Analise de Sinais

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Processamento Digital 
de 
Sinais 
 
 
 
 
 
 
Carlos Alexandre Mello 
Centro de Informática – UFPE 
2015 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agradecimentos à primeira turma de Processamento Digital de Sinais dos cursos 
de Engenharia da Computação e Ciência da Computação de 2010.1: Adriano 
Damascena, Bernardo Fonseca, Daker Fernandes, Daniel Brito, Fernando 
Rodrigues, Gabriel Carvalho, João Carlos Procópio, Lucas André Paes, Luis 
Felipe Pereira, Onildo Ferraz Filho, Rafael Menezes, Renan Pires, Rodolpho de 
Siqueira, Rodrigo Perazzo, Thiago Lima e Thiago Henrique Fernandes. 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 3 
Índice 
 
1. Processamento Digital de Sinais ...................................................................... 6 
1.1 Principais Tipos de Sinais ........................................................................... 7 
1.2 Sistemas Discretos no Tempo ..................................................................... 9 
1.3 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo .............................................. 10 
1.4 Operações entre sequências..................................................................... 14 
1.5 Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequência ................................. 16 
1.6 Representação de Sequências pela Transformada de Fourier ................. 19 
1.6.1 Propriedades da Transformada de Fourier ......................................... 23 
1.7 Códigos do MatLab (Sinais e Operações) ................................................. 25 
1.8 Exercícios .................................................................................................. 34 
1.8 Bibliografia Complementar ........................................................................ 37 
2. A Transformada Z ........................................................................................... 38 
2.1 Propriedades da Transformada Z .............................................................. 40 
2.2 Pares de Transformadas Z ........................................................................ 43 
2.3 Exemplos de Cálculo da Transformada Z ................................................. 43 
2.4 Propriedades da Região de Convergência ................................................ 51 
2.5 A Transformada Z Inversa ......................................................................... 52 
2.6 Exercícios .................................................................................................. 61 
2.7 Bibliografia Complementar ........................................................................ 63 
3. Teorema da Amostragem ............................................................................... 64 
3.1 Teorema de Shannon ................................................................................ 69 
3.2 Re-Obtenção do Sinal a partir de suas amostras ...................................... 74 
4. Filtros Digitais ................................................................................................. 77 
4.1 Filtros Digitais ............................................................................................ 79 
4.2 Filtros FIR .................................................................................................. 83 
4.3 Filtros IIR ................................................................................................. 106 
4.4 Exercícios ................................................................................................ 112 
4.5 Bibliografia Complementar ...................................................................... 113 
5. Técnicas de projeto de filtros ........................................................................ 114 
5.1 Projeto de Filtros FIR .............................................................................. 117 
5.1.1 Projeto usando janelas ..................................................................... 118 
5.1.2 Técnicas de Projeto por Amostragem em Frequência ...................... 144 
5.1.3 Projeto Equirriple Ótimo .................................................................... 146 
5.2 Projeto de Filtros IIR ................................................................................ 149 
5.2.1 Escala Relativa ................................................................................. 150 
5.2.2 Características de Protótipos Analógicos ......................................... 153 
5.3 Transformações em Frequência .............................................................. 162 
5.4 Comparação entre Filtros FIR e IIR ......................................................... 164 
5.5 Exercícios ................................................................................................ 166 
5.6 Bibliografia Complementar ...................................................................... 167 
6. Transformada Discreta de Fourier ................................................................ 168 
6.1 A Série Discreta de Fourier ..................................................................... 169 
6.2 A Transformada Discreta de Fourier ....................................................... 174 
6.3 Propriedades da Transformada Discreta de Fourier ............................... 176 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 4 
6.4 A Transformada Discreta Bi-Dimensional de Fourier .............................. 179 
6.5 O Espectrograma .................................................................................... 181 
6.6 Exercícios ................................................................................................ 185 
6.7 Bibliografia Complementar ...................................................................... 187 
7. Transformada Rápida de Fourier (FFT- Fast Fourier Transform) ................. 188 
7.1 Algoritmos Rápidos ................................................................................. 188 
7.2 Algoritmo de Cooley-Tukey ou Decimação no Tempo ............................ 190 
7.3 Outras FFTs ............................................................................................ 201 
7.4 Exercícios ................................................................................................ 203 
7.5 Bibliografia Complementar ...................................................................... 204 
8. Análise Wavelet ............................................................................................ 205 
8.1 A Transformada Wavelet ......................................................................... 208 
8.2 Análise em Multiresolução....................................................................... 212 
8.3 Sobre os coeficientes das wavelets ........................................................ 215 
8.4 Wavelets no MatLab ................................................................................ 220 
8.5 Exercícios ................................................................................................ 227 
8.6 Bibliografia Complementar ...................................................................... 229 
9. Processamento Digital de Imagens .............................................................. 230 
9.1 Digitalização ............................................................................................ 233 
9.2 Sistema Computacional de Cores ........................................................... 236 
9.3 Histograma .............................................................................................. 240 
9.4 Filtragem de Imagens Digitais ................................................................. 242 
9.5 Compressão de Imagens ........................................................................ 250 
9.6 Processamento de Imagens no MatLab ..................................................252 
9.7 Exercícios ................................................................................................ 256 
9.8 Bibliografia Complementar ...................................................................... 257 
10. Técnicas de Codificação de Áudio e Vídeo ................................................ 258 
10.1 Teoria dos Códigos ............................................................................... 258 
10.2 Algoritmos de Compressão ................................................................... 262 
10.2.1 Código de Huffman ......................................................................... 263 
10.2.2 Run-length ...................................................................................... 266 
10.2.3 Algoritmo de Lempel-Ziv-Welch ...................................................... 266 
10.3 Algoritmos de codificação multimídia .................................................... 267 
10.3.1 Codificação de Vídeo ...................................................................... 268 
10.3.2 Codificação de Áudio ...................................................................... 282 
10.4 Implementações no MatLab .................................................................. 287 
10.4.1 Processamento de Vídeo no MatLab ................................................. 287 
10.4.2 Processamento de Áudio no MatLab ................................................. 293 
10.5 Exercícios .............................................................................................. 303 
10.6 Bibliografia Complementar .................................................................... 304 
11. Processamento de Voz ............................................................................... 305 
11.1 Amostragem e Quantização .................................................................. 312 
11.2 Técnicas Temporais para Processamento de Voz ................................ 319 
11.2.1 Energia de Curta Duração .............................................................. 321 
11.2.2 Magnitude de Curta Duração .......................................................... 323 
11.2.3. Taxa de Passagem pelo Zero ........................................................ 324 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 5 
11.2.4. Função de Autocorrelação ............................................................. 326 
11.3 Análise Cepstral .................................................................................... 329 
11.4 Exercícios .............................................................................................. 334 
11.5 Bibliografia Complementar .................................................................... 335 
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1. Processamento Digital de Sinais 
Sinais estão presentes em diversas situações do dia-a-dia do ser humano. Um 
sinal pode ser definido como uma função que carrega uma informação. A forma 
mais comum para nós é a comunicação por sinal de voz. Nesse exemplo, temos 
o sinal gerado pelo trato vocal e o sinal recebido pelo sistema auditivo. Apesar 
de ser o mesmo sinal transmitido a forma como ele é processado é inerente ao 
receptor. O processamento de sinais lida com a representação, transformação e 
manipulação dos sinais e da informação que eles contêm. Até a década de 60, a 
tecnologia para processamento de sinais era basicamente analógica. A evolução 
de computadores e microprocessadores juntamente com diversos 
desenvolvimentos teóricos causou um grande crescimento na tecnologia digital, 
surgindo o processamento digital de sinais (PDS). Um aspecto fundamental do 
processamento digital de sinais é que ele é baseado no processamento de 
sequências de amostras. Para tanto, o sinal contínuo no tempo é convertido 
nessa sequência de amostras, i.e., convertido em um sinal discreto no tempo. 
Após o processamento digital, a sequência de saída pode ser convertida de 
volta a um sinal contínuo no tempo. 
 
