DenilsonAires CDII Portfolio02

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Ceará 
Curso: Licenciatura Plena em Matemática 
Aluno: Denilson Aires dos Santos 
Disciplina: Cálculo Diferencial II 
Matrícula: 298186 
 
 
1 – 
a) Verifique se a função dada é contínua no valor indicado: 
 
3
t 1 t 1, t 1, se t 1
t 1t 1h(t) e t 1;
1 , 0, 0 se t 1
3
      
 

 e  
 
2sen v , v n v,1 v se v 0
r(v) e v 0.v
1 v, v, 1 v se v 0
  
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 ) 
 
 
b) Seja C a curva dada pela função  f (t) 2cos2t,2sen 2t e oP o ponto em que 
2
t : 
 
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cai.ufc.br/brasao.jpg&imgrefurl=http://www.cai.ufc.br/resultadobrafitec_2009.htm&usg=__w56WL45dXUoCtxtO_Wt0c16nxfU=&h=720&w=540&sz=49&hl=pt-BR&start=3&itbs=1&tbnid=K-OsEfQZSUQ7rM:&tbnh=140&tbnw=105&prev=/images?q=universidade+federal+do+cear%C3%A1&hl=pt-BR&gbv=2&tbs=isch
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.simoespi.com.br/site/wp-content/uploads/2009/08/UAB.jpg&imgrefurl=http://www.simoespi.com.br/site/ufpi-divulga-resultado-da-selecao-para-uapi/&usg=__WV5s2Rypzm-gmwwzasF87mFTUqY=&h=400&w=399&sz=74&hl=pt-BR&start=1&itbs=1&tbnid=OxSRkeyZhO7D8M:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images?q=uab&hl=pt-BR&gbv=2&tbs=isch
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cai.ufc.br/brasao.jpg&imgrefurl=http://www.cai.ufc.br/resultadobrafitec_2009.htm&usg=__w56WL45dXUoCtxtO_Wt0c16nxfU=&h=720&w=540&sz=49&hl=pt-BR&start=3&itbs=1&tbnid=K-OsEfQZSUQ7rM:&tbnh=140&tbnw=105&prev=/images?q=universidade+federal+do+cear%C3%A1&hl=pt-BR&gbv=2&tbs=isch
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.simoespi.com.br/site/wp-content/uploads/2009/08/UAB.jpg&imgrefurl=http://www.simoespi.com.br/site/ufpi-divulga-resultado-da-selecao-para-uapi/&usg=__WV5s2Rypzm-gmwwzasF87mFTUqY=&h=400&w=399&sz=74&hl=pt-BR&start=1&itbs=1&tbnid=OxSRkeyZhO7D8M:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images?q=uab&hl=pt-BR&gbv=2&tbs=isch
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cai.ufc.br/brasao.jpg&imgrefurl=http://www.cai.ufc.br/resultadobrafitec_2009.htm&usg=__w56WL45dXUoCtxtO_Wt0c16nxfU=&h=720&w=540&sz=49&hl=pt-BR&start=3&itbs=1&tbnid=K-OsEfQZSUQ7rM:&tbnh=140&tbnw=105&prev=/images?q=universidade+federal+do+cear%C3%A1&hl=pt-BR&gbv=2&tbs=isch
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.simoespi.com.br/site/wp-content/uploads/2009/08/UAB.jpg&imgrefurl=http://www.simoespi.com.br/site/ufpi-divulga-resultado-da-selecao-para-uapi/&usg=__WV5s2Rypzm-gmwwzasF87mFTUqY=&h=400&w=399&sz=74&hl=pt-BR&start=1&itbs=1&tbnid=OxSRkeyZhO7D8M:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images?q=uab&hl=pt-BR&gbv=2&tbs=isch
1.Calcule o vetor tangente a C em oP ; 
 
 t t
f (t) 2cos2t,2sen 2t
f '(t) D 2cos2t,D 2sen2t 2sen2t(2t) ',2cos2t(2t) ' 2*2sen2t,2*2cos2t
4sen2t,4cos2t
t
2
4sen2t,4cos2t 4sen2* ,4cos2* 4sen ,4cos 0, 4
2 2

     


         
 
