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Exercício 8 cap 2, Moysés
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𝑭 = 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸 𝒓² 𝒅𝑭 = 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒅𝑸 𝒓² 𝒅𝑸 = ƛ𝒅𝒛 𝒓2 = 𝒛2 + 𝝆2 𝒅𝑭 = 𝒒 𝟒𝝅𝜺𝟎 ƛ𝒅𝒛 (𝒛2 + 𝝆2) Em cada ponto de z existe uma força simétrica que se cancela, restando apenas a componente de força projetada na direção de ρ. 𝒅𝑭 = 𝒒ƛ 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒅𝒛 (𝒛2 + 𝝆2) 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑭 = ∫ 𝒒ƛ 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒅𝒛 (𝒛2 + 𝝆2) 𝒄𝒐𝒔𝜽 +∞ −∞ 𝑭 = 𝒒ƛ 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∫ 𝒅𝒛 (𝒛2 + 𝝆2) 𝒄𝒐𝒔𝜽 +∞ −∞ Para facilitar o cálculo, dobramos o tamanho do fio e integramos de 0 à 𝝅 𝟐 , 𝑭 = 𝟐𝒒ƛ 𝟒𝝅𝜺𝟎 ∫ 𝒅𝒛 (𝒛2 + 𝝆2) 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝝅 𝟐 𝟎 𝑭 = 𝒒ƛ 𝟐𝝅𝜺𝟎 ∫ 𝒅𝒛 (𝒛2 + 𝝆2) 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝝅 𝟐 𝟎 Como z varia com o ângulo, fazemos a seguinte substituição: 𝒕𝒈𝜽 = 𝒛 𝝆 𝒛 = 𝝆𝒕𝒈𝜽 𝒅𝒛 = 𝝆𝒔𝒆𝒄²𝜽𝒅𝜽 𝒛2 + 𝝆2 = 𝝆2(𝟏 + 𝒕𝒈2𝜽) 𝒛2 + 𝝆2 = 𝝆2𝒔𝒆𝒄²𝜽 𝑭 = 𝒒ƛ 𝟐𝝅𝜺𝟎 ∫ 𝝆𝒔𝒆𝒄²𝜽𝒅𝜽 𝝆2𝒔𝒆𝒄²𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝝅 𝟐 𝟎 𝑭 = 𝒒ƛ 𝟐𝝅𝜺𝟎𝝆 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝝅 𝟐 𝟎 𝑭 = 𝒒ƛ 𝟐𝝅𝜺𝟎𝝆 𝒔𝒆𝒏𝜽 | 𝝅 𝟐 𝟎 𝑭 = 𝒒ƛ 𝟐𝝅𝜺𝟎𝝆 �⃗⃗� = 𝒒ƛ 𝟐𝝅𝜺𝟎𝝆 �̂� X Leonir Josafat Guembarski
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