MATEMATICA-BASES_

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HERINELTO DA FONSECA JOSEFA CASIMIRO 
 
MATEMÁTICA 
ELEMENTAR 
 
 CONJUNTOS, GRÁFICOS DAS FUNÇÕES 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES 
VOL. I 
 
 
 
 
 
BELGOROD-RÚSSIA 
2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 “A única maneira de aprender matemática é estudar matemática.” 
 Paul Halmos 
 
 
 
MATEMÁTICA 
ELEMENTAR 
 CONJUNTOS, GRÁFICOS DAS FUNÇÕES 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES 
VOL. I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em homenagem a: 
Maria Cristina Josefa 
 
2014 
 
УДК (UDC) 511.1 (07) 
ББК (BBC) 22.10Я7 
К 14 (C 14) 
 
Рецензенты: 
Г.Л.Окунева, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Института 
экономики и менеджментаБелгородского государственного технологического университета им. 
В.Г. Шухова; 
 
В.В. Флоринский,кандидат физико-математических наук, доцент 
кафедры «Программного обеспечения и вычислительной техники» Белгородского 
государственного технологического университета им. В.Г. Шухова 
Revisores: 
Galina L. Okuneva, candidata a ciências técnicas, docente do departamento de matemática superior do 
Instituto de economia e gestão da Universidade Estatal Técnica de Belgorod; 
 
Vyacheslav V. Flarenkii, candidato a ciências físicas e matemáticas, docente do departamento de 
Software e equipamento de computação da Universidade Estatal Técnica de Belgorod 
Herinelto da Fonseca Josefa Casimiro 
К 14 Matemática Elementar- Conjuntos, Gráficos das funções, Equações e Inequações / 
Casimiro Herinelto da Fonseca Josefa. Belgorod-Rússia: LitKaravan, 2014. – 215 pág. 
ISBN 978-5-902113-84-3 
Determinado manual «Matemática Elementar - Conjuntos, Gráficos das funções, Equações 
e Inequações» será muito útil para o desenvolvimento académico dos alunos e estudantes, que 
se encontram no curso preparatório. No determinado manual estão analisados as principais 
temáticas da matemática elementar. Está constituído por 8 capítulos, começando com o estudo 
dos conjuntos e terminando com as noções principais de equações e inequações. Recomenda-
se para uso no processo de ensino durante a elaboração de aulas e no trabalho individual dos 
alunos. 
Казимиру Эринелту да Фонсека Жозефа 
Данное пособие «Элементарная Математика- Множества, Графики функций, 
Уравнения и Неравенства» будет полезно для академического развития школьников и 
студентов, учащихся на подготовительном курсе. 
В данном пособии были рассмотрены основные разделы элементарной математики. 
Оно состоит из 8 глав, начиная с изучения множеств и завершая с основными 
понятиями уравнений и неравенств. 
ISBN 978-5-902113-84-3 
 © Herinelto da Fonseca Josefa Casimiro 
 © LitKaravan 
 
 
 
3 
 
 ÍNDICE 
INTRODUÇÃO ......................................................................................... 07 
AGRADECIMENTOS ............................................................................. 08 
I. TEORIA DOS CONJUNTOS 
1.1. Noção de um conjunto ............................................................. 09 
1.2. Tipos de conjuntos ................................................................... 10 
1.3. Subconjunto de um conjunto .................................................. 11 
1.4. Operações com conjuntos ....................................................... 12 
 II. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
2.1. Conceito de conjuntos numéricos ........................................... 17 
 III. NOÇÃO SOBRE OS NÚMEROS 
3.1. Tipos de números .................................................................... 20 
3.2. Critérios da divisibilidade dos números ................................. 22 
3.3. Decomposição dos números em factores simples .................. 23 
3.3.1. Máximo divisor comum (m.d.c) .......................................... 23 
3.3.2. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) ....................................... 24 
 IV. FRACÇÃO 
4.1. Noção de uma fracção ............................................................ 27 
4.2. Tipos de fracções .................................................................... 27 
4.3. Simplifição de fracções .......................................................... 29 
4.4. Comparação de fracções ......................................................... 29 
 
 
 
4 
 
4.5. Operações com fracções comuns ............................................ 31 
 V. POTÊNCIA 
5.1. Noção de potência ................................................................... 34 
5.2. Principais propriedades de potência ........................................ 34 
 VI. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
6.1. Definição de expressões algébricas .......................................... 37 
6.2. Expressões com variáveis ....................................................... 38 
6.2.1. Monómios, Binómios e Polinómios numa variável ............. 40 
6.2.1.1. Monómio ........................................................................... 40 
6.2.1.2. Binómio ............................................................................. 40 
6.2.1.3. Polinómios ......................................................................... 40 
6.2.1.3.1. Domínio de um polinómio ............................................. 41 
6.2.1.3.2. Grau de um polinómio ................................................... 41 
6.2.1.3.3. Polinómios ordenados ................................................... 41 
6.2.1.3.4. Operações com polinómio ............................................. 42 
6.3. Expressões racionais ................................................................ 47 
6.3.1. Definições ............................................................................. 47 
6.3.2. Domínio de expressões racionais fraccionárias ................... 47 
6.4. Simplifição de fracções algébricas .......................................... 48 
6.4.1. Operações com fracções algébricas racionais ..................... 48 
VII. FUNÇÃO 
7.1. Conceito de função ................................................................... 51 
 
 
 
5 
 
7.2. Formas de definição de uma função ........................................ 51 
7.3. Monotonia das funções ........................................................... 53 
7.4. Raiz de uma função ................................................................ 54 
7.5. Intervalo do sinal de uma função ............................................ 55 
7.6. Funções pares e ímpares ......................................................... 56 
7.7. Funções numéricas ................................................................. 58 
7.8. Funções com módulo .............................................................. 85 
7.9. Função potência ....................................................................... 105 
7.10. Função exponencial ............................................................... 109 
7.11. Função inversa ....................................................................... 112 
 VIII. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES 
8.1. Equações .................................................................................. 119 
8.1.1. Equações lineares ................................................................ 119 
8.1.2. Equações equivalentes ......................................................... 121 
8.1.3. Equações quadráticas ........................................................... 123 
8.1.4. Sistema de duas equações com duas variáveis ................... 129 
8.1.4.1. Métodos de resolução dos sistemas de duas equações 
com duas variáveis .......................................................................... 131 
8.2. Inequações ..............................................................................141 
8.2.1. Inequações lineares ............................................................ 142 
8.2.2. Inequações quadráticas ...................................................... 144 
8.2.3. Inequações fraccionárias ...................................................... 159 
 
 
 
6 
 
TESTE E EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................... 190 
I. BLOCO – TESTE .................................................................................. 190 
II. BLOCO – EXERCÍCIOS PROPOSTOS .............................................. 196 
RESPOSTAS DO TESTE .......................................................................... 203 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................... 205 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................... 214 
» outros Volumes da séria .................................................................. 215 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Introdução 
 
Matemática é uma das ciências práticas e usada diariamente pelas 
pessoas, mesmo não sabendo as principais regras e normas. 
Este manual contribuirá precisamente no desenvolvimento académico dos 
alunos, visto que o mesmo contém métodos simples e científicos para resolução 
e percepção de exercícios básicos de matemática. 
Neste manual estão resumidamente escritas as principais sessões do curso de 
matemática elementar para os alunos do ensino secundário (I e II ciclos do 
sistema educacional angolano), concretamente a partir da 7ª classe a 12ª classe e 
para os estudantes estrangeiros nas faculdades de ciclo preparatório, que têm 
como língua oficial o português. 
O Presente trabalho está constituído por 8 capítulos, tendo como primeiro, 
estudo dos conjuntos e por conclusão noções fundamentais de equações e 
inequações. O mesmo apresenta exemplos claros e com métodos de explicação a 
nível de linguagem acessível. 
O presente trabalho também pode ser útil para os estudantes do ensino 
superior, que apresentam insuficiências em resolver exercícios básicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Agradecimentos 
 
 
Em primeiro lugar, gostaria de agradecer ao nosso Senhor todo-poderoso, por 
me dar forças e decisão de escrever este manual, para ajudar aquelas pessoas 
necessitadas. Aos meus pais pela força, não se esquecendo pela plena ajuda dos 
meus orientadoresres científicos russos e angolanos, na correção e análise de 
certos exercícios,a ajuda oferecida pelos meus amigos e colegas quer financeira 
como espiritual. 
Obrigado a todos pelo vosso carinho e amor, porque essa obra não foi só 
escrita por mim, mas sim por todos nós. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
I. TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
1.1. Noção de um conjunto 
 
A noção de um conjunto em matemática é praticamente a mesma que se usa 
na linguagem comum, isto é: agrupamento, classe, colecção, sistema. Todo 
objecto que precisamente se encontra na formação de um conjunto é chamado 
de elemento. 
 
𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} assim: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 são elementos do conjunto 𝐴. 
 
 
Um conjunto em geral é representado por uma letra maiúscula do alfabeto 
𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , … e os seus elementos são representados por letras menúsculas, como 
acima o conjunto representado. 
Se na representação de um conjunto usarmos um círculo, estaremos assim 
usando o chamado diagrama de Venn. 
 
Fig.1.1. Representação de um conjunto num diagrama de Venn 
 
Se na representação de um conjunto, o número dos seus elementos for finito e 
suficientemente pequeno enumerando explicitamente todos os seus elementos 
colocados entre chaves e separados por vírgulas, estaremos perante a 
representação extensiva de um conjunto. 
Ex.1: 
 
 
 
10 
 
𝐴 = { 𝐽𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜,𝑀𝑎𝑟ç𝑜,𝑀𝑎𝑖𝑜, 𝐽𝑢𝑛ℎ𝑜, 𝐴𝑔𝑜𝑠𝑡𝑜, 𝑂𝑢𝑡𝑢𝑏𝑟𝑜, 𝐷𝑒𝑧𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 } 
↓ 
 Conjunto dos meses de 31 dias. 
Ex.2: 
𝐵 = { 𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢 } 
↓ 
 Conjunto das vogais. 
Se na representação de um conjunto é enunciada uma propriedade 
característica dos seus elementos, isto é, uma propriedade que os seus e só os 
seus elementos possuam, então, estaremos perante a representação 
compreensiva de um conjunto. 
Ex.3: 
a) 𝐴 = {𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜} 
b) 𝐵 = {𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑜 } 
Assim, podemos definir um conjunto como agrupamento de elementos que 
possuem propreidades comuns. 
 
1.2. Tipos de conjuntos 
 
1- Conjunto finito 
Todo conjunto onde podemos determinar o primeiro e o último elemento. 
 
 A = {𝟏, 2, 3, 4, 5, 𝟔} 
 
 Último elemento 
 Primeiro elemento 
 
 2- Conjunto infinito 
 Todo conjunto onde é sempre impossível determinar o primeiro e o último 
elemento. 
 
 
 
11 
 
 𝐴 = {… − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 … } 
 
3- Conjunto vazio 
Todo conjunto que não tem elementos. 
𝐴 = {∅} 
4- Conjunto idênticos 
Todo conjunto com elementos iguais. 
𝐴 = {1, 2, 3, 4}, 𝐵 = {2, 3, 4, 1} 
5- Conjunto unitário 
Todo aquele conjunto que só possui um elemento. 
Ex.1: conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: 
𝐴 = {1}. 
 
1.3. Subconjunto de um conjunto 
 
Dados conjuntos 𝐴 e 𝐵 , o conjunto 𝐴 é considerado o subconjunto de 
conjunto 𝐵, somente se os elementos do conjunto 𝐴 pertencem também ao 
conjunto 𝐵. 
 
