A TEORIA DOS JOGOS NO PROCESSO DE TOMADA DE DECISÕES NO MERCADO DUOPOLISTA - REFERENCIAL TEORICO

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ – UNIOESTE
CAMPUS TOLEDO
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS
EMERSON FERNANDO DE OLIVEIRA
A TEORIA DOS JOGOS NO PROCESSO DE TOMADA DE DECISÕES NO MERCADO DUOPOLISTA
UMA ABORDAGEM DO EQUILIBRIO DE NASH 
TOLEDO
2017
“Eu quero acreditar que algo extraordinário é possível”
Uma mente brilhante
1. INTRODUÇÃO
	A integração dos mercados impõe às empresas a elaboração de novas políticas para atuar de forma estratégica em um cenário cada vez mais competitivo.
	E permanecer neste mercado é um dos maiores desafios, nesta situação muitos empreendedores estão em busca de novas alternativas para alavancar a competitividade em um mundo globalizado. E as empresas brasileiras, após décadas de crescimento enérgico tiverem queda em competitividade econômica. Esta estagnação prejudicou a inserção comercial no mercado externo, porém o mercado brasileiro é dinâmico, com mudanças constantes.
	E este ambiente é desafiador, pois as crescentes transformações levam as empresas a buscar estratégias que permitem competir no mercado interno e externo de forma competitiva. 
	E a inserção das empresas no mercado em busca de ganhos econômicos, leva em consideração a tomada de decisão que deve estar alinhada com as estratégias adotadas pelo mercado. (XAVIER, 2013). 
	A diminuição da falta de competitividade está relacionada com o processo de tomada de decisões que as empresas utilizam.
	Assim a Teoria dos Jogos é um ferramental utilizado pelos economistas e matemáticos para analisar as melhores escolhas em um mercado agressivo, avaliando o comportamento das empresas, e quais são as decisões que podem ser tomadas para que se estabeleça o equilíbrio dado que os agentes possuem informações completas. 
	Este ferramental é relevante para as empresas estudarem a tomada de decisões em condições de conflito e modelar os fenômenos econômicos quando ocorre interação entre ambas.
1.1 PROBLEMA E JUSTIFICATIVA
	A globalização mudou o ambiente empresarial, o que gerou grandes mudanças econômicas com competição acirrada entre as empresas. Este cenário competitivo influenciou os agentes econômicos na tomada de decisões, observando as melhores estratégias que a outra empresa possui, em um cenário de incertezas e ameaças. 
	Para adotar este conjunto de estratégias deve-se incorrer não apenas em ambições individuais, mas também considerar as estratégias que o grupo possui, a fim de escolher a melhor decisão dado que o outro agente tenha escolhido.
	Desta forma diante de um mercado, que possui um fluxo altíssimo de informações a teoria dos jogos estuda a tomada de decisão dos agentes e os resultados desta interação. Sendo necessário o aprimoramento da Teoria dos Jogos para avançar academicamente no desenvolvimento da ciência.
	É sabido que existe relação entre o processo de tomada de decisões das empresas e a Teoria dos Jogos, assim, frente à importância descrita sobre esta teoria e a adoção de estratégias para obter o equilíbrio e manter a competitividade no mercado o presente estudo procura responder a seguinte questão: Quais são os estágios da arte de teoria dos jogos no Brasil?
1.2 OBJETIVO
1.2.1 OBJEITO GERAL
	Verificar a contribuição do Equilíbrio de Nash para a tomada de decisões entre dois agentes econômicos com informação completa. 
1.2.2 OBJETIVO ESPECIFICO 
Verificar o Equilíbrio Minimax em jogos não cooperativos
Analisar o equilíbrio de estratégia dominante entre dois agentes
Avaliar o Ponto Fixo de Brouwer para a elaboração do Equilíbrio de Nash
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO
	Este trabalho esta organizado da seguinte forma:
