AP3-ALII-2020-1-aluno

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Terceira Avaliação Presencial Casa de Álgebra Linear II – 03/07 (8h) a 05/07 (19h)
Código da disciplina EAD 01014
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e Polo.
• É expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para cálculo como também qualquer material
que sirva de consulta.
• Preencha o número total de folhas somente quando for escanear a prova!
Questão 1 (1,5 pontos) Seja T : R3 −→ R3 um operador linear tal que
T (1, 0, 0) =
(
− 3√10 ,
1√
10 , 0
)
e T (0, 1, 0) =
(
1√
14 ,
3√
14 ,
2√
14
)
.
Determine T (0, 0, 1) de modo que T seja um operador ortogonal.
Questão 2 (3,0 pontos) Seja A =
[
3 1
1 3
]
.
a) [1,8 pts] Determine uma base do R2 formada por autovetores de A, indicando os autovalores.
b) [1,2 pts] Usando os cálculos do item anterior, identifique a cônica dada pela forma matricial abaixo, obtendo uma
equação reduzida à forma canônica por meio de uma rotação.
(x, y)
[
3 1
1 3
] [
x
y
]
+ (18
√
2 , 14
√
2)
[
x
y
]
+ 54 = 0.
Questão 3 (2,5 pontos) Seja T : R3 −→ R3 a reflexão com respeito ao plano Π gerado por v1 = (6, 1, 1) e
v2 = (−1, 3, 3).
a) [1,0 pt] Determine β, uma base ortonormal do R3, formada por autovetores de T , indicando os respectivos
autovalores.
b) [0,7 pt] Determine uma matriz ortogonal P que diagonaliza T e dê a sua correspondente matriz diagonal D.
c) [0,8 pt] Determine a matriz que representa T na base canônica do R3.
Questão 4 (1,5 ponto) Determine a matriz C que representa, na base canônica do R2, a transformação linear
obtida pela projeção ortogonal sobre o eixo y seguida de uma rotação de π3 radianos no sentido anti-horário.
Questão 5 (1,5 pontos) Seja B ∈ M6(R) uma matriz simétrica cujo polinômio caracteŕıstico é p(λ) =
(λ− 2)2(λ4 + λ3 − 12λ2). Determine os autovalores e suas multiplicidades algébrica e geométrica.