Fig.1.2. Conjunto 𝐵 e o seu subconjunto 𝐴 
 
A notação 𝐴 ⊆ 𝐵, indica-nos, que o conjunto 𝐴 é o subconjunto de 𝐵 ou 𝐴 
está contido em 𝐵. 
O símbolo ⊆ é denominado como sinal de inclusão, pela definição teremos: 
𝐴 ⊆ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
 
 
12 
 
Ex.1: 
𝐴 = {𝒎, 𝒏, 𝒐, 𝒑 }, 𝐵 = {𝒎, 𝑙, 𝒏, 𝒑, 𝑞, 𝒐 } 
↓ 
𝐴 ⊆ 𝐵 
↓ 
{𝒎, 𝒏, 𝒐, 𝒑 } ⊂ {𝒎, 𝑙, 𝒏, 𝒑, 𝑞, 𝒐 } 
 
A notação 𝐴 ⊈ 𝐵 indica-nos que o conjunto 𝐴 não está contido no conjunto 
𝐵. 
Ex.2: 
𝐴 = {𝑑, 𝑒} , 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} 
↓ 
 𝐴 ⊈ 𝐵. 
No caso em que, o conjunto 𝐴 possuir somente um elemento que também 
possui o conjunto 𝐵, de qualquer modo, indica-nos exclusão → 𝐴 ⊈ 𝐵. 
Ex.3: 
𝐴 = {𝑎, 𝒃, 𝒄} , 𝐵 = {𝒃, 𝒄, 𝑑, 𝑒 } 
↓ 
𝑎 ∉ {𝒃, 𝒄, 𝑑, 𝑒 } 
↓ 
𝐴 ⊈ 𝐵. 
Nota: conjunto vazio considera-se subconjunto de qualquer conjunto. 
 
1.4. Operações com conjuntos 
 
1- Intersecção ∩ 
Conjunto de elementos comuns, isto é, agrupamento de elementos que 
possuem ambos conjuntos em que consideram-se comuns. 
Podemos desenhar a intersecção: 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
 
 
13 
 
 
Fig.1.3 - Intersecção dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 
 
Ex.1: 
𝐴 = {𝒎, 𝒏, 𝒐, 𝑒 }, 𝐵 = {𝒎, 𝑙, 𝒏, 𝑝, 𝑞, 𝒐 } 
↓ 
 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝒎, 𝒏, 𝒐} 
 
Ex.2: 
𝐴 = {1,2, 𝟑, 𝟒}, 𝐵 = {𝟑, 𝟒, 5,6,7} 
↓ 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝟑, 𝟒}. 
2- União ∪ 
Conjunto de todos elementos. 
Podemos desenhar a União: 
 
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
Fig.1.4. União dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 
 
 
 
14 
 
Ex.1: 
𝐴 = {𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑒 }, 𝐵 = {𝑚, 𝑙, 𝑛, 𝑝, 𝑞, 𝑜 } 
↓ 
 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑚, 𝑛, 𝑙, 𝑜, 𝑒, 𝑝, 𝑞} 
 
Ex.2: 
𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 = {3,4,5,6,7} 
↓ 
 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6,7}. 
 
3- Diferença \ 
Conjunto de elementos que pertencem somente diminuendo. 
Podemos desenhar a diferença: 
𝐴\𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵} 
 
 Fig.1.5. Diferença dos conjuntos A e B 
 
Ex.1: 
𝐴 = {𝒎, 𝒏, 𝒐, 𝑒 }, 𝐵 = {𝒎, 𝑙, 𝒏, 𝑝, 𝑞, 𝒐 } 
↓ 
 𝐴 \ 𝐵 = {𝑒} 
Ex.2: 
𝐴 = {1,2, 𝟑, 𝟒}, 𝐵 = {𝟑, 𝟒, 5,6,7} 
↓ 
 
 
 
15 
 
𝐴 \ 𝐵 = {1,2}. 
 
4- Diferença simétrica ∆ 
A deferença simétrica dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 chama-se o conjunto 𝐴 𝛥 𝐵 ( 
diferença ), que é considerado como a união dasdiferenças dos conjuntos 𝐴\𝐵 𝑒 
𝐵\𝐴, isto é: 
𝐴 𝛥 𝐵 = (𝐴\𝐵) 𝑈 (𝐵\𝐴) 
Podemos desenhar a Diferença Simétrica: 
 
 Fig.1.6. Diferença Simétrica dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 
 
Ex.1: 
𝐴 = {𝒎, 𝒏, 𝒐, 𝑒 }, 𝐵 = {𝒎, 𝑙, 𝒏, 𝑝, 𝑞, 𝒐 } 
↓ 
 𝐴 \ 𝐵 = {𝑒} , 𝐵\ 𝐴 = {𝑙, 𝑝, 𝑞} 
↓ 
𝐴 𝛥 𝐵 = (𝐴\𝐵) 𝑈 (𝐵\𝐴) 
↓ 
𝐴 𝛥 𝐵 = {𝑒, 𝑙, 𝑝, 𝑞}. 
Ex.2: 
𝐴 = {1,2, 𝟑, 𝟒}, 𝐵 = {𝟑, 𝟒, 5,6,7} 
↓ 
 𝐴 \ 𝐵 = {1,2} , 𝐵 \ 𝐴 = {5,6,7} 
 
 
 
16 
 
↓ 
𝐴 𝛥 𝐵 = (𝐴\𝐵) 𝑈 (𝐵\𝐴) 
↓ 
𝐴 𝛥 𝐵 = {1,2,5,6,7}. 
Nas operações sobre os conjuntos são válidas as seguintes propriedades: 
1) Propriedade comutativa da união; 
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 
 
2) Propriedade comutativa da intersecção, 
 
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 
 
3) Propriedade associativa da união; 
 
(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) 
 
4) Propriedade associativa da intersecção; 
 
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) 
 
5) Propiredade distribuitiva da intersecção em relação à união; 
 
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 
 
6) Propriedade distribuitiva da união em relação à intersecção; 
 
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 
 
7) Propriedades das operações – união e intersecção; 
 
𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴; 
𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴; 
𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴; 
𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴. 
8) Propriedade do conjunto vazio; 
𝐴 ∪ Ø = 𝐴; 𝐴 ∩ Ø = Ø. 
 
 
 
17 
 
II. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
2.1. Conceito de conjuntos numéricos 
 
Considera-se conjunto numérico todo conjunto constituído por números. 
Esses conjuntos, por sua vez, podem ser: 
1- Conjunto dos números naturais (𝑁) 
𝑁 = {1,2,3,4… } 
Primeiro elemento do conjunto dos números naturais é o número 1 e o 
último elemento ou número é impossível determinar. 
Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais: adição e 
multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades: 
a. Associativa da adição 
 
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) → para todos a , b, c ∈ 𝑁 
 
b. Comutativa da adição 
 
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 → para todos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 
 
c. Elemento neutro da adição 
 
𝑎 + 0 = 𝑎 → para todo 𝑎 ∈ 𝑁 
 
d. Associativa da multiplicação 
 
(𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎 (𝑏𝑐) → para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁 
 
e. Comutativa da multiplicação 
 
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 → para todos 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 
 
f. Elemento neutro da multiplicação 
 
𝑎 ∙ 1 = 𝑎 → para todo 𝑎 ∈ 𝑁 
 
g. Elemento obsorvente da multiplicação 
 
 
 
18 
 
𝑎 ∙ 0 = 0 → para todo 𝑎 ∈ 𝑁 
 
h. Distribuitiva da multiplicação em relação à adição 
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 → para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁 
Veremos que os próximos conjuntos numéricos que serão apresentados são 
ampliados de 𝑁, isto é, contem 𝑁 e apresentam uma adição e multiplicação com 
as propriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem 
justamente o motivo da ampliação. 
Assim, dado um número natural 𝑎 ≠ 0, o simétrico de 𝑎 não existe em 𝑁, 
isto é, a subtração não é uma operação em 𝑁. Venceremos esta dificuldade 
introduzindo um novo conjunto numérico. 
2- Conjunto dos números inteiros (𝑍) 
 
 Esq. 2.1. Tipos de números inteiros 
 
Assim podemos escrever que: 𝑍 = {…− 4,− 3,−2,−1,0,1,2,3,4 … } 
 Logo, conjunto de números inteiros consideram-se todos números positivos 
e negativos. Os números positivos 𝑍+ são chamados de naturais 𝑁. 
No conjunto 𝑍, são definidas as operações de adição e multiplicação, como 
em 𝑁, mas acrescentando a propriedade de simetria ou oposto para adição. 
Para todo 𝑎 ∈ 𝑍 , existe −𝑎 ∈ 𝑍 , tal que : 𝑎 + (−𝑎) = 0 . Divido a esta 
propriedade podemos definir em Z , a operação de subtração, estabelecendo a 
relação: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏), para todos, a, b ∈ 𝑍. 
N ⊆ 𝑍 → Conjunto dos números naturais está incluso no conjunto de 
números inteiros. 
Em 𝑍 , o inverso não existe : 
1
𝑞
∄ 𝑍, por isso não podemos definir em 𝑍 a 
operaração de divisão, porque nem sempre é possivel, dar signifigado na 
 
 
 
19 
 
expressão 
𝑝
𝑞
. Vamos superar essa dificuldade introduzindo um outro conjunto 
numérico. 
3- Conjunto dos números racionais (𝑄) 
Conjunto em que, todos os números podem ser representados por uma 
fracção de dois números inteiros, isto é, a divisão é sempre possível. 
𝑄 = { 
𝑄+ → 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 
 
𝑄− → 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 
 
 
Esq. 2.2. Tipos de números racionais 
𝑍 ⊆ 𝑄 → Conjunto dos números inteiros está incluso no conjunto de 
números racionais. 
4- Conjunto de números irracionais (𝐼) 
Conjunto formado por números reais que não podem ser obtidos pela divisão 
de dois números inteiros, ou seja, são números reais, mas não racionais. 
5- Conjunto de números reais (𝑅) 
Conjunto de todos números . Assim podemos escrever: 
𝑁 ⊆ 𝑍 ⊆ 𝑄 ⊆ 𝑅; 𝐼 ⊆ 𝑅 
ou ainda em forma de diagrama: 
 
Fig.2.1. Representação dos conjuntos númericos num diagrama 
 
 
 
20 
 
III. NOÇÃO SOBRE NÚMEROS 
 
3.1. Tipos de números 
 
1- Números pares 
São todos números divisíveis por dois e que resulta um número inteiro, isto é, 
números que possuem a característica de um número inteiro. 
Ex.1: {2,4,6,8… } 
 2 ∙ 𝑛 onde 𝑛 ∈ 𝑁 → fórmula dos números pares (3.1) 
2- Números ímpares 
Ex.1: {1,3,5,7,9… } 
 2 ∙ 𝑛 − 1 onde 𝑛 ∈ 𝑁 → fórmula dos números ímpares. (3.2) 
3- Algarismos ou dígitos 
São símbolos usados na representação de números Inteiros ou Reais. 
Ex.1: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 . . . } 
4- Números com vários algarismos 
Esses números podem ser: 
Números com vários algarismos 
 
{
 
 
 
 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠: 17; 32; 43; 76… 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑡𝑟ê𝑠 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠: 144; 256; 314… 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠: 1024; 6174. .. 
 
Esq. 3.1. Tipos de números com vários algarismos 
 
5- Números simples 
Números naturais que possuem exactamente dois diferentes divisores 
naturais: 1 e si mesmo. 
Ex.1: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. . . } 
 
 
 
21 
 
6- Números compostos 
Números naturais maiores que 1 e divisíveis por si, por 1 e por outros 
números. 
Ex.1: {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24. . . } 
7- Números opostos 
Os números opostos também são denominados simétricos, isto é, números 
que quando representados na recta numérica possuem a mesma distância da 
origem. 
 
 -2 0 2 𝑅 
 
Observe que a distância entre os números 2 e – 2 até a origem (zero) é 
correspondente a uma unidade. A esse facto damos o nome de valor absoluto ou 
módulo do número. Por exemplo, o módulo dos números 2 e – 2 é representado 
da seguinte forma: 
|2| = 2 ; |−2| = 2 
 
Considerando que a distância entre 0 ↔ 2 e 0 ↔ – 2 são as mesmas e 
que o módulo de – 2 é o mesmo que o de 2, dizemos que esses números são 
opostos ou simétricos. 
8- Números positivos 
Todos os números que se encontram a direita de zero. 
 
