Cap. 4 - FUNÇÕES - parte 3

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 4 – Funções – parte 3 
 
Transformações de Funções 
 
DESLOCAMENTOS VERTICAIS E HORIZONTAIS (Translações) 
Suponha que 0>c . Para obter o gráfico de 
( )= +y f x c , deslocamos o gráfico de ( )=y f x em c unidades para cima 
( )= −y f x c , deslocamos o gráfico de ( )=y f x em c unidades para baixo 
( )= −y f x c , deslocamos o gráfico de ( )=y f x em c unidades para a direita 
( )= +y f x c , deslocamos o gráfico de ( )=y f x em c unidades para a esquerda 
 
REFLEXÕES E EXPANSÕES HORIZONTAIS E VERTICAIS 
Suponha que 1>c . Para obter o gráfico de 
( )=y cf x , expandimos o gráfico de ( )=y f x verticalmente por um fator de c 
( )1=y f x
c
, comprimimos o gráfico de ( )=y f x verticalmente por um fator de c 
( )=y f cx , comprimimos o gráfico de ( )=y f x horizontalmente por um fator de c 
 
=  
 
xy f
c
, expandimos o gráfico de ( )=y f x horizontalmente por um fator de c 
( )= −y f x , refletimos o gráfico de ( )=y f x em torno do eixo x 
( )= −y f x , refletimos o gráfico de ( )=y f x em torno do eixo y 
 
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� Exemplo 1: Dado o gráfico de =y x , use transformações pra obter os gráficos de 2= −y x , 
2= −y x , = −y x , 2=y x , = −y x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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� Exemplo 2: Dado o gráfico de ( ) 2=f x x , use transformações para esboçar o gráfico de 
( ) 2 6 10= + +g x x x . 
 
 
 
 
 
 
Combinações de Funções 
 
Duas funções podem ser combinadas para formar novas funções. 
Sejam f e g duas funções, sendo ( ) =D f A e ( ) =D g B . Se ∩ ≠ ∅A B , podemos definir: 
 
• Função Soma de f e g: ( )( ) ( ) ( )+ = +f g x f x g x , sendo ( )+ = ∩D f g A B . 
• Função Diferença de f e g: ( )( ) ( ) ( )− = −f g x f x g x , sendo ( )− = ∩D f g A B . 
• Função Produto de f e g: ( )( ) ( ) ( )⋅ = ⋅f g x f x g x , sendo ( . ) = ∩D f g A B . 
• Função Quociente de f por g: 
( )( ) ( )
 
= 
 
f f x
x
g g x
, sendo { }| ( ) 0  = ∈ ∩ ≠ ≠ ∅ 
 
fD x A B g x
g
. 
 
 Observações 
1) Por que o domínio das funções soma, diferença e produto é a interseção dos domínios das 
funções f e g? 
 
2) Por que o domínio da função quociente é distinto dos domínios das funções acima? 
 
 
 
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� Exemplo 3: Sejam as funções ( ) 4= −f x x e 2( ) 1= −g x x . Encontre as funções soma, 
diferença, produto e quociente de f e g e seus respectivos domínios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existe outra maneira de combinar duas funções para obter uma nova função. Por exemplo, suponha que 
( )= =y f u u e ( ) 2 1= = +u g x x . Como y é uma função de u e u, por sua vez, é uma função de 
x, segue que, afinal de contas, y é uma função de x. Calculamos isto pela substituição: 
( ) ( )( ) ( )2 21 1= = = + = +y f u f g x f x x 
Este procedimento é chamado composição e a nova função é chamada função composta das duas 
funções dadas. 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
Dadas duas funções f e g, a função composta �f g (lê-se “f bola g”) é definida por 
( )( ) ( )( )=�f g x f g x 
 
A figura abaixo mostra como visualizar �f g em termos de diagramas de flechas. 
 
 
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Considerando a figura, perceba que, para encontrar ( )( )f g x , ( )g x deve estar no domínio de f . 
Assim, o domínio de �f g é o conjunto de todos os x no domínio de g tais que ( )g x está no 
domínio de f . 
 
� Exemplo 4: Se 2( ) =f x x e ( ) 3= −g x x , encontre as funções compostas �f g e �g f . 
 