	O trabalho de conclusão de curso estrutura-se em quatro capítulos, no primeiro as relações das empresas em um mercado competitivo. Este capítulo também apresenta a importância das empresas em possuírem um ferramental, para auxiliar no processo de tomada de decisões. No segundo capítulo é abordada a história e definição da Teoria dos Jogos, e sua interdependência com a teoria dos conjuntos, tal como a forma que os jogos cooperativos e não cooperativos são importantes para a tomada de decisões em um mercado duopolista. O terceiro capítulo caracteriza o desenvolvimento da ciência da teoria dos jogos com analise do processo de tomada de decisões através do equilíbrio de Nash. No quarto capítulo o cronograma do projeto de monografia.
2. REVISÃO DE LITERATURA
O processo de tomada de decisão tem sido ênfase em vários estudos por se constituir em um elemento crucial para as empresas se expandirem e atingir seus objetivos frente a um mercado cada vez mais competitivo. 
	Neste ambiente de decisões a teoria dos jogos pode ser utilizada como ferramental analítico para analisar o comportamento de dois ou mais agentes. 
	De acordo com (SARTINI, et al., 2004) o desenvolvimento da teoria dos jogos começou a ser modelada no século XVIII por Waldegrave pela solução do equilíbrio de estratégia mista. Apesar de relevantes as análises não foram completas e novos pesquisadores deram continuidade, mesmo assim seu trabalho foi um marco para o desenvolvimento da teoria. 
	No século XIX Augustin Cournot estabeleceu o ponto de partida para estudos no mercado duopolista, associando o cálculo diferencial à analise econômica. Nessa abordagem parte-se do pressuposto: uma empresa decide qual quantidade produzir, com base na expectativa de produção nas mesmas quantidades da empresa rival. Ou seja, a decisão da oferta depende da expectativa da oferta e concorrência. Assim Augustin Cournot desenvolveu o Modelo de Cournot que é um jogo simultâneo de informação completa, o qual realiza previsões de escolhas levando em consideração a expectativa de produção das empresas concorrentes com base nestas previsões determinarem a produção que maximize o lucro (ALEIXO, 2006, p.4). 
	Desta forma Cournot adaptou o conceito de equilíbrio de mercado influenciando outros matemáticos como Joseph Bertrand. 
	Joseph Bertrand em 1883 pela analise do Modelo de Cournot trabalhou com a hipótese de rigidez dos preços, desenvolvendo o Modelo de Competição de Bertrand.
O modelo de competição de Bertrand estabelece que as firmas, em vez de estabelecerem quantidades demandadas para a maximização dos lucros, preferem a fixação de preços em virtude de algum grau de poder de mercado. O modelo é compatível com os casos de diferenciação de produtos. (JUNIOR, 2009, p. 631).
	E em 1913 Ernst Zermelo publicou o primeiro teorema dos jogos que analisa as estratégias que os agentes podem realizar, e que em situações de conflito ao menos um agente possui uma estratégia que pode lhe dar a vitória ou empate (SARTINI, et al., 2004). Zermelo também estruturou o sistema axiomático da teoria dos conjuntos, que se constitui em 10 axiomas dentre eles o axioma da união capaz de analisar a interação entre dois agentes que possuem um conjunto de decisões, pois dado um conjunto A de uma empresa, é possível criar um conjunto B para outra empresa que possui todas as decisões do conjunto A. 
	Desta forma a teoria dos conjuntos estabelecida por Zermelo está intimamente relacionada com a teoria dos jogos e o processo de tomada de decisão, pois ao estudar os conjuntos é possível analisar os resultados dos processos de tomada de decisões entre duas empresas, já que as empresas adotam um conjunto de decisões. 