A maior parte do processamento de sinais envolve processar um sinal para obter 
outro sinal. Normalmente, isso é conseguido por um processo conhecido como 
filtragem. 
 
Sinais podem ser classificados em quatro diferentes categorias dependendo de 
características de tempo e dos tipos de valores que eles podem assumir. Sinais 
contínuos no tempo (ou analógicos) são definidos para qualquer valor de tempo 
e eles assumem valores no intervalo contínuo (a, b), onde a pode ser -∞ e b 
pode ser +∞. Podem ser representados por uma função de variáveis contínuas. 
Sinais discretos no tempo são definidos apenas para certos valores específicos 
de tempo. Podem ser representados matematicamente por uma sequência de 
números reais ou complexos, x. O n-ésimo número dessa sequência é denotado 
por x[n]. Assim, x é formalmente escrito como: 
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x = {x[n]}, -∞ <n < ∞ 
onde n é um inteiro. Tais sequências são geradas a partir de um processo de 
amostragem periódica de um sinal analógico. Assim, o valor numérico do n-
ésimo número da sequência é igual ao valor do sinal analógico xa(t) no tempo 
nT, i.e.: 
x[n] = xa(nT), -∞ <n < ∞ 
 
Os valores de amplitude de sinais contínuos ou discretos no tempo podem ser 
contínuos ou discretos. Se um sinal pode assumir qualquer valor dentro de um 
espaço finito ou infinito, ele é dito um sinal contínuo em valores. Sinais digitais 
são aqueles para os quais tanto o tempo quanto a amplitude são discretos. Ou 
seja, ele é discreto no tempo e só pode assumir valores dentro de um conjunto 
finito de possíveis valores (é discreto em valores). 
 
Sinais também podem ser classificados em determinísticos ou aleatórios. 
Qualquer sinal que podem ser unicamente descrito por uma expressão 
matemática, uma tabela de dados ou uma regra bem definida é chamado 
determinístico. Esse termo é usado para destacar que quaisquer valores 
passados, presentes e futuros do sinal são conhecidos precisamente, sem 
incerteza. No entanto, em aplicações práticas, os sinais não podem ser 
representados precisamente por equações matemáticas ou suas descrições são 
muito complexas para uso. Isso indica que tais sinais têm comportamentos 
imprevisíveis sendo chamados de sinais aleatórios. 
 
 
1.1 Principais Tipos de Sinais 
Em um estudo sobre processamento digital de sinais, alguns sinais são de mais 
importância. Dentre eles, temos o impulso unitário, δ[n], definido como: 



=
≠
=
0,1
0,0
][
n
n
nδ 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 8 
Um dos mais importantes aspectos do impulso é que uma sequência arbitrária 
pode ser representada como uma soma de impulsos escalonados e deslocados. 
Por exemplo, a sequência p[n] abaixo: 
 
pode ser representada como: 
 
p[n] = 3.δ[n+3] + 2.δ[n + 1] + 4.δ[n - 2] – 1.δ[n – 3] 
 
De forma mais geral, qualquer sequência x[n] pode ser representada como: 
∑
∞
−∞=
−=
k
knkxnx ][][][ δ 
 Outra sequência importante é o degrau unitário, u[n]: 



<
≥
=
0,0
0,1
][
n
n
nu 
O degrau relaciona-se com o impulso como: 
∑
−∞=
=
n
k
knu ][][ δ 
Uma forma alternativa de representar o degrau em termos de impulso é obtida 
interpretando o degrau em termos de uma soma de impulsos deslocados. Isso 
pode ser expresso como: 
∑
∞
=
−=
0
][][
k
knnu δ 
Por outro lado, o impulso relaciona-se com o degrau unitário como: 
δ[n] = u[n] – u[n – 1] 
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Uma sequência exponencial é importante na análise de sistemas discretos e 
invariantes no tempo. A forma geral de uma sequência exponencial é dada por: 
x[n] = A.αn 
 
1.2 Sistemas Discretos no Tempo 
Um sistema discreto no tempo é definido matematicamente como uma 
transformação que mapeia uma sequência deentrada x[n] em uma sequência 
de saída y[n]. Isso pode ser denotado por: 
y[n]=T{x[n]} 
como representado na Fig. 1.1. 
 
Fig. 1.1. Representação de um sistema discreto no tempo 
 
Alguns exemplos ilustram sistemas simples: 
1) Sistema de atraso ideal: y[n] = x[n – nd], -∞ <n < ∞ 
 
 
2) Média móvel: ∑
−=
−
++
2
1
][
1
1
21
M
Mk
knx
MM
 
 
A seguir, destacamos algumas importantes propriedades dos sistemas. 
 
1) Um sistema é dito sem memória (memoryless systems) se a saída y[n] a 
cada valor de n depende apenas da entrada x[n] no mesmo valor de n. 
 
Ex: y[n] = {x[n]}2 
 
2) Um sistema é linear se obedece ao princípio da superposição. Ou seja: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 10 
 
T{a.x1[n] + b.x2[n]} = a.T{x1[n]} + b.T{x2[n]} 
 
Ex: Acumulador: ∑
−∞=
=
n
k
kxny ][][ 
 
3) Um sistema é invariante no tempo é um sistema no qual um deslocamento 
no tempo (ou atraso) da sequência de entrada gera um deslocamento 
correspondente na sequência de saída. Ou seja, suponha um sistema que 
transforma uma sequência de entrada x[n] na sequência de saída y[n]. Se a 
sequência de entrada sofre um deslocamento de n0, x[n] = x[n – n0], então a 
sequência de saída torna-se y[n] = y[n – n0]. 
 
Ex: Um sistema de atraso ideal é um sistema invariante no tempo. 
 
Ex: O seguinte exemplo mostra um sistema que não é invariante no tempo: 
y[n] = x[M.n], -∞ <n < ∞ 
 
4) Um sistema é dito causal se ele não depende de valores futuros da 
sequência. Ou seja, o valor de y[n1] pode ser calculado apenas com valores de 
x[n] para n ≤ n1. 
Ex: Um sistema não causal: y[n] = x[n + 1] – x[n] 
 
5) Um sistema é dito estável se toda entrada limitada provoca uma saída 
limitada. Assim, se, para todo n, |x[n]| ≤ B < ∞, para algum valor finito B, então 
|y[n]| ≤ C < ∞, para algum valor finito C. 
 
1.3 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo 
Uma classe importante de sistemas consiste naqueles que são lineares e 
invariantes no tempo. Como dito acima, os sistemas lineares são aqueles que 
obedecem ao princípio da superposição. Se a propriedade da linearidade é 
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combinada com a representação de uma sequência geral como uma 
combinação de impulsos, então um sistema linear pode ser completamente 
caracterizado pela sua resposta ao impulso. Seja hk[n] a resposta do sistema a 
δ[n – k]. Assim, como: 
∑
∞
−∞=
−=
k
knkxnx ][][][ δ 
então 
}][][{][ ∑
∞
−∞=
−=
k
knkxTny δ 
Pelo princípio da superposição, podemos escrever: 
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
=−=
k
k
k
nhkxknTkxny ][][}][{][][ δ 
 
De acordo com essa equação, a resposta do sistema a qualquer entrada pode 
ser expressa em termos da resposta a δ[n – k]. 
 