 
 0 +∞ 
 
9- Números negativos 
Números que se encontram a esquerda de zero. 
 
 
 - ∞ 0 
 
 
 
 
 
22 
 
3.2. Critérios da divisibilidade dos números 
1- Divisibilidade por: 1 
Por 1 dividem todos números. 
2- Divisibilidade por: 2 
Por 2 dividem todos números pares. 
3- Divisibilidade por: 3 
Por 3 dividem todos os números em que a soma dos algarismos seja divisível 
por 3. 
Ex. 711 → 7 + 1 + 1 = 9 → é divisível por 3, logo 711→ é divisível por 
3. 
4- Divisibilidade por: 4 
Por 4 dividem todos números em que: 
₌₌ Os dois últimos algarismos 00, 
₌₌ Números formados por dois últimos algarismos que são divisíveis por 4. 
Ex. 312 → 12 é divisível por 4, logo 312 é divisível por 4 
5- Divisibilidade por: 5 
Por 5 divide números em que o último algarismo seja 0 ou 5. 
6- Divisibilidade por: 9 
Por 9 dividem todos números em que a soma dos algarismos seja divisível 
por 9. 
Ex. 774 → 7 + 7 + 4 = 18 → é divisível por 9, logo 774 é divisível por 9. 
7- Divisibilidade por: 10 
Por 10 todos números em que o último algarismo seja 0. 
8- Divisibilidade por: 25 
Por 25 dividem todos números em que: 
₌₌ Dois últimos algarismos sejam 00, 
₌₌ Números compostos de dois últimos algarismos que dividem por 25. 
 
 
 
23 
 
Todas provas de critérios da divisibilidade dos números, vocês podem ver no 
livro “ No mundo dos números1 ”. 
3.3. Decomposição dos números em factores simples 
 
O teorema fundamental da aritmétrica, afirma que, todo número natural maior 
que 1 pode ser apresentado por um produto de números simples ( primos ). 
 
Ex.1: 
 12 2 12 = 2 × 2 × 3 × 1 
 6 2 produto dos factores primos ( simples ) 
 3 3 
 1 
 
3.3.1. Máximo divisor comum ( m.d.c ) 
 
O máximo divisor comum, significa que entre dois ou mais números inteiros é 
o maior número inteiro que é o factor ( divisor ) de tais números. 
Para determinarmos o m.d.c, por exemplo dos números 264 e 488, são 
válidos os seguintes passos: 
1- Decompor os números em factores ou em multiplicadores simples; 
 
2- Escrever o produto dos factores obtidos na forma potencial; 
246 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 = 23 ∙ 3 ∙ 11 
 
1 No mundo dos números, livro escrito por Herinelto Casimiro e Tran Quang Vuong. 
 
 
 
24 
 
488 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 61 = 23 ∙ 61 
3- Pegar somente a potência com menor expoente entre os elementos 
comuns; 
4- Escrever o seu produto. 
m.d.c (264 , 488) = 23 = 8 
3.3.2. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 
 
O mínimo múltiplo comum de dois números inteiros ou mais, considera-se o 
menor número inteiro positivo não nulo que é mútiplo dos ambos números. 
Para determinarmos o m.m.c, devemos: 
1- Decompor os números em factores; 
 
2- Escrever o produto dos factores obtidos na forma potencial; 
264 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 = 23 ∙ 3 ∙ 11 
488 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 61 = 23 ∙ 61 
3- Pegar a potência de maior expoente (elementos comuns) e os não comuns 
com os expoentes que tiverem; 
23 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 61 
4- Escrever os seus produtos. 
m.m.c (264, 488) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 61 = 16104 
Existe uma relação entre o m.d.c e m.m.c de dois ou mais números naturais 
𝑎 e 𝑏. A relação em que, o valor do m.d.c multiplicando com o valor do m.m.c é 
igual a multiplicação dos ambos números, isto é: 
 
 
 
25 
 
𝒎.𝒅. 𝒄 (𝑎, 𝑏) × 𝒎.𝒎. 𝒄 (𝑎, 𝑏) = 𝑎 × 𝑏 
↓ 
(𝒎. 𝒅. 𝒄 (264 𝑒 488) → 8) × (𝒎.𝒎. 𝒄 (264 𝑒 488) → 16104) = 264 × 488 
8 × 16104 = 264 × 488 
128832 = 128832. 
Existem ainda outros métodos para determinar o mdc e m.m.c. O m.d.c por 
exemplo, pode ser determinado com ajuda do método Algoritmo de Euclides. 
Método que consiste na determinação do resto zero, por intermédio de uma série 
de divisões. Exemplo: 
Suponhamos que 𝑎 = 264 e 𝑏 = 488, analisando que 𝑏 > 𝑎, então para 
determinar o m.d.c, temos que ter em conta o seguinte: 
a) O 𝑏 será divido por 𝑎, neste caso o importante é o resto: 
≫ Se o resto for zero, na primeira operação, então o 𝑎 é mdc; 
≫ Se o resto não for zero, então o processo continuará conforme as regras: 
 b÷ a ↔ 488 264 
 264 1 
 224 
 resto ≠ 0 
continuaremos: 
 264 224 
 224 1 
 40 
resto ≠ 0 
continuaremos: 
 
 224 40 
 200 5 
 24 
resto ≠ 0 
 
 
 
26 
 
continuaremos: 
 40 24 
 24 1 
 16 
resto ≠ 0 
continuaremos: 
 24 16 
 16 1 
 8 
resto ≠ 0 
continuaremos: 
 16 8 
 16 2 
 0 
Logo o m.d.c ( 264 𝑒 488 ) = 8 
Para determinarmos o m.m.c, com ajuda de um outro método, só temos que 
multiplicar 264 com 488 e dividir com o valor de m.d.c dos mesmos, isto é: 
𝒎.𝒎. 𝒄 =
𝒂×𝒃
𝒎𝒅𝒄(𝒂;𝒃)
 
↓ 
𝑚.𝑚. 𝑐 =
264 × 488
8
= 16104 
Exercícios adicionais ( trabalho individual ): 
Determine o m.d.c e o m.m.c dos seguintes números: 
1) 1268 e 326 
2) 225 e 15 
3) 64 ; 256 e 96 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
IV. FRACÇÃO 
 
4.1. Noção de uma fracção 
 
Fracção considera-se número escrito na forma 
𝑎
𝑏
 ou 𝑎 𝑏⁄ , ou ainda 𝑎 𝑏⁄ , 
onde: 𝑎 → numerador, 𝑏 → denominador. 
4.2. Tipos de fracções 
As fracções de modo geral, podem ser classificadas dea seguinte maneira, 
conforme o esquema (4.1): 
 
Esq. 4.1. Classificação das fracções 
Segundo o esquema (4.1) acima escrito, temos as seguintes difinições sobre 
os tipos de fracções classificadas: 
1- Fracções próprias: fracções em que, o denominador é maior do que o 
numerador, isto é: 
𝑎
𝑏
 → 𝑎 < 𝑏. 
Ex.1: 
3
6
 ; 
1
4
 
2- Fracções impróprias: fracções em que, o numerador é igual ou maior 
igual do que denominador, isto é: 
𝑎
𝑏
 → 𝑎 ≥ 𝑏. 
Ex.1: 
10
7
 ; 
5
2
 
 
 
 
28 
 
3- Fracções decimais finitas: são todas fracções correspondidas por números 
decimais exactos. Números decimais são compostos por uma parte inteira ( 
números antes da vírgula ) e por uma parte decimal ( números após a vírgula ). 
Por exemplo: o número 1,22 corresponde a fracção 122/100. 
122/100 = 1,22 , onde 1 representa a parte inteira e 22 representa a parte 
decimal, assim a fracção apresentada pode ser decomposta da seguinte forma: 
122/100 = (100 + 22)/100 = 100/100 + 22/100 = 1 + 0,22 = 1,22. 
4- Fracções decimais infinitas periódicas: são fracções cujo resultado da 
divisão do numerador com o denominador é uma dízima periódica. Uma dízima 
periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma 
série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se 
repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma 
disposição e chamados de período. 
Se o período aparecer imediatamente após a vírigula, chamam-se infinitas 
periódicas simples. Se aparecer um ou mais algarismos entre a virgula e o 
período, que não entram na composição do período, chamam-se infinitas 
periodicas compostas. 
Ex.1: 2/3=0,666… 
 Infinita periódica simples 
 Periodo → 6 
Ex.2: 5/6= 0,8333 ... 
 
 Infinita periódica composta 
 
 Periodo → 3 
5- Número misto: é número quepossui uma parte inteira (número inteiro) e 
uma fracção própria, isto é, fracção da forma: 𝒅
𝒂
𝒃
 . 
 
 
 
29 
 
Para desfazermos um número misto só temos que multplicar o denominador 
(𝑏) com a parte inteira (𝑑) e somar com o numerador (𝑎) , mantendo-se o 
mesmo denominador. 
Ex. 5
3
4
 =
(4×5)+3
4
=
23
4
 . 
Para transformar uma fracção imprópria em um número misto, temos que: 
1) Dividir o numerador com o denominador , 
2) O resultado (quociente) da divisão é a parte inteira , 
3) O resto da divisão é o novo numerador, 
4) O denominador não mudará. 
Ex. 
22
7
 
 22 7 
 
 21 3 Parte inteira (𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) 
 1 Resto 
Assim teremos: 3
1
7
 . 
 
4.3. Simplificação de fracções 
 
Simplificar uma fracção, significa dividir o numerador e o denominador pelo 
número que seja divisível com os mesmos, até encontramos uma fracção 
inredutível ( fracção que não admite mais simplifições ). 
Ex.1: 
𝑎÷𝑑
𝑏÷𝑑
 → a é divisível por 𝑑, assim como 𝑏 é divisível por 𝑑 . 
Ex.2: Simplifica a fracção 
25
15
 
Resolução: 
1) Localize um número divisível por 25 e 15 
2) Realize facilmente a divisão. 
25÷5
15÷5
 = 
5
3
 
 
4.4. Comparação de fracções 
 
Para comparar fracções, temos que ter em conta as seguintes condições: 
 
 
 
30 
 
a) Se os denominadores forem iguais, a fracção maior será aquela que o 
numerador for maior; 
Ex.1: 
2
5
 e 
6
5
 logo: 
2
5
<
6
5
 
b) Se os numeradores forem iguais, a fracção maior será aquela que o 
denominador for menor; 
Ex.2: 
4
3
 e 
4
7
 logo: 
4
3
>
4
7
 
c) Se os numeradores e denominadores forem diferentes, para tal temos que 
calcular o mínimo múltiplo comum (m.m.c) e teremos a condição 𝑎. 
Ex.3: 
2
3
 e 
1
2
 ; m.m.c de 3 e 2 → 6, teremos as seguintes operações: 
≫ 6 ÷ 3 = 𝟐; 6 ÷ 2 = 𝟑; 
≫ 
2
3
 e 
1
2
 → 
4
6
 e 
3
6 
 ; logo: 
4
 6
>
3
6
 
 (2) (3) 
 
d) Se os numeradores e denominadores forem diferentes, a comparação pode 
ser feita com ajuda de um certo número. 
Ex.4: 
4
3
 e 
6
7
 , vamos comparar com ajuda do número 1. 
 
Pelo que: 
 
4
3
>
3
3
→
4
3
> 1; 
 
6
7
<
6
6
 → 
6
7
< 1 
Então: 
 
4
3
> 1 >
6
7
 , logo 
4
3
>
6
7
 
 
Ex.5: 
5
9
 e 
6
13
 , com ajuda da fracção 
1
2
. 
 