	Até 1920 a teoria dos jogos não tinha empolgado a comunidade cientifica, mas a situação mudou com o brilhante matemático, John Von Neumann. Em 1928 John Von Neumann em sua tese de doutorado estudou o axioma de fundação que faz parte dos axiomas elaborados por Ernst Zermello, analisando que para cada conjunto não vazio , existe , afirmando então que não é possível a construção de um conjunto que possua todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos. (PINHEIRO; BERTOLOTO, 2015). 
	Apesar de ter realizado estudos sobre o sistema axiomático de Zermelo, Von Neumann em 1928 de acordo com Costa (2009, p.2):
Publicouum artigo sugerindo que a Teoria dos Jogos poderia ter aplicação na Economia, mas não sabia como fazê-la. Só quando conheceu Morgenstern em Princeton, 1938, o elo com a Economia pode ser feito. Escreveram então “Teoria dos Jogos e o Comportamento Econômico” publicado em 1944, sendo que John von Neumann escreveu toda parte teórica matemática e Morgenstern fez uma provocativa introdução e estruturou os assuntos, de tal modo que o livro pode atrair a atenção da comunidade matemática e econômica.
	Demonstrando que todo jogo finito de soma zero com duas pessoas possui uma solução em estratégias mistas (SARTINI, et al., 2004). Esta analise também foi estendida para o mercado duopolista, em que pelas decisões tomadas por uma empresa, o seu ganho, irá representar a perda da outra empresa, Neumann e Morgenstern defenderam que não é possível obter ganhos quando as empresas se comunicam previamente, incentivando posteriormente John Forbes Nash em sua analise dos jogos não cooperativos (COSTA, 2009, p.2). 
	Para provar o jogo de soma nula Neumann provou o “Teorema Minimax”. 
2.1 TEORIA DO MINIMAX
	A teoria dos jogos tem como objetivo inicial analisar como os agentes interagem para alocar os recursos na economia (JUNIOR, 2009, p. 617). E a teoria do mini-max e max-min abrangem um conjunto de tomada de decisões ótimas para todos os agentes que estão participando do jogo. 
	O max-min ocorre em situações de risco, momento que a empresa busca o melhor ganho possível para que não tenha perdas desnecessárias. Generalizando em um mercado duopolista os agentes buscarão o melhor ganho, admitindo que o outro agente realize a melhor decisão (COSTA, 2009). Já o mini-max de acordo com Von Neumman se caracteriza no momento que a empresa garante um ganho mínimo, independente do que a outra irá adotar, e um duopólio pode ter mais de um ponto de mini-max. Sendo assim Von Neumman comprovou que é possível realizar a solução de um mini-max ou max-min (COSTA, 2009). 
	Conforme enfatiza Junior (2009, p. 622) “o equilíbrio mini-max consiste em encontrar o menor resultado na melhor das hipóteses. Já o equilíbrio maxi-min permite encontrar o maior resultado na pior das hipóteses”. 
	Porém a teoria do mini-max possuía lacunas por não abordar jogos não cooperativos, cujos agentes envolvidos não podem fazer acordos (COSTA, 2009, p.5). Porém esta lacuna dos jogos não cooperativos foi preenchida com a abordagem estruturada por John Forbes Nash, que criou alicerces para a elaboração de um conhecimento técnico de como as decisões são tomadas na economia (SARTINI, et al., 2004).
	“Nascido em Bluefield, West Virgina, John Forbes Nash estudou no Carnegie Institute of Technology com uma bolsa de estudos, graduando-se entre 1945 e 1948” (XAVIER, 2013, p. 35). Nash alavancou a matemática aplicada, criando teorias que abrangem desde a física, computação até áreas da economia. 
	Nash foi o percussor na Teoria da Barganha (1950; 1953) que se caracteriza em um jogo cooperativo com estratégias mistas que podem assumir valores de , nesta teoria os agentes tomam decisões tentando maximizar seus ganhos, em busca de estruturar estratégias conjuntas até chegar á um acordo, em que ambos os agentes irão possuir ganhos, isto se aproxima de um cartel em que as empresas criam acordo para fixar preços em conjunto (AURELIO, et al., 2015). Não importando a ordem em que os agentes tomam suas decisões, pois a ordem de estratégias de acordo com Nash possui uma solução que possui sempre os mesmos resultados da solução original. 
