + 4 = 3𝑥 + 4 
3𝑥 + 4 = 3𝑥 + 4 
3𝑥 − 3𝑥 = 4 − 4 
0𝑥 = 0 
x = 𝑅. 
8.1.2. Equações equivalentes 
 
Consideram-se equações equivalentes, todas aquelas equações que têm as 
mesmas raízes (soluções), isto é,possuem o mesmo conjunto solução. 
Ex.1: 6𝑥 − 12 = 0 (I) e 2𝑥 − 4 = 0 (II) 
(I) → 𝑥 = 2 ; (II) → 𝑥 = 2 
 
Nota-se que as soluções dessas equações são iguais. 
As igualdades numéricas apresentam as seguintes propriedades: 
1) A igualdade numérica não será violada, se nos dois membros forem 
adicionados um número 𝑐 ∈ 𝑁, que esteja adicionar ou subtrair; 
 𝑓(𝑥) ± 𝑐 = 𝑔(𝑥) ± 𝑐 (8.2) 
 
Ex.2: 𝑥 + 2 = 4 
 
𝑥 = 4 − 2 
𝑥 = 2. 
Adicionando número c = 4, usando a adição: 
 
(𝑥 + 2) + 4 = 4 + 4 
𝑥 + 6 = 8 
𝑥 = 8 − 6 
 
 
 
122 
 
𝑥 = 2. 
Usando a subtração: 
(𝑥 + 2) − 4 = 4 − 4 
𝑥 − 2 = 0 
𝑥 = 2. 
2) A igualdade numérica não será violada, se permutarmos os membros; 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) → 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) (8.3) 
Ex. 𝑥 + 2 = 4 → 4 = 𝑥 + 2 
4 = 𝑥 + 2 
4 − 2 = 𝑥 
2 = 𝑥. 
3) A igualdade numérica não será violada, se nos dois membros da igualdade 
forem multiplicados por um número 𝑐 ∈ 𝑁. 
 𝑓(𝑥) × 𝑐 = 𝑔(𝑥) × 𝑐 (8.4) 
 
Ex. 𝑥 + 2 = 4 
 
(𝑥 + 2) × 2 = 4 × 2 
2𝑥 + 4 = 8 
2𝑥 = 8 − 4 
2𝑥 = 4 
𝑥 =
4
2
 
𝑥 = 2. 
Nos estudos das equações equivalentes é validado o seguinte teorema: 
 
 
 
123 
 
Se for dada a expressão 𝑓(𝑥) = 𝛾(𝑥), e se a função 𝑔(𝑥) ≠ 0, então são 
justas as seguintes anotações: 
1) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝛾(𝑥) + 𝑔(𝑥); 
2) 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 𝛾(𝑥). 𝑔(𝑥); 
3) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝛾(𝑥)
𝑔(𝑥)
 . 
8.1.3. Equações quadráticas 
 
Consideram-se de equações quadráticas, todas equações que possam ser 
apresentadas na forma: 
 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (8.5) 
 
onde: 𝑎; 𝑏; 𝑐 → números em R e 𝑎 ≠ 0, 𝑎; 𝑏 → coeficientes da variável x , c → 
constante ( número sem variável ). 
≫ Analisaremos o primeiro caso, quando 𝑐 = 0 , equação (8.5) chama-se 
incompleta do primeiro tipo: 
 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 → 𝑐 = 0 (8.6) 
↓ 
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 → {
𝑥 = 0 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
 ↔ { 
𝑥1 = 0 
𝑥2 = −
𝑏
𝑎
 
 
Ex.1: 2𝑥2 + 3𝑥 = 0 
2𝑥2 + 3𝑥 = 0 
𝑥(2𝑥 + 3) = 0 → {
𝑥 = 0 
2𝑥 + 3 = 0
 ↔ { 
𝑥1 = −
3
2
 
𝑥2 = 0 
 
Ex.2: 3𝑥2 − 6𝑥 = 0 
 3𝑥2 − 6𝑥 = 0 
 
 
 
124 
 
3𝑥(𝑥 − 2) = 0 → {
3𝑥 = 0 
𝑥 − 2 = 0
↔ { 
𝑥1 = 0 
𝑥2 = 2 
 
≫ Analisaremos o segundo caso, quando 𝑏 = 0, equação (8.5) chama-se 
incompleta do segundo tipo: 
 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 → 𝑏 = 0 (8.7) 
 ↓ 
𝑎𝑥2 = −𝑐 ↔ 𝑥2 = −
𝑐
𝑎
 
Quando −
𝑐
𝑎
≥ 0, a equação possui duas raízes 
↓ 
{
 
 
 
 𝑥1 = √−
𝑐
𝑎
 
𝑥2 = −√−
𝑐
𝑎
 
 
Quando −
𝑐
𝑎
< 0, a equação não possui raízes , 𝑥 = ∅. 
Ex.3: 2𝑥2 − 3 = 0 
2𝑥2 − 3 = 0 
↓ 
2𝑥2 = 3 → 𝑥2 =
3
2
 ↔
{
 
 
 
 𝑥1 = √
3
2
 
𝑥2 = −√
3
2
 
 
Ex.4: 3𝑥2 − 27 = 0 
3𝑥2 − 27 = 0 
↓ 
 3𝑥2 = 27 → 𝑥2 =
27
3
 ↔ 𝑥2 = 9 ↔ { 
 𝑥1 = −√9 
𝑥2 = √9 
↔ { 
 𝑥1 = −3 
𝑥2 = 3 
 
 
 
 
 
125 
 
Ex.5: 3𝑥2 + 4 = 0 
3𝑥2 + 4 = 0 
↓ 
3𝑥2 = −4 → 𝑥2 = −
4
3
 ↔ 𝑥 = ∅ 
 
Agora analisaremos o caso geral, quando: 𝑏, 𝑐 ≠ 0. 
 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
↓ 
𝑎 (𝑥2 + 2 
𝑏
2𝑎
𝑥 +
𝑏2
4𝑎2
) −
𝑏2
4𝑎
+ 𝑐 = 0 
↓ 
𝑎(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)2 =
𝑏2
4𝑎
− 𝑐 
↓ 
𝑎(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)2 =
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
 
↓ 
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)2 =
𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
4𝑎2
 
Vamos designar 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 acima por: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 (discriminante) 
Se ∆> 0, a equação possui duas raízes diferentes: 
↓ 
{
 
 𝑥 +
𝑏
2𝑎
= √
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= −√
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
 ↔ {
𝑥 +
𝑏
2𝑎
=
√∆
2𝑎
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= −
√∆
2𝑎
 ↔ {
𝑥1 =
−𝑏+√∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏−√∆
2𝑎
 
Ex.6: 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 0 
Primeiro passo, localizar o discriminante ( ∆ ) 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
↓ 
 ∆= 32 − 4 ∙ 2 ∙ 1 
 
 
 
126 
 
↓ 
∆= 1 
Como ∆> 0, então a equação possui duas raízes: 
{
𝑥1 =
−𝑏+√∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏−√∆
2𝑎
 → {
𝑥1 =
−3+√1
2.2
𝑥2 =
−3−√1
2.2
 ↔ {
𝑥1 =
−3+1
4
𝑥2 =
−3−1
4
 ↔ {
𝑥1 =
−2
4
𝑥2 =
−4
4
 ↔ {
𝑥1 = −
1
2
𝑥2 = −1
 
Se ∆= 0, a equação possui duas raízes iguais ( 𝑥1 = 𝑥2 = −
𝑏
2𝑎
): 
{
𝑥1 =
−𝑏+√∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏−√∆
2𝑎
 → {
𝑥1 =
−𝑏+√0
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏−√0
2𝑎
 ↔ {
𝑥1 = −
𝑏
2𝑎
𝑥2 = −
𝑏
2𝑎
 
Ex.7: 4𝑥2 + 4𝑥 + 1 = 0 
Primeiro passo, localizar o discriminante ( ∆ ) 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 → ∆= 42 − 4 ∙ 4 ∙ 1 ↔ ∆= 0 
Como ∆= 0, então equação possui duas raízes iguais: 
𝑥1 = 𝑥2 = −
𝑏
2𝑎
 → 𝑥1 = 𝑥2 = −
4
2∙4
 ↔ 𝑥1 = 𝑥2 = −
1
2
. 
Se ∆< 0, a equação não possui raízes ( 𝑥 = ∅ ). 
Ex.8: 2𝑥2 + 𝑥 + 3 = 0 
Primeiro passo, localizar o discriminante ( ∆ ) 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 → ∆= 12 − 4 ∙ 2 ∙ 3 ↔ ∆= −23. 
Como ∆< 0, a equação não possui raízes. 
Teorema de Viète: Com ∆≥ 0, a equação quadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 
possui duas raízes 𝑥1, 𝑥2 que satisfazem o sistema: 
{
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
 
 
 
 
127 
 
Prova: 
 Com ∆≥ 0, equação quadrática a𝑥2 + b𝑥 + c = 0, possui duas raízes, que 
são dadas na fórmula: 
{
 
 
 
 
𝑥1 =
−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
Isso queira dizer que: 
1) Soma das raízes 
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏+√∆
2𝑎
+
−𝑏−√∆
2𝑎
 ↔ 𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
 
2) Produto das raízes 
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
−𝑏+√∆
2𝑎
 ∙ 
−𝑏−√∆
2𝑎
 ↔ 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
(−𝑏)2−√∆
2
4𝑎2
 ↔ 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑏2−∆
4𝑎2
 ↔ 
↔ 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑏2−(𝑏2−4𝑎𝑐)
4𝑎2
 ↔ 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 . 
Ex.9: Dada equação quadrática 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 , localize a soma e 
produto das raízes. 
Primeiro passo, localizar o discriminante ( ∆ ) 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 → ∆= (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−6) ↔ ∆= 25. 
Como ∆> 0, então a determinada equação possui duas raízes 𝑥1 , 𝑥2 , que 
satisfazem a condição: 
{
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 → {
𝑥1 + 𝑥2 = −
−1
1
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
−6
1
 ↔ {
𝑥1 + 𝑥2 = 1
𝑥1 ∙ 𝑥2 = −6
 
Resposta: a soma da determinada equação é igual a 1 e produto é igual a −𝟔. 
Ex.10: Dada equação quadrática 𝑥2 − 𝑥 + 6 = 0, localize a soma e produto 
das raízes. 
 
 
 
128 
 
Primeiro passo, localizar o discriminante ( ∆ ) 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 → ∆= (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ 6 ↔ ∆= −23. 
Como ∆< 0, a determinada equação não possui raízes. 
Ex.11: Dada equação quadrática 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, sabendo que a equação 
possui duas raízes 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −2 , localize b e c. 
Conforme o teorema de Viète, teremos: 
{
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
→ {
1 + (−2) = −
𝑏
1
1. (−2) =
𝑐
1
↔ {
−1 = −𝑏
−2 = 𝑐 
↔ {
𝑏 = 1 
𝑐 = −2
 
Determinada equação possui a forma: 
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0. 
Ex.12: Dada equação quadrática 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 , sabemos que essa 
equação possui a raiz 𝑥1 = 2, 
Localize 𝑥2. 
Conforme o teorema de Viète, teremos: 
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
 → 2 + 𝑥2 = −
−5
1
 ↔ 2 + 𝑥2 = 5 ↔ 𝑥2 = 3. 
Ou ainda podemos localizar o 𝑥2 de seguinte maneira: 
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 → 2 ∙ 𝑥2 =
6
1
 ↔ 2𝑥2 = 6 ↔ 𝑥2 = 3. 
Teorema: 
≫ Se determinada equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, possui raiz 𝑥1 = 1 , então 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0, e 𝑥2 =
𝑐
𝑎
; 
≫ Se determinada equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 possui raiz 𝑥1 = −1, então 
𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0, e 𝑥2 = −
𝑐
𝑎
; 
Prova: 
● Como 𝑥1 = 1 é a raiz da equação 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, por isso que: 
 
 
 
129 
 
 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 → 𝑎 ∙ (1)2 + 𝑏 ∙ 1 + 𝑐 = 0 ↔ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0. 
Conforme o teorema de Viète, teremos: 
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 → 1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 ↔ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 . 
● Como 𝑥1 = −1 é a raiz da equação 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, por issoque: 
 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ↔ 𝑎 ∙ (−1)2 + 𝑏 ∙ (−1) + 𝑐 = 0 ↔ 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0 
Conforme o teorema de Viète, teremos: 
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 → −1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 ↔ 𝑥2 = −
𝑐
𝑎
 . 
Ex.13: Dada equação 2𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0, determine as raízes dessa equação. 
Como 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 → 2 + 1 − 3 = 0, então a equação possui raízes 𝑥1 = 1 e 
𝑥2 =
𝑐
𝑎
=
−3
2
= −
3
2
. 
Ex.12: Dada equação −2𝑥2 + 𝑥 + 3 = 0, determine as raízes dessa equação. 
Como 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 → −2 − 1 + 3 = 0, então a equação possui raízes 𝑥1 =
−1 e 𝑥2 = −
𝑐
𝑎
= −
3
−2
=
3
2
. 
8.1.4 . Sistema de duas equações com duas variáveis 
 
Analisaremos sistema linear de duas equação com duas variáveis apresentado 
na forma: 
 {
 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1
 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
 (8.8) 
 
onde: x e y → são variáveis; 𝒂𝟏, 𝒃𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒃𝟐 → coeficientes das variáveis; 𝒄𝟏, 𝒄𝟐 
→ termos independentes (números sem variáveis). 
Os sistemas de equações lineares, de um modo geral, podem ser (8.1): 
 
 
 
 
130 
 
 
Esq. 8.1. Tipos de sistemas de equações 
 
Representando em notações algébricas teremos: 
1) 
𝑎1
𝑎2
≠ 
𝑏1
𝑏2
 → Consistente determinado; 
 
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 Ponto de intersecção das rectas 
 
 
Gráf. 8.1. Demonstração do sistema de equação consistente determinado num 
gráfico 
 
2) 
𝑎1
𝑎2
 =
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
 → Consistente inderminado; 
 
 
 
131 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 As rectas coincidem 
 
 
Gráf. 8.2. Demonstração do sistema de equação consistente indeterminado num 
gráfico 
 
3) 
𝑎1
𝑎2
 =
𝑏1
𝑏2
≠
𝑐1
𝑐2
 → Inconsistente. 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 As rectas são paralelas 
 
Gráf. 8.3. Demonstração do sistema de equação inconsistente num gráfico 
 
 
8.1.4.1. Métodos de resolução dos sistemas de duas equações 
 
Existem vários métodos de resolução dos sistemas de equações, mas para o 
ensino fundamental, temos os seguintes2: 
 
2 Informações e métodos de resolução de sistemas lineares a nível superior, o leitor pode 
encontrar no livro Álgebra linear para Economistas (2016), escrita pelo mesmo autor. Pág. 57. 
 
