Sistemas Logicos e Digitais 01 Sistemas de Numeracao

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N532 – Sistemas Lógicos e 
Digitais 
 
Sistemas Numéricos 
 
 
 
Prof. Raphael Torres Santos Carvalho 
Roteiro 
 Objetivo 
 Sistemas de Numeração não posicionais e posicionais 
 Sistema Binário 
 Sistema Octal 
 Sistema Hexadecimal 
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Objetivo 
 Descrever os sistemas numéricos utilizados em circuitos 
digitais, realizando operações aritméticas com números 
binários. 
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Sistemas Numéricos 
 Desde quando se começou a registrar informações sobre 
quantidades, foram criados diversos métodos de representar 
as quantidades 
 Sistema de numeração é o conjunto de símbolos utilizados 
para representação de quantidades e as regras que definem a 
forma de representação. 
 Classificação: 
 Sistemas Não-posicionais 
 Sistemas Posicionais 
 
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Sistemas Não-posicionais 
 São aqueles em que o valor atribuído a um símbolo não se 
altera, independente da posição em que ele se encontra no 
conjunto de símbolos que está representando uma 
quantidade. 
 
 Exemplo: Sistema de numeração romano 
 
 X X I e X I X 
 10 10 1 10 1 10 
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Sistemas Posicionais 
 São aqueles em que o valor atribuído a um símbolo depende 
da posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos 
que está representando um número. 
 O sistema decimal, ao qual estamos acostumados, usa o 
sistema de numeração posicional. Isso significa que a posição 
ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor 
de uma potência de 10 (na base 10) para cada casa à esquerda 
 Por exemplo: número 125 no sistema decimal (base 10) 
 
125 = 1x102 + 2x101 + 5x100 
 
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Sistemas Posicionais 
 Exemplo: 
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Sistemas Numéricos 
 Base de um Sistema de Numeração 
 A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na 
representação. 
 A base 10 (sistema decimal) é hoje a mais usualmente 
empregada, embora não seja a única utilizada. 
 No comércio pedimos uma dúzia de rosas ou uma grosa de 
parafusos (base 12) e também marcamos o tempo em minutos e 
segundos (base 60). 
 Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os 
programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja 
uma potência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) 
ou eventualmente ainda 23 (base 8 ou sistema octal). 
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Sistema Binário 
 No sistema binário, cada número é representado de uma 
forma única, mediante uma combinação de símbolos 0 e 1, 
que, em nosso caso, será uma combinação de “estados 1” e 
“estados 0” dos bits que formam um conjunto ordenado. 
 Designaremos por bi cada bit deste conjunto ordenado, no 
qual o sub-índice i corresponde ao número da casa que o bit 
está ocupando. 
 No sistema binário cada casa vale 2 vezes mais que aquela que 
está imediatamente a sua direita e 2 vezes menos que a que 
está a sua esquerda. 
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Sistema Binário 
 Se b0, b1, b2, etc., são os bits que se coloca em cada posição, 
a quantidade representada valerá: 
 
… + b42
4 + b32
3 + b22
2 + b12
1 + b02
0 + b-12
-1 + ... 
 
 Para evitar a representação mediante o somatório, adota-se a 
convenção de separar mediante vírgulas as casas 2 0 e 2 -1 , 
de tal modo que a representação fique: 
 
... b4 b3 b2 b1 b0, b-1 b-2 … 
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Sistema Binário 
 Conversão Binário para Decimal 
 Consiste em multiplicar o algarismo do número binário pela base 
elevada ao expoente de sua colocação no número, lembrando 
que a base do número binário é 2. 
 Exemplo: 11012 
 
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Sistema Binário 
 Conversão Binário para Decimal 
 Exercício: Converta os seguintes números de base dois para base 
dez. 
a) 1000 
b) 1011 
c) 101010 
d) 1111111 
e) 1110111 
f) 101101101 
 
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Sistema Binário 
 Conversão Decimal para binário 
 Consiste em dividir o número decimal pela base 2, obtendo um 
resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido 
pela base, repete-se a operação até termos um resultado que não 
possa mais ser dividido pela base. 
 Ex: 2510 
 