 
Pelo que: 
× 
 
 
 
31 
 
 
5
9
>
5
10 
, sabendo que: 
5
10 
=
1
2 
, então 
5
9 
>
1
2 
 
 
6
13
<
6
12 
, sabendo que: 
6
12 
=
1
2 
, então 
6
13 
<
1
2 
 
Então: 
 
5
9
>
1
2
>
6
13
 , logo 
5
9
>
6
13
 
 
Exercícios adicionais ( trabalho individual ) 
 
Compare as seguintes fracções: 
 
a) 
3
4
 e 
7
4
 ; 
4
7
 e 
3
7
 ; 
1
8
 e 
11
8
 . 
 
b) 
1
4
 e 
1
2
 ; 
4
3
 e 
4
7
 ; 
10
3
 e 
10
11
 . 
 
c) 
3
4
 e 
4
3
 → com ajuda de 1 ; 
3
5
 e 
4
9
 → com ajuda de 
1
2
 ; 
2
7
 e 
3
8
 → com 
ajuda de 
1
3
 . 
4.5. Operações com fracções comuns 
 
As fracções comuns, em geral são desenvolvidas com as seguintes 
operações: 
1) Adição e subtração 
Para subtrair ou somar uma fracção com a outra, temos que, em primeiro 
lugar, verificar se ambas possuem mesmos denominadores, para simplesmente 
realizar a operação. Se os denominadores forem diferentes, temos que determinar 
o m.m.c e por fim efectuar a operação e simplificar caso seja possível. 
Ex.1: calcule: 
8
3 
 − 
5
3 
 ; 
2
3 
 + 
1
2 
 
O primeira exercício, como os denominadores são iguais, teremos: 
8 − 5
3 
=
3
3
 = 1 
 
 
 
32 
 
Na resolução do segundo exercício, será necessário determinar o m.m.c 
( 3 𝑒 2 que é 6 ), teremos: 
2
3 
 + 
1
2 
=
4+3
6
=
7
6
 . 
2) Multiplicação 
 Para multipar duas fracções é necessário por e simplesmente, multiplicar o 
numerador com o numerador e denominador com o denominador e simplificar a 
fracção caso seja possível. 
𝑎
𝑏
× 
𝑐
𝑑
=
𝑎 × 𝑐
𝑏 × 𝑑
 
Ex.2: 
3
4 
 × 
5
2 
 
3
4 
 × 
5
2 
=
3×5
4×2
=
15
8
 
Ex.3: 
3
8
 × 4 
3
8
× 4 =
3 × 4
8
=
12
8
=
12 ÷ 4
8 ÷ 4
=
3
2
= 1
1
2
 
Ex.4: 1 
2
5
 × 3 
1
2
5
× 3 =
7
5
× 3 =
7×3
5
=
21
5
= 4
1
5
 . 
3) Divisão 
Como a divisão é uma operação inversa da multiplicação, implica dizer que: 
para dividir uma fracção na outra, temos que transformar a divisão numa 
multiplicação, mas mediante uma transformação na segunda fracção, isto é: o 
numerador tornar-se-á o denominador e o denominador tornar-se-á numerador (o 
inverso ). 
𝑎
𝑏
÷ 
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
×
𝑑
𝑐
=
𝑎×𝑑
𝑏×𝑐
 . 
Ex.5: 
3
4 
 ÷ 
5
2
 
 
 
 
33 
 
3
4 
 ÷ 
5
2
 = 
3
4
×
2
5
=
6
20
 
simplificando teremos o seguinte: 
6÷2
20÷2
 =
3
10
 . 
Ex.6: 
1
4 
 ÷ 
1
8
 
1
4 
 ÷ 
1
8
 = 
1
4
×
8
1
=
8
4
=
8÷4
4÷4
 =
2
1
= 2. 
Ex.7: 20 ÷ 
8
7
 
20 ÷ 
8
7
 = 20 ×
7
8
=
20×7
8
=
140
8
=
140÷4
8÷4
 =
35
2
= 17
1
2
 . 
Existe uma série de exercícios em que podemos encontrar todas operacções 
apresentadas e para resolver, só temos que aplicar todas técnicas já explicadas. 
Ex.8: (
2
9
+
3
4
) × (
1
3
− 2
6
8
) 
Ex.9: [(4
5
12
− 3
13
24
) ×
4
7
+ (3
1
13
− 2
7
12
) × 1
1
11
] × 2
3
5
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
V. POTÊNCIA 
 
5.1. Noção de potência 
 
Uma potência de expoente natural é o resultado da multiplicação de um dado 
número por si mesmo um certo número de vezes, ou seja, é uma forma de 
representar sucessivas multiplicações de um só factor, repetido um determinado 
número de vezes. Assim, podemos representar uma Potência de um expoente 
natural de seguinte forma: 
 𝐚𝐧 = 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 × 𝒂… onde: 𝑎 → base, 𝑛 → expoente 
 
 𝑛 – vezes 
 elevação do número « 𝒂 » no expoente « 𝒏 » . 
 
5.2. Principais propriedades de potência 
Seja 𝑎 base da potência em que 𝑎 ∈ 𝑅 e o seu expoente 𝑛 ∈ 𝑅, são válidas 
as seguintes propriedades: 
1) Toda potência de base 𝑎 positiva e com expoente 𝑛 par ou ímpar também 
positivos, o resultado depois da operação será um número positivo; 
 22 = 4 ; 23 = 8 
2) Toda potência de base 𝑎 negativa e com expoente 𝑛 par e positivo, o 
resultado depois da operação será um número positivo; 
(−2)2 = 4 
3) Toda potência de base 𝑎 negativa e de expoente n ímpar, teremos um 
número negativo; 
(−2)3 = −8 
4) Toda potência de base 𝑎 positiva ou negativa e com expoente 𝑛 zero, será 
igual a 1; 
 
 
 
35 
 
 a0 = 1 ; (−𝑎)0 = 1 → 300 = 1 ; 1000 0 = 1. 
5) Divisão de duas potências de bases iguais e de expoentes diferentes, 
mantem-se uma só base e subtrair-se os expoentes; 
𝑎𝑛
𝑎𝑚
= 𝑎𝑛−𝑚 → 37/34 = 37−4= 33 = 27. 
6) Multiplicação de duas potências de bases iguais, mantem-se uma só base e 
soma-se os expoentes; 
𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 → 23 × 22= 23+2= 25= 32. 
7) Potência de expoente 𝑛, em caso da existência de um outro expoente m que 
se encontra ao lado do expoente n, mas fora de parenteses da expressão 
exponencial, multiplica-se ambos expoentes; 
(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛×𝑚 → (23)2 = 23×2= 26 = 64. 
8) Toda potência de base 𝑎 e com expoente 𝑛 par ou ímpar negativos, neste 
caso escreve-se o inverso de 𝑎 e o 𝑛 torna-se-á positivo; 
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
 → 3−2 =
1
32
 ; (
𝑎
𝑏
)
−𝑛
= (
𝑏
𝑎
)
𝑛
→ (
2
3
)
−2
= (
3
2
)
2
 
 
9) Multiplicação de duas potências de bases 𝑎 e 𝑏 diferentes e expoentes𝑛 
iguais, multiplica-se as bases mantendo um só expoente; 
𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 → 23 ∙ 53 = (2 ∙ 5)3 = 103. 
Nota: veremos na segunda edição do manual a propriedade √𝑎𝑛
𝑚
 , depois de 
estudarmos os radicais detalhadamente. 
Ex.1: Resolve a expressão: 
1410
26×79
×
136×84
268
 
 Para resolvermos esse tipo de exercício, temos os seguntes passos: 
≫ Igualar as bases, isto é, decompor em factores ( as bases ); 
 
 
 
 
36 
 
210×710
26 ×79
 × 
136×212
138 ×28
 
≫ Aplicar as propriedades. 
210×710
26 ×79
 × 
136×212
138 ×28
 = 2(10−6) ∙ 7(10−9) ∙ 13(6−8) ∙ 2(12−8) = 
= 24 ∙ 71 ∙ 13−2 ∙ 24=2(4+4) ∙ 7 ∙ 13−2 =
28.7
132
 =
1792
169
 = 10
102
169
 
Exercícios adicionais ( trabalho individual ) 
Resolve: 
a) 
37×56
34×58
×
63×29
65×24
 ; b) 
9
3+
1
2
34
 ÷ 
8
7−
1
3
274
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
VI. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
6.1. Definição de expressões algébricas 
 
Chama-se expressões algébricas todas as expressões constituídas por 
números em que não incidem outras operações além de: adições, multiplicações, 
divisões e extracções de raizes ( com um número finito de dados ). 
Ex.1: 4 + (6 ÷ 2) × 3 ; 3(4 × 5) × (4 ÷ 2). 
As expressões algébricas classificam-se em racionais e irracionais, 
esquematicamente teremos: 
 
Esq. 6.1. Classificação de expressões algébricas 
Expressões algébricas racionais são todas aquelas expressões que não 
indicam nenhuma extracção de raiz em que o radicando contenha variável. 
Ex.2: (𝑥 − 2) × 2 ; 𝑥2 + 𝑥 − 2 
Expressões algébricas irracionais são todas as expressões que não são 
racionais. 
Ex.3: √𝑥 
3
 ; 
2𝑥+2
√𝑥2+1
 
Expressões algébricas racionais inteiras são aquelas que não indicam 
nenhuma divisão em que a variável figura no divisor. 
Expressões algébricas racionais fraccionárias são todas expressões que não 
forem inteiras, isto é, indicam uma divisão em que a variável figura no divisor. 
 
 
 
38 
 
Ex.4: 
2
𝑥+4
 ; 
3𝑥−2
𝑥2
 
6.2. Expressões com variáveis 
 
Expressões com variáveis consideram-se todas aquelas expressões 
constituídos por números, operações ( divisão, multiplicação, adição e subtração 
), parênteses, potências e variáveis. 
Ex.1: 
1
𝑥+1
 ; (3𝑥 − 2)/𝑥 
Todas expressões com variáveis possuem domínio de números admissíveis ou 
conjunto de solução ou ainda domínio da expressão ( números que podemos 
escrever no lugar das variáveis ). 
Para determinar o domínio de uma expressão com variável, temos a seguinte 
tabela (6.1) de apoio: 
 
Tabela 6.1 
Tabala de apoio para determinar o domínio de uma expressão com variável 
Nomeclatura Desenho Descrição 
Intervalo numérico 
 
 
 - ∞ + ∞ 
 (−∞ ;+∞) 
Segmento ou interseção 
- Intervalo fechado 
 
 [ ] 
 a b 
 
[𝐚 ; 𝐛] 
Intervalo 
- Intervalo aberto 
 
 ( ) 
 a b 
 
(𝐚 ; 𝐛) 
Intervalo misto 
 
- Semi-aberto à esquerda 
- Semi-aberto à direita 
 
 
 ( ] 
 a b 
 [ ) 
 a b 
 
 
(𝐚 ; 𝐛] 
 [𝐚 ; 𝐛) 
 
 
 
 
39 
 
Continuação da tabela 6.1 
Intervalo que tende ao 
infinito: 
 
- Aberto tendendo ao +∞ 
- Fechado tendendo ao +∞ 
- Aberto tendendo ao −∞ 
- Fechado tendendo ao −∞ 
 
 
 
 
 ( 
 a 
 [ 
 a 
 ) 
 a 
 ] 
 a 
 
 
 
(𝒂 ; +∞) 
 
[𝒂 ; +∞) 
 
(−∞ ; 𝒂) 
 
(−∞ ; 𝒂] 
 
 
Assim, o exercício: 
1
𝑥+1
 , para determinarmos os números que são 
admissíveis para a variável x, temos que diferenciar em primeiro lugar o 
denominador a zero, assim teremos: 
1
𝑥+1
 → 𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −1 
 
Assim, o domínio dos números admissiveis será : 𝐷 = (−∞;− 1) ∪
(−1;+∞) ou 
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ≠ −1}, isto é, a variável 𝑥 admite qualquer número real, 
excepto −1. 
Ex.2: Determine os números admissíveis da expressão: 𝑥2 
Resolução: 𝑥 ∈ 𝑅 
 
 𝑅 
 𝐷 = (−∞;+∞) 
 
Pela representação apresentada acima, resume-se que, a variável 𝑥 admite 
qualquer número real. 
 
