BC0005_aula_05_Polinomios_2009-1b

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BC-0005
Bases Computacionais da 
Ciência
Bases Computacionais da 
Ciência
Aula 05
Polinômios
Santo André, março de 2009
Equipe de professores de Bases Computacionais
Polinômios
Roteiro desta aula
PARTE I – Parte Teórica 
• Polinômios
• Raízes: Fórmulas analíticas, Método gráfico
• Funções de suplemento, Lista de funções• Funções de suplemento, Lista de funções
• Polinômio de Chebyshev
• Séries de Taylor 
PARTE II – Parte Prática
• Exemplo 1: f(x) = tanh (sin (ex))• Exemplo 1: f(x) = tanh (sin (ex))
• Exemplo 2: Polinômios de Chebyshev
• Exemplo 3: Série de Taylor de funções exponenciais
PARTE III - Trabalho de casa
Polinômios
Podem ser definidos como
O termo de maior ordem, diferente de zero, é chamado de ordem do 
polinômio.
Por exemplo, equação de segundo grau
Raízes (1,-2)
Um dos principais problemas no estudo dos polinômios reside 
em encontrar suas raízes. Infelizmente, há fórmulas 
fechadas apenas para até equacao de grau 3*. A de grau 2 é 
a famosa fórmula de Bhaskara.
Em geral são usados métodos numéricos (iterativos) para computar as 
raízes. Isso envolve o uso de rotinas/programas de computador, 
implementados em micros ou calculadoras.
Uma forma de estimar as raízes consiste em analisar o gráfico da função.
*http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.cubic.equations.html
Instruções sobre como resolver equações de terceiro e quarto grau
Exemplo – estimar o lugar das raízes da equação
f(x) = tanh (sin (ex) )
Traçamos o gráfico e 
através da manipulação 
dos limites vemos onde 
estão as raízes
Exemplo – E onde estão as raízes da equação 
f(x) = x2 + 4 ??
Aparecem raízes complexas –
números imaginários!
BRcalc e outros softwares necessitam rotinas especiais para 
tratamento de números complexos.
Polinômios são particularmente úteis no projeto de 
Filtros para a área de Telecomunicações
-Filtros são dispositivos que selecionam sinais de acordo com sua frequência. 
Assim, um filtro passa-baixas só deixa passar sinais com frequência abaixo da 
frequência de corte. Há filtros passa-altas, passa-banda, rejeita-faixa etc.frequência de corte. Há filtros passa-altas, passa-banda, rejeita-faixa etc.
-Algumas câmeras digitais usam filtros para permitir a passagem apenas da 
porção visível da luz, enquanto que outras captam os raios infravermelhos (não 
visível ao olho humano) para fazer fotos noturnas (nightshot)
-Quando selecionamos uma emissora de rádio ou TV, estamos permitindo que 
apenas uma frequência seja amplificada, barrando todas as outras emissoras
-Na Telefonia, milhares de ligações podem ser transmitidas simultaneamente -Na Telefonia, milhares de ligações podem ser transmitidas simultaneamente 
pelo mesmo canal ou cabo, porém com frequências distintas (FDM). Para 
separá-las, basta usar um filtro passa-faixa
-Um polinômio bem conhecido pelos engenheiros de telecomunicações é o 
Polinômio de Chebyshev
Polinômios de Chebyshev – usados amplamente em 
Engenharia Elétrica, em projeto de filtros. Aparecem como 
solução da equação diferencial de Chebyshev. 
Podem ser definidos como
- Substituindo-se T0(x) e T1(x) na 
fórmula geral, obtém-se T2(x)
⇒T1+1(x) = 2x*x – 1
- Repetindo-se esta operação, 
obtêm-se todos os termos desejados
Filtros com Cavidades Ressonantes
-Filtros geralmente usam o princípio de reforçar certas frequências e atenuar 
outras
-As cavidades do nosso aparelho fonético funcionam como cavidades de 
ressonância, formando um filtro acústico. Quando pronunciamos uma vogal, 
estamos reforçando uma frequência determinada (frequência de ressonância)
-Os filtros eletromagnéticos possuem cavidades ressonantes para amplificar 
apenas certas frequências do sinal eletromagnético
-Dentro do Magnetron dos fornos microondas há cavidades de ressonância
-Nos filtros de Frequência de Rádio (RF) de Chebyshev há cavidades de 
ressonância que eliminam, por exemplo, o ruído do sinal
Aplicações polinômio Chebyshev – Filtros de RF, Microondas
Cavidades de Ressonância
Geometria calculada através de protótipos 
usando polinômios de Chebyshev
Cavidades de Ressonância
O sinal eletromagnético chega ao 
filtro por meio de um cabo coaxial
Série de Taylor - Aproximação de uma Função “Complicada” por 
uma Função Polinomial “mais simples”
Algumas funções trigonométricas, exponenciais ou logarítmicas podem 
ser “aproximadas” por uma função polinomial em torno de um ponto 
conhecido da função original
Suponha que se queira aproximar a 
função trigonométrica sen(x), em 
torno do ponto x0 = 0, por uma 
função polinomial conhecida como 
Série de Taylor
Função sen(x) e 
(1)(3) (5)(7) (9)(11) (13)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Sintay.png
Função sen(x) e 
aproximações de Taylor 
com polinômios de grau 1, 
3, 5, 7, 9, 11 e 13
Mas, como se obtém esta função 
polinomial conhecida como Série 
de Taylor ?
Como a calculadora “sabe” como calcular coisas como x2, 
seno, cosseno, tangente, etc.? Existe uma tabela? Como o 
processador sabe isso tudo???
Usa a chamada Série de Taylor (Taylor-Maclaurin ou Série de Potências), 
definida como:
Como o tópico “derivadas” vai ser melhor explicado na disciplina Bases 
Matemáticas, por ora, admita que a derivada de sen x é cos x
Admita ainda que a derivada de cos x, ou derivada segunda de sen x, seja 
-sen x, e assim sucessivamente, como mostrado abaixo
sendo f´(x) a “derivada” da função f(x), isto é, a taxa de variação de f(x)
-sen x, e assim sucessivamente, como mostrado abaixo
f(x) = sen x => f(0) = 0
f´(x) = cos x => f´(0) = +1
f´´(x) = -sen x => f´´(0) = 0
f´´´(x) = -cos x => f´´´(0) = -1
fiv(x) = sen x => fiv(0) = 0
fv(x) = cos x => fv(0) = +1
Substituindo na definição, obtém-se
sen x = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + ...
Entendeu por que os termos de ordem par 
não apareceram no slide anterior?
A série de Taylor para exp(x) em torno do ponto x0 = 0:
!
...
!3!2
1
32
n
xxx
xe
n
x +++++≅
Por ora, admita que a derivada 
de ex seja ex
Note que para a série de Taylor com dois 
termos, o polinômio se reduz a uma 
equação de reta do tipo y = a + bx
e esta reta é uma reta tangente ao ponto 
conhecido da função (x = 0)