	Nash afim de ilustrar a Teoria da Barganha em um jogo cooperativo demonstrou 3 axiomas, sendo eles: Ótimo de Pareto, Simetria, Independência (AURELIO, et al., 2015). 
	No Ótimo de Pareto nenhum agente pode melhorar seu playoff sem que o outro diminua, a Simetria diz respeito que a ordem do processo de decisão não importa e Independência demonstra que a solução de um jogo não pode ser influenciada por decisões irrelevantes. 
	Desta forma Nash estudou os jogos não cooperativos preenchendo então a lacuna da Teoria do Mini-max de Von Neumann, e os jogos não cooperativos que foram deixados em segundo plano por Neumman, se tornou a base do equilíbrio de Nash (AURELIO, et al., 2015).
2.2 JOGOS COOPERATIVOS
	Os jogos cooperativos ocorrem quando os agentes podem cooperar utilizando a comunicação afim que seja estabelecida um equilíbrio entre ambas as partes.
	Segundo Figueiredo (1994, p.6) os jogos cooperativos se diferenciam dos não cooperativos da seguinte forma: 
Os jogos chamados cooperativos constituem uma classe determinada de jogos que se diferenciam dos jogos não cooperativos principalmente pelo fato de que, ao contrário dos jogos não cooperativos, eles possuem, em sua estrutura interna, condições que favorecem a possibilidade dos agentes fazerem coalizões entre si com vistas a garantir um determinado resultado. Por uma coalizão entendemos qualquer subconjunto do conjunto de jogadores, I, constituído de jogadores que resolvem agir como uma equipe no processo de escolha de estratégias. 
	No âmbito econômico, pode-se analisar que em um duopólio os jogos cooperativos são essências para a tomada de decisões quando os agentes possuem informações completas e buscam estratégias em conjunto.
2.3 JOGOS NÃO COOPERATIVOS
	Os jogos não cooperativos propôs uma estrutura diferente dos jogos cooperativos por considerar que cada agente realiza sua decisão motivada por seu interesse particular, e sem utilizar estratégias em conjunto. 
	E sob a condição de estratégia mista em que a probabilidade é de , é possível criar uma teoria geral entre dois agentes, em que o ganho de um, é a perda de outro, porém tendo no mínimo um ponto de equilíbrio. 
	Mas na situação de um jogo com dois agentes de soma zero NASH (1951) ilustra que sob estratégias puras em que os agentes possuem probabilidade todo jogo finito sob condição de não cooperação irá possui um ponto de equilíbrio (FIGUEIREDO, 1994, P.5). 
	Estendendo a analise para o mercado duopolista a empresa A escolhe sua decisão, com base em um determinado comportamento da empresa B, para maximixar o seu ganho (FIGUEIREDO, 1994, p 5).
	O famoso dilema dos prisioneiros criado pelos matemáticos Melvin Dresher e Merrill Flood, e ampliado por Nash é um exemplo de jogo não cooperativo. O dilema dos prisioneiros de acordo com Tonelli (2015, p.6) enfatiza que: 
Dois prisioneiros são mantidos em escritórios separados e o promotor do caso oferece a cada um o seguinte: caso ele testemunhe contra o comparsa e este não testemunhar contra ele, sua pena será de 1 ano de prisão cabendo a seu colega cumprir 10 anos. Caso o comparsa também testemunhe contra ele sua pena será de 5 anos. Se, todavia, ambos se recusarem a testemunhar um contra o outro, ambos passarão dois anos na cadeia .
	NASH (1953) demonstrou que neste dilema cada prisioneiro possui duas estratégias: Testemunhar contra o outro (X) e (Y) não testemunhar. 
	O pagamento será com o numero de prisão, sendo negativo, isto pode ser expresso na tabela abaixo:
	