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Sistema Binário 
 Conversão Decimal para Binário 
 Exercício: Converta os seguintes números da base dez para base 
dois. 
a) 10 
b) 15 
c) 16 
d) 31 
e) 35 
f) 60 
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Sistema Binário 
 Conversão de Binário Fracionário para Decimal 
 Consiste em multiplicar o algarismo do número binário pela base 
elevada ao expoente de sua colocação no número. Para números 
após a casa decimal, a posição é contada com negativa da 
esquerda para direita. 
 Exemplo: 110,012 
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Sistema Binário 
 Conversão Decimal Fracionário para Binário 
 Ex: 25,25 (10) —> ? (2) 
 
 
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Sistema Binário 
 Conversão Decimal Fracionário para Binário 
 Ex: 25,65 (10) —> ? (2) 
 
 
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Sistema Octal 
 Em projetos de computação é usual representar quantidades 
usando sistemas em potências do binário para reduzir o número de 
algarismos da representação e consequentemente facilitar a 
compreensão da grandeza e evitar erros. 
 O sistema octal é um exemplo de sistema potência do binário. No 
sistema octal (base 8), cada três bits são representados por apenas 
um algarismo octal (de 0 a 7). 
 
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Sistema Octal 
 Conversão Octal para binário 
 Consiste em pegar cada algarismo em octal e substituir por seu 
valor respectivo em um binário de 3 dígitos. 
 Exemplo: 367(8) 
 
 
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Sistema Octal 
 Conversão de Binário para Octal 
 Consiste em agrupar um conjunto de três bits e representar pelo 
seu respectivo valor em binário. 
 Exemplo 110101010(2) 
 
 
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Sistema Octal 
 Conversão Octal para decimal 
 Consiste em multiplicar o algarismo do número octal pela base 
elevada ao expoente de sua colocação no número, lembrando 
que a base do número octal é 8. 
 Ex: 6278=> 
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Sistema Octal 
 Conversão de Decimal para Octal 
 Consiste em dividir o número decimal pela base 8, obtendo um 
resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido 
pela base, repete-se a operação até termos um resultado que não 
possa mais ser dividido pela base. 
 Ex: 40710=> 
 
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Sistema Hexadecimal 
 O sistema hexadecimal é outro exemplo de sistema de 
potência binário em que os bits são agrupados em grupos de 
4 em 4. Assim, cada grupo de 4 bits é transformado em um 
único símbolo. 
 Como o maior valor de um grupo de 4 bits é 1111, o qual 
representa o valor 15 em decimal, ou seja, é possível 
representar 16 valores (0 até 15). 
 No sistema hexadecimal, cada casa vale 16 vezes a que está a 
sua direita, e os símbolos utilizados são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9, A, B, C, D, E e F. 
 O símbolo A equivale a dez, o B equivale a onze e assim 
consecutivamente até F que equivale a quinze, no sistema 
decimal. 
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Hexadecimal Decimal Binário 
0 0 0000 
1 1 0001 
2 2 0010 
3 3 0011 
4 4 0100 
5 5 0101 
6 6 0110 
7 7 0111 
Hexadecimal Decimal Binário 
8 8 1000 
9 9 1001 
A 10 1010 
B 11 1011 
C 12 1100 
D 13 1101 
E 14 1110 
F 15 1111 
Sistema Hexadecimal 
 Conversão Hexadecimal para Decimal 
 Consiste em multiplicar o algarismo do número hexadecimal pela 
base elevada ao expoente de sua colocação no número, 
lembrando que a base do número hexadecimal é 16. 
 Ex: A1B216=> 
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Sistema Hexadecimal 
 Conversão Decimal para hexadecimal 
 Consiste em dividir o número decimal pela base 16, obtendo um 
resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido 
pela base, repete-se a operação até termos um resultado que não 
possa mais ser dividido pela base. 
 Ex: 2510=> 
 
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Sistema Hexadecimal 
 Conversão Hexadecimal para Binário 
 Cada dígito em hexa é convertido no equivalente em binário de 4 
bits. 
 Exemplo: 9F2(16) 
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Sistema Hexadecimal 
 Conversão de Binário para Hexadecimal 
 O inverso da conversão anterior. O número binário é dividido em 
grupos de 4 bits da direita para a esquerda. 
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Sistema Hexadecimal 
 Exercício: Faça as seguintes conversões. 
a) 10100110(2) → ?(16) 
b) 1110001(2) → ?(16) 
c) 10001(2) → ?(16) 
d) AB(16) → ?(2) 
e) 1𝐹1(16) → ?(2) 
f) 4666(10) → ?(16) 
g) 2748(10) → ?(16) 
h) A10B(16) → ?(10) 
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Resumo 
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