A propriedade da invariância no tempo implica que, se h[n] é a resposta a δ[n], 
então a resposta a δ[n - k] é h[n – k]. Com isso, podemos dizer que: 
∑
∞
−∞=
−=
k
knhkxny ][][][ (Eq. 1.1) 
Como consequência, um sistema linear invariante no tempo é completamente 
descrito por sua resposta ao impulso. Essa equação é conhecida como soma de 
convolução (convolution sum) que pode ser representada pela notação: 
y[n] = x[n]*h[n] (Eq. 1.2) 
 
Apesar da semelhança na notação, deve-se salientar que a soma de convolução 
para sinais discretos não é uma aproximação da integral de convolução. 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 12 
Propriedades da soma de convolução: 
1) Comutatividade: 
x[n]*h[n] = h[n]*x[n] 
 
Isso pode ser facilmente justificável com uma mudança de variável na Eq. 1.1. 
Especificamente, podemos fazer m = n – k. 
 
2) Distributividade: 
x[n]*(h1[n] + h2[n]) = x[n]*h1[n] + x[n]*h2[n] 
 
3) Conexão em Cascata 
 
4) Conexão em Paralelo 
 
 
 
 
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5) Causalidade 
Como definido anteriormente, um sistema é dito causal se sua resposta não 
depende de eventos futuros. Ou seja, para calcular a saída de y[n0], precisamos 
apenas de x[n], n ≤ n0. Isso implica na condição: 
h[n] = 0, n < 0 
Assim, para testar a causalidade basta testar se h[n] = 0 para n<0. 
 
6) Estabilidade 
A estabilidade é garantida se: 
∞<= ∑
∞
−∞=n
nhS |][| 
 
 Para qualquer que seja a entrada x[n] de um sistema: 
 
x[n]* δ[n] = x[n] 
 
Assim, em geral, se um sistema linear invariante no tempo tem uma resposta ao 
impulso h[n], então seu sistema inverso, se existir, tem resposta ao impulso hi[n] 
definida pela relação: 
 
h[n]*hi[n] = hi[n]*h[n] = δ[n] 
 
Uma classe importante de sistemas lineares invariantes no tempo consiste 
daqueles para os quais x[n] e y[n] se relacionam através de uma equação de 
diferenças de coeficientes constantes lineares de n-ésima ordem da forma: 
∑ ∑
= =
−=−
N
k
M
k
kk knxbknya
0 0
][][
 (Eq. 1.3) 
 
Um exemplo de um tal sistema é um acumulador definido pela sequência cujo 
diagrama de blocos pode ser visto na figura abaixo: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 14 
 
Tal sistema é representado pela equação de diferenças: 
y[n] = y[n – 1] + x[n] 
ou y[n] - y[n – 1] = x[n] 
 
Pela Eq. 1.3, temos: N = 1, a0 = 1, a1 = -1, M = 0 e b0 = 1. 
 
Assim, para cada valor de n a saída é dada pela entrada x[n] somada com o 
valor anterior do acumulador, y[n – 1]. 
 
1.4 Operações entre sequências 
Vamos descrever algumas operações básicas em sequências. Os códigos em 
MatLab para as principais operações pode ser encontrado na Seção 1.7. 
 
a) Adição de sequências: 
A adição de amostra por amostra é dada por: 
{x1[n]} + {x2[n]} = {x1(n) + x2(n)} 
Deve ser observado que o comprimento das sequências x1[n] e x2[n] deve ser o 
mesmo. Se as sequências têm comprimentos diferentes, a menor deve ser 
completada para que tenha o mesmo comprimento da maior. Normalmente, isso 
é feito, acrescentando zeros à sequência (zero padding). 
 
b) Multiplicação de sequências: 
Novamente, é uma operação amostra por amostra e as questões de 
comprimento das sequências devem ser consideradas: 
{x1[n]}.{x2[n]} = {x1(n).x2(n)} 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 15 
c) Mudança de escala: 
Cada amostra de uma sequência é multiplicada por um escalar α: 
α.{x[n]} = {α.x(n)} 
 
d) Deslocamento: 
Cada amostra x(n) é deslocada k posições: 
y[n] = {x(n – k)} 
Seja m = n – k, então n = m + k e a operação pode ser vista como: 
y[m + k] = {x(m)} 
 
e) Inversão: 
A sequência é posta de trás para frente. Seja x[n] uma sequência de 
comprimento k. Logo, y[n] será: 
y[n] = {x(k – n)} 
 
f) Soma de amostras: 
Soma as amostras de uma sequência dentro de um intervalo: 
� ���� = ���1� +⋯ .+���2��
����
 
g) Produto de amostras: 
Similar ao anterior, mas com operação de produto em um intervalo. 
 
h) Energia: 
A energia de uma sequência x[n] é dada por: 
� �����∗����
����
= � |����|
�
����
 
i) Potência: 
A potência média de uma sequência periódica ���� pode ser calculada como: 
1�� |����|
���
�
 
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1.5 Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequência 
O termo filtro é normalmente usado para descrever um dispositivo que 
discrimina, de acordo com algum atributo do objeto aplicado como entrada, o 
que passa através dele. Por exemplo, como um filtro de ar que deixa o ar 
passar, mas retém partículas de impureza. Um sistema LTI também funciona 
como um tipo de discriminante ou filtrando entre os vários componentes de 
frequência na sua entrada. A forma da filtragem é definida pela resposta de 
frequência H(ω) que depende da escolha de parâmetros do sistema (como os 
coeficientes do filtro). Assim, com uma escolha apropriada de parâmetros, 
podemos projetar filtros seletores de frequência que deixam passar sinais 
contendo componentesde frequência em algumas bandas e atenuando sinais 
contendo componentes de frequência em outras bandas. 
 
Em geral, um sistema LTI modifica o espectro do sinal de entrada X(ω) de 
acordo com a resposta em frequência H(ω) que leva a um sinal de saída com 
espectro Y(ω) = H(ω)X(ω). De certa forma, H(ω) atua como uma função de peso 
nos diferentes componentes de frequência do sinal de entrada. Assim, um 
sistema LTI pode ser visto como um filtro embora não bloqueie completamente 
qualquer componente de frequência do sinal de entrada. Consequentemente, os 
termos “sistema LTI” e “filtro” são sinônimos e são normalmente usados sem 
distinção. 
 
Um filtro é um sistema LTI usado para desempenhar a função de filtragem 
seletora de frequência. Filtragem é usada em processamento digital de sinais 
em uma grande variedade de formas, como remoção de ruído, equalização, 
análise espectral de sinais, etc. 
 
Filtros são normalmente classificados de acordo com suas características no 
domínio da frequência como passa-baixa, passa-alta, passa-faixa e rejeita-faixa. 
As características de resposta em magnitude ideais desses tipos de filtros estão 
ilustradas na Fig. 1.2. Esses filtros ideais têm características de ganho constante 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 17 
na banda de passagem (normalmente, tomados como unitários) e ganho zero na 
banda de corte. Mais detalhes sobre filtros digitais e formas de projeto serão 
vistos nos Capítulos 4 e 5. 
 
Fig. 1.2. Resposta em magnitude para alguns filtros seletores de frequência 
discretos no tempo. 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 18 
Outra característica de um filtro ideal é uma resposta de fase linear. Considere 
que um sinal {x[n]} com componentes de frequência dentro da faixa de ω1< ω 
<ω2 passa por um filtro com resposta em frequência: 
 


 <<
=
−
senão
Ce
H
nj
0
)( 21
0 ωωω
ω
ω
 
onde C e n0 são constantes. O sinal na saída do filtro terá um espectro: 
 
0)()()()(
nj
eCXHXY
ωωωωω −== 
 
Aplicando as propriedades da transformada de Fourier, obtemos a saída no 
domínio do tempo: 
 
Y[n] = C.x[n – n0] 
 
Consequentemente, a saída do filtro é simplesmente uma versão escalonada e 
atrasada do sinal de entrada. Tanto um atraso simples quanto uma diferença em 
escala são considerados toleráveis e não distorções do sinal. Portanto, filtros 
ideais têm uma característica de fase linear na banda de passagem que é: 
 
Θ(ω) = -ωn0 
 
A derivada da fase em relação à frequência é medida em unidades de atraso. 
Assim, podemos definir o atraso do sinal como uma função da frequência como: 
ω
ω
ωτ
d
d
g
)(
)(
Θ
−= 
 
τg(ω) é chamado de atraso de grupo (group delay) do filtro. Entendemos τg(ω) 
como o atraso de tempo que os componentes de frequência ω de um sinal são 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 19 
submetidos à medida que ele passa da entrada à saída do sistema. Note que, 
quando Θ(ω) é linear, τg(ω) = n0 = constante. Nesse caso, todas as componentes 
de frequência do sinal de entrada sofrem o mesmo atraso de tempo. 
 