 
 
132 
 
1) Método de substituição; 
Consiste em isolar uma das variáveis numas das equações do sistema, por 
formas a encontrar uma expressão que será substituída na equação em que não 
foi isolada a variável, obtendo neste caso uma equação de uma variável e com a 
sua resolução teremos o valor da variável em causa. O outro valor será obtido a 
partir da substituição do primeiro valor obtido numa das equações e assim 
teremos o sistema resolvido. 
 {
 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1
 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
 (8.9) 
 
Isolando a variável x da primeira equação, obteremos: 
 
 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1 → 𝑎1𝑥 = 𝑐1 − 𝑏1𝑦 
 𝑥 =
𝑐1−𝑏1𝑦
𝑎1
 (8.10) 
Substituindo a determinada expressão (8.10) na segunda equação, teremos: 
 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 
↓ 
 𝑎2 (
𝑐1 − 𝑏1𝑦
𝑎1
) + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 ↔
𝑐1 𝑎2 ∙ −𝑏1 𝑎2 ∙ 𝑦
𝑎1
+ 𝑏2𝑦 = 𝑐2 ↔ 
↔
𝑐1∙ 𝑎2
𝑎1
−
𝑏1∙𝑎2
𝑎1
𝑦 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 ↔ −
𝑏1∙𝑎2
𝑎1
𝑦 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 −
𝑐1∙ 𝑎2
𝑎1
↔ 
↔ (𝑏2 −
𝑏1.𝑎2
𝑎1
) 𝑦 = 𝑐2 −
𝑐1∙ 𝑎2
𝑎1
 ↔ (
𝑎1.𝑏2−𝑏1∙𝑎2
𝑎1
) 𝑦 =
𝑎1∙𝑐2−𝑐1∙ 𝑎2
𝑎1
↔ 
↔ (𝑎1 ∙ 𝑏2 − 𝑏1 ∙ 𝑎2)𝑦 = 𝑎1 ∙ 𝑐2 − 𝑐1 ∙ 𝑎2. 
● Se a expressão 𝑎1 ∙ 𝑏2 − 𝑏1 ∙ 𝑎2 ≠ 0 → (
𝑎1
𝑎2
≠ 
𝑏1
𝑏2
), então: 
 
 
 
 
133 
 
 𝑦 =
𝑎1𝑐2−𝑐1. 𝑎2
𝑎1.𝑏2−𝑏1.𝑎2
 (8.11) 
Colocando a expressão (8.11) na expressão (8.10), teremos: 
𝑥 =
𝑐1 − 𝑏1𝑦
𝑎1
 
↓ 
𝑥 =
𝑐1−𝑏1
𝑎1𝑐2−𝑐1. 𝑎2
𝑎1.𝑏2−𝑏1.𝑎2
𝑎1
 ↔ 𝑥 =
𝑐1.𝑏2−𝑏1.𝑐2
𝑎1.𝑏2−𝑏1.𝑎2
 
Conclusão: 
Solução do sistema (8.9) será: 
{
 
 𝑥 =
𝑐1 ∙ 𝑏2 − 𝑏1 ∙ 𝑐2
𝑎1 ∙ 𝑏2 − 𝑏1 ∙ 𝑎2
 𝑦 =
𝑎1 ∙ 𝑐2 − 𝑐1. 𝑎2
𝑎1 ∙ 𝑏2 − 𝑏1 ∙ 𝑎2
 
● Se a expressão 𝑎1 ∙ 𝑏2 − 𝑏1 ∙ 𝑎2 = 0 , 𝑎1 ∙ 𝑐2 − 𝑐1 ∙ 𝑎2 = 0 → (
𝑎1
𝑎2
= 
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
) , então sistema tem múltiplas soluções. (𝑥, 𝑦) = (
𝑐1−𝑏1𝑡
𝑎1
, 𝑡) , onde t é 
parâmetro e 𝑡 ∈ 𝑅. 
● Se a expressão 𝑎1 ∙ 𝑏2 − 𝑏1 ∙ 𝑎2 = 0 , 𝑎1𝑐2 − 𝑐1 ∙ 𝑎2 ≠ 0 → (
𝑎1
𝑎2
= 
𝑏1
𝑏2
≠
𝑐1
𝑐2
), então sistema não tem solução. 
Ex.1: {
5𝑥 + 4𝑦 = −3
3𝑥 − 2𝑦 = 7 
 
Analisando que: 
𝑎1
𝑎2
≠ 
𝑏1
𝑏2
 → 
5
3
≠ 
4
−2
 , então o determinado sistema possui uma 
única solução. Localizaremos a solução conforme as regras acima: 
{
5𝑥 + 4𝑦 = −3
3𝑥 − 2𝑦 = 7 
 
 
 
 
134 
 
5𝑥 + 4𝑦 = −3 → 5𝑥 = −3 − 4𝑦 → 𝑥 =
−3−4𝑦
5
 . 
Substituindo na segunda equação no lugar da variável 𝑥 , teremos: 
3𝑥 − 2𝑦 = 7 
↓ 
3(
−3−4𝑦
5
) − 2𝑦 = 7 →
−9−12𝑦
5
− 2𝑦 = 7 → −
9
5
−
12
5
𝑦 − 2𝑦 = 7 → 
→ −
12
5
𝑦 − 2𝑦 = 7 +
9
5
 → (−
12
5
− 2)𝑦 = 7 +
9
5
 → 
−
22
5
𝑦 =
44
5
 → 𝑦 = −
44
5
22
5
 
𝑦 = −
44
5
×
5
22
 
↓ 
𝑦 = −2 
Agora localizaremos 𝑥 com ajuda da expressão: 
𝑥 =
−3−4𝑦
5
 → 𝑥 =
−3−4(−2)
5
 → 𝑥 =
−3+8
5
 → 𝑥 = 1. 
Resposta: determinado sistema possui solução (𝑥, 𝑦) = (1,−2). 
 
Ex.2: {
2𝑥 + 3𝑦 = 1 
4𝑥 + 6𝑦 = 2 
 
Analisando que: 
𝑎1
𝑎2
 =
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
 → 
2
4
 =
3
6
=
1
2
 , então o determinado 
sistema possui infinitas múltiplas soluções. 
 
 
 
135 
 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 1 
4𝑥 + 6𝑦 = 2 
 
↓ 
2𝑥 + 3𝑦 = 1 → 2𝑥 = 1 − 3𝑦 → 𝑥 =
1−3𝑦
2
 . 
Substituindo na segunda equação no lugar da variável x, teremos: 
4𝑥 + 6𝑦 = 2 
↓ 
4 (
1 − 3𝑦
2
) + 6𝑦 = 2 → 2(1 − 3𝑦) + 6𝑦 = 2 → 2 − 6𝑦 + 6𝑦 = 2 
↓ 
0𝑦 = 0. 
Sistema possui múltiplas infinitas soluções, que possuem a forma: 
(𝑥, 𝑦) = (
1 − 3𝑡
2
 , 𝑡) , 𝑡 ∈ 𝑅 
Por exemplo, quando 𝑡 = 0 , (𝑥, 𝑦) = (
1−3.0
2
 , 0) = (
1
2
 ,0). Esta é uma das 
múltiplas soluções do sistema. 
Para verificação, só temos que colocar a determinada solução no sistema e 
veremos uma igualdade: 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 1 
4𝑥 + 6𝑦 = 2 
 
↓ 
{
2 ×
1
2
+ 3 ∙ 0 = 1 
4 ×
1
2
+ 6 ∙ 0 = 2 
 → {
1 = 1 
2 = 2 
 → Verdadeiro 
 
 
 
136 
 
Igualmente verifique, quando 𝑡 = {1, 2, 3… } 
Ex.3: {
3𝑥 − 2𝑦 = 1 
6𝑥 − 4𝑦 = 3 
 
Vendo que: 
𝑎1
𝑎2
 =
𝑏1
𝑏2
≠
𝑐1
𝑐2
 → 
3
6
 =
−2
−4
≠
1
3
 , o determinado sistema não 
possui solução. 
3𝑥 − 2𝑦 = 1 → 3𝑥 = 1 + 2𝑦 → 𝑥 =
1+2𝑦
3
 . 
Substituindo na segunda equação no lugar da variável x, teremos: 
6𝑥 − 4𝑦 = 3 
↓ 
6 (
1 + 2𝑦
3
) − 4𝑦 = 3 → 2(1 + 2𝑦) − 4𝑦 = 3 → 2 + 2𝑦 − 2𝑦 = 3 
↓ 
0𝑦 = 1. 
Sistema não possui solução. 
 
Exercício adicional 
1) {
3𝑥 + 4𝑦 = −5 
𝑥 + 2𝑦 = −3 
 
Analisando que: 
𝑎1
𝑎2
 ≠
𝑏1
𝑏2
→
3
1
 ≠
4
2
 , o determinado sistema possui uma 
única solução. 
Notaremos que 𝑎2 = 1, por isso comajuda da segunda equação isolaremos a 
variável x: 
𝑥 + 2𝑦 = −3 → 𝑥 = −3 − 2𝑦. 
 
 
 
137 
 
Substituindo na primeira equação no lugar da variável x, teremos: 
3𝑥 + 4𝑦 = −5 
 ↓ 
3(−3 − 2𝑦) + 4𝑦 = −5 → −9 − 6𝑦 + 4𝑦 = −5 → −6𝑦 + 4𝑦 = −5 + 9 → 
→ −2𝑦 = 4 → 𝑦 = −2. 
Agora localizaremos 𝑥 com ajuda da expressão: 
𝑥 = −3 − 2𝑦 
↓ 
𝑥 = −3 − 2(−2) 
↓ 
𝑥 = 1 
Resposta: determinado sistema possui solução (𝑥, 𝑦) = (1,−2). 
Casos especiais: 
≫ Quando a variável x ou y não estão numa das equações do sistema. 
 
Ex.4: {
3𝑥 − 4𝑦 = 1 
2𝑥 = 6 
 
Com segunda equação, obteremos: 
2𝑥 = 6 
↓ 
𝑥 = 3 
Substituindo na primeira equação no lugar da variável x, teremos: 
3𝑥 − 4𝑦 = 1 → 3 ∙ 3 − 4𝑦 = 1 → 9 − 4𝑦 = 1 → 
→ −4𝑦 = 1 − 9 → −4𝑦 = −8 
𝑦 = 2 
 
 
 
138 
 
Resposta: determinado sistema possui solução (𝑥, 𝑦) = (3,2). 
2) Método de redução ou adição; 
Esse método consiste em formar termos simétricos de variáveis iguais, para 
simplificá-las, por formas a obter uma só variável, obtendo uma equação linear. 
Logo teremos o valor da variável não simplificada: 
{
 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1 
 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2 
 ↔ {
 𝑎1 ∙ 𝒂𝟐𝑥 + 𝑏1 ∙ 𝒂𝟐𝑦 = 𝒂𝟐 ∙ 𝑐1 
− 𝒂𝟏 ∙ 𝑎2𝑥 − 𝒂𝟏 ∙ 𝑏2𝑦 = − 𝒂𝟏 ∙ 𝑐2 
 
Vamos reduzir as duas partes, teremos: 
(𝑏1 ∙ 𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 ∙ 𝑏2)𝑦 = 𝒂𝟐 ∙ 𝑐1− 𝒂𝟏 ∙ 𝑐2 . 
Todos restantes passos faremos igualmente como no método acima analisado. 
Agora utilizaremos este método para resolver alguns exercícios já resolvidos 
acima. 
Ex.1: {
5𝑥 + 4𝑦 = −3
3𝑥 − 2𝑦 = 7 
 
{
5𝑥 + 4𝑦 = −3 
3𝑥 − 2𝑦 = 7 
 
↓ 
{
5 ∙ 𝟑𝑥 + 4 ∙ 𝟑𝑦 = −3 ∙ 𝟑 
−𝟓 ∙ 3𝑥 − (−𝟓) ∙ 2𝑦 = 7 ∙ (−𝟓) 
→ {
 15𝑥 + 12𝑦 = −9 
−15𝑥 + 10𝑦 = −35 
 
Vamos reduzir as duas partes, teremos: 
22𝑦 = −44 → 𝑦 = −2 . 
Para determinar o valor da variável x , temos que colocar o valor da variável 
y numa das equações do sistema: 
 
 
 
139 
 
5𝑥 + 4𝑦 = −3 → 5𝑥 + 4(−2) = −3 → 5𝑥 = −3 + 8 → 
→ 5𝑥 = 5 → 𝑥 = 1 . 
Resposta: determinado sistema possui solução (𝑥, 𝑦) = (1,−2). 
Ex.2: {
2𝑥 + 3𝑦 = 1 
4𝑥 + 6𝑦 = 2 
 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 1 
4𝑥 + 6𝑦 = 2 
 
↓ 
{
2 ∙ (−𝟐)𝑥 + 3 ∙ (−𝟐)𝑦 = 1 ∙ (−𝟐) 
 4𝑥 + 6𝑦 = 2 
→ {
 −4𝑥 − 6𝑦 = −2 
4𝑥 + 6𝑦 = 2 
 
Vamos reduzir as duas partes, teremos: 
0𝑥 + 0𝑦 = 0. 
 
Sistema possui sistema, tem múltiplas infinitas soluções. 
 
