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UNIVERSIDADE FEDEREAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA SEMESTRE: 2015.2 DISCIPLINA: A´LGEBRA VETORIAL E LINEAR PARA COMPUTAC¸A˜O TURMA: BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAC¸A˜O PROFESSOR: GILSON SIMO˜ES 2a VERIFICAC¸A˜O DE APRENDIZAGEM - 09/12/2015 NOME: CPF: ATENC¸A˜O: -Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras e celulares. -Leia cada enunciado com atenc¸a˜o antes de iniciar uma resoluc¸a˜o. -Na˜o esquec¸a de justificar todas as suas respostas. -Escreva todos os detalhes dos ca´lculos que o levarem a uma soluc¸a˜o. Questa˜o 1 . Considere o espac¸o vetorial V = R3. a) (1,0 ponto) Mostre que α = {(1,−1, 2), (0, 1,−1), (0, 0, 1)} e´ uma base de R3. b) (1,0 ponto) Sabendo que β = {(1, 0, 0), (1,−1, 0), (1, 0, 1)} e´ base de R3, determine a matriz mudanc¸a de base [I]αβ . c) (0,5 pontos) Seja v ∈ R3 tal que [v]α = 1−1 2 . Determine [v]β . Questa˜o 2 . Considere o espac¸o vetorial V = R3 com o produto interno canoˆnico. a) (1,0 ponto) Determine o aˆngulo entre os vetores u = (2,−1, 1) e v = (1, 1, 2). b) (1,5 pontos) Seja β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} base de R3. Use o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram- Schmidt para obeter uma base ortonormal β′ de R3 em relac¸a˜o ao produto interno canoˆnico. c) (0,5 pontos) Dado o subespac¸o de R3 U = [(2, 1, 0), (−3, 0, 1)], determine uma base para U⊥ Questa˜o 3 . Seja T : R2 → R3 a transformac¸a˜o linear dada por T (1, 0) = (1, 1, 0), T (0, 1) = (1, 2, 0). a) (1,0 ponto) Determine T (x, y). b) (1,0 ponto) Determine Ker(T ) e Im(T ). c) (0,5 pontos) T e´ injetiva? E´ sobrejetiva? Justifique. Questa˜o 4 . Seja T : R3 → R3 o operador linear dado por T (x, y, z) = (2x+ z,−3y + z,−3z). a) (1,0 ponto) Determine [T ]αα, onde α e´ a base canoˆnica de R3. b) (1,5 pontos) Encontre os autovalores de T e os autoespac¸os correspondentes (os subespac¸os associados a cada autovalor). c) (0,5 pontos) T e´ diagonaliza´vel? Justifique. BOA PROVA! 1
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