 
 
 
 
 Observações 
Você pode ver no exemplo anterior que, em geral, ≠� �f g g f . Lembre-se de que na 
notação �f g significa que a função g é aplicada primeiro, e depois f é aplicada. 
 
� Exemplo 5: Se ( ) =f x x e ( ) 2= −g x x , encontre cada uma das funções e seus domínios. 
a) �f g b) �g f c) �f f d) �g g 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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� Exemplo 6: Encontre duas funções tais que sua composição seja a função : →ℝ ℝh definida por 
( )102( ) 1= −h x x . 
 
 
 
Dizemos que uma função é injetora quando ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, ou seja, 
para quaisquer ( )1 2, ∈x x D f , com 1 2≠x x , tem-se. 
Geralmente, para mostrarmos que uma função é injetora, é mais útil seguirmos o seguinte 
caminho alternativo: 
se ( ) ( )1 2=f x f x então 1 2=x x . 
� Exemplo 7: A função : →ℝ ℝf definida por ( ) 3=f x x é injetora? 
 
 
 
 
 
� Exemplo 8: A função : →ℝ ℝg definida por ( ) 4=g x x é injetora? 
 
 
 
 
 
Se uma reta horizontal intercepta o gráfico de f em mais de um ponto, então vemos na figura 
abaixo que existem números 1 2 e x x tais que ( ) ( )1 2=f x f x . Isso significa que f não é uma 
função injetora. 
 
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras 
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Portanto, temos o seguinte método gráfico para determinar se a função é injetora. 
TESTE DA RETA HORIZONTAL 
Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráfico em mais um ponto. 
 
 
Dizemos que uma função é sobrejetora quando seu conjunto imagem é igual ao contradomínio, 
ou seja, para todo ( )∈y CD f , existe ( )∈x D f tal que ( )=y f x . 
� Exemplo 9: A função : →ℝ ℝf definida por ( ) 2=f x x é sobrejetora? 
 
 
 
 
 
� Exemplo 10: A função : + +→ℝ ℝg definida por ( ) =g x x é sobrejetora? 
 
 
 
 
 
 
Dizemos que uma função é bijetora quando é injetora e sobrejetora. 
As funções bijetoras são importantes, pois são precisamente as que possuem funções inversas. 
 
 
Função Inversa 
 
Seja : →f A B uma função bijetora. Então sua função inversa 1−f tem domínio B e imagem A , 
sendo definida por 
1( ) ( )− = ⇔ =f y x f x y 
para todo y em B . 
Essa definição afirma que se f transforma x em y , então 1−f transforma y de volta em x . O diagrama 
de flechas da figura abaixo mostra que 
1−f reverte o efeito de f . 
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 Observações 
Não confunda 1− de 1−f com um expoente. Assim, 1−f não significa 1f . 
 
� Exemplo 11: Se ( )1 5=f , ( )3 7=f e ( )8 10= −f , encontre ( )1 10− −f , ( )1 5−f e ( )1 7−f . 
 
 
 
 
 
� Exemplo 12: Seja : →ℝ ℝf , dada por ( ) 3 2= +f x x . Encontre a função inversa, se existir. Caso 
contrário, modifique o domínio ou o contradomínio de f , criando uma nova função que possua 
inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 13: Seja : →ℝ ℝf , dada por ( ) 2=f x x . Encontre a função inversa, se existir. Caso 
contrário, modifique o domínio ou o contradomínio de f , criando uma nova função que possua 
inversa. 
 
 
 
 
 
 
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Conhecendo o gráfico de f , como obter o gráfico de 1−f ? 
O gráfico de 
1−f é obtido refletindo-se o gráfico de f em torno da reta =y x , como nas figura 
abaixo. 
 
 
� Exemplo 14: Esboce os gráficos de ( ) 3 1= +f x x e de sua função inversa usando o mesmo 
sistema cartesiano. 
 
 
 
Referências utilizadas neste capítulo: 
� FLEMMING, Diva M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. Pearson Prentice Hall, 2007. 
� STEWART, James. Cálculo I, volume 1. Cengage Learning, 2011.