Agora vamos isolar x na primeira equação do sistema, teremos: 
2𝑥 + 3𝑦 = 1 → 2𝑥 = 1 − 3𝑦 → 𝑥 =
1−3𝑦
2
 . 
Sistema possui múltiplas infinitas soluções, que possuem a forma: 
(𝑥, 𝑦) = (
1 − 3𝑡
2
 , 𝑡) , 𝑡 ∈ R 
 
Ex.3: {
3𝑥 − 2𝑦 = 1 
6𝑥 − 4𝑦 = 3 
 
{
3𝑥 − 2𝑦 = 1 
6𝑥 − 4𝑦 = 3 
→ {
3 ∙ (−𝟐)𝑥 − 2 ∙ (−𝟐)𝑦 = 1 ∙ (−𝟐) 
6𝑥 − 4𝑦 = 3 
→ 
 
 
 
140 
 
→ {
 − 6𝑥 + 4𝑦 = −2 
6𝑥 − 4𝑦 = 3 
 
Vamos reduzir as duas partes, teremos: 
0𝑥 + 0𝑦 = −1 
Sistema não possui solução. 
3) Método de comparação; 
Consiste em comparar as duas expressões, obtidas pelo o isolamento das 
variáveis iguais das duas equações do sistema: 
{
 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1
 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
 
↓ 
𝑥 =
𝑐1 − 𝑏1𝑦
𝑎1
 
𝑥 =
𝑐2 − 𝑏2𝑦
𝑎2
 
↓ 
𝑥 = 𝑥 
↓ 
𝑐1−𝑏1𝑦
𝑎1
=
𝑐2−𝑏2𝑦
𝑎2
 
↓ 
𝑎2 ∙ (𝑐1 − 𝑏1𝑦) = 𝑎1 ∙ (𝑐2 − 𝑏2𝑦) 
↓ 
𝑐1 ∙ 𝑎2 − 𝑏1 ∙ 𝑎2𝑦 = 𝑎1 ∙ 𝑐2 − 𝑎1 ∙ 𝑏2𝑦 
↓ 
 
 
 
141 
 
𝑎1 ∙ 𝑏2𝑦 − 𝑏1 ∙ 𝑎2𝑦 = 𝑎1 ∙ 𝑐2 − 𝑐1 ∙ 𝑎2 
↓ 
(𝑎1 ∙ 𝑏2 − 𝑏1 ∙ 𝑎2)𝑦 = 𝑎1 ∙ 𝑐2 − 𝑐1 ∙ 𝑎2. 
Todos restantes passos faremos igualmente como no primeiro método acima 
analisado. 
Ex.1: {
5𝑥 + 4𝑦 = −3
3𝑥 − 2𝑦 = 7 
 
{
5𝑥 + 4𝑦 = −3 
3𝑥 − 2𝑦 = 7 
 
↓ 
{
𝑥 =
−3−4𝑦
5
𝑥 =
7+2𝑦
3
 
 →
−3−4𝑦
5
=
7+2𝑦
3
 → 3 ∙ (−3 − 4𝑦) = 5 ∙ (7 + 2𝑦) → 
→ −9 − 12𝑦 = 35 + 10𝑦 → −10𝑦 − 12𝑦 = 35 + 9 → 
→ −22𝑦 = 44 → 𝑦 = −2. 
Para determinar o valor da variável x , temos que colocar o valor da variável 
y numa das equações do sistema: 
5𝑥 + 4𝑦 = −3 → 5𝑥 + 4(−2) = −3 → 5𝑥 = −3 + 8 → 
→ 5𝑥 = 5 → 𝑥 = 1. 
Resposta: determinado sistema possui solução (𝑥, 𝑦) = (1,−2). 
8.2. Inequações 
 
Consideram-se inequações as desigualdades entre duas funções: 
 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) (8.12) 
 
 
 
142 
 
Onde 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) → funções, 𝑥 → variável. 
As inequações possuem ainda os seguintes sinais: < ,≤ , > . 
O domínio de função da inequação (8.12): 
𝐷 = 𝐷(𝑓) ∪ 𝐷(𝑔) 
Ex.1: √−4𝑥 + 1 + 2 ≥ 2𝑥2 +
3
𝑥
+ 1 
Onde: 𝑓(𝑥) = √−4𝑥 + 1 + 2 e 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 +
3
𝑥
+ 1 
Logo: 𝐷(𝑓) = {𝑥 | − 4𝑥 + 1 ≥ 0} → 𝐷(𝑓) = {𝑥 | 𝑥 ≤
1
4
} → lê-se: O 
domínio da função 𝑓(𝑥) é igual ao conjunto dos valores da variável x, que 
satisfazem a desigualdade −4𝑥 + 1 ≥ 0. 
De igual modo, localizaremos o domínio da função 𝐷(𝑔): 
𝐷(𝑔) = {𝑥 | 𝑥 > 0} 
Neste caso, temos: 𝐷(𝑓) ∪ 𝐷(𝑔) = {𝑥 | 𝑥 ≤
1
4
 ; 𝑥 > 0} → {𝑥| 0 < 𝑥 ≤
1
4
 } , 
então o domínio da função da equação 𝐷 = {𝑥| 0 < 𝑥 ≤
1
4
 }. 
( ] 
 0 1/4 
 
8.2.1. Inequações lineares 
 
Quando 𝑓(𝑥) , 𝑔(𝑥) são apresentadas na forma: 
𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 
𝑔(𝑥) = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 
Obteremos inequação linear com uma variável (monovariável ): 
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 
↓ 
𝑎1𝑥 + 𝑏1 ≥ 𝑎2𝑥 + 𝑏2 
 
 
 
143 
 
↓ 
𝑎1𝑥 − 𝑎2𝑥 ≥ 𝑏2 − 𝑏1 → (𝑎1 − 𝑎2)𝑥 ≥ 𝑏2 − 𝑏1. 
Quando 𝑎1 − 𝑎2 > 0 
↓ 
𝑥 ≥ 
𝑏2−𝑏1
𝑎1−𝑎2
 
Quando 𝑎1 − 𝑎2 < 0, obteremos: 
𝑥 ≤ 
𝑏2−𝑏1
𝑎1−𝑎2
 
Ex.2: 3𝑥 + 4 ≥ 2𝑥 − 2 
3𝑥 + 4 ≥ 2𝑥 − 2 
3𝑥 − 2𝑥 ≥ −2 − 4 
𝑥 ≥ −6 
↓ 
𝑥 ∈ [−6 ; +∞). 
 
 [ 
 −6 𝑥 +∞ 
 
Se pegarmos um número que se encontre no domínio (região, intervalo) do 
valor 𝑥, então a inequação será verdadeira, e se pegarmos um número que não 
se encontra no domínio (região, intervalo) do valor 𝑥, então a inequação será 
falsa. 
 
● 0 ∈ [−6 ; +∞) 
3𝑥 + 4 ≥ 2𝑥 − 2 
↓ 
 
 
 
144 
 
3.0 + 4 ≥ 2.0 − 2 
↓ 
 4 ≥ −2 → verdadeira. 
● −10 ∉ [−6 ; +∞) 
3. (−10) + 4 ≥ 2. (−10) − 2 
↓ 
−30 + 4 ≥ −20 − 2 
↓ 
 −26 ≥ −22 → falsa. 
Ex.2: 3𝑥 + 4 ≥ 5𝑥 − 2 
3𝑥 + 4 ≥ 5𝑥 − 2 
↓ 
3𝑥 − 5𝑥 ≥ −2 − 4 → −2𝑥 ≥ −6 → 𝑥 ≤
−6
−2
 
↓ 
𝑥 ≤ 3 
↓ 
𝑥 ∈ (−∞ ; 3] 
 ] 
 −∞ x 3 
 
8.2.2. Inequações quadráticas 
 
Primeiramente, analisaremos função quadrática que possui a forma: 
 
 
 
145 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (8.13) 
Com designação dada, a variável 𝑥 pode possuir os seguintes sinais: 
𝑓(𝑥) ≥ 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0; 
𝑓(𝑥) ≤ 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0; 
𝑓(𝑥) > 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0; 
𝑓(𝑥) < 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0; 
𝑓(𝑥) = 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
Quando 𝑓(𝑥) = 0, obteremos uma equação quadrática e nos restantes casos 
obteremos inequações quadráticas. 
A posição do gráfico da função quadrática (8.13) possui 6 casos analíticos: 
≫ Possui duas raízes se: 
 
 
 
 𝑥1 𝑥2 
 𝑥1 𝑥2 
 
 
 Caso 1 Caso 2 
≫ Possui uma só raiz se: 
 
 
 
 
 𝑥1 = 𝑥2 
 𝑥1 =𝑥2 
 
 
 Caso 3 Caso 4 
 
 
 
146 
 
≫ Não possui raízes se: 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso 5 Caso 6 
Onde 𝑥1 𝑒 𝑥2 são as raízes da função quadrática 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, isto é, 
quando 𝑓(𝑥) = 0. 
≫ Vamos analisar o caso 1: 
 
Conforme o gráfico e a presença dos pontos no eixo OX, podemos concluir 
que a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, possui as seguintes propriedades: 
● A parábola possui o ponto do vértice mínimo, por isso 𝑎 > 0; 
● 𝑓(𝑥) = 0 , a parábola interseta os pontos 𝑥1 , 𝑥2 (raízes); 
● 𝑓(𝑥) , conserva o sinal positivo (isto é 𝑓(𝑥) > 0) , no intervalo 𝑥 ∈
(−∞;𝑥1) ∪ (𝑥2; +∞); 
● 𝑓(𝑥) , conserva o sinal negativo (isto é 𝑓(𝑥) < 0) , no intervalo 𝑥 ∈
(𝑥1; 𝑥2). 
 
 
 
147 
 
Conclusão: 
Quando 𝑎 > 0, ∆> 0, então 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, logo: 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, quando 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, quando 𝑥 ∈ (−∞; 𝑥1) ∪ (𝑥2; +∞); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0, quando 𝑥 ∈ (𝑥1; 𝑥2); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ; 𝑥1] ∪ [ 𝑥2; +∞); 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, quando 𝑥 ∈ [ 𝑥1; 𝑥2 ]. 
≫ Vamos analisar o caso 2: 
 
Conforme o gráfico e a presença dos pontos no eixo OX, podemos concluir 
que a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, possui as seguintes propriedades: 
● A parábola possui o ponto do vértice máximo, por isso 𝑎 < 0; 
● 𝑓(𝑥) = 0, parábola interseta os pontos 𝑥1 , 𝑥2 (raízes); 
● 𝑓(𝑥) conserva o sinal positivo (isto é 𝑓(𝑥) > 0) , no intervalo 𝑥 ∈
(𝑥1; 𝑥2); 
● 𝑓(𝑥) conserva o sinal negativo (isto é 𝑓(𝑥) < 0) , no intervalo 𝑥 ∈
(−∞;𝑥1) ∪ (𝑥2; +∞). 
Conclusão: 
 
 
 
148 
 
Quando 𝑎 < 0, ∆> 0, então 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, logo: 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, quando 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, quando 𝑥 ∈ (𝑥1; 𝑥2) ; 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0, quando 𝑥 ∈ (−∞; 𝑥1) ∪ (𝑥2; +∞); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0, quando 𝑥 ∈ [𝑥1; 𝑥2] ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞; 𝑥1] ∪ [𝑥2; +∞). 
≫ Vamos analisar o caso 3: 
 
Conforme o gráfico e a presença do ponto no eixo OX, podemos concluir que 
a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, possui as seguintes propriedades: 
● A parábola possui o ponto do vértice mínimo, por isso 𝑎 > 0; 
● 𝑓(𝑥) = 0, a parábola toca o ponto 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥0 = −
𝑏
2𝑎
 ; 
● 𝑓(𝑥) conserva o sinal positivo (isto é 𝑓(𝑥) > 0) , no intervalo 𝑥 ∈
(−∞;𝑥0) ∪ (𝑥0; +∞). 
Conclusão: 
Quando 𝑎 > 0, ∆= 0, então 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, logo: 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, quando 𝑥 = 𝑥0 ; 
 
 
 
149 
 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, quando 𝑥 ∈ (−∞; 𝑥0) ∪ (𝑥0; +∞) ; 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0, quando 𝑥 = ∅ ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0, quando 𝑥 = (−∞;+∞) ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, quando 𝑥 = 𝑥0. 
≫ Vamos analisar o caso 4: 
 
Conforme o gráfico e a presença do ponto no eixo OX, podemos concluir que 
a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, possui as seguintes propriedades: 
● A parábola possui o ponto do vértice máximo, por isso 𝑎 < 0; 
● 𝑓(𝑥) = 0, a parábola toca o ponto 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥0 = −
𝑏
2𝑎
 ; 
● 𝑓(𝑥) conserva o sinal negativo (isto é 𝑓(𝑥) < 0) , no intervalo 𝑥 ∈
(−∞;𝑥0) ∪ (𝑥0; +∞). 
Conclusão: 
Quando 𝑎 < 0, ∆= 0, então 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, logo: 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, quando 𝑥 = 𝑥0; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, quando 𝑥 = ∅ ; 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0, quando 𝑥 ∈ (−∞; 𝑥0) ∪ (𝑥0; +∞) ; 
 
 
 
150 
 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0, quando 𝑥 = 𝑥0; 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;+∞). 
≫ Vamos analisar o caso 5: 
 
Conforme o gráfico e ausência dos pontos no eixo OX, podemos concluir que 
a função a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, possui as seguintes propriedades: 
● A parábola possui o ponto do vértice mínimo, por isso 𝑎 > 0; 
● 𝑓(𝑥) conserva o sinal positivo (isto é 𝑓(𝑥) > 0) , no intervalo 𝑥 ∈
(−∞ ; +∞) 
Conclusão: 
Quando 𝑎 > 0, ∆< 0, então 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, logo: 
✓ 𝑓(𝑥) = 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, quando 𝑥 = ∅; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0, quando 𝑥 = ∅; 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, quando 𝑥 = ∅. 
≫ Vamos analisar o caso 6: 
 
 
 
151 
 
 
Conforme o gráfico e ausência dos pontos no eixo OX, podemos concluir que 
a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, possui as seguintes propriedades: 
● A parábola possui o ponto do vertice maximo, por isso 𝑎 < 0; 
● 𝑓(𝑥) conserva o sinal negativo (isto é 𝑓(𝑥) < 0) , no intervalo 𝑥 ∈
(−∞ ; +∞) 
Conclusão: 
Quando 𝑎 < 0, ∆< 0, então 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, logo: 
✓ 𝑓(𝑥) = 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, quando 𝑥 = ∅; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0, quando 𝑥 = ∅; 
✓ 𝑓(𝑥) < 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0, quando 𝑥 = ∅; 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0,→ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;+∞). 
Mostraremos tudo que foi analisado acima numa tabela (8.1) de uma visão mais resumida 
e bastante esclarecida: 
 
 
 
 
 
 
 
 
152 
 
Tabela 8.1 
Tabela de análise dos sinais e intervalos das inequações quadráticas 
𝒇(𝒙) 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎 
∆ < 𝟎 
𝒂 > 𝟎 𝑥 ∈ (−∞ ; +∞) 𝑥 ∈ (−∞ ; +∞) 𝑥 = ∅ 𝑥 = ∅ 
𝒂 < 𝟎 𝑥 = ∅ 𝑥 = ∅ 𝑥 ∈ (−∞ ; +∞) 𝑥 ∈ (−∞ ; +∞) 
∆ = 𝟎 
𝒂 > 𝟎 
𝑥 ∈ 
(−∞ ; 𝑥0) ∪ (𝑥0; +∞) 
𝑥 ∈ (−∞ ; +∞) 𝑥 = ∅ 𝑥 = 𝑥0 
𝒂 < 𝟎 𝑥 = ∅ 𝑥 = 𝑥0 
𝑥 ∈ 
(−∞ ; 𝑥0) ∪ (𝑥0; +∞) 
𝑥 ∈ (−∞ ; +∞) 
∆ > 𝟎 
𝒂 > 𝟎 
𝑥 ∈ 
(−∞; 𝑥1) ∪ (𝑥2; +∞) 
𝑥 ∈ (−∞; 𝑥1] ∪ [𝑥2; +∞) 𝑥 ∈ (𝑥1; 𝑥2) 𝑥 ∈ [𝑥1; 𝑥2] 
𝒂 < 𝟎 𝑥 ∈ (𝑥1; 𝑥2) 
𝑥 ∈ [𝑥1; 𝑥2] 
 
 
 
 
𝑥 ∈ 
(−∞; 𝑥1) ∪ (𝑥2; +∞) 
𝑥 ∈ 
(−∞; 𝑥1] ∪ [𝑥2; +∞) 
 
 
 