 
 
40 
 
OBS: O domínio de uma expressão racional fraccionária é o conjunto de 
números reais que não anulam nenhum dos denomoinadores. 
A tabela acima apresentada, nos será útel mais a diante, quando trataremos de 
inequações e inequações quadráticas. 
 
6.2.1. Mоnómios, Binómios e Polinómios numa variável 
 
6.2.1.1. Monómio 
 
Definição: 
Chama-se monómio, uma constante ou uma expressão racional, pelo qual 
estão indicadas por multiplicação. 
Ex.1: 
20
7
𝑥2 ; 4 ; 7𝑥 
O grau de um monómio, considera-se o expoente da variável. 
Ex.2: 
20
7
𝑥2 → monómio de grau 2 
OBS: Quando o monómio for uma constante ( número ), o grau desse 
monómio será igual a zero. 
Ex.3: 4 → monómio de grau 0, pelo que: 4 = 4𝑥0. 
6.2.1.2. Binómio 
 
Definição: 
Chama-se binómio, duas expressões inteiras não semelhantes em que estão 
indicadas por adição ou subtração. 
Ex.1: 4𝑥 + 8𝑥𝑦 ; 𝑥 − 4𝑦𝑧. 
 
6.2.1.3. Polinómios 
 
Como é do nosso conhecimento que, entre as expressões racionais inteiras 
contam-se os polinómios, isso permite-nos apresentar a seguinte definição de 
polinómios. 
Definição: 
 
 
 
41 
 
No universo 𝑅 , considera-se polinómio na variável real 𝑥, toda expressão do 
tipo: 
𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + 𝑎2𝑥
𝑛−2 +⋯ 𝑎𝑛−1 𝑥 + 𝑎𝑛 
Onde: 𝑎0 ; 𝑎1 ; 𝑎2…𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 → são considerados números Reais e 𝑛 → 
designação dos elementos em 𝑁0 ( conjunto de números naturais incluindo o 
zero ), assim: 
𝑎0𝑥
𝑛 ; 𝑎1𝑥
𝑛−1 … 𝑎𝑛 ( monómios ), são chamados de termos do polinómios 
e os números 𝑎0 ; 𝑎1 ; 𝑎2 … 𝑎𝑛 , são chamados de coificientes. 
Ao termo 𝑎𝑛 , dá-se o nome de termo independente . 
Ex.1: 4𝑥5 + 2𝑥4 + 6𝑥3 − 
3
2
𝑥2 + 4 ; Polinómio que possui 5 termos, entre 
os quais: 4 ; 2 ; 6 ;− 
3
2
 → são os coeficientes e 4 → termo independente. 
6.2.1.3.1. Domínio de um polinómio 
 
Visto que as operações de adição, subtração e divisão são possíveis em 𝑅 e 
todas estas operações são precisamente indicadas nos polinómios. Conclui-se 
que o domínio de um polinómio é em 𝑅. 
 
6.2.1.3.2. Grau de um polinómio 
 
No caso em que o polinómio não se reduz, o grau do polinómio considera-se 
maior dos graus dos seus termos ( monómios ) não nulos. 
Ex.1: 8𝑥4 + 2𝑥 + 3 → polinómio de grau 4. 
 
6.2.1.3.3. Polinómios ordenados 
 
Dado polinómio: 𝑥2 + 2 + 4𝑥3 + 𝑥 ; temos como termos: 𝑥2 → cujo grau 2; 
2 → cujo grau 0 ; 4𝑥3 → cujo grau 3 ; 𝑥 → cujo grau 1. 
Podemos deste modo organizar ou ordenar segundo as potências crescentes 
de 𝑥, assim teremos: 
 
 
 
42 
 
4𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 2 
 
Logo, diz-se que o polinómio está ordenado segundo as potências crescentes 
de variável 𝑥. 
O polinómio acima representado tem como grau 3. E como todos os termos 
de grau inferior ao terceiro nãosão nulos, o polinómio diz-se completo. 
 
6.2.1.3.4. Operações com polinómio 
1) Adição 
Ex.1: Consideremos dados polinómios: 
𝑥4 + 2𝑥 + 3 
𝑥2 + 4 − 𝑥 
Considerando que o primeiro polinómio seja igual 𝑓(𝑥) e o segundo 
polinómio 𝑔(𝑥), teremos: 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥 + 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 4 − 𝑥 
Para calcular a soma 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), temos que em primeiro lugar ordenar os 
termos dos polinómios, por formas que fiquem em coluna de termos semelhantes 
ordenados. Assim, teremos: 
 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥 + 3 
 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 4 
 
𝑓(𝑥)
+ 
𝑔(𝑥)
} = 𝑥4 + 𝑥2 + 𝑥 + 7 
Na adição dos polinómios são válidas as seguintes propriedades: 
a) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⇒ propriedade comutativa; 
b) (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) + ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)) ⇒ propriedade 
associativa; 
c) 𝑓(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥) ⇒ propriedade do elemento neutro da adição. 
2) Subtração 
 
 
 
43 
 
Considera-se diferença de dois polinómios 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), que representa-se 
por 𝑓(𝑥) – 𝑔(𝑥), o polinómio que se obtém somando o polinómio 𝑓(𝑥) com 
o simétrico de 𝑔(𝑥), isto é: 
𝑓(𝑥) – 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (−𝑔(𝑥)) 
Ex.2: 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 𝑥 + 2 e g(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 
Pelo que: −𝑔(𝑥) = −3𝑥2 − 4𝑥 
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 4𝑥2 − 𝑥 + 2 + (−3𝑥2 − 4𝑥) = 4𝑥2 − x + 2 − 3𝑥2 − 4𝑥
= 𝑥2 − 5x + 2 
3) Multiplicação 
Para multiplicar dois polinómios é necessário: 
a) Multiplicar cada monómio do primeiro polinómio com cada monómio do 
segundo polinómio; 
b) Agrupar os termos semelhantes e simplificar os termos simétricos. 
 
Ex.3: (𝑥 − 2) × (𝑥 − 3) = 𝒙𝟐 − 3𝑥 − 2𝑥 + 𝟔 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
 
 
4) Divisão 
Dividir um polinómio 𝑓(𝑥) por um outro 𝑔(𝑥) , significa encontrar os 
polinómios 𝑚(𝑥) → quociente e 𝑟(𝑥) → o resto, que satisfazem as seguintes 
exigências ( condições ): 
a) 𝑔(𝑥) × 𝑚(𝑥) + 𝑟(𝑥) = 𝑓(𝑥); 
b) O expoente do polinómio 𝑟(𝑥) é menor que o expoente do polinómio 
𝑔(𝑥). 
Ex.4: Divide os seguintes polinómios: 
(16𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 2) ÷ (4𝑥2 − 𝑥 + 2); 
Orientações metodológica: 
 
 
 
44 
 
≫ Dividir o monómio 16𝑥2 por primeiro monómio do divisor; 
16𝑥3
4𝑥2
= 4𝑥 
≫ Multiplicar a expressão obtida com o divisor; 
4𝑥 × (4𝑥2 − 𝑥 + 2) = 16𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥 
≫ Meter o resultado da multiplicação por baixo do dividendo em 
correspondência com os expoentes; 
≫ O sinal menos (−) multiplicará com o polinónomio 16𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥; 
−(16𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥)= −16𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥 
≫ Realize facilmente as operações de adição e subtração e assim 
sucessivamente até encontrarmos uma expressão 𝑟(𝑥) de expoente menor que 
𝑔(𝑥). 
≫ Verificar o resultado, isto e multiplicando o valor do quociente com o 
valor do divisor e somar com o resto e tem que ser igual ao valor do dividendo. 
A divisão pode ser feito da seguinte forma: 
 
 16𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 2 4𝑥2 − 𝑥 + 2 
 -(16𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥) 4𝑥 + 3 
 12𝑥2 − 13𝑥 + 2 
 -(12𝑥2 − 3𝑥 + 6) 
 −10𝑥 − 4 
 
 
Verificando o resultado: 
((4𝑥2 − 𝑥 + 2) ∗ (4𝑥 + 3)) + (−10𝑥 − 4) = 16𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 2 
Existe uma outra maneira para verificar o resultado obtido na divisão de dois 
polinómios, só temos que meter qualquer número no lugar da variável 𝑥, o valor 
do membro esquerdo e direito devem ser iguais. 
 
 
 
45 
 
Na prática pegaremos: 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 1 
Quando 𝑥 = 0, obteremos: 
Membro esquerdo 
↓ 
((4𝑥2 − 𝑥 + 2) ∗ (4𝑥 + 3)) + (−10𝑥 − 4) 
↓ 
((4. 02 − 0 + 2) ∗ (4.0 + 3)) + (−10.0 − 4) 
↓ 
 2 ∗ 3 − 4 = 2 
Membro direito 
↓ 
16𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 2 → 16. 03 + 8. 02 − 5.0 + 2 = 2 
 
Quando 𝑥 = 1, obteremos: 
Membro esquerdo 
↓ 
((4𝑥2 − 𝑥 + 2) ∙ (4𝑥 + 3)) + (−10𝑥 − 4) 
↓ 
((4. 12 − 1 + 2) ∙ (4.1 + 3)) + (−10.1 − 4) 
↓ 
5 ∙ 7 − 14 = 35 − 14 = 21. 
Membro direito 
↓ 
16𝑥3 + 8𝑥2 − 5𝑥 + 2 → 16. 13 + 8. 12 − 5.1 + 2 = 16 + 8 − 5 + 2 = 21. 
Analisando que o valor do membro direito igual a membro esquerdo, 
podemos concluir que a divisão foi bem realizada. 
4) Factorização de um polinómio 
 
 
 
46 
 
Sabendo que um polinómio é uma soma de monómios não semelhantes, mas 
num dado polinómio pode-se encontrar o chamado factor comum. 
Chama-se factor comum dum polinómio ao número divisível por todos os 
números que constituem o polinómio e que no qual podem ou não possuir a 
mesma parte literal (variável). 
Ex.1: 6𝑎𝑥 − 3𝑎2𝑥2 + 9𝑎3𝑥 = 𝟑𝒂𝒙 (2 − 𝑎𝑥 + 3𝑎2) 
 
 Factor comum 
5) Fórmulas de simplificação da multiplicação de expressões 
a) Diferença de quadrados 
𝑥2 − 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) 
b) Quadrado perfeito da soma 
O quadrado perfeito da soma é quadrado do primeiro termo, mais o dobro do 
produto do primeiro pelo segundo, mais quadrado do segundo termo. 
(𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 
c) Soma de cubos 
(𝑥3 + 𝑎3) = (𝑥 + 𝑎)(𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑎2) 
d) Cubo perfeito da soma 
(𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3 
e) Cubo perfeito da diferença 
(𝑥 − 𝑎)3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 − 𝑎3 
f) Diferença de cubos 
(𝑥3 − 𝑎3) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2) 
g) Quadrado de 3 membros 
(𝑥 + 𝑦 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦 
h) Quadrado perfeito da diferença 
 
 
 
47 
 
(𝑥 − 𝑎)2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 
 
Exercícios de aplicação: 
1) (𝑥 + 3)2 − 16 = (𝑥 + 3)2 − 42 = (𝑥 + 3 − 4)(𝑥 + 3 + 4) = 
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 7) 
 
 Diferença de quadrado 
2) 4𝑥3 − 4𝑦3 = 4(𝑥3 − 𝑦3) = 4(𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) 
 
 Diferença de cubos 
3) 6𝑥2 + 24𝑥𝑦 + 24𝑦2 = 6(𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦2) = 6(𝑥 + 2𝑦)2 
 
 Quadrado perfeito da soma 
 
6.3. Expressões racionais 
 
6.3.1. Definições 
 
Chama-se fracção algébrica toda 𝑎 expressão da forma 
𝑎
𝑏
 , em que 𝑎 e 𝑏 são 
considerados termos da fracção, no qual 𝑎 → numerador e 𝑏 → denominador. 
Ex.1: 
𝑥+2
(𝑥+1)2
 ; 
𝑥+4
(𝑥+3)(𝑥+1)
 ; 
2
𝑥+1
 
Toda fracção, em que o numerador e o denominador são polinómios, como 
nos exemplos acima, toma o nome de fracção racional (denominador não nulo). 
 