	(Y)
	(X)
	(Y)
	(-2, -2)
	(-10, -1)
	(X)
	(-1, -10)
	(-5, -5)
	Logo Nash enfatizou pelo dilema dos prisioneiros, que se o jogo fosse cooperativo, os prisioneiros escolheriam a estratégia (Y,Y) / (-2,-2) que é a menor pena possível para ambos, mas como o jogo não é cooperativo, eles não tem a certeza da estratégia a ser tomada, por existir um prêmio de delação (FIGUEIREDO, 1994). O dilema dos prisioneiros apresenta um ponto de equilíbrio em (X, X) / (-5,-5) consistindo na menor pena possível para ambos caso não ocorra a não cooperação, dando origem então a estratégia dominante, na qual de acordo com Nash consiste na eliminação da estratégias que possuem valores inferiores para o jogador, independente da estratégia adotada pelo outro jogador.“Devem, portanto, ser eliminadas aquelas estratégias que produzem um resultado inferior ao das demais, independentemente da escolha estratégica do oponente” (JUNIOR, 2009, p. 621). Nesta situação dizemos que existeo Equilíbrio de Nash
2.4 EQUILIBRIO DE NASH
	A partir da análise acerca dos jogos não cooperativos, foi elaborado o Equilíbrio de Nash que consiste na melhor decisão tomada por um jogador dado que o outro jogador tenha tomada uma decisão (JUNIOR, 2009, p. 621). Este equilíbrio requer um ponto fixo, desta forma Nash utilizou o teorema do ponto fixo de Brouwe, sendo o equilíbrio uma função continua e de acordo com Brouwe possui um ponto fixo, no qual esse equilíbrio pertence aos números reais, e o agente utilizando estratégias puras, o ganhou ou perda do jogador será (VASCONCELLOS, 2014).
	Logo o equilíbrio de Nash pode analisar um mercado duopolista pela escolha condicional, visto que a primeira empresa observa o conjunto de tomada de decisões da empresa B que é , com base em a empresa forma o conjunto de decisões da empresa será , assim a partir do axioma da extensão de Zermello tem-se que .
	Então Nash demonstrou que se o resultado das interações entre dois agentes em sistema de não cooperação forem igual, existe o Equilíbrio de Nash, ilustrando que a teoria de Adam Smith precisava de modificações, pois se dois agentes tiverem ambições individuais nenhum dos agentes irão atingir o ótimo, mas se tomarem decisões que julgarem melhor para si,e para ambos, através da escolha condicional, as chances de ambos atingirem o ótimo se torna maior, o que foi retratado no dilema dos prisioneiros. Desta forma a sua teoria revolucionou o campo estratégico, e a dinâmica dos governos influenciando a forma como os agentes tomam as suas decisões em um duopólio, dado que as informações são completas e não ocorre a cooperação entre ambos. 
	Logo John Forbes Nash pela matemática e economia apontou que todos os agentes conhecem as mesmas informações e que cada agente realiza uma decisão, sem considerar que os outros agentes realizem decisões diferentes, chegando ao ponto de responderem de forma ótimas as decisões dos outros, tendo então o famoso Equilíbrio de Nash, desta forma Nash separou os conceitos de jogos cooperativos e não cooperativos. 
	Assim o objetivo da teoria dos jogos na tomada de decisão do mercado duopolista é analisar o comportamento das empresas, tendo em vista que ambas possuem as mesmas informações, e agem de forma simultânea com interesses particulares e também levando em consideração o conjunto de decisões de outro agente, que posteriormente irão levar ao equilíbrio de mercado, onde as estratégias adotadas por ambas as empresas serão as mesmas (XAVIER, 2013).
	Desta forma diante de um mercado, que possui um fluxo altíssimo de informações a teoria dos jogos é importante para estudar a tomada de decisão dos agentes e os resultados desta interação, onde os resultados não dependem apenas das chances, mas também da aptidão. Neste contexto a teoria dos jogos tem como objetivo analisar a tomada de decisão quando dois ou mais agentes relacionam-se. Onde cada agente econômico possui um conjunto de variáveis para realizar a tomada de decisão no ambiente duopolista. Logo a proposta de trabalho cientifica visa apresentar as ferramentas necessárias para analisar a tomada de decisão em um duopólio através dos instrumentais da teoria dos jogos, com analises explicativas e descritivas. 
	E na economia, o estudo da teoria dos jogos com base no Equilíbrio de Nash tornou-se pertinente para compreender de forma mais concisa as variáveis que influenciam a tomada de decisões em um mercado duopolista. Pois muitas decisões econômicas são realizadas em ambientes constituídas por incertezas em relação aos possíveis resultados que podem ser obtidos, devido à implantação dessas decisões (LAZZAROTTO; TEIXIERA; SANTOS, 2009). 
3. METODOLOGIA
	A metodologia utilizada neste trabalho foi baseada nas técnicas bibliográficas quantitativas. Para evoluir na ciência a pesquisa quantitativa apresentará os teoremas de ponto fixo utilizado por John Forbes Nash, que irá se constituir no seguinte método: 
	Será utilizado que é um subconjunto de uma função contínua:
 