Como conclusão, todos os filtros ideais têm características de magnitude 
constante e fase linear dentro da banda de passagem. Em todos os casos, tais 
filtros não são fisicamente realizáveis, mas servem como idealizações 
matemáticas para filtros práticos. 
 
1.6 Representação de Sequências pela Transformada de Fourier 
Assim como sinais do contínuo, os sinais discretos no tempo também podem ser 
representados de formas diferentes. Uma das formas mais utilizadas é através 
da transformação do sinal para o domínio da frequência através da 
Transformada de Fourier. Muitas sequências podem ser representadas por uma 
integral de Fourier da forma: 
∫
−
=
π
π
ωω ω
π
deeXnx
njj )(
2
1
][
 (Eq. 1.4) 
 
onde X(ejw) é dada por: 
∑
∞
−∞=
−=
n
njj
enxeX
ωω ][)(
 (Eq. 1.5) 
A Eq. 1.4 é conhecida como a Transformada Inversa de Fourier, enquanto a Eq. 
1.5 é a Transformada de Fourier. 
 
Em geral, a Transformada de Fourier é uma função complexa em ω. Como na 
resposta à frequência, algumas vezes, pode-se expressar X(ejω) na forma: 
 
X(ejω) = XR(e
jω) + j.XI(e
jω) 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 20 
ou na forma polar: 
 
X(ejω) = |X(ejω)| ej∠X(e^jω) 
 
As quantidades |X(ejω)| e ∠X(ejω) são chamadas de magnitude e fase da 
Transformada de Fourier (também chamada de espectro de Fourier ou, 
simplesmente, espectro). 
 
Há casos onde a Transformada de Fourier para uma dada sequência não 
converge. Esses casos podem ser definidos através da Transformada Z como 
veremos posteriormente. 
 
Podemos verificar facilmente que as Eqs. 1.4 e 1.5 são inversas realmente. 
Especificamente, considere: 
^
][][
2
1
nxdeemx nj
m
mj =





∫ ∑
−
∞
−∞=
−
π
π
ωω ω
π 
Se trocarmos a ordem da integração com o somatório, temos: 








= ∫∑
−
−
∞
−∞=
π
π
ω ω
π
demxnx
mnj
m
)(
^
2
1
][][
 
 
Calculando a integral dentro dos parênteses, temos: 
 



≠
=
=
−
−
=∫
−
−
nm
nm
mn
mn
de mnj
,0
,1
)(
))(sin(
2
1 )(
π
π
ω
π
π
π
ω
 
 ][ mn −= δ 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 21 
Assim: 
][][][][
^
nxmnmxnx
m
=−= ∑
∞
−∞=
δ
 
 
Exemplo 1: 
Seja x[n] = anu[n]. 
 
A TF é dada por: 
∑ ∑∑
∞
=
−
∞
=
−−
∞
−∞=
−
−
====
0 0 1
1
)(][)(
n
jw
n
njwjwnn
n
jwnjw
ae
aeeaenxeX
 
Que converge se |a.e-jw| < 1 ou |a| < 1. 
 
OBS: α
α
−
→∑
∞
= 1
1
0n
n
, para |α| < 1 
  
 
Exemplo 2: 
Vamos calcular a resposta ao impulso de um filtro passa-baixa ideal cuja 
resposta em frequência é: 



<<
<
=
π||,0
||,1
)(
ww
ww
eH
c
cjw
LPF 
 
A resposta o impulso hLPF[n] pode ser encontrada através da Transformada 
Inversa de Fourier: 
∫∫
−−
==
c
c
w
w
jwnjwnjw
LPFLPF dwedweeHnh ππ
π
π 2
1
)(
2
1
][ 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 22 
∞<<−∞= n
n
nw
nh cLPF ,
)sin(
][
π 
  
Exemplo 3: 
Determine a resposta em frequência H(ejw) de um sistema cuja resposta ao 
impulso h(n) = (0,9)nu[n]. Plote a magnitude e a fase. 
������ =�ℎ���������
��
=��0,9��������
�
= ��0,9�������
�
= 11 − 0,9���� 
Assim, a magnitude é calculada como: 
"������" = # 1�1 − 0,9$%&'�
 + �0,9&��'�
 = 1√1,81 − 1,8$%&' 
E a fase: 
∠������ = −arctan	� 0,9&��'1 − 0,9$%&'� 
Plotagem no MatLab: 
w = [0:1:500]*pi/500; 
H = exp(j*w)./(exp(j*w) - 0.9*ones(1, 501)); 
magH = abs(H); angH = angle(H); 
subplot (2, 1, 1); plot (w/pi, magH); grid; 
xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|H|'); 
title('Magnitude response'); 
subplot (2, 1, 2); plot (w/pi, angH/pi); grid; 
xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Phase in pi Radians'); 
title('Phase response'); 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 23 
  
1.6.1 Propriedades da Transformada de Fourier 
Algumas propriedades da TF: Seja: x[n] ↔ X(ejw) e y[n] ↔ Y(ejw) 
Propriedade Sequência Transformada de Fourier 
Linearidade a.x[n] + b.y[n] a.X(ejw) + b.Y(ejw) 
Deslocamento no Tempo x[n – nd] e-jwndX(ejw) 
Deslocamento na Freq ejwonx[n] X(ej(w – w0)) 
Conjugação x*[n] X*(e-jw) 
Reverso no Tempo x[-n] 
X(e-jw) 
X*(e-jw), se x[n] é real 
Diferenciação em Freq n.x[n] j dX(ejw)/dw 
Convolução x[n]*y[n] X(e-jw).Y(e-jw) 
Modulação x[n].y[n] ∫
−
−
π
π
θθ θ
π
deYeX
wjj )()(
2
1 )(
 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 24 
A seguir, temos códigos do MatLab que exemplificam algumas dessas 
propriedades: 
% Exemplo de Linearidade 
x1 = rand(1, 11); x2 = rand(1, 11); n = 0:10; 
alpha = 2; beta = 3; k = 0:500; w = (pi/500)*k; 
X1 = x1*(exp(-j*pi/500)).^(n'*k); % DTFT de x1 
X2 = x2*(exp(-j*pi/500)).^(n'*k);% DTFT de x2 
x = alpha*x1 + beta*x2; % Combinação linear de x1 e x2 
X = x*(exp(-j*pi/500)).^(n'*k); % DTFT de x 
X_check = alpha*X1 + beta*X2; % DTFT da combinação de X1 e 
X2 
error = max(abs(X - X_check)) % Diferença 
 
 
% Exemplo de deslocamento no tempo 
x = rand (1, 11); n = 0:10; 
k = 0:500; w = (pi/500)*k; 
X = x*(exp(-j*pi/500)).^(n'*k); % DTFT de x 
% O sinal é deslocado de duas amostras 
y = x; m = n + 2; 
Y = y*(exp(-j*pi/500)).^(m'*k); % DTFT de y 
% Verificação 
Y_check = (exp(-j*2).^w).*X; % Multiplicação por exp(-j2w) 
error = max(abs(Y - Y_check)) % Diferença 
 
