AvaliaçãoAprendizagem_Prova1

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO,CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MATO GROSSO
Curso: Bacharel em Engenharia de Controle e Automação
Prof.: Dr. Willian de Souza Pereira Disciplina: Álgebra Linear
Aluno(a): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . No.:. . . . . . . . . 14/10/2022
Primeira Avaliação de Aprendizagem - Entregar na próxima aula
Questão 1(2,0 pontos) Determine os valores de k para os quais o sistema abaixo é incompat́ıvel (não tem
solução), compat́ıvel determinado (tem solução única) e compat́ıvel indeterminado (tem infinitas soluções). En-
contre as soluções do sistemas para os casos em que elas existam.

x + ky + z = −1
x + y − z = 1
y + kz = 1
Questão 2 a)(1,0 pontos) Considere os seguintes subespaços
U = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x+ y = 0 e z − t = 0} W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x− y − z + t = 0}
a1)(0.25 ponto) Determine um sistema de geradores para o subespaço U ∩W .
a2) (0,25 ponto) Detemine um sistema de geradores para o subespaço U +W .
a3) (0,50 ponto) O subespaço U +W é uma soma direta? Justifique sua resposta.
b) (1,0 ponto) Seja {u, v.w} um conjunto L.I. de vetores de uma espaço vetorial V. Provar que o conjunto
{u+ v − 3w, u+ 3v − w, v + w} é L.D.
Questão 3a) (1,5 pontos)Seja A =

2 1 0
0 −1 2
1 3 −1

a1)(0.5 ponto) Calcule A3 e mostre que A3 = 9A−8I. a2)(1,0 ponto) Ache a, b, c tais que A6 = aA2+bA+cI.
b)(1,0) Sem calcular diretamente o determinante, mostre que:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 1
1 4 3
1 6 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ é diviśıvel por 11.
Questão 4(2,0 pontos) Considere as bases α = {e1, e2, e3} e β = {g1, g2, g3} do R3 assim relacionadas:
g1 = e1 − e2 − e3
g2 = +2e2 + 3e3
g3 = 3e1 + e3
a)(1,5 pontos) Determine as matrizes de mudanças de α para β e de β para α.
b)(0,5 ponto) Se um vetor u ∈ R3 apresenta coordenadas 1,2 e 3, em relação a α, quais as coordenadas de u
relativamente a β?
Questão 5(2,0 pontos)a)(1,0 ponto) Sejam V1 e V2 subespaços de um espaço vetorial V tais que dim(V1) = 5 e
dim(V2) = 8 e dim(V1 + V2)/(V1 ∩ V2) = 3. Encontre dim(V1+V2) e dim(V1∩V2). É posśıvel ter-se dim(V1) = 5,
dim(V2) = 8 e dim(V1 + V2)/(V1 ∩ V2) = 4 simultaneamente?
b)(1,0 ponto) Sejam V1 e V2 subespaços de um espaço vetorial V tais que dim(V1 + V2)/V2 = 6,
dim(V1 + V2)/V1 = 5 e dim(V1 ∩ V2) = 3. Encontre dimV1 e dimV2.
Obs.: Resolver todas as questões: Valor adicionar na prova: 3 (três) pontos
Em todas as questões, justifique sua respostas! Apresente seus cálculos.