6.3.2. Domínio de expressões racionais fraccionárias 
 
No domínio em 𝑅, a divisão só é possível se o divisor for diferente de zero. 
Assim, o domínio de uma expressão racional fraccionária é um conjunto de 
números que não anulam nenhum dos denominadores. E com ajuda da tabela 
(5.1), apresentada nas expressões com variáveis, permite-nos determinar o 
domínio de uma determinada expressão racional fraccionária dada. 
 
 
 
48 
 
Ex.2: Determine o domínio da fracção raccional: 
1
𝑥 + 3
+ 
2
𝑥 + 1
 
Para determinarmos o domínio dessa fracção, temos que: 
≫ Diferenciar os numeradores a zero, caso tiverem variáveis; 
𝑥 + 3 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −3 ; 𝑥 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −1 ; assim o domínio será: 
 Domínio = { 𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ≠ −3 ; 𝑥 ≠ −1} ou D = (−∞ , −3) ∪ (−3,−1) ∪
 (−1 ,+ ∞). 
6.4. Simplifição de fracções algébricas 
 
Dada expressão fraccionária algébrica, 
𝑥+2
𝑥2+3𝑥+2
 , para simplificar é 
necessário: 
 
1) Decompor em factores o numerador e o denominador, caso seja possível; 
𝑥+2
(𝑥+2)(𝑥+1)
 
2) Simplificar os termos semelhantes. 
𝑥+2
(𝑥+2)(𝑥+1)
=
1
𝑥+1
 
Exercícios adicionais ( trabalho individual ) 
 
Simplifique as expressões: 
 
a) 
𝑥+1
𝑥2+𝑥
 ; 
b) 
𝑥3+𝑥2+𝑥
𝑥
 
6.4.1. Operações com fracções algébricas racionais1) Adição e subtração 
Para efectuar uma adição ou uma subtração de duas fracções racionais, é 
necessário: 
 
 
 
49 
 
a) Diferenciar os denominadores a zero, caso tenham variáveis; 
b) Determinar o denominador comum; 
c) Reduzir o numerador,isso é, agrupando os termos semelhantes e 
efectuando a subtração ou adição; 
d) Decompor a fracção e simplificá-la, caso for possível. 
Ex.1: 
𝑥
𝑥+2
+
4
𝑥2+3𝑥+2
; 
𝑥 + 2 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ −2 
𝑥2 + 3𝑥 + 2 ≠ 0⇔(𝑥 + 2)(𝑥 + 1) ≠ 0 ⇨ {
𝑥 + 2 ≠ 0
𝑥 + 1 ≠ 0
 ⇔ {
𝑥 ≠ −2
𝑥 ≠ −1
 
 
𝑥
𝑥+2
+
4
(𝑥+2)(𝑥+1)
=
𝑥(𝑥+1)+4
(𝑥+2)(𝑥+1)
=
𝑥2+𝑥+4
(𝑥+2)(𝑥+1)
 
 (𝑥 + 1) (1) 
 
2) Multiplicação 
Para multiplicar duas fracções algébricas, temos que ter em conta o seguinte: 
a) Numerador é o produto dos numeradores; 
b) Denominador é o produto dos denominadores; 
c) Diferenciar o denominador a zero, caso tenha variável; 
d) Simplificar a fracção, caso seja possível. 
Ex.2: 
𝑥
𝑥+1
×
𝑥2−1
𝑥2+2𝑥
=
𝑥
𝑥+1
×
(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥(𝑥+2)
=
𝑥−1
𝑥+2
 
3) Divisão 
Como a divisão é a operação inversa da multiplicação,isso quer dizer que, 
perante uma divisão de duas expressões algébricas temos que aplicar essa 
inversabilidade, cujo segundo termo escreveremos o seu recíproco. Deste modo 
,teremos o seguinte: 
 
 
 
50 
 
Ex.3: 
4𝑥
𝑥+2
÷
𝑥2
𝑥3+8
 
Resolução: 
Transformando a divisão em multiplicação, teremos: 
4𝑥
𝑥+2
÷
𝑥2
𝑥3+8
=
4𝑥
𝑥+2
×
𝑥3+8
𝑥2
=
4𝑥
𝑥+2
×
𝑥3+23
𝑥.𝑥
 = 
 
=
4𝑥
𝑥+2
×
(𝑥+2)(𝑥2−2𝑥+4)
𝑥.𝑥
 = 
𝟒 (𝑥2−2𝑥+4)
𝒙
 = 
4𝑥2−8𝑥+16
𝒙
 = 4𝑥 − 8 +
16
𝑥
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
VII. FUNÇÃO 
 
7.1. Conceito de função 
 
Função considera-se a dependência da variável 𝑦 na variável 𝑥, mediante a 
qual, para cada elemento da variável 𝑥 corresponde a um único elemento da 
variável 𝑦. 
Uma função representa-se da seguinte maneira: 𝑓(𝑥) → 𝑦 ou ainda 𝑓(𝑥) =
𝑦, lê-se função 𝑓 de 𝑥. 
Para resolver uma função, temos que ter em conta o seguinte: 
1) 𝐷(𝑥): domínio da função (constituído por elementos da variável x); 
2) 𝐸(𝑥): conjunto imagem (constituído por todos elementos da variável y); 
3) 𝑥: variável independente; 
4) 𝑦: variável dependente; 
5) (X0Y): eixos; 
6) 𝑓(𝑥0): valor da função no ponto 𝑥0. 
7.2. Formas de definição de uma função 
Formas de definição de uma função 
 
{
 
 
 
 
 Analítica: 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑗𝑢𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎
Tabular: 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑗𝑢𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 
 
Gráfica: com ajuda de um gráfico 
 
Esq. 7.1. Formas de definição de uma determinada função em 𝑅 
 
Ex.1: Resolve: 
𝑦 = 2𝑥 + 1 
 
 
 
52 
 
Para resolver teremos de ter em conta o seguinte: 
1) Construir uma tabela de valores; 
2) Atribuir quaisquer elementos na variável 𝑥 ( dois, três elementos ou mais) 
e substitui-los na fórmula, por formas a determinar os valores da variável 𝑦; 
3) Construir o gráfico. 
Resolvendo, teremos a seguinte tabela e gráfico: 
 
𝑥 −2 −1 0 1 2 
𝑦 = 𝑓(𝑥) −3 −1 1 3 5 
 
𝑥 = −2 → 𝑓(−2) = 2. (−2) + 1 = −3; 
𝑥 = −1 → 𝑓(−1) = 2(−1) + 1 = −1; 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 2 ∙ 0 + 1 = 1; 
𝑥 = 1 → 𝑓(1) = 2 ∙ 1 + 1 = 3 
𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 2 ∙ 2 + 1 = 5 
 
 
Gráf. 7.1. Representação gráfica da função 𝑦 = 2𝑥 + 1 
 
 
 
53 
 
7.3. Monotonia das funções 
 
Quanto a monotonia, as funções podem ser: 
1- Função crescente 
Consideramos a 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, pelo que : 𝑥 ∈ 𝑅 . Pela representação 
gráfica (𝑔𝑟𝑎𝑓. 1 ), vimos que é visível uma recta. Para melhor análise da 
monotonia da função pegaremos os pontos: A(𝑥1; 𝑦1) e B(𝑥2; 𝑦2) → 𝐴(−2;−3) 
e 𝐵(1; 3), 
{
𝑥1 = −2
𝑥2 = 1 
 e {
𝑦1 = −3
𝑦2 = 3 
 
Comparando dadas coordenadas: 𝑥1 < 𝒙𝟐 e 𝑦1 < 𝒚𝟐 , vê-se que, o maior 
valor da abcissa (eixo horizontal) corresponde o maior valor da ordenada (eixo 
vertical), isto é, os valores de x aumentam e os valores de y também aumentam. 
Definição: uma função chama-se crescente no intervalo numérico de 𝑥, se o 
maior valor da abcissa corresponde precisamente o maior valor da ordenada. 
2- Função decrescente 
Dada função : 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1, apresentando graficamente: 
 
𝑥 −2 −1 0 1 2 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 5 3 1 −1 −3 
 
 
𝑥 = −2 → 𝑓(−2) = −2 ∙ (−2) + 1 = 5; 
𝑥 = −1 → 𝑓(−1) = −2(−1) + 1 = 3; 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = −2 ∙ 0 + 1 = 1; 
𝑥 = 1 → 𝑓(1) = −2 ∙ 1 + 1 = −1 
𝑥 = 2 → 𝑓(2) = −2 ∙ 2 + 1 = −3 
 
 
 
 
54 
 
 
Gráf.7.2. Representação gráfica da função 𝑦 = −2𝑥 + 1 
 
A(𝑥1; 𝑦1) e B(𝑥2; 𝑦2) → 𝐴(−2; 5) e 𝐵(1;−1), 
{
𝑥1 = −2
𝑥2 = 1 
 e {
𝑦1 = 5
 𝑦2 = −1
 
Veremos que: 𝑥1 < 𝒙𝟐 𝑒 𝒚𝟏 > 𝑦2 , em que, o maior valor da abcissa (eixo 
horizontal) corresponde o menor valor da ordenada (eixo vertical ), isto é, 
valores de 𝑥 aumentam e os valores de 𝑦 diminuem. 
Definição: uma função chama-se decrescente, aquela que decresce no 
intervalo numérico de 𝒙, se o maior valor da abcissa corresponde precisamente 
o menor valor da ordenada. 
 
7.4. Raiz de uma função 
Considera-se raiz de uma função a intercepção do gráfico de uma função na 
recta 0𝑋. Em outras palavras mais simples, a raiz de uma funções qualquer, 
aparece nas condições, quando o valor da variável dependente 𝑦 for igual a zero, 
pois no momento em que a recta intersecta o eixo 0𝑋, 𝑦 = 0. 
 
 
 
55 
 
 
Gráf. 7.3. Demonstração gráfica das raízes da função 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6 
 
7.5. Intervalo do sinal de uma função 
 
Intervalo do sinal de uma função, considera-se os intervalos onde a função 
conserva o seu sinal. 
Por exemplo a função: 
𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6 
Conforme o 𝑔𝑟𝑎𝑓. 7.3, podemos notar que uma parte do gráfico encontra-se 
abaixo do eixo 0𝑋, então a função conserva sinal menos ( − ) nos intervalos: 
𝑥 ∈ (−∞;−3) ∪ (−1; 2) 
Conforme o 𝑔𝑟𝑎𝑓. 7.3, podemos notar ainda que uma parte do gráfico 
encontra-se acima do eixo 0𝑋, então a função conserva sinal mais ( + ) nos 
intervalos: 
𝑥 ∈ (−3;−1) ∪ (2;+∞) 
Nos pontos 𝐴(−3; 0), 𝐵(−1; 0), 𝐶(2; 0), gráfico interseta o eixo 0𝑋. Então 
podemos concluir que: 𝑥 = {−3,−1,2} , são as raízes da equação: 
 
 
 
56 
 
𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0 
Graficamente teremos: 
 
 
Gráf. 7. 4. Representação gráfica dos sinais da função 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6 
 
7.6. Funções pares e ímpares 
 
Definição: Chamam-se Funções pares todas funções em que cumpri-se a 
seguinte condição: 
 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) (7.1) 
O gráfico da função par é simétrico na recta 0𝑌. 
Exemplo. Dada função, 𝑓(𝑥) = 𝑥2, verificaremos a condição acima 
apresentada, 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥2, substituindo na condição 3 obteremos: 
 
𝑓(− 𝑥)2 = (−𝑥)2 = 𝑥2 = 𝑓(𝑥) 
 
Vimos que, a condição da função par e aceitável, então dada função 
considera-se par. Agora veremos o seu gráfico: 
𝑥 −2 −1 0 1 2 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 4 1 0 1 4 
x 
y 
 
 
 
57 
 
𝑥 = −2 → 𝑓(−2) = (−2)2 = 4; 
𝑥 = −1 → 𝑓(−1) = (−1)2 = 1; 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = (0)2 = 0. 
𝑥 = 1 → 𝑓(1) = (1)2 = 1; 
𝑥 = 2 → 𝑓(2) = (2)2 = 4; 
 
 
Gráf. 7.5. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥2 
 
Definição: Consideram-se funções ímpares todas funções em que cumpri-se 
a condição: 
 
 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) (7.2) 
 
O grafico da função ímpar é relativamente simétrico no começo das 
coordenadas (0,0). 
Exemplo: Dada função, 𝑓(𝑥)3 , verficando a condição, teremos: 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 = −𝑥3 = −𝑓(𝑥), 
a condição é aceitável e teremos o seguinte gráfico: 
 
 
 
 
58 
 
 
 
𝑥 = −2 → 𝑓(−2) = (−2)3 = −8; 
𝑥= −1 → 𝑓(−1) = (−1)3 = −1; 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = (0)3 = 0; 
𝑥 = 1 → 𝑓(1) = (1)3 = 1; 
𝑥 = 2 → 𝑓(2) = (2)3 = 8. 
 