 
% Exemplo de deslocamento na frequência 
n = 0:100; x = cos(pi*n/2); 
k = -100:100; w = (pi/100)*k; 
X = x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT de x 
y = exp(j*pi*n/4).*x; % Sinal multiplicado por 
exp(j*pi*n/4) 
Y = y*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); % DTFT de y 
% Verificação gráfica 
subplot (2, 2, 1); plot(w/pi, abs(X)); grid; axis([-1, 1, 
0, 60]); 
xlabel('frequency in pi units'); ylabel ('|X|'); 
title ('Magnitude de X'); 
subplot (2, 2, 2); plot(w/pi, angle(X)); grid; axis([-1, 1, 
-1, 1]); 
xlabel('frequency in pi units'); ylabel ('radianos/pi'); 
title ('Angulo de X'); 
subplot (2, 2, 3); plot(w/pi, abs(Y)); grid; axis([-1, 1, 
0, 60]); 
xlabel('frequency in pi units'); ylabel ('|Y|'); 
title ('Magnitude de Y'); 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 25 
subplot (2, 2, 4); plot(w/pi, angle(Y)); grid; axis([-1, 1, 
-1, 1]); 
xlabel('frequency in pi units'); ylabel ('radianos/pi'); 
title ('Angulo de Y'); 
 
 
 
1.7 Códigos do MatLab (Sinais e Operações) 
 
Função Impulso 
function [x, n] = impseq(n0, n1, n2) % Impulso 
n = [n1:n2]; 
x = [(n-n0) == 0]; 
stem (x); 
 
Exemplos: 
 
1. 
>> impseq (5, 0, 10); 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 26 
 
 
2. 
x[n] = 2.δ[n + 2] - δ[n – 4], -5 ≤ n ≤ 5 
>> n = [-5:5]; 
>> x = 2*impseq(-2, -5,5) - impseq(4, -5, 5); 
>> stem (n, x); title ('Exemplo de Sequencia'); xlabel('n'); ylabel('x[n]'); 
 
 
Função Degrau 
function [x, n] = stepseq(n0, n1, n2) % Degrau 
n = [n1:n2]; 
x = [(n-n0) >= 0]; 
stem (x); 
 
Exemplos 
 
1. 
>> stepseq (5, 0, 10); 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 27 
 
 
2. 
x[n] = n[u[n] – u[n – 10]] + 10e-0.3(n – 10)[u[n – 10] – u[n – 20]], 0 ≤ n ≤ 20 
 
>> n = 0:20; 
>> x1 = n.*(stepseq(0,0,20) - stepseq(10,0,20)); 
>> x2 = 10*exp(-0.3*(n-10)).*(stepseq(10,0,20) - stepseq(20,0,20)); 
>> x = x1 + x2; 
>> stem(n,x); title('Sequencia de Degraus'); xlabel('n'); ylabel ('x[n]'); 
 
 
 
 
Senóide 
function x = sinseq(n1,n2) % Senóide 
n = [n1:0.1:n2]; 
x = 3*cos(0.1*pi*n + pi/3) + 2*sin(0.5*pi*n); 
stem (x); 
 
Exemplo: 
>> sinseq (0, 10); 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 28 
 
 
 
Operações em sequências 
 
Adição de sinais 
y[n] = x1[n] + x2[n] 
 
function [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2) 
n = min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); 
y1 = zeros(1, length(n)); 
y2 = y1; 
y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1)) = x1; 
y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1)) = x2; 
y = y1 + y2; 
 
Multiplicação de sinais 
y[n] = x1[n].x2[n] 
 
function [y,n] = sigmult(x1,n1,x2,n2) 
n = min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); 
y1 = zeros(1, length(n)); 
y2 = y1; 
y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1)) = x1; 
y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1)) = x2; 
y = y1.*y2; 
Deslocamento 
y[n] = x[n – k] 
 
function [y,n] = sigshift(x, m, n0) 
n = m + n0; 
y = x; 
 
Inversão 
y[n] = x[-n] 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 29 
 
function [y,n] = sigfold(x,n) 
y = fliplr(x); 
n = -fliplr(n); 
 
Exemplo: Seja x[n] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}. O valor em negrito 
corresponde ao centro da sequência. 
 
Sobre as sequências, temos que: 
>> n = -2:10; 
>> x = [1:7, 6:-1:1]; 
 
a) Plote x1[n] = 2x(n – 5) – 3x[n + 4]. 
 
>> [x11, n11] = sigshift(x, n, 5); 
>> [x12, n12] = sigshift(x, n, -4); 
>> [x1, n1] = sigadd(2*x11,n11,-3*x12, n12); 
>> stem (n1, x1); title(‘Sequencia’); xlabel (‘n’); ylabel (‘x1(n)’); 
 
 
 
 
 
b) Plote x2[n] = x[3 – n] + x[n].x[n – 2] 
 
>> [x21, n21] = sigfold(x, n); 
>> [x21, n21] = sigshift(x21, n21,3); 
>> [x22, n22] = sigshift(x, n,2); 
>> [x22, n22] = sigmult(x, n, x22, n22); 
>> [x2, n2] = sigadd(x21, n21, x22, n22); 
>> stem (n2, x2); title('Sequencia'); 
>> xlabel ('n'); ylabel ('x2(n)'); 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 30 
 
 
 
Convolução 
 
Considere as sequências: 
x = [3, 11, 7, 0, -1, 4, 2], -3 ≤ n ≤ 3 
h = [2, 3, 0, -5, 2, 1]; -1 ≤ n ≤ 4 
 
onde, novamente, os termos em negrito indicam a origem do eixo das abscissas. 
As sequências podem ser vistas abaixo: 
 
 
x[n] h[n] 
Podemos usar a função conv do MatLab diretamente: 
 
>> x = [3, 11, 7, 0, -1, 4, 2]; 
>> h = [2, 3, 0, -5, 2, 1]; 
>> y = conv (x, h); 
 
y = 6 31 47 6 -51 -5 41 18 -22 -3 8 2 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 31 
O problema do uso da função conv é que não sabemos, na resposta, onde está 
a origem da sequência. Para tanto, vamos criar uma nova função: 
 
function [y, ny] = conv_m (x, nx, h, nh) 
nyb = nx(1) + nh(1); 
nye = nx(length(x)) + nh(length(h)); 
ny = [nyb:nye]; 
y = conv(h, x); 
 
>> x = [3, 11, 7, 0, -1, 4, 2]; 
>> nx = [-3:3]; 
>> h = [2, 3, 0, -5, 2, 1]; 
>> nh = [-1:4]; 
>> [y, ny] = conv_m (x, nx, h, nh) 
 
y = 6 31 47 6 -51 -5 41 18 -22 -3 8 2 
 
ny = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 
 
A amplitude -51 está no ponto de origem (ny = 0). 
 
 
 
 
Equações de Diferenças e Resposta ao Impulso 
 
Exemplo: Dada a seguinte equação de diferenças: 
y[n] – y[n – 1] + 0.9y[n – 2] = x[n], para todo n 
 
a) Calcule e plote sua resposta ao impulso h[n] para n = -20,.., 120. 
 
Como vimos anteriormente, uma equação de diferenças é da forma: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 32 
 
∑ ∑
= =
−=−
N
k
M
k
kk knxbknya
0 0
][][
 
 
De acordo com a equação dada, temos: 
 
a = [1, -1, 0.9] e b = [1] 
 
No MatLab, fazemos: 
>> x = impseq(0, -20, 120); 
>> n = [-20:120]; 
>> h = filter(b, a, x); 
>> stem(n, h); title('Resposta ao impulso'); xlabel('n'); ylabel('h[n]'); 
 
 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 33 
b) Calcule e plote sua resposta ao degrau s[n] para n = -20,.., 120. 
 