153 
 
Ex.1: 𝑥2 + 3𝑥 + 2 > 0 
Como 𝑎 = 1 > 0, 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 → 1 − 3 + 2 = 0, por isso que, a equação 
quadrática 𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 possui duas raízes, 𝑥1 = −1, 𝑥2 = −
𝑐
𝑎
= −
2
1
= −2. 
Então a inequação 𝑥2 + 3𝑥 + 2 > 0, coincide com o primeiro caso, logo: 
𝑥2 + 3𝑥 + 2 > 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ (−1;+∞). 
Na recta real juntamente com o sinal da inequação em que o coeficiente 𝑎 =
1 > 0, teremos: 
 
 
 −∞ -2 -1 + ∞ 
 
𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ (−1;+∞). 
Ex.2: 𝑥2 − 𝑥 − 6 ≤ 0 
Em primeiro lugar vamos localizar as raízes da equação quadrática: 
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 
↓ 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
↓ 
∆= (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−6) 
↓ 
∆= 1 + 24 
↓ 
∆= 25 
↓ 
+ + + + 
 
 
 
154 
 
{
 
 
 
 
𝑥1 =
−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
↓ 
{
 
 
 
 
𝑥1 =
−(−1) + √25
2.1
𝑥2 =
−(−1) − √25
2.1
 
↓ 
{
𝑥1 =
1 + 5
2
𝑥2 =
1 − 5
2
 
↓ 
{
𝑥1 = −2 
𝑥2 = 3 
 
Como 𝑎 = 1 > 0 , então a inequação 𝑥2 − 𝑥 − 6 ≤ 0, coincide com o 
primeiro caso, logo: 
𝑥2 − 𝑥 − 6 ≤ 0, quando 𝑥 ∈ [−2 ; 3 ]. 
Na recta real juntamente com o sinal da inequação em que o coeficiente 𝑎 =
1 > 0, teremos: 
 
 
 −∞ -2 3 + ∞ 
 
𝑥 ∈ [−2 ; 3 ]. 
− 
+ + 
 
 
 
155 
 
Ex.3: Determine o domínio da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √−𝑥2 + 3𝑥 − 2 
Função 𝑦 = √−𝑥2 + 3𝑥 − 2, existe só e somente, quando: −𝑥2 + 3𝑥 − 2 ≥
0. 
Em primeiro lugar, vamos localizaras raízes da equação quadrática: 
−𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 
↓ 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
↓ 
∆= 32 − 4 ∙ (−1) ∙ (−2) 
↓ 
∆= 9 − 8 
↓ 
∆= 1 
↓ 
{
 
 
 
 
𝑥1 =
−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
↓ 
{
 
 
 
 𝑥1 =
−3 + √1
2. (−1)
𝑥2 =
−3 − √1
2. (−1)
 
↓ 
{
𝑥1 =
−3 + 1
−2
𝑥2 =
−3 − 1
−2
 
↓ 
 
 
 
156 
 
{
𝑥1 = 1 
𝑥2 = 2 
 
Como 𝑎 = −1 < 0, então a inequação −𝑥2 + 3𝑥 − 2 ≥ 0, coincide com o 
segundo caso, logo: 
−𝑥2 + 3𝑥 − 2 ≥ 0, quando 𝑥 ∈ [1 ; 2] 
Na recta real juntamente com o sinal da inequação em que o coeficiente 𝑎 =
−1 < 0, teremos: 
 
 
 −∞ 1 2 + ∞ 
 − − 
 
𝑥 ∈ [1 ; 2 ]. 
Ex.4: Analise o sinal da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 7𝑥 − 5 
Em primeiro lugar, vamos localizar as raízes da equação quadrática: 
−2𝑥2 + 7𝑥 − 5 = 0 
Como 𝑎 = −2 < 0, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 → −2 + 7 − 5 = 0, por isso que, a equação 
quadrática 
−2𝑥2 + 7𝑥 − 5 = 0, possui duas raízes, 𝑥1 = 1, 𝑥2 =
𝑐
𝑎
=
−5
−2
=
5
2
 . 
O gráfico da 𝑦 = −2𝑥2 − 3𝑥 + 5, coincide com segundo caso, logo: 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 → −2𝑥2 + 7𝑥 − 5 = 0, quando 𝑥 = {1 , 5/2}; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 → −2𝑥2 + 7𝑥 − 5 > 0, quando 𝑥 ∈ (1; 5/2) ; 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 → −2𝑥2 + 7𝑥 − 5 < 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;1) ∪ (5/2;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→ −2𝑥2 + 7𝑥 − 5 ≥ 0, quando 𝑥 ∈ [1; 5/2] ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 → −2𝑥2 + 7𝑥 − 5 ≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;1] ∪ [5/2;+∞). 
 − 
+ 
 
 
 
157 
 
Ex.5: 𝑥2 + 4𝑥 + 4 > 0 
Como 𝑎 = 1 e ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 → ∆= 42 − 4.4.1 = 0, por isso que a equação 
quadrática 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 0 possui a raiz 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥0 = −
𝑏
2𝑎
= −
4
2
= −2 . 
Logo, as propriedades da inequação quadrática 𝑥2 + 4𝑥 + 4 > 0, coincidem 
com o terceiro caso, isto é: 
 𝑥2 + 4𝑥 + 4 > 0, sabendo que 𝑥 ∈ (−∞ ; −2) ∪ (−2 ; +∞) 
Pode-se analisar determinada inequação quadrática da seguinte maneira: 
Como 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)2 , então 𝑥2 + 4𝑥 + 4 > 0 → (𝑥 + 2)2 > 0, 
com todos 𝑥 ≠ 0 , isto é: 
 𝑥2 + 4𝑥 + 4 > 0, sabendo que 𝑥 ∈ (−∞ ; −2) ∪ (−2 ; +∞). 
 
 
 
 
 −2 
Ex.6: − 
1
4
𝑥2 + 𝑥 − 1 > 0 
Como 𝑎 = − 
1
4
 e ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 → ∆= 12 − 4. (− 
1
4
). (−1) = 0, por isso 
que a equação quadrática − 
1
4
𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0, possui a raiz 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥0 =
−
𝑏
2𝑎
= −
1
2
−1
4
= 2. 
Logo, as propriedades da inequação quadrática − 
1
4
𝑥2 + 𝑥 − 1 > 0 , 
coincidem com terceiro caso, isto é: 
− 
1
4
𝑥2 + 𝑥 − 1 ≤ 0, sabendo que 𝑥 ∈ (−∞ ; +∞) 
↓ 
− 
1
4
𝑥2 + 𝑥 − 1 > 0, sabendo que 𝑥 = ∅ . 
Pode-se analisar determinada inequação quadrática da seguinte maneira: 
+ + 
 
 
 
158 
 
Como − 
1
4
𝑥2 + 𝑥 − 1 = −(
1
2
𝑥 − 1)2 , portanto − 
1
4
𝑥2 + 𝑥 − 1 > 0 →
−(
1
2
𝑥 − 1)
2
> 0, com 𝑥 ∈ (−∞ ; +∞), isto é, − 
1
4
𝑥2 + 𝑥 − 1 > 0 com 𝑥 =
∅. 
 
2 
 
 
 
 
 
Ex.7: Determine o domínio da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2+𝑥+1
 
Função 𝑦 =
1
𝑥2+𝑥+1
 , existe só e somente, quando: 𝑥2 + 𝑥 + 1 ≠ 0. 
Como 𝑎 = 1 > 0 e ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 → ∆= 12 − 4.1.1 = −3 < 0 , logo as 
propriedades da inequação quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1, coincidem com o 
quinto caso, isto é: 𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0, com todos 𝑥 ∈ (−∞ ; +∞), por isso que 
𝑥2 + 𝑥 + 1 ≠ 0, com todos 𝑥 ∈ 𝑅. 
Conclusão: 
Função 𝑦 =
1
𝑥2+𝑥+1
 , determina-se com todos 𝑥 ∈ 𝑅. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.8: Analise o sinal da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 3𝑥 − 4 
 
Como 𝑎 = −2 < 0, и ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 → ∆= 32 − 4. (−2). (−3) = −15 < 0 
logo as propriedades da inequação quadrática 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 3𝑥 − 4 
coincidem com o sexto caso, isto é: 
 
 
 
159 
 
 
✓ 𝑓(𝑥) < 0,→ −2𝑥2 + 3𝑥 − 4 < 0, sabendo que 𝑥 ∈ (−∞ ;+∞). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordemos! 
Tabela 8.2 
Tabela de análise dos intervalos das inequações 
Inequação Intervalo 
x > a (𝑎;+∞) 
x < a (−∞;𝑎) 
x ≥ a [𝑎; +∞) 
x ≤ a (−∞;𝑎] 
a < x < b (𝑎; 𝑏) 
a ≤ x ≤ b [𝑎; 𝑏] 
a ≤ x < b [𝑎; 𝑏) 
a < x ≤ b (𝑎; 𝑏] 
 
A determinada tabela será útil no subtema que se segue! 
 
 
8.2.3. Inequações fraccionárias 
Inequações fraccionárias são aquelas inequações apresentadas de seguinte 
forma: 
 
 
 
160 
 
𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
≠ 0 
Elas podem ser do tipo: 
 
1) Inequação 
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
> 0, equivalente a dois sistemas de inequações: 
{
ℎ(𝑥) > 0
𝑔(𝑥) > 0
 ou {
ℎ(𝑥) < 0
𝑔(𝑥) < 0
 
2) Inequação 
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
< 0, equivalente a dois sistemas de inequações: 
{
ℎ(𝑥) > 0
𝑔(𝑥) < 0
 ou {
ℎ(𝑥) < 0
𝑔(𝑥) > 0
 
3) Inequação 
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
≥ 0, equivalente a dois sistemas de inequações: 
{
ℎ(𝑥) ≥ 0
𝑔(𝑥) ≥ 0
 ou {
ℎ(𝑥) ≤ 0
𝑔(𝑥) ≤ 0
 
4) Inequação 
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
≤ 0, equivalente a dois sistemas de inequações: 
{
ℎ(𝑥) ≥ 0
𝑔(𝑥) ≤ 0
 ou {
ℎ(𝑥) ≤ 0
𝑔(𝑥) ≥ 0
 
 
Exemplo: Inequação canónica fraccionária, constituída por duas equações 
lineares. 
 
𝑓(𝑥) =
𝑎1𝑥 + 𝑏1
𝑎2𝑥 + 𝑏2
 
 
Ex.1: 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
> 0 
 
Esta é uma inequação equivalente a dois sistemas de inequações: 
 
{
2𝑥 + 4 > 0
 𝑥 − 3 > 0
 ou {
2𝑥 + 4 < 0
 𝑥 − 3 < 0
 
 
↓ 
{
2𝑥 > −4
 𝑥 > 3 
 ou {
2𝑥 < −4
 𝑥 < 3 
 
 
↓ 
 
 
 
161 
 
{
 𝑥 > −2
 𝑥 > 3 
 ou {
 𝑥 < −2
 𝑥 < 3 
 
 
↓ 
{
 𝑥 > −2
 𝑥 > 3 
 ou {
 𝑥 < −2
 𝑥 < 3 
 
 
↓ 
𝑥 > 3 ou 𝑥 < −2 
 
↓ 
𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ (3;+∞). 
Ex.2: 𝑓(𝑥) =
2𝑥−3
3𝑥+4
≤ 0 
 
Esta é uma inequação equivalente a dois sistemas de inequações: 
 
{
2𝑥 − 3 ≤ 0
3𝑥 + 4 ≥ 0
 ou {
2𝑥 − 3 ≥ 0
3𝑥 + 4 ≤ 0
 
 
↓ 
{
2𝑥 ≤ 3
3𝑥 ≥ −4
 ou {
2𝑥 ≥ 3
3𝑥 ≤ −4
 
 
↓ 
{
 𝑥 ≤
3
2
 
 𝑥 ≥ −
4
3
 
 ou {
 𝑥 ≥
3
2
 
 𝑥 ≤ −
4
3
 
 
 
↓ 
 
−
4
3
≤ 𝑥 ≤
3
2
 ou 𝑥 = ∅ 
 
↓ 
 
𝑥 ∈ (−
4
3
;
3
2
). 
Ex.3: 
−2𝑥+13
 3𝑥+4
≥ 2 
 
 
 
162 
 
−2𝑥 + 13
 3𝑥 + 4
≥ 2 
 
↓ 
−2𝑥 + 13
 3𝑥 + 4
− 2 ≥ 0 
↓ 
−2𝑥 + 13 − 2(3𝑥 + 4)
3𝑥 + 4
≥ 0 
↓ 
−2𝑥 + 13 − 6𝑥 − 8
3𝑥 + 4
≥ 0 
↓ 
−8𝑥 + 5
 3𝑥 + 4
≥ 0 
Esta é uma inequação equivalente a dois sistemas de inequações: 
 
{
−8𝑥 + 5 ≥ 0
 3𝑥 + 4 ≥ 0
 ou {
−8𝑥 + 5 ≤ 0
 3𝑥 + 4 ≤ 0
 
↓ 
{
−8𝑥 ≥ −5
 3𝑥 ≥ −4
 ou {
−8𝑥 ≤ −5
 3𝑥 ≤ −4
 
↓ 
{
 𝑥 ≤
5
8
 𝑥 ≥ −
4
3
 
 ou {
 𝑥 ≥
5
8
 𝑥 ≤ −
4
3
 
 
↓ 
−
4
3
≤ 𝑥 ≤
5
8
 ou 𝑥 = ∅ 
 
 
 
163 
 
↓ 
𝑥 ∈ (−
4
3
;
5
8
). 
Nota-se que esse método é eficiente quando os sinais das inequações são 
determinados (>,<,≥,≤), por exemplo, no 1 e 2 exemplo. Quando os sinais 
das inequações não são determinados, por exemplo, a função 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
 , e 
exige-se determinar em quais segmentos a função possui o sinal maior, menor, 
maior ou igual e menor ou igual (>,<,≥,≤) . Para resolver essa situação, 
utilizaremos o método da inequação canónica fraccionária, constituída por duas 
equações lineares, que consiste em diferenciar o denominador a zero e 
transformar a divisão numa multiplicação. 
 