 
Gráf. 7.6. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥3 
 
7.7. Funções numéricas 
 
Consideram-se Funções numéricas, todas as funções em que são aplicadas as 
seguintes condições: 
 𝐷(𝑓) ⊂ 𝑅 e 𝐸(𝑓) ⊂ 𝑅 
Assim, as funções numéricas podem ser: 
1- Função linear 
Função dada pela fórmula: 
𝑥 −1 −2 0 1 2 
𝑦 −8 −1 0 1 8 
 
 
 
 
59 
 
 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3 = 0 (7.3) 
 
Onde: 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 ∈ 𝑅 
 
Com ajuda da fórmula acima escrita, obteremos: 
𝑎2𝑦 = −𝑎1𝑥 − 𝑎3 
Sabendo que 𝑎2 ≠ 0 , as duas partes serão dividas por 𝑎2, obteremos: 
𝑦 = −
𝑎1
𝑎2
𝑥 −
𝑎3
𝑎2
 
Vamos designar: 
 {
𝑎 = −
𝑎1
𝑎2
𝑏 = −
𝑎3
𝑎2
 , (7.4) 
 
Então obteremos equação da recta na forma canónica: 
 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (7.5) 
Onde 𝑥 e 𝑦 consideram-se variáveis, 𝑎 e 𝑏 números reais, em que 𝑎 
coeficiente do ângulo. 
Gráfico será uma recta e para construção necessita-se de dois importantes 
pontos: 
≫ Primeiro ponto 𝐴(𝑥0; 0) → ponto de intersecção do gráfico no eixo 0𝑋. 
Analisando que 𝐴(𝑥0; 0) ∈ gráfico 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, então: 
0 = 𝑎 ∙ 𝑥0 + 𝑏 → 𝑥0 = −𝑏/𝑎 
≫ Segundo ponto 𝐵(0; 𝑦0) → ponto de intersecção do gráfico no eixo 0𝑌. 
Analisando que 𝐵(0; 𝑦0) ∈ o gráfico 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, então: 
𝑦0 = 𝑎 ∙ 0 + 𝑏 → 𝑦0 = 𝑏 
Conclusão: 
 
 
 
60 
 
{
𝐴(𝑥0; 0)
𝐵(0; 𝑦0)
 = {
 𝐴 (−
𝑏
𝑎
; 0) 
𝐵(0; 𝑏) 
 
Ex.1: 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 
Essa determinada equação encontra-se na forma geral, agora vamos 
transformá-la na forma canónica: 
2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 
3𝑦 = −2𝑥 – 6 
𝑦 = − 
2
3
𝑥 − 2 
Com ajuda desses dois pontos traça-se a recta. 
O primeiro ponto 𝐴 (𝑥0, 0 ) ∈ y = − 
2
3
𝑥 − 2 → ponto de intersecção do 
gráfico no eixo 0𝑋: 
0 = − 
2
3
𝑥0 − 2 
𝑥0 = −3 
O segundo ponto 𝐵(0,𝑦0) ∈ y = − 
2
3
𝑥 − 2 → ponto de intersecção do gráfico 
no 0𝑌. 
𝑦0 =
2
3
∙ 0 − 2 
𝑦0 = −2 
Gráfico da determinada função passa nos dois pontos 𝐴(−3; 0) e 𝐵(0;−2), 
logo teremos a seguinte tabela e representação gráfica: 
 
 
 
 
𝑥 −3 0 
𝑦 0 −2 
 
 
 
61 
 
 
Gráf. 7.7. Representação gráfica da função y = − 
2
3
𝑥 − 2 
Notamos que a direcção do gráfico da função depende do coeficiente do 
ângulo 𝑎: 
a) Se 𝑎 > 0, gráfico da função terá uma direcção positiva no eixo 0𝑋 (função 
crescente) formando um ângulo menor de 90 graus (agudo). 
Ex.2: 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 
Essa determinada equacação encontra-se na forma geral, agora vamos 
transformá-la na forma canónica: 
2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 
−𝑦 = −2𝑥 − 1 
𝑦 = 2𝑥 + 1 
 
 
Primeiro ponto 𝐴(𝑥0, 0): 
0 = 2 ∙ 𝑥0 + 1 
𝑥 −1 2⁄ 0 
𝑦 0 1 
 
 
 
 
62 
 
𝑥0 = −1/2 
Segundo ponto 𝐵(0, 𝑦0): 
𝑦0 = 2 ∙ 0 + 1 
𝑦0 = 1 
b) Se 𝑎 < 0, gráfico da função terá uma direcção positiva no eixo O𝑥 ( 
função descrecente), formando um ângulo obtuso, maior de 90 graus. 
Ex.3: 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 
Esta determinada equação encontra-se na forma geral, agora vamos 
trnsformá-la na forma canónica: 
2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 
𝑦 = −2𝑥 + 1 
 
 
Primeiro ponto 𝐴(𝑥0, 0): 
0 = −2 ∙ 𝑥0 + 1 
𝑥0 = 1/2 
Segundo ponto 𝐵(0, 𝑦0): 
𝑦0 = −2 ∙ 0 + 1 
𝑦0 = 1. 
A recta da determinada função 𝑦 = −2𝑥 + 1 passa nos dois pontos principais 
- 𝐴(1/2; 0) 𝑒 𝐵(0; 1) e a recta da função 𝑦 = 2𝑥 + 1 passa nos dois pontos 
principais - 𝐴(−1/2; 0) 𝑒 𝐵(0; 1) , logo teremos as seguintes representações 
gráficas: 
𝑥 1/2 0 
𝑦 0 1 
 
 
 
63 
 
 
Gráf. 7.8. Representação gráfica da função 𝑦 = 2𝑥 + 1 linear crescente com 
𝑎 = 2 
 
 
 
 
Gráf. 7. 9. Representação gráfica da função 𝑦= −2𝑥 + 1 linear descrescente com 
𝑎 = −2 
Casos especiais: 
Analisaremos mais uma vez equação da recta na forma geral: 
𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3 = 0 
 
 
 
 
 
64 
 
São possíveis 3 casos especiais: 
1) Quando 𝑎3 = 0 ; a partir da expressão (7.4) que possui 𝑏 = −
𝑎3
𝑎2
 , daí 
obteremos 𝑏 = 0, então a função (7.5) terá a seguinte forma: 
𝑦 = 𝑎𝑥 
Gráfico será uma recta e para construção necessita-se de dois importantes 
pontos: 
≫ Quando 𝑥 = 0 , 𝑦 = 𝑎 ∙ 0 = 0, a recta da função sempre passa no ponto 
(0,0); 
≫ Quando 𝑥 = 1 , 𝑦 = 𝑎 ∙ 1 = 𝑎, a recta da função sempre passa no ponto 
(1, 𝑎). 
Ex.4: −3𝑥 + 2𝑦 = 0 
Segundo a comparação da determinada funcão do exemplo acima com a 
equação canónica da recta: 
𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3 = 0 
Notaremos que: 𝑎1 = −3 , 𝑎2 = 2 , 𝑎3 = 0 , a partir da expressão (7.4), 
obteremos: 
{
 
 𝑎 = −
𝑎1
𝑎2
= −
−3
 2
= 
3
2
𝑏 = −
𝑎3
𝑎2
= −
0
2
= 0 
 
Então a equacão (7.5) terá a forma: 
 𝑦 =
3
2
x (*) 
Na prática podemos fazer de seguinte maneira: 
– 3𝑥 + 2𝑦 = 0 
2𝑦 = 3𝑥 
 
 
 
65 
 
𝑦 =
3
2
x 
 
 
 
 
 
Gráf. 7.10. Representação gráfica da função y = 
3
2
x 
2) Quando 𝑎2 = 0 ; a partir da equação (7.3), obteremos: 
𝑎1𝑥 + 𝑎3 = 0 
𝑎1𝑥 = −𝑎3 
𝑥 = −
𝑎3
𝑎1
 
Ex.5: 2𝑥 − 5 = 0 
2𝑥 − 5 = 0 
2𝑥 = 5 
𝑥 = 
5
2
 
 
𝑥 0 1 
𝑦 0 3 2⁄ 
 
 
 
66 
 
 
Gráf. 7.11. Representação gráfica da função x = 
5
2
 
3) Quando 𝑎1 = 0 ; a partir da equação (7.3), obteremos: 
𝑎2𝑦 + 𝑎3 = 0 
𝑎2𝑦 = −𝑎3 
𝑦 = −
𝑎3
𝑎2
 
Ex.6: 2𝑦 − 5 = 0 
2𝑦 − 5 = 0 
2𝑦 = 5 
𝑦 = 
5
2
 . 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
Gráf. 7.12. Representação gráfica da função y = 
5
2
 
2- Função quadrática 
Funcão quadrática na forma canónica, possui a forma: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Para melhor compreensão e interpretação por parte dos leitores, vamos 
analisar muito detalhadamente os três principais e essencias casos que 
frequentemente aparecem nos estudos das funções quadráticas. Deste modo, 
temos: 
≫ Primeiro caso, quando 𝑏 = 𝑐 = 0, função quadrática apresenta-se na 
forma simples: 
 𝑦 = 𝑎𝑥2 (7.6) 
Notamos que função (7.6) é par, porque: 
𝑦(−𝑥) = 𝑎(−𝑥)2 = 𝑎𝑥2 = 𝑦(𝑥). 
Quando 𝑎 > 0, gráfico será do tipo: 
 
 
 
68 
 
 
 
Quando 𝑎 < 0, gráfico será do tipo: 
 
Vimos que gráfico da função sempre passa no ponto inicial (0; 0) e 
relativamente simétrico ao eixo 0𝑌. 
Para a contrução do gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 são necessários no mínimo 5 
pontos simétricos: 
(−2; −1; 0; 1; 2) 
Ex.1: 𝑦 =
3
2
𝑥2 
𝑥 −2 −1 0 1 2 
𝑦 6 3 2⁄ 0 3 2⁄ 6 
Parábola 
Vértice da parábola 
Parábola 
Vértice da parábola 
 
 
 
69 
 
 
Gráf. 7.13. Representação gráfica da função 𝑦 =
3
2
𝑥2 
≫ Segundo caso, quando b = 0, função quadrática apresenta-se na forma 
simples: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐 
𝑦 − 𝑐 = 𝑎𝑥2 
Substituindo: 
{
 𝑋 = x 
𝑌 = 𝑦 − 𝑐 
 
Obteremos: 
 
 𝑌 = 𝑎 ∙ 𝑋2 (7.7) 
Quando: 
 
{ 
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = x 
0 = 𝑦 − 𝑐 
 ↔ {
 
𝑥 = 0 
𝑦 = 𝑐 
 
O gráfico da função (7.7), constrói-se igualmente como o gráfico da função 
(7.6) e relativamente simétrico ao eixo 0𝑌. A diferença entre ambos é que o 
gráfico da função (7.6) possui vértice no ponto (0;0), e gráfico da função (7.7) 
possui vértice no ponto 𝐴(0; 𝑐 ). 
 