O vetor tangente é (0, - 4) 
2.Verifique que f '(t) é constante e encontre o vetor normal a C em oP ; 
| '( ) | ² ² [ 4 (2 )]² [4cos(2 )]² 16 ²(2 ) 16cos ²(2 ) 16 4f t a b sen t t sen t t         
Vemos que f”(t) é ortogonal a f’(t) nos instantes em que f”(t) é diferente de 
0. Assim |f’(t)| é constante. 
 
 t t
f '(t) 4sen2t,4cos2t
f "(t) D 4sen2t,D 4cos2t 4cos2t(2t) ', 4sen2t(2t) ' 4*2cos2t, 4*2sen2t
8cos2t, 8sen2t
 
        
 
t
2
8cos2t, 8sen2t 8cos2* , 8sen2* 8cos , 8sen 8*( 1), 8*0 8,0
2 2

               
 
O vetor normal à curva em é oP (8,0). 
3.Represente geometricamente C e os vetores tangente e normal a C em oP . 
2cos(2 )x t e 2 (2 )y sen t 
² ² [4cos ²(2 ) 4 ²(2 )]
² ² 4
² ² 2²
(0,0)
2
x y t sen t
x y
x y
C
R
  
 
 

 
( 2,0)
2
(0, 4)
2
" (8,0)
2
f
T
f



 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – 
a) A parte da parábola definida por 



 2t
2
1,t2)t(f com   2 2t ; 
b) Calcule o comprimento do arco da curva dada, correspondente a x no intervalo 
indicado: 2 8y x n x  e 21, e ;   
1
2 8 8 1y x n x x² ln x x² ln x
8
[1,e²]
1f (y) (t, t² ln t)
8
1 1 1f '(y) (1,2t * ) (1,2t )
8 t 8t
     
 
   
 
 
   
2 2
e² e²
1 1
4 4 4
1 1 1 1 1 1 1| f '(y) | 1² 2t 1² 4t² 4t² 2t 2t
8t 2 64t² 2 64t² 8t 8t
1 t² 1 1L 2t dt 2 ln | t | t² ln | t |
8t 2 8 8
1 1 1 1 1 3(e²)² ln | e² | (1² ln |1| e *2 1 *0 e 1 e
8 8 8 8 4 4
             
     
              
      
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Calcule o comprimento do arco da curva dada, correspondente a x no intervalo 
indicado: y n cos x e 
6
0, ;   
 ∫√ (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) ( ) 
 
 
 
 ∫√ (
 
 
) 
 
 
 ∫√ 
 
 
 
 
∫√ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) (
 
 
) |
 √ 
 
 
√ 
 
| 
 
 √ 
 
 √ 
 
3 – 
 
a) Determine a parametrização pelo comprimento de arco para a curva definida pela 
função dada:  f (t) 2t 1, 2t 1 ;   
 
 
 
 
t t t t
0 0 0 0
t
0
f (t) 2t 1, 2t 1
f '(t) (2, 2)
| f '(t) | 2² ( 2)² 4 4 2 2 2 2t
S 2² ( 2)² 2 2t
S 2 2t
St
2 2
S S S S S Sf (s) 2* 1, 2* 1 1, 1 1,1
2 2 2 2 2 2 2 2
   
 
      
   


          
  

 
 
 
b) Determine a parametrização pelo comprimento de arco para a curva definida pela 
função dada:  h u a u a u bu( ) cos , sen , ; 
 
 
0
0
( ) cos , sen ,
'( ) , cos ,
| '( ) | ( )² ( cos )² ² ² ² ² cos ² ² ²( ² cos ² ) ²
² ²
| '( ) | ( )² ( cos )² ² ² ² ² ²
² ²
² ²
( ) cos , sen
² ²
u
t
h u a u a u bu
h u asenu a u b
h u asenu a u b a sen u a u b a sen u u b
a b
S h u du asenu a u b a b t a b
S u a b
S
u
a b
S S
h s a a
a b

 
          

        
 