𝑓(𝑥) =
𝑎1𝑥 + 𝑏1
𝑎2𝑥 + 𝑏2
 
 
Domínio do denominador: 𝑎2𝑥 + 𝑏2 ≠ 0,→ 𝑥 ≠ −
𝑏2
𝑎2
 
Essa função chama-se quadrática e os sinais da função 
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
 , com (𝑎1𝑥 +
𝑏1)(𝑎2𝑥 + 𝑏2) = 𝑎1𝑎2𝑥
2 + (𝑎1𝑏2 + 𝑎2𝑏1)𝑥 + 𝑏1𝑏2 , são iguais. 
1) Se 𝑎1 ∙ 𝑎2 > 0 e −
b1
a1
< −
b2
a2
 , então o gráfico da função 𝑓(𝑥), será de 
seguinte modo: 
 
 
 
 
 
164 
 
 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
= 0, quando 𝑥 = −
𝑏1
𝑎1
; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
> 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−
𝑏1
𝑎1
) ∪ (−
𝑏2
𝑎2
; +∞) ; 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
< 0, quando 𝑥∈ (−
𝑏1
𝑎1
; −
𝑏2
𝑎2
) ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
≥ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;−
𝑏1
𝑎1
] ∪ (−
𝑏2
𝑎2
 , +∞ ) ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
≤ 0, quando 𝑥 ∈ [−
𝑏1
𝑎1
; −
𝑏2
𝑎2
 ). 
2) Se 𝑎1 ∙ 𝑎2 < 0 e −
𝑏1
𝑎1
< −
𝑏2
𝑎2
 , então o gráfico da função 𝑓(𝑥), será de 
seguinte modo: 
 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
= 0, quando 𝑥 = −
𝑏1
𝑎1
; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
> 0, quando 𝑥 ∈ (−
𝑏1
𝑎1
; −
𝑏2
𝑎2
) ; 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
< 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−
𝑏1
𝑎1
) ∪ (−
𝑏2
𝑎2
; +∞) ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
≥ 0, quando 𝑥 ∈ [ −
𝑏1
𝑎1
; −
𝑏2
𝑎2
) ; 
 
 
 
165 
 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;−
𝑏1
𝑎1
] ∪ (−
𝑏2
𝑎2
 , +∞ ). 
3) Se 𝑎1 ∙ 𝑎2 > 0 e −
𝑏1
𝑎1
> −
𝑏2
𝑎2
 , então o gráfico da função 𝑓(𝑥), será de 
seguinte modo: 
 
 
 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
= 0, quando 𝑥 = −
𝑏1
𝑎1
; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
> 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−
𝑏2
𝑎2
) ∪ (−
𝑏1
𝑎1
; +∞) ; 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
< 0, quando 𝑥 ∈ (−
𝑏2
𝑎2
; −
𝑏1
𝑎1
) ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
≥ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;−
𝑏2
𝑎2
) ∪ [−
𝑏1
𝑎1
 , +∞ ); 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−
𝑏2
𝑎2
; −
𝑏1
𝑎1
]. 
4) Se 𝑎1 ∙ 𝑎2 < 0 e −
𝑏1
𝑎1
> −
𝑏2
𝑎2
 , então o gráfico da função 𝑓(𝑥), será de 
seguinte modo: 
 
 
 
 
166 
 
 
 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
= 0, quando 𝑥 = −
𝑏1
𝑎1
; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
> 0, quando 𝑥 ∈ (−
𝑏2
𝑎2
; −
𝑏1
𝑎1
) ; 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
< 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−
𝑏2
𝑎2
) ∪ (−
𝑏1
𝑎1
; +∞) ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
≥ 0, quando 𝑥 ∈ (−
𝑏2
𝑎2
; −
𝑏1
𝑎1
] ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;−
𝑏2
𝑎2
) ∪ [−
𝑏1
𝑎1
 , +∞ ). 
 
As inequações fraccionárias, constituídas por duas equações lineares, ainda 
podem ser: 
● 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
+ 𝑒 
 
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
+ 𝑒 
 
↓ 
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑒(𝑐𝑥 + 𝑑)
𝑐𝑥 + 𝑑
 
 
 
 
167 
 
↓ 
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑒𝑐𝑥 + 𝑒𝑑
𝑐𝑥 + 𝑑
 
 
↓ 
𝑓(𝑥) =
(𝑎 + 𝑒𝑐)𝑥 + 𝑏 + 𝑒𝑑
𝑐𝑥 + 𝑑
 
Substituindo, teremos: 
{
𝑎1 = 𝑎 + 𝑒𝑐
𝑏1 = 𝑏 + 𝑒𝑑
 e {
𝑎2 = 𝑐
𝑏2 = 𝑑
 
 
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
+ 𝑒 → 𝑓(𝑥) =
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
 
 
● 𝑓(𝑥) =
𝑎
𝑏𝑥+𝑐
+ 𝑑 
 
𝑓(𝑥) =
𝑎
𝑏𝑥 + 𝑐
+ 𝑑 
 
↓ 
𝑓(𝑥) =
𝑎 + 𝑑(𝑏𝑥 + 𝑐)
𝑏𝑥 + 𝑐
 
 
↓ 
𝑓(𝑥) =
𝑎 + 𝑏𝑑𝑥 + 𝑐𝑑
𝑏𝑥 + 𝑐
 
 
↓ 
𝑓(𝑥) =
𝑏𝑑𝑥 + 𝑎 + 𝑐𝑑
𝑏𝑥 + 𝑐
 
Substituindo, teremos: 
{
𝑎1 = 𝑏𝑑 
𝑏1 = 𝑎 + 𝑐𝑑
 e {
𝑎2 = 𝑏
𝑏2 = 𝑐
 
 
𝑓(𝑥) =
𝑎
𝑏𝑥+𝑐
+ 𝑑 → 𝑓(𝑥) =
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
 
 
Mostraremos tudo que já foi analisado numa tabela (8.3) de apoio: 
 
 
 
 
168 
 
Tabela 8.3 
Tabela de análise dos sinais e intervalos das inequações fraccionária do tipo: 𝑓(𝑥) =
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎1𝑥+𝑏1
 
𝒇(𝒙) 
𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏
𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐
> 𝟎 
𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏
𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐
≥ 𝟎 
𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏
𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐
< 𝟎 
𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏
𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐
≤ 𝟎 
𝒂𝟏𝒂𝟐 > 𝟎 
−
𝐛𝟏
𝐚𝟏
< −
𝐛𝟐
𝐚𝟐
 
𝑥 ∈ 
(−∞;−
b1
a1
) ∪ (−
b2
a2
; +∞) 
𝑥 ∈ 
(−∞;−
b1
a1
] ∪ (−
b2
a2
; +∞) 
𝑥 ∈ (−
b1
a1
; −
b2
a2
) 𝑥 ∈ [−
b1
a1
; −
b2
a2
) 
−
𝐛𝟏
𝐚𝟏
> −
𝐛𝟐
𝐚𝟐
 
𝑥 ∈ 
(−∞;−
b2
a2
) ∪ (−
b1
a1
; +∞) 
𝑥 ∈ 
(−∞;−
b2
a2
) ∪ [−
b1
a1
; +∞) 
𝑥 ∈ (−
b2
a2
; −
b1
a1
) 𝑥 ∈ (−
b2
a2
; −
b1
a1
] 
𝒂𝟏𝒂𝟐 < 𝟎 
−
𝐛𝟏
𝐚𝟏
< −
𝐛𝟐
𝐚𝟐
 𝑥 ∈ (−
b1
a1
; −
b2
a2
) 𝑥 ∈ [−
b1
a1
; −
b2
a2
) (−∞;−
b1
a1
) ∪ (−
b2
a2
; +∞) (−∞;−
b1
a1
] ∪ (−
b2
a2
; +∞) 
−
𝐛𝟏
𝐚𝟏
> −
𝐛𝟐
𝐚𝟐
 𝑥 ∈ (−
b2
a2
; −
b1
a1
) 
𝑥 ∈ (−
b2
a2
; −
b1
a1
] 
 
 
 
𝑥 ∈ 
(−∞;−
b2
a2
) ∪ (−
b1
a1
; +∞) 
𝑥 ∈ 
(−∞;−
b2
a2
) ∪ [−
b1
a1
; +∞) 
 
 
 
169 
 
 
Ex.1: 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
 
Domínio do denominador: 𝑥 − 3 ≠ 0,→ 𝑥 ≠ 3 
Teremos: 
{
−
𝑏1
𝑎1
= −
4
2
 
−
𝑏2
𝑎2
= −
−3
1
 → {
−
𝑏1
𝑎1
= −2
−
𝑏2
𝑎2
= 3 
 
 
Como 𝑎1 ∙ 𝑎2 = 2 ∙ 1 = 2 > 0 , −
𝑏1
𝑎1
< −
𝑏2
𝑎2
, → −2 < 3, então esta função 
coincide com o primeiro caso: 
 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
2𝑥+4
𝑥+3
= 0, quando 𝑥 = −2 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
2𝑥+4
𝑥+3
> 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ (3;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
2𝑥+4
𝑥+3
< 0, quando 𝑥 ∈ (−2; 3); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
2𝑥+4
𝑥+3
≥ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;−2] ∪ (3 , +∞ ); 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
2𝑥+4
𝑥+3
≤ 0, quando 𝑥 ∈ [ −2; 3 ). 
 
Ex.2: 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
−𝑥+3
 
Domínio do denominador: −𝑥 + 3 ≠ 0,→ 𝑥 ≠ 3 
Teremos: 
{
−
𝑏1
𝑎1
= −
4
2
 
−
𝑏2
𝑎2
= −
−3
−1
 
 → {
−
𝑏1
𝑎1
= −2 
−
𝑏2
𝑎2
= 3 
 
 
Como 𝑎1 ∙ 𝑎2 = 2 ∙ (−1) = −2 < 0 , −
𝑏1
𝑎1
< −
𝑏2
𝑎2
, → −2 < 3, logo esta 
função coincide com o segundo caso: 
 
 
 
 
170 
 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
2𝑥+4
−𝑥+3
= 0, quando 𝑥 = −2; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
2𝑥+4
−𝑥+3
> 0, quando 𝑥 ∈ (−2; 3); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
2𝑥+4
−𝑥+3
< 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ (3;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
2𝑥+4
−𝑥+3
≥ 0, quando 𝑥 ∈ [ −2; 3) 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
2𝑥+4
−𝑥+3
≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;−2] ∪ (3 ,+∞ ). 
Ex.3: 𝑓(𝑥) =
2𝑥−3
3𝑥+4
 
Domínio do denominador: 3𝑥 + 4 ≠ 0,→ 𝑥 ≠ −
4
3
 
Teremos: 
{
−
𝑏1
𝑎1
= −
−3
2
 
−
𝑏2
𝑎2
= −
4
3
 
 → {
−
𝑏1
𝑎1
=
3
2
 
−
𝑏2
𝑎2
= −
4
3
 
 
 
Como 𝑎1 ∙ 𝑎2 = 2 ∙ 3 = 6 > 0, −
𝑏1
𝑎1
> −
𝑏2
𝑎2
, →
3
2
 > −
4
3
 , logo esta função 
coincide com o terceiro caso: 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
2𝑥−3
3𝑥+4
= 0, quando 𝑥 =
3
2
 ; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
2𝑥−3
3𝑥+4
> 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−
4
3
 ) ∪ (
3
2
; +∞) ; 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
2𝑥−3
3𝑥+4
< 0, quando 𝑥 ∈ (−
4
3
;
3
2
) ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
2𝑥−3
3𝑥+4
≥ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;−
4
3
) ∪ [
3
2
 , +∞ ); 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
2𝑥−3
3𝑥+4
≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−
4
3
 ;
3
2
]. 
 
Ex.4: 𝑓(𝑥) =
−2𝑥+3
 3𝑥+4
 
 
 
 
171 
 
Domínio do denominador: 3𝑥 + 4 ≠ 0,→ 𝑥 ≠ −
4
3
 
Teremos: 
{
−
𝑏1
𝑎1
= −
3
−2
 
−
𝑏2
𝑎2
= −
4
3
 
 → {
−
𝑏1
𝑎1
=
3
2
 
−
𝑏2
𝑎2
= −
4
3
 
 
 
Como 𝑎1 ∙ 𝑎2 = −2.3 = −6 < 0, −
𝑏1
𝑎1
> −
𝑏2
𝑎2
, →
3
2
 > −
4
3
 , logo esta função 
coincide com o quarto caso: 
 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
−2𝑥+3
 3𝑥+4
= 0, quando 𝑥 = −
3
2
; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
−2𝑥+3
 3𝑥+4
> 0, quando 𝑥 ∈ (−
4
3
;
3
2
) 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
−2𝑥+3
 3𝑥+4
< 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−
4
3
) ∪ (
3
2
; +∞) ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
−2𝑥+3
 3𝑥+4
≥ 0, quando 𝑥 ∈ (−
4
3
;
3
2
] ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
−2𝑥+3
 3𝑥+4
≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;−
4
3
) ∪ [
3
2
 , +∞ ). 
Ex.5: 𝑓(𝑥) =
−2𝑥+3
 3𝑥+4
> −2 
−2𝑥 + 3
 3𝑥 + 4
> −2 
 
↓ 
−2𝑥 + 3
 3𝑥 + 4
+ 2 > 0 
 
↓ 
 
−2𝑥 + 3 + 2(3𝑥 + 4)
3𝑥 + 4
> 0 
 
↓ 
 
 
 
172 
 
−2𝑥 + 3 + 6𝑥 + 8
3𝑥 + 4
> 0 
 
↓ 
4𝑥 + 11
3𝑥 + 4
> 0 
 
Domínio do denominador: 3𝑥 + 4 ≠ 0,→ 𝑥 ≠ −
4
3
 
Teremos: 
{
−
𝑏1
𝑎1
= −
11
4
 
−
𝑏2
𝑎2
= −
4
3
 
 
 
Como 𝑎1 ∙ 𝑎2 = 4 ∙ 3 = 12 > 0 , −
𝑏1
𝑎1
< −
𝑏2
𝑎2
, → −
11
4
< −
4
3
 , logo esta 
função coincide com o primeiro caso: 
 
𝑓(𝑥) =
−2𝑥+3
 3𝑥+4
> −2 →
2𝑥+4
𝑥+3
> 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−
11
4
) ∪ (−
4
3
; +∞). 
 
Ex.6: 𝑓(𝑥) =
−2
 3𝑥+1
≤ 1 
−2
 3𝑥 + 1
≤ 1 
 
↓ 
−2
 3𝑥 + 1
− 1 ≤ 0 
 
↓ 
 
−2 − 1(3𝑥 + 1)
3𝑥 + 1
≤ 0 
 
↓ 
−2 − 3𝑥 − 1
3𝑥 + 1
≤ 0 
↓ 
 
 
 
173 
 
−3 − 3𝑥
3𝑥 + 1
≤ 0 
↓ 
−3𝑥 − 3
 3𝑥 + 1
≤ 0 
 
Domínio do denominador: 3𝑥 + 1 ≠ 0,→ 𝑥 ≠ −
1
3
 
Teremos: 
{
−
𝑏1
𝑎1
= −
−3
−3
 
−
𝑏2
𝑎2
= −
1
3
 
 → {
−
𝑏1
𝑎1
= −1 
−
𝑏2
𝑎2
= −
1
3
 
 
 
Como 𝑎1. 𝑎2 = −3 ∙ 3 = −9 < 0 , −
𝑏1
𝑎1
< −
𝑏2
𝑎2
, → −1 < −
1
3
 , logo esta 
função coincide com o segundo caso: 
𝑓(𝑥) =
−2
 3𝑥+1
≤ 1 →
−3𝑥−3
 3𝑥+1
≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;−1] ∪
(−
1
3
 , +∞ ). 
Podemos ainda fazer o estudo do sinal da função 𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
≠ 0, com 
ajuda de uma tabela. 
Para determinar os sinais da função 𝑓(𝑥), temos que ter em conta as seguintes 
regras: 
 
≫ Determinar as raízes das equações ℎ(𝑥) = 0, 𝑔(𝑥) = 0; 
≫ Meter essas raízes na tabela de estudo do sinal, por forma crescente entre 
as raízes, isto é: 
 
−∞ < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < 𝑥4 … < 𝑥𝑖 < 𝑥𝑖+1…+∞ ; 
 
≫ Analisar os sinais das funções ℎ(𝑥), 𝑔(𝑥), em cada intervalo (𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1); 
 
 
 
 
174 
 
≫ 𝑓(𝑥) terá sinal (+) , isto é, 𝑓(𝑥) maior que 0, no intervalo (𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1), se 
neste intervalo as funções ℎ(𝑥), 𝑔(𝑥), possuem sinais iguais ou (+) , ou (−) 
≫ 𝑓(𝑥) terá sinal (– ) , isto é, 𝑓(𝑥) menor que 0, no intervalo (𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1), se 
neste intervalo as funções ℎ(𝑥), 𝑔(𝑥), possuem sinais opostos. 
Exemplos: Inequação canónica fraccionária, constituída por duas equações 
lineares. 
 
𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑎1𝑥 + 𝑏1
𝑎2𝑥 + 𝑏2
 
 
Ex.1: 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
 
Determinando as raízes: {
 ℎ(𝑥) = 0 
 𝑔(𝑥) = 0
 → {
 2𝑥 + 4 = 0 
 𝑥 − 3 = 0
→ {
 𝑥 = −2
𝑥 = 3 
 
Formaremos a tabela: 
↓ 
𝑥 −∞ −2 3 +∞ 
2𝑥 + 4 − 0 + + 
𝑥 − 3 − − 0 + 
𝑓(𝑥) =
2𝑥 + 4
𝑥 − 3
 + 0 − || + 
 
Orientações metodológicas: 
1) Pegamos qualquer número, que se encontra no intervalo (−∞;−2). Por 
exemplo −3 e colocamos no lugar da variável das duas equações: 
a) 2(−3) + 4 = −6 + 4 = −2 
b) −3 − 3 = −6 
c) Ambos números possuem sinal negativo e foi feita a multiplicação dos 
sinais, por isso que a função 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
 , obteu (+) , isto é: (−) ∙ (−) = (+) ; 
 
 
 
175 
 
2) Pegamos −2, colocamos na primeira equação, obtemos zero. Na segunda 
colocamos −2 obtemos −5. Como é bastante evidente que o zero quando se 
divide com qualquer número real, será sempre igual a zero, por isso é que a 
função é igual a zero, quando 𝑥 = −2; 
3) Pegamos o número que se encontra no intervalo (−2; 3), número −1 e 
colocamos no lugar da variável das duas equações: 
a) 2(−1) + 4 = −2 + 4 = 2 
b) −1 − 3 = −4 
c) Vimos que, a primeira equação possui o valor positivo, a segunda possui o 
valor negativo e foi feita a multiplicação dos sinais, por isso que a função 
 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
 , obteu o sinal (−) , isto é: (+) ∙ (−) = (−) ; 
4) Pegamos o 3 colocamos na primeira (2 ∙ 3 + 4 = 10) e na segunda 
equação (3 − 3 = 0), obtemos uma fracção do tipo 
10
0
 que é igual a um número 
indeterminado (||) e a função neste ponto não é determinada; 
5) Pegamos qualquer número, que se encontra no intervalo (3;+∞). Por 
exemplo 4 e colocamos no lugar da variável das duas equações: 
a) 2(4) + 4 = 12 
b) 4 − 3 = 1 
c) Ambos números possuem sinal positivo e foi feita a multiplicação dos 
sinais, por isso é que a função 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
 , obteu (+) , isto é: (+) ∙ (+) =
(+) . 
Conforme a tabela, podemos concluir que: 
✓ No ponto 𝑥 = 3 , 𝑓(𝑥) não é determinada; 
✓ 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
= 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −2; 
 
 
 
176 
 
✓ 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
> 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ (3;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
< 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−2; 3); 
✓ 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
≥ 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−∞;−2] ∪ (3;∞); 
✓ 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
𝑥−3
≤ 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ [−2; 3). 
Ex.2: 𝑓(𝑥) =
−2𝑥+3
 3𝑥+4
 
 
Determinando as raízes: {
 ℎ(𝑥) = 0 
 𝑔(𝑥) = 0
 → {
 −2𝑥 + 3 = 0 
 3𝑥 + 4 = 0
→ {
 𝑥 =
3
2
 
 𝑥 = −
4
3
 
 
Formaremos a tabela: 
↓ 
𝑥 −∞ 
−
4
3
 
 3
2
 
+∞ 
−2𝑥 + 3 + + 0 − 
 3𝑥 + 4 − 0 + + 
𝑓(𝑥)
=
−2𝑥 + 3
 3𝑥 + 4
 
− || + 0 − 
 
Conforme a tabela, podemos concluir que: 
✓ No ponto 𝑥 = −
4
3
 , 𝑓(𝑥) não é determinada; 
✓ 𝑓(𝑥) =
−2𝑥+3
 3𝑥+4
= 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −
4
3
 ; 
✓ 𝑓(𝑥) =
−2𝑥+3
 3𝑥+4
> 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−
4
3
;
3
2
); 
✓ 𝑓(𝑥) =
−2𝑥+3
 3𝑥+4
< 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−∞;−
4
3
) ∪ (
3
2
; +∞); 
 
 
 
177 
 
✓ 𝑓(𝑥) =
−2𝑥+3
 3𝑥+4
≥ 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−
4
3
;
3
2
]; 
✓ 𝑓(𝑥) =
−2𝑥+3
 3𝑥+4
≤ 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−∞;−
4
3
) ∪ [
3
2
;∞). 
Agora analisaremos a inequação canónica fraccionária, constituída por duas 
equações: uma lineares e outra quadrática: 
 
𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑎1𝑥 + 𝑏1
𝑎2𝑥
2 + 𝑏2𝑥 + 𝑐2
 
 
Ex.1: 𝑓(𝑥) =
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+3
 
Determinando as raízes: {
 2𝑥 − 4 = 0 
 𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0
→ {
 𝑥 = 2 
 𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0
 
 
≫ 𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0 
Como: 
𝑎2 = 1 > 0 𝑒 ∆ = 𝑏2
2 − 4𝑎2. 𝑐2 → 2
2 − 4.1.3 = −8 < 0 
Do caso 5: 8.2.2. Inequações quadráticas, logo: 
 
𝑥2 + 2𝑥 + 3 > 0 , 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−∞ ; +∞) 
 
Formaremos a tabela: 
↓ 
 
𝑥 −∞ 2 +∞ 
2𝑥 − 4 − 0 + 
𝑥2 + 2𝑥 + 3 + + 
𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 4
 𝑥2 + 2𝑥 + 3
 − 0 + 
 
 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+3
= 0, quando 𝑥 = 2; 
 
 
 
178 
 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+3
> 0, quando 𝑥 ∈ (2;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+3
< 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;2); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+3
≥ 0, quando 𝑥 ∈ [2,+∞ ); 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+3
≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ; 2]. 
 
Ex.2: 𝑓(𝑥) =
2𝑥+5
 −𝑥2+2𝑥−3
 
 
Determinando as raízes: {
 2𝑥 + 5 = 0 
 −𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0
→ {
 𝑥 = −
5
2
 
 𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0
 
≫ −𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 
Como: 
𝑎2 = −1 < 0, ∆ = 𝑏2
2 − 4𝑎2𝑐2 → 2
2 − 4(−1)(−3) = −8 < 0 
Do caso 6: 8.2.2. Inequações quadráticas, logo: 
−𝑥2 + 2𝑥 − 3 < 0 , 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑥 ∈ (−∞ ; +∞) 
 
Formaremos a tabela: 
↓ 
𝑥 −∞ −5/2 +∞ 
2𝑥 + 5 − 0 + 
−𝑥2 + 2𝑥 − 3 − − − 
𝑓(𝑥) =
2𝑥 + 5
 −𝑥2 + 2𝑥 − 3
 + 0 − 
 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
2𝑥+5
 −𝑥2+2𝑥−3
= 0, quando 𝑥 = −
5
2
; 
 
 
 
179 
 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
2𝑥+5
 −𝑥2+2𝑥−3
> 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−
5
2
) ; 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
2𝑥+5
 −𝑥2+2𝑥−3
< 0, quando 𝑥 ∈ (−
5
2
; +∞) ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
2𝑥+5
 −𝑥2+2𝑥−3
≥ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ; −
5
2
] ; 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
2𝑥+5
 −𝑥2+2𝑥−3
≤ 0, quando 𝑥 ∈ [−
5
2
, +∞ ). 
Ex.3: 𝑓(𝑥) =
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+1
 
Determinando as raízes: {
 2𝑥 − 4 = 0 
 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0
→ {
 𝑥 = 2 
 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0
 
 
≫ −𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 
Como: 
𝑎2 > 0 𝑒 ∆ = 𝑏2
2 − 4𝑎2𝑐2 → 2
2 − 4.1.1 = 0 
 
Do caso 3: 8.2.2. Inequações quadráticas, logo: 
✓ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −
 𝑏2
2𝑎2
= −
2
2.1
= −1 
✓ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 > 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−∞ ;−1) ∪ (−1 ; +∞). 
 
Formaremos a tabela: 
↓ 
𝑥 −∞ −1 2 +∞ 
2𝑥 − 4 − − 0 + 
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 0 + + 
𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 4
 𝑥2 + 2𝑥 + 1
 − || − 0 + 
 
 
✓ No ponto 𝑥 = −1 , 𝑓(𝑥) não é determinada; 
 
 
 
180 
 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+1
= 0, quando 𝑥 = −
𝑏1
𝑎1
= 2; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+1
> 0, quando 𝑥 ∈ (2;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+1
< 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−1) ∪ (−1 ; 2); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+1
≥ 0, quando 𝑥 ∈ [2,+∞ ) 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
2𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+1
≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞ ;−1) ∪ ( −1; 2]. 
Ex.4: 𝑓(𝑥) =
𝑥+3
 −𝑥2+4𝑥−4
 
Determinando as raízes: {
 𝑥 + 3 = 0 
 −𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0
→ {
 𝑥 = −3 
 −𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0
 
 
≫ −𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0 
Como: 
a2 < 0 𝑒 ∆ = b2
2 − 4a2c2 → 2
2 − 4.1.1 = 0 
 
Do ponto 4: 8.2.2. Inequações quadráticas, logo: 
✓ −𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −
 𝑏2
2𝑎2
= −
4
2.(−1)
= 2 
✓ −𝑥2 + 4𝑥 − 4 < 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−∞ ; 2) ∪ (2 ; +∞) 
Formaremos a tabela: 
↓ 
𝑥 −∞ −3 2 +∞ 
𝑥 + 3 − 0 + + 
−𝑥2 + 4𝑥 − 4 − − 0 − 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 3
 −𝑥2 + 4𝑥 − 4
 + 0 − || − 
 
 
 
 
181 
 
✓ No ponto 𝑥 = 2 , 𝑓(𝑥), não é determinada; 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
𝑥+3
 𝑥2−4𝑥+4
= 0, quando 𝑥 = −3; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
𝑥+3
 𝑥2−4𝑥+4
> 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−3); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
𝑥+3
 𝑥2−4𝑥+4
< 0, quando 𝑥 ∈ (−3; 2) ∪ (2;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
𝑥+3
 𝑥2−4𝑥+4
≥ 0, quando 𝑥 ∈ ( −∞;−3]; 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
𝑥+3
 𝑥2−4𝑥+4≤ 0, quando 𝑥 ∈ [−3, 2) ∪ (2;+∞). 
Ex.1: 𝑓(𝑥) =
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
 
Determinando as raízes: {
 2𝑥 + 6 = 0 
 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0
→ {
 𝑥 = −3 
𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 
 
 
≫ 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 
Primeiro passo, localizar o discriminante ( ∆ ) 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
↓ 
 ∆= (−3)2 − 4.12 
↓ 
∆= 1 
Como ∆> 0, então a equação possui duas raízes: 
{
𝑥1 =
−𝑏+√∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏−√∆
2𝑎
 → {
𝑥1 =
3+√1
2.1
𝑥2 =
3−√1
2.1
 
↓ 
 
 
 
182 
 
{
𝑥1 =
3 + 1
2
𝑥2 =
3 − 1
2
 
↓ 
{
𝑥1 = 2
𝑥2 = 1
 
Formaremos a tabela: 
↓ 
𝑥 −∞ −3 1 2 +∞ 
2𝑥 + 6 − 0 + + + 
𝑥2 − 3𝑥 + 2 + + 0 − 0 + 
𝑓(𝑥) =
2𝑥 + 6
 𝑥2 − 3𝑥 + 2
 − 0 + || − || + 
 
✓ Nos pontos 𝑥 = 1 𝑒 𝑥 = 2, 𝑓(𝑥) não é determinada; 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
= 0, quando 𝑥 = −3; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
> 0, quando 𝑥 ∈ (−3; 1) ∪ (2;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
< 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−3) ∪ (1 ; 2); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
≥ 0, quando 𝑥 ∈ [−3; 1) ∪ (2;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−3] ∪ (1 ; 2). 
Vamos analisar a inequação canónica fraccionária, constituída por duas 
equações quadrática: 
 
𝑓(𝑥) =
𝑎1𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1
𝑎2𝑥
2 + 𝑏2𝑥 + 𝑐2
 
 
Ex.1: 𝑓(𝑥) =
 𝑥2+3𝑥−4
 2𝑥2+𝑥+3 
 
 
 
 
183 
 
Determinando as raízes: { 𝑥
2 + 3𝑥 − 4 = 0 
 𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0
 
 
≫ 𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0 
Como: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 → 1 + 3 − 4 = 0, 
Logo a equação possui uma raiz igual a 1 e outra raiz igual a 
𝑐
𝑎
=
−4
1
= −4; 
 
≫ 𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0 
Como: 
 𝑎2 = 1 > 0 e ∆ = 𝑏2
2 − 4𝑎2. 𝑐2 → 2
2 − 4.1.3 = −8 < 0 
Do caso 5: 8.2.2. Inequações quadráticas , logo: 
 
𝑥2 + 2𝑥 + 3 > 0 , 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−∞ ; +∞) 
 
Formaremos a tabela: 
↓ 
𝑥 −∞ −4 1 +∞ 
𝑥2 + 3𝑥 − 4 + 0 − 0 + 
𝑥2 + 2𝑥 + 3 + + + 
𝑓(𝑥) =
 𝑥2 + 3𝑥 − 4
 2𝑥2 + 𝑥 + 3 
 + 0 − 0 + 
 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
= 0, quando 𝑥 = {−4; 1} 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
> 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−4) ∪ (1;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
< 0, quando 𝑥 ∈ (−4; 1). 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
≥ 0 quando 𝑥 ∈ (−∞;−4] ∪ [1;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
≤ 0, quando 𝑥 ∈ [−4; 1]. 
 