	O pertence aos números e mede o ganhou ou perda do jogador que é denotado por . 
	 será utilizado quando ocorre a mudança na estratégia . E serão as possibilidades de tomada de decisões no mercado duopolista (SARTINI, et al., 2004). 
	Afim de chegar ao equilíbrio de Nash a probabilidade de perda ou ganho será denotada da seguinte forma:
	E para será utilizado um vetor matricial afim de demonstrar que para cada de uma empresa A tem-se que é imagem na empresa B através da utilização das seguintes probabilidades:
Empresa A: 
Empresa B: 
	Logo para apresentar o objetivo deste trabalho serão confrontadas as probabilidades das empresas A e B:
	Atingindo o equilíbrio de Nash em:
	
	Desta forma o estudo cientifico do presente trabalho irá utilizar estratégias mistas de probabilidade que será possível obter o Equilíbrio de Nash no mercado Duopolista e avançar academicamente no estudo da ciência (SARTINI, et al., 2004).. 
4. CRONOGRAMA
	Ano 2017
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bibliográfico
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anteprojeto
	
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projeto
	
	
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	Coleta de dados 
	
	
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	Análise dos dados
	
	
	
	
	
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	Organização do 
roteiro/partes
	
	
	
	
	
	
	
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	Redação do trabalho
	
	
	
	
	
	
	
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	Revisão e
redação final
	
	
	
	
	
	
	
	
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	Entrega da monografia
	
	
	
	
	
	
	
	
	
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	Defesa da monografia
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
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5. REFERÊNCIAS
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COSTA, C. S. Teoria dos jogos e a relação entre o “Teorema minimax” de John Von Neumann e o “Equilíbrio de Nash” de John Nash. Disponível em: <http:// www.urisan.tche.br/~pbetencourt/MFTD/TeoriaDosJogos.pdf> Acesso em 21. dez de 2016. 
FIGUEIREDO, R. S. Teoria dos jogos: conceitos, formalização matemática e aplicação à distribuição de custo conjunto. Gest. Prod. 1994, vol.1, n.3, p. 273-289. ISSN 0104-530X. Disponível em <http:// http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0104530X1994000300005&script=sci_abstract&tlng=pt>. Acesso em 22 jan de 2017.
JÚNIOR, G. S. E. Jogos estáticos e dinâmicos com informação completa. In: LÍRIO, S. V. Micro e economia aplicada. Viçosa: Visconde do Rio Branco, 2009, p. 615-646.
LAZZAROTTO, J. J.; TEIXEIRA, C. T. Incerteza e risco nas decisões econômicas. In: LÍRIO, S. V. Micro e economia aplicada. Viçosa: Visconde do Rio Branco, 2009, p. 193-234.
PINHEIRO, F. G.; Um pouco sobre a sabedoria da teoria ingênua dos conjuntos. Revista Eletrônica Matemática e Estatística em Foco, Uberlândia, v. 3, n. 1, p.73-89, mai. 2015. Disponível em: <http:// http://www.seer.ufu.br/index.php/matematicaeestatisticaemfoco/issue/view/1248>. Acesso em 01 dez de 2016. 
SARTINI., et al. Uma introdução a teoria dos jogos. In: BIENAL DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2., 2004, Salvador. Anais... Salvador: SBM, 2004, p. 2-7. Disponível em: <http:// https://www.ime.usp.br/~rvicente/IntroTeoriaDosJogos.pdf>. Acesso em 03 dez de 2016. 
TONELLI, P. A. Um minicurso em teoria dos jogos. Disponível em: <http:// https://www.ime.usp.br/~tonelli/mae515/minicursotj.pdf>. Acesso em 28 jan de 2017.
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XAVIER, O. M. A origem da teoria dos jogos e a origem do equilíbrio em Nash. Monografia (Graduação em Ciências Econômicas) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2013. Disponível em: < http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/97708>. Acesso em 3 jan de 2017.