No MatLab, fazemos: 
>> x = stepseq(0, -20, 120); 
>> n = [-20:120]; 
>> h = filter(b, a, x); 
>> stem(n, h); title('Resposta ao degrau'); xlabel('n'); ylabel('s[n]'); 
 
 
c) O sistema é estável? 
Como vimos, um sistema é estável se: 
∞<= ∑
∞
−∞=n
nhS |][| 
Assim, no MatLab, basta fazermos: 
>> sum(abs(h)) 
Ans = 14.8785 
 
Logo, o sistema é estável. 
  
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 34 
1.8 Exercícios 
 
1. Considere um sistema linear arbitrário com entrada x[n] e saída y[n]. Mostre 
que se x[n] = 0 para todo n, então y[n] deve ser zero para todo n também. 
 
2. Usando a definição de linearidade, mostre que o sistema de atraso ideal e a 
média móvel são ambos lineares. 
 
3. Para cada sistema abaixo, determine se ele é (1) estável, (2) causal, (3) 
linear, (4) invariante no tempo e (5) sem memória: 
 
a. T(x[n]) = g[n]x[n], com g[n] dado 
b. T(x[n]) = Σnk=n0 x[k] 
c. T(x[n]) = x[n – n0] 
d. T(x[n]) = exp(x[n]) 
e. T(x[n]) = a.x[n] + b, a e b números reais 
f. T(x[n]) = x[-n]) 
g. T(x[n]) = x[n] + 3.u[n + 1] 
 
4. O sistema T abaixo é invariante no tempo. Quando as entradas dele são 
x1[n], x2[n] e x3[n], as saídas são y1[n], y2[n] e y3[n], respectivamente. 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 35 
a) Determinese o sistema pode ser linear. 
 
b) Se a entrada x[n] do sistema é um impulso (δ[n]), qual a saída y[n]? 
 
c) Determine a relação entre a entrada e a saída do sistema. 
 
5. Para cada par de sequências abaixo, use convolução discreta para encontrar 
a resposta à entrada x[n] do sistema linear invariante no tempo com resposta ao 
impulso h[n]. 
a) 
 
b) 
 
6. Considere o sistema com entrada x[n] e saída y[n] que satisfaz a equação de 
diferenças: 
y[n] = n.y[n – 1] + x[n] 
O sistema é causal tal que, se x[n] = 0, para n < 0, então y[n] = 0, para n < 0. 
 
a) Se x[n] = δ[n], determine y[n] para todo n. 
b) O sistema é linear? 
c) O sistema é invariante no tempo? 
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7. Plote a seguintes sequências no MatLab: 
a) x[n] = n2.(u[n + 5] – u[n – 6]) + 10.δ[n], -5 ≤ n ≤ 5 
b) x[n] = 20.(0,5)n.(u[n – 4] – u[n - 10]), -5 ≤ n ≤ 5 
 
8. Seja x[n] = {1, -2, 4, 6, -5, 8, 10}, gere e plote no MatLab as seguintes 
sequências: 
a) x[n] = 3.x[n + 2] + x[n – 4] – 2.x[n] 
b) x[n] = 5.x[5 + n] + 4.x[n + 4] + 3.x[n] 
 
9. Usando as seguintes sequências: 
x1[n] = u[n + 10] – u[n – 20] x2[n] = 2.δ[n – 2] + 5.u[n + 10] 
x3[n] = 5.u[n + 2] – 6.u[n – 3] 
mostre que a convolução linear tem as seguintes propriedades como válidas: 
Comutatividade: x1[n]*x2[n] = x2[n]*x1[n] 
Associatividade: (x1[n]*x2[n])*x3[n] = x1[n]*(x2[n]*x3[n]) 
Distributividade: x1[n]*(x2[n] + x3[n]) = x1[n]*x2[n] + x1[n]*x3[n]) 
Identidade: x[n]* δ[n – n0] = x[n – n0] 
Use a função conv_m.m apresentada anteriormente. 
 
10. A operação de dilatação de sinal (ou decimação ou downsampling) é 
definida por: 
y[n] = x[nM] 
na qual a sequência de entrada é down-sampled por um fator inteiro M. Por 
exemplo, se : 
x[n] = {...., -2, 4, 3, -6, 5, -1, 8,...} 
então a sequência down-sampled por um fator de 2 é dada por: 
y[n] = {..., -2, 3, 5, 8, ..} 
Escreva uma função no MatLab que execute essa dilatação. A função deve ser 
da forma: 
function [y, n] = dnsample(x, n, M) 
Cuidado com a origem do eixo!!  
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 37 
1.8 Bibliografia Complementar 
 
1. Vinay K. Ingle, John G. Proakis, Digital Signal Processing, Thomson 
Learning, 2000. 
 
2. Michael Weeks, Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, 
Infinity Science Press, 2007. 
 
3. Alan V. Oppenheim, Ronald Schafer, Discrete Time Signal Processing, 
Prentice Hall, 1989 
 
 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 38 
2. A Transformada Z 
A Transformada Z (TZ) é uma ferramenta matemática poderosa para análise de 
sinais e sistemas. A transformada Z constitui a forma discreta da transformada 
de Laplace. Seja a Transformada de Fourier (TF) de uma sequência dada por: 
∑
∞
−∞=
−=
n
jwnjw
enxeX ][)(
 
Seja z = ejw. Temos então, a TZ definida como: 
∑
∞
−∞=
−=
n
n
znxzX ][)( 
Essa é chamada também de TZ bilateral. A transformada unilateral é dada por: 
∑
∞
=
−=
0
][)(
n
n
znxzX 
 
Notadamente, há uma relação entre a TZ e a TF. Se z é uma variável complexa, 
z pode ser escrita como ejw = cos(w) + j.sen(w). Nesse caso, a TZ transforma-se 
na TF. De forma mais geral, se z = r.ejw, sua representação gráfica corresponde 
ao círculo no Plano imaginário (chamado de Plano-Z). Se esse círculo tem raio 
igual a 1, então temos a condição da TZ = TF (Fig. 2.1). Assim, a TZ calculada 
no círculo unitário é igual à TF. 
 
A Transformada Z não converge para todos os valores de Z. Onde a TZ 
converge é chamada de região de convergência (ROC – Region of 
Convergence). Para garantir a convergência é preciso que: 
∞<∑
∞
=
−
0
|][|
n
n
znx 
Assim, é possível que TZ convirja mesmo se a TF não convergir. Para a TF 
convergir, a ROC da TZ deve conter o círculo unitário. Uma transformada Z só 
está completamente definida se sua ROC estiver determinada. 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 39 
 
Fig. 2.1. Plano Z: representação gráfica da transformada Z no plano complexo. 
No círculo unitário, a transformada Z reduz-se à transformada de Fourier. 
 
A série definida pela TZ é chamada de série de Laurent. Uma tal série 
representa uma função contínua em qualquer ponto dentro da região de 
convergência. Assim, a TZ e todas as suas derivadas devem ser funções 
contínuas de z na ROC. Isso implica que, se a região de convergência uniforme 
inclui o círculo unitário, então a TF e suas derivadas com respeito a w são 
funções contínuas de w. Além disso, a sequência deve ser absolutamente 
somável, i.e., uma sequência estável. 
 