 
 
184 
 
 
Ex.2: 𝑓(𝑥) =
 −𝑥2+3𝑥−4
 𝑥2−𝑥−6 
 
Determinando as raízes: { −𝑥
2 + 3𝑥 − 4 = 0 
 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0
 
 
≫ −𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0 
Como: 
𝑎2 = −1 < 0 e ∆ = 𝑏2
2 − 4𝑎2 ∙ 𝑐2 → 3
2 − 4 ∙ (−1) ∙ (−4) = −3 < 0 
Do caso 6: 8.2.2. Inequações quadráticas , logo: 
 
−𝑥2 + 3𝑥 − 4 < 0, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−∞ ; +∞). 
≫ 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 
Primeiro passo, localizar o discriminante ( ∆ ) 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
↓ 
 ∆= (−1)2 − 4.1. (−6) 
↓ 
∆= 25 
Como ∆> 0, então a equação possui duas raízes: 
{
 
 
 
 
𝑥1 =
−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
↓ 
{
 
 
 
 
𝑥1 =
1 + √25
2.1
𝑥2 =
1 − √25
2.1
 
 
 
 
185 
 
↓ 
{
𝑥1 =
1 + 5
2
𝑥2 =
1 − 5
2
 
↓ 
{
𝑥1 = 3
 𝑥2 = −2
 
Formaremos a tabela: 
↓ 
𝑥 −∞ −2 3 +∞ 
−𝑥2 + 3𝑥 − 4 − − − 
 𝑥2 − 𝑥 − 6 + 0 − 0 + 
𝑓(𝑥) =
 −𝑥2 + 3𝑥 − 4
 𝑥2 − 𝑥 − 6 
 − || + || − 
 
✓ Nos pontos 𝑥 = {−2; 3}, 𝑓(𝑥) não é determinada; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
> 0, quando 𝑥 ∈ (−2; 3); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
< 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ (3;+∞). 
 
Ex.3: 𝑓(𝑥) =
 𝑥2+3𝑥−4
 𝑥2+2𝑥+1 
 
Determinando as raízes: { 𝑥
2 + 3𝑥 − 4 = 0 
 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0
 
 
≫ 𝑥2 + 3𝑥 − 4 = 0 
Como: 
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 → 1 + 3 − 4 = 0 
 
 
 
 
186 
 
Logo, a equação possui uma raiz igual a 1 e outra raiz igual a 
𝑐
𝑎
=
−4
1
= −4 
 
≫ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 
Como: 
𝑎2 = 1 > 0 e ∆ = 𝑏2
2 − 4𝑎2. 𝑐2 → 2
2 − 4.1.1 = 0 
Do ponto 4: 8.2.2. Inequações quadráticas , logo: 
 
✓ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 , 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −
 𝑏2
2𝑎2
= −
2
2∙1
= −1 
✓ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 > 0 , 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ∈ (−∞ ;−1) ∪ (−1 ; +∞) 
 
Formaremos a tabela: 
↓ 
𝑥 −∞ −4 −1 1 +∞ 
𝑥2 + 3𝑥 − 4 + 0 − − 0 + 
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + + 0 + + 
𝑓(𝑥) =
 𝑥2 + 3𝑥 − 4
 𝑥2 + 2𝑥 + 1 
 + 0 − || − 0 + 
 
✓ No ponto 𝑥 = −1, 𝑓(𝑥) não é determinada; 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
= 0, quando 𝑥 = {−4; 1}; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
> 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−4) ∪ (1;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
< 0, quando 𝑥 ∈ (−4;−1) ∪ (−1 ; 1); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
≥ 0, quando 𝑥 ∈ (−∞;−4) ∪ [1;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
2𝑥+6
 𝑥2−3𝑥+2
≤ 0, quando 𝑥 ∈ [−4;−1) ∪ (−1; 1]. 
 
 
 
187 
 
Ex.4: 𝑓(𝑥) =
 𝑥2−2𝑥−8
 𝑥2+8𝑥+15 
 
Determinando as raízes: { 𝑥
2 − 2𝑥 − 8 = 0 
 𝑥2 + 8𝑥 + 15 = 0
 
≫ 𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0 
Primeiro passo, localizar o discriminante ( ∆ ) 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
↓ 
 ∆= (−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−8) 
↓ 
∆= 36. 
Como ∆> 0, então a equação possui duas raízes: 
{
 
 
 
 
𝑥1 =
−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
↓ 
{
 
 
 
 
𝑥1 =
2 + √36
2.1
𝑥2 =
2 − √36
2.1
 
↓ 
{
𝑥1 =
2 + 6
2
𝑥2 =
2 − 6
2
 
↓ 
{
𝑥1 = 4
 𝑥2 = −2
 
≫ 𝑥2 + 8𝑥 + 15 = 0 
 
 
 
188 
 
Primeiro passo, localizar o discriminante ( ∆ ) 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
↓ 
 ∆= 82 − 4.1.15 
↓ 
∆= 4 
Como ∆> 0, então a equação possui duas raízes: 
{
 
 
 
 
𝑥1 =
−𝑏 + √∆
2𝑎
𝑥2 =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
↓ 
{
 
 
 
 
𝑥1 =
−8 + √4
2.1
𝑥2 =
−8 − √4
2.1
 
↓ 
{
𝑥1 =
−8 + 2
2
𝑥2 =
−8 − 2
2
 
↓ 
{
𝑥1 = −3
 𝑥2 = −5
 
Formaremos a tabela: 
↓ 
 
 
 
 
 
189 
 
𝑥 −∞ −5 −3 −2 4 +∞ 
𝑥2 − 2𝑥 − 8 + + + 0 − 0 + 
𝑥2 + 8𝑥 + 15 + 0 − 0 + + + 
𝑓(𝑥)
=
 𝑥2 − 2𝑥 − 8
 𝑥2 + 8𝑥 + 15 
 
+ || − || + 0 − 0 + 
 
✓ Nos pontos 𝑥 = {−5; 3}, 𝑓(𝑥) não é determinada; 
✓ 𝑓(𝑥) = 0 →
 𝑥2−2𝑥−8
 𝑥2+8𝑥+15 
= 0, quando 𝑥 = {−2; 4}; 
✓ 𝑓(𝑥) > 0 →
 𝑥2−2𝑥−8
 𝑥2+8𝑥+15 
> quando𝑥 ∈ (−∞; −5) ∪ (−3;−2) ∪ (4;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) < 0 →
 𝑥2−2𝑥−8
 𝑥2+8𝑥+15 
< 0, quando 𝑥 ∈ (−5;−3) ∪ (−2; 4); 
✓ 𝑓(𝑥) ≥ 0,→
 𝑥2−2𝑥−8
 𝑥2+8𝑥+15 
≥, quando 𝑥 ∈ (−∞;−5) ∪ (−3;−2] ∪ [4;+∞); 
✓ 𝑓(𝑥) ≤ 0 →
 𝑥2−2𝑥−8
 𝑥2+8𝑥+15 
≤ 0, quando 𝑥 ∈ (−5; −3) ∪ (−2; 4]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
190 
 
TESTE E EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
I. BLOCO – TESTE 
1.1- O que é um conjunto: 
a) Agrupamento de vários objectos com propriedades diferentes 
b) Agrupamento de objectos com propriedades comuns 
1.2- Como se chama o objecto que se encontra na formação de um conjunto: 
a) Número 
b) Elemento 
1.3- Que tipo de representação de conjunto é esta: 
𝐴 = {Janeiro,Março,Maio, Junho, Agosto, Outubro, Dezembro} 
a) Extensiva 
b) Compreesiva 
1.4- Qual dos conjuntos abaixo é considerado infinito: 
a) 𝐴 = {4, 5, 6, 7, 11} 
b) 𝐵 = {… 0, 3, 6, 9, 12 … } 
1.5- Qual dos conjuntos abaixo é considerado finito: 
𝐴 = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 11} 
𝐵 = {… 0, 3, 6, 9, 12 … } 
1.6- Qual dos conjuntos é considerado vazio: 
a) Números pares entre 10 e 11 
 
 
 
191 
 
b) Cidades de Angola 
1.7- Qual das anotações nos indicam uma inclusão dos conjuntos: 
a) ⊈ 
b) ⊆ 
1.8- Quando dois conjuntos estão constituidos por elementos iguais, são: 
a) Conjuntos finitos 
b) Conjuntos idênticos 
1.9- Conjunto numérico é todo conjunto constituido por: 
a) Letras do alfabedo 
b) Números 
1.10- É possível determinar o último elemento do conjunto dos números 
Naturais? 
a) Sim 
b) Não 
1.11- Quais são as operações definidas no conjunto dos números naturais: 
a) Subtração 
b) Divisão 
c) Adição e multiplicação 
1.12- Que propriedade nos indica a seguinte expressão → (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 =
𝒂 + (𝒃 + 𝒄): 
a) Comutativa da adição 
 
 
 
192 
 
c) Associativa da adição 
d) Distribuitiva 
1.13- Que propriedade nos indica a seguinte expressão → 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 : 
a) Distribuitiva 
c) Associativa da adiçãod) Comutativa da adição 
1.14- Que propriedade nos indica a seguinte expressão → (𝒂𝒃)𝒄 = 𝒂 (𝒃𝒄): 
a) Associativa da multiplicação 
b) Comutativa da multiplicação 
c) Distribuitiva 
1.15- Que propriedade nos indica a seguinte expressão → 𝒂(𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 +
𝒂𝒄 : 
a) Distribuitiva em relação com adição 
b) Associativa da adição 
c) Comutativa da adição 
1.16- Com que letra do alfabeto o conjunto dos números Inteiros é 
designado: 
a) 𝑄 
b) 𝐼 
c) 𝑍 
1.17- Quais são as operações definidades no conjunto dos números Inteiros: 
 
 
 
193 
 
a) Multiplicação e divisão 
b) Adição e subtração 
c) Multiplicação, adição e subtração 
1.18- Com que letra do alfabeto o conjunto dos números Racionais é 
designado: 
a) 𝑄 
b) 𝑍 
c) 𝑅 
d) 𝑃 
1.19-A Operacação de divisão no conjunto dos números Racionais é sempre 
possível? 
a) Sim 
b) Não 
1.20- Os números Inteiros podem ser: 
a) Somente positivos 
b) Positivos e negativos 
c) Somente negativos 
1.21- O que é um conjunto dos números Reais: 
a) Conjunto de todos números excluindo os números naturais 
b) Conjunto de todos números excluindo os números irracionais 
c) Conjunto de todos números excluindo os números racionais 
 
 
 
194 
 
d) Conjunto de todos números 
1.22- Os números divisíveis por dois e que resultam um número inteiro são: 
a) Pares 
b) Ímpares 
1.23- Os números naturais que possuem exactamente dois diferentes 
divisores naturais: 1 e si mesmo, são números: 
a) Compostos 
b) Simples 
c) Opostos 
1.24- Todos os números que se encontram a direita de zero são considerados 
números: 
a) Positivos 
b) Negativos 
1.25- Dada a fracção → 
𝟐
𝟑
 ; o 3 é considerado de: 
a) Numerador 
b) Denominador 
1.26-As fracções em que, o denominador é maior do que o numerador, são 
fracções: 
a) Próprias 
b) Impróprias 
 
 
 
195 
 
1.27- O quadrado do primeiro termo mais o dobro do produto do primeiro 
pelo segundo mais quadrado do segundo termo é o quadrado: 
a) Perfeito da soma 
b) Diferença da soma 
1.28- Domínio de uma função é designada por: 
a) 𝐸(𝑥) 
b) 𝐷(𝑦) 
c) 𝐷(𝑓) 
1.29- Numa função quadrática, quando o coeficiente 𝑎 > 0, os ramos da 
parábola estaram: 
a) Direccionadas para baixo 
b) Direccionadas para cima 
1.30- Numa função considera-se variável independete a variável: 
a) 𝑦 
b) 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
196 
 
II. BLOCO – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
2.1- Dados conjuntos: 𝐴 = {1, 2, 4, 6, 7} e 𝐵 = {0, 3, 5, 6, 7, 8} , encontre: 
a) ∪ 
b) ∩ 
c) \ 
2.2- Dados conjuntos: 𝐴 = {3, 4, 5, 10} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4} , encontre: 
a) \ 
b) ∪ 
c) ∩ 
2.3- Desenha os seguintes conjuntos: 
a) A ∩ B 
b) A ∪ B 
c) A ∪ B ∩ C 
d) A ∩ B ∩ C 
e) A ∪ B ∪ C 
f) A \ B 
2.4- Dados conjuntos: 𝐴 = {1, 2, 3, 4,5}; 𝐵 = {2, 3, 5, 6, 8} e 𝐶 = {2, 4, 6, 9} , 
encontre: 
a) A ∩ B \ C 
b) A ∪ B ∩ C 
 
 
 
197 
 
c) A \ B ∪ C 
d) A ∩ B ∩ C 
e) C \ B ∪ A 
f) B ∩ C \ B 
g) A \ C \ B 
h) A ∪ B ∪ C 
i) B \ A ∪ C 
j) C \ B ∩ A 
2.5- Compare as fracções: 
a) 
1
3
 
2
8
 
b) 
2
4
 
3
4
 
c) 
3
4
 
3
2
 
d) 
6
10
 
5
2
 
f) 
3
5
 
3
2
 
2.6- Resolve as expressões: 
a) [(x4. x7). ]. x5 
b) 
9𝑥+1
3𝑥
 × 
3𝑥
3𝑥−1
 
c) [(4
5
12
− 3
13
24
) ×
4
7
+ (3
1
13
− 2
7
12
) × 1
1
11
] × 2
3
5
 
 
 
 
198 
 
d) (2
2
3
)2 − (2
1
2
)2 
2.7- Multiplique os polinomios: 
a) (𝑥 + 3)(𝑥2 − 2𝑥 + 1) 
b) (𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥)(𝑥2 + 2𝑥 − 1) 
c) (𝑥2 + 2𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 − 1) 
d) (𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥)(2𝑥 − 1) 
2.8- Simplifique as seguintes expressões: 
a) 
𝑥+1
𝑥2+𝑥
 
b) 
𝑥3+𝑥2+𝑥
𝑥
 
c) 
𝑥2+2𝑥+1
𝑥2−1
 
d) 
𝑥
2𝑥+𝑥2
 
2.9- Calcule o valor das expressões, quando 𝑥 = 2 e 𝑦 = 3: 
a) 𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 𝑦 + 4 
b) 9(𝑥 − 2𝑦) 
c) (𝑥 – 7𝑦)𝑥 
d) 𝑥(𝑥 + 5𝑦3) 
2.10- Faça a representação gráfica das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
 
 
 