 
 
70 
 
Agora mostraremos no gráfico a movimentação (transferência) paralela dos 
eixos: 
𝑂(0; 0)→ 𝐴(0; 𝑐) 
 
Gráf. 7.14. Demonstração da movimentação paralela dos eixos 
 
Para a contrução do gráfico da função 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐 são necessários no 
mínimo 5 pontos simétricos relativamente ao ponto 𝟎: 
(−2; −1; 𝟎; 1; 2) 
 
Ex.2: 𝑦 = 2𝑥2 − 3 
𝑦 = 2𝑥2 − 3 
𝑦 + 3 = 2𝑥2 
Substituindo: 
{
 𝑋 = 𝑥 
 
𝑌 = 𝑦 + 3 
 
Obteremos: 
𝑌 = 2 ∙ 𝑋2 
 
 
 
71 
 
Quando: 
 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = x 
0 = 𝑦 + 3 
 ↔ {
 
𝑥 = 0 
𝑦 = −3 
 
Para a contrução do gráfico da função 𝑦 = 2𝑥2 − 3 são necessários no 
mínimo 5 pontos simétricos relativamente ao ponto 0: 
(−2;−1; 𝟎; 1; 2) 
x -2 -1 0 1 2 
y 5 -1 -3 -1 5 
𝑦 = 2𝑥2 − 3 
𝑥 = −2 → 𝑓(−2) = 2(−2)2 − 3 = 5; 
𝑥 = −1 → 𝑓(−1) = 2(−1)2 − 3 = −1; 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 2(0)2 − 3 = −3; 
𝑥 = 1 → 𝑓(1) = 2(1)2 − 3 = −1; 
𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 2(2)2 − 3 = 5. 
 
 
Gráf. 7.15. Representação gráfica da função 𝑦 = 2𝑥2 − 3 
 
 
 
72 
 
Na prática faz-se de uma forma mais simples e simplificada: 
Ex.3: 𝑦 = 2𝑥2 − 3 
Determinar as coordenadas do vértice 𝐴(0; 𝑐) → 𝐴(0;−3) 
Para a contrução do gráfico da função 𝑦 = 2𝑥2 − 3, são necessários no 
mínimo 5 pontos simétricos relativamente ao ponto 0: 
(−2;−1; 𝟎; 1; 2) 
 
𝑥 −2 −1 𝟎 1 2 
𝑦 5 −1 −3 −1 5 
 
O gráfico constrói-se igualmente como construímos acima. 
≫ Terceiro caso, analisaremos a função quadrática completa: 
 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (7.8) 
onde: 𝑎, 𝑏, 𝑐 consideram-se constante em 𝑅, pelo que 𝑎 ≠ 0. 
Para construir gráfico da função (7.8), utilizaremos a forma canónica da 
própria função (7.8), de seguinte modo: 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑦 = 𝑎(𝑥2 + 2 
𝑏
2𝑎
𝑥 +
𝑏2
4𝑎2
) − 
𝑏2
4𝑎
 + c 
𝑦 = 𝑎(𝑥 +
𝑏
2𝑎
) 2 + 𝑐 − 
𝑏2
4𝑎
 
𝑦 = 𝑎(x +
𝑏
2𝑎
) 2 + 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 
𝑦 − 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 = 𝑎(𝑥 +
𝑏
2𝑎
) 2 
Substituindo: 
{
 𝑋 = 𝑥 +
𝑏
2𝑎
 
𝑌 = 𝑦 − 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 
 
 
 
 
73 
 
Obteremos: 
 𝑌 = 𝑎 ∙ 𝑋2 (7.9) 
Quando: 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = 𝑥 +
𝑏
2𝑎
 
0 = 𝑦 − 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 
 ↔ {
 
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑦 = 
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 
Gráfico da função (7.9), constrói-se igualmente como o gráfico da função 
(7.6). A diferença entre ambos é que o gráfico da função (7.6) possui vértice no 
ponto (0,0) e relativamennte simétrico ao eixo 0𝑌, e gráfico da função (7.8) 
possui vértice no ponto 𝐴 (−
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ) e relativamennte simétrico a recta 𝑥 =
−
𝑏
2𝑎
 . 
Agora mostraremos no gráfico a movimentação (transferência) paralela dos 
eixos: 
𝑂(0; 0) → 𝐴(−
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ) 
 
 
Gráf. 7.16. Demonstração da movimentação paralela dos eixos 
 
 
 
74 
 
Para construir gráfico da determinada função 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 
construiremos da função 𝑌 = 𝑎 ∙ 𝑋2 , com o começo da coordenada no ponto 
𝐴 (−
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ). O gráfico dessa função é relativamente simétrico a recta 𝑥 =
−
𝑏
2𝑎
 . O gráfico será construído com ajuda de 5 pontos simétricos relativamente 
a recta − 
𝑏
2𝑎
. 
(−
𝑏
2𝑎
− 2;−
𝑏
2𝑎
− 1;−
𝒃
𝟐𝒂
; −
𝑏
2𝑎
+ 1;−
𝑏
2𝑎
+ 2). 
 
 
Ex.4: 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
𝑦 = (𝑥2 − 2𝑥 + 1) − 4 
𝑦 = (𝑥 − 1)2 − 4 
𝑦 + 4 = (𝑥 − 1)2 
Substituindo: 
{
 𝑋 = 𝑥 − 1 
 𝑌 = 𝑦 + 4 
 
Obteremos: 
 
 𝑌 = 𝑋2 
Quando: 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = x − 1 
0 = 𝑦 + 4 
 
↓ 
{ 
 
𝑥 = 1 
𝑦 = −4 
 
 
 
 
75 
 
Para construir o gráfico da determinada função 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 , 
construiremos da função 𝑌 = 𝑋2, com o começo da coordenada no ponto 
𝐴(1,−4). O gráfico dessa função é relativamente simétrico a recta 𝑥 = 1. O 
gráfico será construído com ajuda de 5 pontos simetricos relativamente 
simétricos a 1: 
(1 − 2; 1 − 1; 𝟏; 1 + 1; 1 + 2) ↔ (−1; 0; 𝟏; 2; 3) 
 
x -1 0 1 2 3 
y 0 -3 -4 -3 0 
 
 
Gráf. 7.17. Representação gráfica da função 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
 
Ex.5: 𝑦 = −
2
3
𝑥2 −
2
3
𝑥 + 4 
𝑦 = −
2
3
𝑥2 −
2
3
𝑥 + 4 
𝑦 = −
2
3
(𝑥2 + 2 ∙
1
2
𝑥 +
1
4
) + 
25
6
 
 
 
 
76 
 
𝑦 = −
2
3
(𝑥 +
1
2
) 2 + 
25
6
 
𝑦 − 
25
6
 = −
2
3
(𝑥 +
1
2
) 2 
 
Substituindo: 
{
 𝑋 = 𝑥 + 
1
2
 
 
 𝑌 = 𝑦 − 
25
6
 
 
Obteremos: 
 
 Y = −
2
3
𝑋2 
Quando: 
 
{
𝑋 = 0
𝑌 = 0
 → {
 0 = 𝑥 + 
1
2
 
0 = 𝑦 − 
25
6
 
 
↓ 
{
 
 
 
 
 
 
 𝑥 = −
1
2
 
𝑦 = 
25
6
 
 
 
Para construir gráfico da determinada função 𝑦 = −
2
3
𝑥2 −
2
3
𝑥 + 4 , 
construiremos gráfico da função 𝑌 = 𝑋2, com o começo da coordenada no 
ponto 𝐴 (−
1
2
;
25
6
). O gráfico dessa função é relativamente simétrico a recta 𝑥 =
−
1
2
 . O gráfico será construído com ajuda de 5 pontos simétricos relativamente 
simétricos a recta −
𝟏
𝟐
: 
 
 
 
77 
 
(−
1
2
 -2;− 
1
2
 -1;−
𝟏
𝟐
;−
1
2
 +1;−
1
2
 +2) ↔ (−
5
2
; −
3
2
; −
𝟏
𝟐
; 
1
2
; 
3
2
) 
𝑥 −5 2⁄ −3 2⁄ −1 2⁄ 1/2 3/2 
𝑦 3/2 7/2 25 6⁄ 7/2 3/2 
 
 
Gráf. 7.18. Representação gráfica da função 𝑦 = −
2
3
𝑥2 −
2
3
𝑥 + 4 
Na prática podemos analisar a função quadrática completa, de seguinte 
maneira: 
Ex.6: 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 
≫ Utilizaremos a fórmula 𝐴 (−
𝑏
2𝑎
;
4𝑎𝑐− 𝑏2
4𝑎
 ), para encontramos as 
coordenadas do vértice: 
𝐴(−
−2
2 ∙ 1
;
4 ∙ 1 ∙ (−3) − (−2)2
4 ∙ 1
 ) 
↓ 
𝐴(1;−4 ) 
≫ Escolher o conjunto de 5 pontos relativemente simétricos a recta −
𝑏
2𝑎
 
=−
−2
2∙1
= 𝟏; 
 
 
 
78 
 
≫ Utilizaremos a fórmula: 
(−
𝑏
2𝑎
− 2; −
𝑏
2𝑎
− 1; −
𝒃
𝟐𝒂
; −
𝑏
2𝑎
+ 1; −
𝑏
2𝑎
+ 2) 
↓ 
(1 − 2; 1 − 1; 𝟏 ; 1 + 1; 1 + 2) 
↓ 
(−1; 0; 𝟏; 2; 3) 
Agora é só construir a tabela e o gráfico, como fizemos acima! 
O gráfico da função quadrática depende do coeficiente 𝑎 e como se não 
bastasse, a função quadrática apresenta algumas especialidades, tabela (7.1): 
 
Tabela 7.1 
Especialidades da função quadrática 
 
Coeficiente 
 
 
e direcção 
 
Especialidades nas 
raizes 
 
Coeficiente 
a pode ser: 
 
Direcção dos 
ramos da 
parábola 
∆> 0 → 𝑥1 ≠ 𝑥2 
a função tem duas 
raízes 
∆= 0 → 𝑥1 = 𝑥2 
a função tem uma só 
raiz 
∆< 0 → ∄ 𝑥, 
a função não tem raízes 
 
 
𝒂 > 0 
 
 
 
 
Os ramos da 
parábola 
estarão 
direccionados 
para cima 
 
 
 
𝒂 < 0 
 
 
 
 
Os ramos da 
parábola 
estarão 
direccionados 
para baixo 
 
 
 
 
79 
 
3- Funções inversamente proporcionais 
 𝑦 =
𝑘
𝑥−𝑎
+ 𝑏 (7.10) 
Em casos simples quando 𝑎 = 𝑏 = 0 , obteremos a função inversamente 
proporcional dada pela forma: 
 𝑦 = 
𝑘
𝑥
 (7.11) 
Onde: 𝑥 , 𝑦 consideram-se variáveis e 𝑘 coeficiente da inversabilidade da 
variável 𝑥 da proporcionalidade, em que: 
𝐷(𝑓) = (−∞; 0) ∪ (0;+∞), isso é: 𝑓(𝑥) = (−∞;0) ∪ (0;+∞) 
O gráfico dessas funções não podem intersectar o eixo das coordenadas 𝑥 e 𝑦, 
isso é, o gráfico será uma hipérbole, para construção, necessita-se de 10 pontos 
simétricos: 
(−3; −2; −1; −
1
2
; −
1
4
; 
1
4
; 
1
2
; 1; 2; 3). 
Tudo isso porque, a hipérbole é constituída