Entre as mais úteis e importantes TZs estão aquelas para as quais X(z) é uma 
função racional dentro da região de convergência, i.e.: 
)(
)(
)(
zQ
zP
zX = 
onde P(z) e Q(z) são polinômios em z. Os valores de z que fazem X(z) = 0 são 
chamados de zeros de X(z). Os valores de z para os quais X(z) tende a infinito 
são chamados de pólos de X(z). Os pólos de X(z) são as raízes do polinômio do 
denominador. 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 40 
2.1 Propriedades da Transformada Z 
 
a) Linearidade: ax1[n] + bx2[n] ↔ aX1(z) + bX2(z), ROC = ROCx1∩ ROCx2 
Comentários: 
A prova de tal propriedade vem diretamente da definição de transformada Z: 
∑
∞
−∞=
−=
n
n
znxzX ][)( 
Considere que x[n] = ax1[n] + bx2[n]. Logo: 
=+=+= ∑∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−
n
nn
n
n
znbxznaxznbxnaxzX ][][])[][()( 2121 
∑∑∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
− +=+=
n
n
n
n
n
n
n
n
znxbznxaznbxznax ][][][][ 2121
 
= aX1(z) + bX2(z) 
 
b) Deslocamento no tempo: x[n + n0] ↔ z
n
0.X(z), ROC = ROCx (cuidado deve ser 
tomado observando o que acontece para z = 0 ou z = ∞). 
Comentários: 
Suponha que y[n] = x[n – n0]. Logo: 
∑
∞
−∞=
−−=
n
n
znnxzY ][)( 0 
Fazendo m = n – n0: 
∑∑∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
+− ===
m
mn
m
nm
m
nm
zmxzzzmxzmxzY ][..][][)( 000
)(
 
)(.)( 0 zXzzY
n−= 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 41 
c) Multiplicação por uma exponencial discreta: anx[n] ↔ X(z/a), ROC = |a|ROCX 
Comentários: 
Essa propriedade é observável substituindo anx[n] na definição de TZ: 
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
− ==
n
nn
n
n
znxaznxzX ][][)( 
Como consequência disso, todas as posições de pólos e zeros são escalonadas 
por um fator de a, já que, se X(z) tiver um pólo em z = z1, X(a
-1z) terá um pólo 
em z = a.z1. Se a for um número real, essa propriedade pode ser entendida 
como uma compressão ou expansão do plano Z. 
 
d) Convolução no tempo: x1[n]*x2[n] ↔ X1(z).X2(z) , ROC contém ROCx1∩ ROCx2 
Comentários: 
Seja: 
∑
∞
−∞=
−=
k
knxkxny ][][][ 21 
Tal que: 
∑
∞
−∞=
−=
n
n
znyzY ][)(
 
 ∑ ∑
∞
−∞=
−
∞
−∞= 





−=
n
n
k
zknxkx ][][ 21 
 
Se mudarmos a ordem dos somatórios: 
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−−=
k n
n
zknxkxzY ][][)( 21 
 
Fazendo no segundo somatório m = n – k, temos: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 42 
∑ ∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−






=
k
k
m
m
zzmxkxzY ][][)( 21 
Assim, para valores de z dentro das regiões de convergência para X1(z) e X2(z), 
podemos escrever: 
)()()( 21 zXzXzY = 
 
e) Diferenciação no Domínio Z: n.x[n] ↔ -z.dX(z)/dz, ROC = ROCx (cuidado 
deve ser tomado observando o que acontece para z = 0 ou z = ∞). 
Comentários: 
Essa propriedade pode ser facilmente provada diferenciando a definição da TZ: 
∑
∞
−∞=
−=
n
n
znxzX ][)( 
∑
∞
−∞=
−−−=
n
n
znxn
zd
zdX 1
][)(
)(
)(
 . (-z) 
∑
∞
−∞=
−−−−=−
n
n
znxnz
zd
zdX
z
1
][)(
)(
)(
 
∑
∞
−∞=
− ==−
n
n
nnxZznnx
zd
zdX
z ]}[{][
)(
)(
 
 
f) Reverso no tempo: x[-n] ↔ X(z-1), ROC = 1/ROCX 
Comentários: 
Novamente, a definição de TZ prova esta propriedade: 
∑
∞
−∞=
−−=
n
n
znxzX ][)( 
Fazendo m = -n, temos: 
Processamento Digitalde Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 43 
)()]([][)(
11 −
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
=== ∑∑ zXzmxzmxzX
m
m
m
m
 
 
2.2 Pares de Transformadas Z 
Segue um conjunto de pares de Transformadas Z mais úteis: 
 
 
2.3 Exemplos de Cálculo da Transformada Z 
A seguir, vamos apresentar alguns cálculos de transformada Z e como definir a 
ROC. 
 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 44 
Exemplo 1: x[n] = anu[n] 
∑ ∑ ∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
=
∞
=
−−−− ====
n n n n
nnnnnn
azzaznuaznxzX
0 0
1 )(][][)( 
ROC: 
|az-1| < 1 ⇒ |z| > |a| 
 
||||,
1
1
)()(
1
0
1
az
az
z
az
azzX
n
n >
−
=
−
== −
∞
=
−∑ 
Para a = 1: 
1||,
1
1
)(][][
1
>
−
=→←=
−
z
z
zXnunx
Z
 
 
Observamos que, para a = 1, a ROC não contém o círculo unitário. Logo, a TF 
para essa sequência não converge. 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 45 
Exemplo 2: x[n] = -anu[-n – 1] 
∑∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
− −−−=−−−==
n
nn
n
nn
n
n
znuaznuaznxzX ]1[]1[][)(
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
−
−
−∞=
− −=−=−=
0
1
1
1
)(1)(
n
n
n
nn
n
nn zazazazX
 
ROC: 
|a-1z|<1 ⇒ |z|<|a| 
 
||||,
1
1
1)(1)(
1
0
1
az
az
z
za
zazX
n
n <
−
=
−
−=−=
−
∞
=
−∑ 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 46 
Exemplo 3: x[n] = (1/2)nu[n] + (-1/3)nu[n] 
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−













−+




==
n
n
nn
n
n
znunuznxzX ][
3
1
][
2
1
][)( 
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−





−+




=
n
n
n
n
n
n
znuznuzX ][
3
1
][
2
1
)(
 
∑∑
∞
=
−
∞
=
−





−+




=
00 3
1
2
1
)(
n
n
n
n
n
n
zzzX
 
∑∑
∞
=
−
∞
=
−





−+




=
0
1
0
1
3
1
2
1
)(
n
n
n
n
zzzX
 
 (i) (ii) 
ROC(i) = |(1/2).z
-1| < 1 ⇒ |z| > 1/2 
ROC(ii) = |(-1/3).z
-1| < 1 ⇒ |z| > 1/3 
ROC = ROC(i) ∩ ROC(ii) = |z| > 1/2 
 
11
3
1
1
1
2
1
1
1
)(
−− +
+
−
=
zz
zX
 
Para X(z), os pólos são dados por z=1/2 e z=-1/3 e os zeros são z=0 e z=1/12. 
Uma das propriedades da ROC que podemos observar aqui é que os pólos não 
fazem parte dela.  
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 47 
Exemplo 4: x[n] = (-1/3)nu[n] – (1/2)nu[-n – 1] 
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−








−−




−




−==
n
n
nn
n
n
znunuznxzX ]1[
2
1
][
3
1
][)( 
∑∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
− −−




−




−=
n
n
n
n
n
n
znuznuzX ]1[
2
1
][
3
1
)(
 
∑∑
−
−∞=
−
∞
=
−





−




−=
1
0 2
1
3
1
)(
n
n
n
n
n
n
zzzX
 
∑∑
∞
=
−∞
=
−





−




−=
10 2
1
3
1
)(
n
n
n
n
n
n
zzzX
 
∑∑
∞
=
−∞
=
−













−+




−=
0
1
0
1
2
1
1
3
1
)(
n
n
n
n
zzzX
 
 (i) (ii) 
ROC(i) = |(-1/3).z
-1| < 1 ⇒ |z| > 1/3 
ROC(ii) = |(1/2)
-1.z| < 1 ⇒ |z| < 1/2 
ROC = ROC(i) ∩ ROC(ii) = 1/3 < |z| < 1/2 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 48 
ROC(i) 
 
ROC(ii) 
 
ROC: 
 
z
z
z
z
z
zX
21
2
3
1
1
1
21
1
1
3
1
1
1
)(
11 −
−
+
=
−
−+
+
=
−− 
  
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 49 
Exemplo 5: 
Função delta δ[n]: δ[n] = 0, n ≠ 0, e δ[n] = 1, n = 0 
 
Transformada Z: 
∑
∞
−∞=
− ===
n
n
zznxzX 1.1][)(
0
 
ROC = Todo o Plano Z 
  
 
Exemplo 6: x[n] = δ[n – n0] 
∑∑
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
− =−==
n
nn
n
n
zznnznxzX 0][][)( 0δ 
ROC = Todo o Plano Z. 
  