199 
 
c) 𝑓(𝑥) = 1/𝑥2 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2 
2.11- Resolve as seguintes equações lineares: 
a) 2𝑥 + 4 = 𝑥 + 8 
b) 𝑥 + 3 = 5 
c) 4𝑥 − 2 = 4 + 2𝑥 
d) 3𝑥 − 3 = 0 
e) 𝑥 + 4 = −2𝑥 − 2 
f) 
𝑥
2
+ 2 = 3𝑥 
g) 𝑥2 + 4𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 6 
2.12- Resolve os seguintes sistemas de equações: 
a) { 
2𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥 + 3𝑦 = 5
 
b) { 
𝑥 + 4𝑦 = 8
𝑥 + 3𝑦 = 6
 
c) { 
2𝑥 − 𝑦 = 3
−𝑥 + 5𝑦 = 3
 
d) { 
8𝑥 + 6𝑦 = 8
4𝑥 + 2𝑦 = 4
 
e) { 
𝑥 − 2𝑦 = 1
2𝑥 + 2𝑦 = 5
 
f) { 
𝑥 − 3𝑦 = 3
𝑥 + 4𝑦 = −4
 
 
 
 
200 
 
g) { 
−𝑥 + 𝑦 = 1
2𝑥 + 4𝑦 = 4
 
h) { 
𝑥 − 2𝑦 = 1
𝑥 + 2𝑦 = 5
 
2.13- Resolve as seguintes equações quadráticas: 
a) 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 
b) 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 
c) 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 
d) 𝑥2 + 7𝑥 + 10 = 0 
e) 2𝑥2 + 3𝑥 + 5 = 0 
f) 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 
g) 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 
h) −𝑥2 + 4𝑥 + 12 = 0 
i) 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 
2.14- Resolve as seguintes inequações do tipo 𝑓(𝑥) =
𝑎1𝑥
2+𝑏1𝑥+𝑐1
𝑎2𝑥
2+𝑏2𝑥+𝑐2
 , quando: 
a) 
2𝑥2+3𝑥+4
𝑥2+2𝑥+3
 ≥ 0 
b) 
𝑥2−2𝑥+1
𝑥2−𝑥+3
 > 0 
c) 
−2𝑥2+𝑥−3
𝑥2−4𝑥+4
 ≤ 0 
d) 
𝑥2−4𝑥+3
𝑥2−𝑥+2
 ≥ 0 
e) 
2𝑥2+2𝑥+3
−𝑥2+𝑥+6
 ≥ 0 
 
 
 
201 
 
f) 
𝑥2−3𝑥+2
𝑥2−2𝑥+1
 ≥ 0 
g) 
𝑥2−5𝑥+6
𝑥2+4𝑥+4
 ≥ 0 
2.15- Analise os sinais das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−4𝑥+3
𝑥2+3𝑥+2
 
b) 𝑓(𝑥) =
−𝑥2−𝑥+6
𝑥2−5𝑥+4
 
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−4𝑥+3
𝑥2−𝑥+4
 
d) 𝑓(𝑥) =
2𝑥−3
3𝑥−1
−
𝑥−1
2𝑥+1
 
e) 𝑓(𝑥) =
𝑥−2
𝑥2+𝑥+2
 
f) 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑥2−4𝑥+3
 
2.16- Resolve as seguintes inequações do tipo 𝑓(𝑥) =
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥
2+𝑏2𝑥+𝑐2
 , quando: 
a) 
𝑥−2
𝑥2−𝑥+1
 < 0 
b) 
2𝑥+1
𝑥2+𝑏2𝑥+𝑐2
 > 0 
c) 
2𝑥+4
𝑥2+𝑥+1
 < 0 
2.17- Resolve as seguintes inequações dos tipos 𝑓(𝑥) =
𝑎1𝑥+𝑏1
𝑎2𝑥+𝑏2
 e 𝑓(𝑥) =
𝑎
𝑏𝑥+𝑐
+ 𝑑 
, quando: 
a) 
2𝑥+1
𝑥+2
 > 0 
b) 
𝑥−3
2𝑥+3
 < 0 
 
 
 
202 
 
c) 
2𝑥+4
𝑥−3
 ≥ 0 
d) 
3𝑥+1
𝑥−3
 ≤ 0 
e) 
1
𝑥−2
 > 0 
f) 
1
3𝑥+1
− 2 > 0 
g) 
𝑥−2
4𝑥+1
 ≥
2𝑥+1
4𝑥+1
 
2.18- Resolve as seguintes inequações do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑏1, quando: 
a) 2𝑥 + 3 > 𝑥 + 2 
b) 𝑥 + 7 > 4𝑥 + 1 
c) 3 > 2𝑥 + 2 
d) 1 − 3𝑥 > 2𝑥 + 3 
e) 2𝑥 + 5 > 2𝑥 + 3 
f) −3𝑥 + 1 > 3𝑥 − 1 
g) 4𝑥 + 1 > 4𝑥 + 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
203 
 
RESPOSTAS DO TESTE 
Questões em ordem Variante certa 
1.1 b 
1.2 b 
1.3 a 
1.4 b 
1.5 a 
1.6 a 
1.7 b 
1.8 b 
1.9 b 
1.10 b 
1.11 c 
1.12 c 
1.13 d 
1.14 a 
1.15 a 
1.16 a 
1.17 c 
1.18 a 
1.19 a 
 
 
 
204 
 
1.20 b 
1.21 d 
1.22 a 
1.23 b 
1.24 a 
1.25 b 
1.26 a 
1.27 a 
1.28 c 
1.29 b 
1.30 b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
205 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
2.1-a → {0; 1; 2; 3; 5; 6,7; 8} 
2.1-b → {6; 7} 
2.1-c → {1; 2; 4} 
2.2-a → {5; 10} 
2.2-b → {1; 2; 3; 4; 5; 10} 
2.2-c → {3; 4} 
 
2.3-a → 
 
 
2.3-b → 
 
 
 
 
 
206 
 
2.3-c → 
 
 
2.3-d → 
 
 
 
 
2.3-e → 
 
 
 
 
207 
 
 
2.3-f → 
 
 
2.4-a → {3; 5} 
2.4-b → {2; 4; 6} 
2.4-c → {1; 2; 4; 6; 9} 
2.4-d → {2} 
2.4-e → {1; 2; 3; 4; 5; 9} 
2.4-f → {∅} 
2.4-g → {1} 
2.4-h → {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9} 
2.4-i → {2; 4; 6; 8; 9} 
2.4-j → {4} 
2.5-a → 
1
3
 > 
2
8
 
2.5-b → 
2
4
 < 
3
4
 
2.5-c → 
3
4
 < 
3
2
 
 
 
 
208 
 
2.5-d → 
6
10
 < 
5
2
 
2.5-e → 
3
5
 < 
3
2
 
2.6-a → 𝑥16 
2.6-b → 33𝑥+3 
2.6-c → -
1
10
 
2.6-d → 
31
36
 
2.7-a → 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 3 
2.7-b → 𝑥5 − 2𝑥4 − 8𝑥3 + 6𝑥2 − 𝑥 
2.7-c → 𝑥4 + 4𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 
2.7-d → 2𝑥4 − 9𝑥3 + 6𝑥2 − 𝑥2.8-a → 
1
𝑥
 
2.8-b → 𝑥2 + 𝑥 + 1 
2.8-c → 
𝑥+1
𝑥−1
 
2.8-d → 
1
2+𝑥
 
2.9-a → -13 
2.9-b → -36 
2.9-c → -38 
2.9-d → 274 
 
 
 
209 
 
 2.10- 𝑎 → 
2.10-b → 
2.10-c → 
2.10-d → 
 
 
 
 
210 
 
2.11-a → 𝑥 = 4 
2.11-b → 𝑥 = 2 
2.11-c → 𝑥 = 3 
2.11-d → 𝑥 = 1 
2.11-e → 𝑥 = −2 
2.11-f → 𝑥 =
4
5
 
2.11-g → 𝑥 = 1 
2.12-a → 𝑥 = 2 ; 𝑦 = 1 
2.12-b → 𝑥 = 0 ; 𝑦 = 2 
2.12-c → 𝑥 = 2 ; 𝑦 = 1 
2.12-d → 𝑥 = 1 ; 𝑦 = 0 
2.12-e → 𝑥 = 2 ; 𝑦 =
1
2
 
2.12-f → 𝑥 = 0 ; 𝑦 = −1 
2.12-g → 𝑥 = 0 ; 𝑦 = 1 
2.12-h → 𝑥 = 3 ; 𝑦 = 1 
2.13-a → 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = −1 
2.13-b → 𝑥1 = −3 ; 𝑥2 = −2 
2.13-c → 𝑥1 = 1 ; 𝑥2 = −3 
2.13-d → 𝑥1 = −2 ; 𝑥2 = −5 
2.13-e → 𝑥1 = −5/2 ; 𝑥2 = 1 
 
 
 
211 
 
2.13-f → 𝑥1 = 1/2 ; 𝑥2 = 1 
2.13-g → 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = 1 
2.13-h → 𝑥1 = −2 ; 𝑥2 = 6 
2.13-i → 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = −2 
2.14-a → 𝑥 ∈ 𝑅 
2.14-b → 𝑥 ∈ (−∞;1) ∪ (1; +∞) 
2.14-c → 𝑥 ∈ (−∞;2) ∪ (2; +∞) 
2.14-d → 𝑥 ∈ (−∞;1] ∪ [3; +∞) 
2.14-e → 𝑥 ∈ (−2; 3) 
2.14-f → 𝑥 ∈ (−∞;1] ∪ [2; +∞) 
2.14-g → 𝑥 ∈ (−2; −2) ∪ (−2; 2] ∪ [3; +∞) 
2.15-a 
 ↓ 
Nos pontos {−2; −1}, 𝑓(𝑥) não é determinada; 
𝑓(𝑥) = 0 → 𝑥 = {1; 3} 
𝑓(𝑥) > 0 → 𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ (−1; 1) ∪ (3; +∞); 
𝑓(𝑥) < 0 → 𝑥 ∈ (−2;−1) ∪ (1 ; 3); 
𝑓(𝑥) ≥ 0,→ 𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ [−1; 1] ∪ [3; +∞); 
𝑓(𝑥) ≤ 0 → 𝑥 ∈ (−2;−1) ∪ [1; 3]. 
2.15-b 
 ↓ 
Nos pontos {1; 4}, 𝑓(𝑥) não é determinada; 
𝑓(𝑥) = 0 → 𝑥 = {−3; 2} 
𝑓(𝑥) > 0 → 𝑥 ∈ (−3; 1) ∪ (2; 4); 
 
 
 
212 
 
𝑓(𝑥) < 0 → 𝑥 ∈ (−∞;−3) ∪ (1 ; 2) ∪ (4;+∞); 
𝑓(𝑥) ≥ 0,→ 𝑥 ∈ [−3; 1] ∪ [2; 4]; 
𝑓(𝑥) ≤ 0 → 𝑥 ∈ (−∞;−3) ∪ [1; 2] ∪ (4;+∞). 
2.15-c 
 ↓ 
Nos pontos {−
1
2
; 
1
3
} , 𝑓(𝑥) não é determinada; 
𝑓(𝑥) = 0 → 𝑥 = {−2; 2} 
𝑓(𝑥) > 0 → 𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ (−
1
2
;
1
3
) ∪ (2; +∞); 
𝑓(𝑥) < 0 → 𝑥 ∈ (−2;−
1
2
) ∪ (
1
3
 ; 2) ∪ (4;+∞); 
𝑓(𝑥) ≥ 0,→ 𝑥 ∈ (−∞; −2] ∪ (−
1
2
;
1
3
) ∪ [2; +∞); 
𝑓(𝑥) ≤ 0 → 𝑥 ∈ [−2; −
1
2
) ∪ [ 
1
3
; 2]. 
 
2.15-d 
 ↓ 
Nos pontos {−1; −2}, 𝑓(𝑥) não é determinada; 
𝑓(𝑥) = 0 → 𝑥 = {2} 
𝑓(𝑥) > 0 → 𝑥 ∈ (−1;−2) ∪ (2;+∞); 
𝑓(𝑥) < 0 → 𝑥 ∈ (−∞;−1) ∪ (−2 ; 2); 
𝑓(𝑥) ≥ 0 → 𝑥 ∈ (−1;−2) ∪ [2; +∞); 
𝑓(𝑥) ≤ 0 → 𝑥 ∈ (−∞;−1) ∪ (−2; 2]. 
2.15-e 
 ↓ 
Nos pontos {3}, 𝑓(𝑥) não é determinada; 
𝑓(𝑥) > 0 → 𝑥 ∈ (3;+∞); 
𝑓(𝑥) < 0 → 𝑥 ∈ (−∞;3). 
2.16-a → 𝑥 ∈ (−∞;1) ∪ (1; 2) 
 
 
 
213 
 
2.16-b → 𝑥 ∈ (−
1
2
; +∞) 
2.16-c→ 𝑥 ∈ (2;+∞) 
2.17-a → 𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ (−
1
2
; +∞); 
2.17-b → 𝑥 ∈ (−
3
2
; 3); 
2.17-c → (−∞; −2] ∪ (3; +∞); 
2.17-d → [−
1
3
; 3) 
2.17-e → 𝑥 ∈ (2; +∞) 
2.17-f→ 𝑥 ∈ (−
1
3
; −
1
6
) 
2.17-g→ 𝑥 ∈ [−3; −
1
4
) 
2.18-a → 𝑥 ∈ (−1;+∞) 
2.18-b → 𝑥 ∈ (−∞; 2) 
2.18-c → 𝑥 ∈ (−∞;
1
2
) 
2.18-d → 𝑥 ∈ (−∞;−2) 
2.18-e → 𝑥 ∈ (−∞;+∞) 
2.18-f → 𝑥 ∈ (−∞;
1
3
) 
2.18-g → 𝑥 = ∅ 
 
 
 
 
 
 
214 
 
Referências bibliográficas 
 
 
[1]. Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2013: учебно-методическое 
пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: 
Легион, 2012. (Matemática. 9 classe. Preparação para avaliação geral do 
estado 2013: livro didático / Editado por F. F. Licinko, C. Y. Kulabuhova. – 
Rostov-em Donu: Legion, 2012.) 
[2]. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по 
математике: Учеб. Пособие. − 2-е изд., перераб. и доп. − М.:Высш.шк., 
1999. − 495 с. (Podolsky V. A., Suhodsky A. M., Mironenko E. S. Coleção de 
exercícios de matemáticas: livro didático. – segunda edição, remodelado e 
completado – M.: Escola superior, 1999. – 495 pag.) 
[3]. Магазинников Л. И., Магазинников А. Л. Высшая математика. 
Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление: 
Учебное пособие. − Томск: Томский межвузовский центр дистанционного 
образования, 2003.− 191 с. (Magazinnikov L. I., Magazinnikov A. L. 
Matemática superior. Introdução à análise matemática. Cálculo diferencial: 
Livro didático. – Tomck: Centro interuniversitário de Tomck Ensino à Distância, 
2003.-191 pag.) 
[4]. Моршнева Л.Г. Дидактический материал по математике. – М.: 
“Просвешение”, 1999. ( Morshneva L. G. Material didático de matemática. – 
M.: “Ensino”, 1999.) 
[5] . Стойлова Л.П. Математика. – М.: Академия, 2002. (Stoilov L. P. 
Matemática. – M.: Academia, 2002). 
 
 
 
 
 
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