,
² ² ² ²
² ²
² ² ²
( ) cos , sen ,
S
b
a b a b
Substituindo
a b c
c a b
S S bS
h s a a
c c c
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
4 – 
 
 a) Encontre a equação cartesiana da circunferência osculatriz de cada uma das curvas definidas 
pelas funções dadas, no ponto indicado. Represente geometricamente a curva e a circunferência 
osculatriz:  2f (t) 2t, t 1 e P(2, 0);  
g '(u) ( senu,2cosu)
| g '(u) | (senu)² (2cosu)² sen²u 4cos ²u sen²u cos ²u 3cos ²u 1 3cos ²u
 
        
 
1 1T(u) *g '(u) *( senu,2cosu)
| g '(u) | 1 3cos ²u
3( senu)(cosu) 1T '(u) *( senu,2cosu) *( cosu, 2senu)
(3cos ²u 1) 3cos ²u 1 3cos ²u 1
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²u) co,
(3cos ²u 1) 3cos ²u 1 (3cos ²u 1) 3cos ²u 1
  


     
  
     
    
su 2senu,
3cos ²u 1 3cos ²u 1
 
 
  
 
 
T'(u) 1K(u) *T '(u)
| g '(u) | | g '(u) |
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²u)1 cosu 2senu* , ,
1 3cos ²u (3cos ²u 1) 3cos ²u 1 (3cos ²u 1) 3cos ²u 1 3cos ²u 1 3cos ²u 1
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²u)
,
(3cos ²u 1)² (3c
  
          
        

 
  
cosu 2senu,
os ²u 1)² 3cos ²u 1 3cos ²u 1
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²u)cosu 2senu,
(3cos ²u 1)² 3cos ²u 1 (3cos ²u 1)² 3cos ²u 1
        
                 
 
2 2
2
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²u)cosu 2senuk(u) | K(u) |
(3cos ²u 1)² 3cos ²u 1 (3cos ²u 1)² 3cos ²u 1
3(sen²u)(cosu) 3(sen²u)(cosu) cosu cosu2 *
(3cos ²u 1)² (3cos ²u 1)² 3cos ²u 1 3c
                    
                
 
   
22
2
4 2
4 3
3( senu)(2cos ²u)
os ²u 1 (3cos ²u 1)²
3( senu)(2cos ²u) 2senu 2senu2 *
(3cos ²u 1)² 3cos ²u 1 3cos ²u 1
9(sen u)(cos u) 6(sen²u)(cos ²u) cos ²u
(3cos ²u 1)²(3cos ²u 1) (3cos ²u 1)
 
     
        
    
            
4
4
4 2 4
4 3
9(sen²u)(4cos u)
(3cos ²u 1)
12(sen²u)(2cos ²u) 4sen²u
(3cos ²u 1)³ (3cos ²u 1)²
9(sen u)(cos u) 9(sen²u)(4cos u) 6(sen²u)(cos ²u) 12(sen²u)(2cos ²u) cos ²u 4sen²
(3cos ²u 1) (3cos ²u 1)
 
      
   
        
    
 
4 3
3 3
3
u
(3cos ²u 1)²
9sen²u cos ²u(1 3cos ²u) 18sen²u cos ²u 3sen²u 1
(3cos ²u 1)²(3cos ²u 1) (3cos ²u 1)
9sen²u cos ²u 18sen²u cos ²u 3sen²u 1
(3cos ²u 1)²(3cos ²u 1) (3cos ²u 1)
9sen²u cos ²u 3sen²u 1
(3cos ²u 1)²(3cos ²u 1)


   
 
  
 
 
 3
²
9sen²u cos ²u 3sen²u 1(3cos ²u 1)
(3cos ²u 1)
9sen²u cos ²u 3sen²u 1 1 9sen²u cos ²u 3sen²u 1
3cos ²u 1(3cos ²u 1)
   
 

      

 
1 1 1 1k(0) 9sen²ucos²u 3sen²u 1 9*0*1 3*0 1 1
(3cos²u 1) 3*1 1 4 4
         
 
 
1 1(0) 4
k(u) 1
4
    
 
1N(u) * K(u)
k(u)
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²u)1 cosu 2senu* , ,
1 (3cos ²u 1)² (3cos ²u 1)² 3cos ²u 1 3cos ²u 19sen²u cos ²u 3sen²u 1
3cos ²u 1
3(sen²u)(cosu) 3( senu)(2cos ²
(3cos ²u 1) 9sen²u cos ²u 3sen²u 1
 
             


 
   
u)
,
(3cos ²u 1) 9sen²u cos ²u 3sen²u 1
cosu 2senu
9sen²u cos ²u 3sen²u 1 9sen²u cos ²u 3sen²u 1
3*0*1 3*0*1 (0,0)
(3*1 1) 9*0*1 3*0 1 9*0*1 3*0 1
1 2*0
(3*1 1) 9*0*1 3*0 1 9*0*1 3*0 1
 
 
    
    
      
 
   
       
   
       
( 1,0)
(0,0) ( 1,0) ( 1,0)
 
   
 
C Q 2N
C (3, 1) 2( 1,0) (3, 1) ( 2,0) (1, 1)
 
         
 
Assim temos que a circunferência da osculatriz tem centro em (1,-1) e raio 4. E 
a equação cartesiana é: (x-1)² + (y+1)² = 16 
 
b) Seja C o gráfico da equação dada no plano XY. Determine o ponto em que C tem curvatura 
máxima e encontre uma equação da circunferência osculatriz de C no ponto indicado. 
Represente geometricamente a curva e a circunferência osculatriz: xy e e (0,1); 
x
t
t
t 2t
t
2t
1 2t
2t t t t2
y
2t 2t 2t
2t 2t² t
2t 2t 2t 2t 2t
y e
f (y) (t,e )
f '(t) (1,e )
| f '(t) | 1² (e )² 1 e
1 1T(y) *f '(y) *(1,e )
| f '(t) | 1 e
e 1T '(y) D (1 e ) *(0,e ) *(1,e ) *(0,e )
(1 e ) 1 e 1 e
e e e, 0,
(1 e ) 1 e (1 e ) 1 e 1 e




   
 

     
  
  
   
      
2
2t 2t² t
2t 2t 2t 2t 2t 2t
2t 2t² t
2t 2t 2t
2 2
2t 2t² t 4t
2t 2t 2t
1 e e eK(y) * , 0,
1 e (1 e ) 1 e (1 e ) 1 e 1 e
e e e, 0,
(1 e )² (1 e )² (1 e )
e e e ek(y) | K(y) | 0
(1 e )² (1 e )² (1 e ) (1




   
    
         
   
           
   
                
2
2 2 2 22 2
2 2 4
2 2
4t t²
2t 4 2t 4 2t
4t 4t 2t t ² 4t 4t 2t 4t² t ²4t 4t t ²
2t 4 2t 2t 4 2t 4
4t 4t t ² 2t³ 4t
4t 4t t ²
2t 4 2t
e e0
e ) (1 e ) (1 e )²
e e (1 e )²e e e (1 2e e *)ee e e
(1 e ) (1 e )² (1 e ) (1 e )
e e e 2e e 1 e e e
(1 e ) (1 e )²
 
       
                  
      
 
42t³ 4t2e e  
 
5 – a) Seja C a curva definida por ,dt)t(fsen,dt)t(fcos)s(g
s
0
s
0






  onde s é o parâmetro 
comprimento de arco, mostre que a curvatura de C é igual a f '(s) . 
 
 
0 0
0 0
( ) cos ( ) , sen ( )
'( ) cos ( ) , sen ( )
'( ) (cos ( ), ( ))
1
( ) * '( )
| '( ) |
| '( ) | cos ² ( ) ² ( ) 1
1
( ) * '( ) '( )
| '( ) |
1
( ) * '( ) '( )
| '( ) |
'( ) ( '( )(
s s
s s
g s f t dt f t dt
g s Ds f t dt Ds f t dt
g s f s senf t
T s g s
g s
g s f s sen f s
T s g s g s
g s
K t T s T s
g s
T s f s se




  
 
 
 
 
 
( ), '( )(cos ( ))
'( ) ( '( )( ( ),cos ( ))
| ( ) | [ '( )]²[( ² ( ) cos ² ( )]
| ( ) | [ '( )]²
[ '( )]² | '( ) |
nf s f s f s
T s f s senf s f s
K s f s sen f s f s
K s f s
f s f s
 
 

 
Assim a curvatura de C é igual a |f’(s)|. 
b) Use o exercício anterior, para mostrar que as curvas em 2R com curvatura constante, são 
retas ou circunferências.