 
Nos exemplos 5 e 6, x(n) é finita. X(z) é um polinômio de base z-1 e todo o plano 
Z menos quando z = 0. Nesse ponto, a transformada não é definida. 
 
Exemplo 7: Determine a transformada Z da sequência: 
x[n] = (n – 2).(0,5)(n-2)cos[π(n – 2)/3]u[n – 2] 
 
Considerando a propriedade do deslocamento no tempo (x[n + n0] ↔ z
n
0.X(z)), 
temos: 
X(z) = Z{x[n]} = z-2.Z{n(0,5)n.cos(πn/3)u[n]} 
 
Considerando agora a diferenciação no domínio Z (n.x[n] ↔ -z.dX(z)/dz), temos: 
X(z) = Z{x[n]} = z-2.{-z.[d(Z{(0,5)n.cos(πn/3).u[n]}/dz} 
 
A transformada Z de (0,5)n.cos(πn/3).u[n] é, pela tabela da Seção 2.2: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 50 
21
1
25,0)
3
cos.5,0(21
)
3
cos.5,0(1
]][)
3
cos()5,0[(
−−
−
+−
−
=
zz
z
nu
n
z
n
π
π
π
 
21
1
25,05,01
25,01
]][)
3
cos()5,0[( −−
−
+−
−
=
zz
z
nu
n
z
n π
, ROC = |z| > 0,5 
Assim: 






+−
−
−=
−−
−
−
21
1
1
25,05,01
25,01
)(
zz
z
dz
d
zzX 
4321
543
0625,025,075,01
0625,05,025,0
)( −−−−
−−−
+−+−
+−
=
zzzz
zzz
zX ROC = |z| > 0,5 
 
O seguinte procedimento no MatLab pode ajudar a verificar se a transformada 
está correta. Para tanto, vamos calcular as primeiras 8 amostras da sequência 
x[n] correspondente a X(z): 
>> b = [0, 0, 0, 0.25, -0.5, 0.0625]; 
>> a = [1, -1, 0.75, -0.25, 0.0625]; 
>> [delta, n] = impseq(0,0,7) 
delta = 
 1 0 0 0 0 0 0 0 
n = 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 
>> x = filter(b, a, delta) % checar a sequência 
x = 
0 0 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 
 
>> x = [(n-2).*(1/2).^(n-2).*cos(pi*(n-2)/3)].*stepseq(2, 0, 7) % sequência original 
x = 
0 0 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 
 
Conferindo com a sequência gerada pelo processo de filtragem. 
  
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 51 
2.4 Propriedades da Região de Convergência 
A região de convergência (ROC) traz algumas propriedades: 
 
1) A ROC é um anel ou disco no Plano Z com centro na origem. 
 
2) A TF da sequência x[n] converge absolutamente se e somente se a ROC da 
TZ contém o círculo unitário. 
 
3) A ROC não pode conter pólos. 
 
4) Se x[n] é uma sequência de duração finita, a ROC é todo plano Z. 
 
5) Se x[n] é causal (right-sided), a ROC extende-se para além dos pólos mais 
externos, possivelmente tendendo a infinito. 
 
6) Se x[n] é não causal (left-sided), a ROC extende-se para uma região menor 
que o menor pólo até zero. 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 52 
7) Se x[n] é uma sequência com componentes parte causal e parte não-causal, 
então a ROC é um anel. 
 
 
8) A ROC é uma região conectada. 
 
2.5 A Transformada Z Inversa 
O cálculo da TZ inversa não é tão direto quanto o da TF. Aqui, existem diversas 
maneiras formais e informais de calcular a TZ inversa dada uma expressão 
algébrica e a ROC associada. 
 
Seja a Transformada Z definida por: 
∑
∞
−∞=
−=
n
n
znxzX ][)( 
Suponha que multiplicamos ambos os lados da transformada por zk-1 e 
integremos os dois lados sobre um contorno fechado dentro da ROC de X(z) que 
inclui a origem. Tal contorno pode ser visto na Figura 2.2. Assim, temos: 
∫ ∫ ∑
∞
−∞=
−−− =
C C n
nkk
dzznxdzzzX
11 ][)(
 (1) 
onde C denota o contorno fechado na ROC de X(z), tomado no sentido anti-
horário. Como a série converge nesse contorno, podemos mudar a ordem da 
integração e do somatório no lado direito, ficando com: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 53 
∫ ∑ ∫
∞
−∞=
−−− =
C n C
nkk
dzznxdzzzX
11 ][)(
 (2) 
Pelo teorema de integração de Cauchy: 



≠
=
=∫
−−
kn
kn
dzz
j
C
nk
,0
,1
2
1 1
π (3) 
onde C é qualquer contorno que inclui a origem. Aplicando (3), o lado direito de 
(2) reduz-se a 2πj.x[k] e assim a fórmula inversa é alcançada: 
∫
−=
C
k dzzzX
j
kx 1)(
2
1
][
π (4) 
 
 
Fig. 2.2. Contorno C para a integral da transformada Z inversa. 
 
Essa é a inversa da transformada Z para uma dada sequência. No entanto, nós 
não precisaremos usar essa inversão já que dentro desinais e sistemas, as 
transformadas Z são funções racionais (i.e., razão entre dois polinômios). Para 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 54 
tais transformadas, há métodos mais simples de inversão que envolvem tabelas 
conhecidas e métodos mais simples. Os principais métodos são: 
- Método da inspeção 
- Expansão em Frações Parciais 
- Expansão em Séries de Potências 
 
O método da inspeção é o mais simples e consiste em apenas observar a 
transformada e ver se ela é da forma de alguma TZ conhecida. Por exemplo, 
dado: 
1
2
1
1
1
)(
−−
=
z
zX
, |z|> ½ 
Por observação, sabemos que: 
x[n] = -(½)nu[-n – 1] 
Notadamente, o método da inspeção não é o mais apropriado para calcular TZs 
inversas mais complexas. 
 
Para ver como obter uma expansão em frações parciais, vamos assumir que 
X(z) pode ser expressa como uma razão de polinômios em z-1, i.e., 
∑
∑
=
−
=
−
=
N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zX
0
0)(
 
Para calcular a transformada inversa, tentamos expressar X(z) da forma: 
 
∑∑
=
−
−
=
−
−
+=
N
k k
k
NM
r
r
r
zd
A
zBzX
1
1
0 1
)( 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 55 
 
Exemplo 8: Suponha: 
)1)(
2
1
1(
21
2
1
2
3
1
21
)(
11
21
21
21
−−
−−
−−
−−
−−
++
=
+−
++
=
zz
zz
zz
zz
zX
 
Vamos considerar que: 
=
−
+
−
+=
−
−
1
2
1
1
0
1
2
1
1
)(
z
A
z
A
BzX
 
)1)(
2
1
1(
)
2
1
1()1()1)(
2
1
1(
11
1
2
1
1
11
0
−−
−−−−
−−
−+−+−−
=
zz
zAzAzzB
 
)1)(
2
1
1(
)
2
1
1()1()
2
1
2
1
1(
11
1
2
1
1
211
0
−−
−−−−−
−−
−+−++−−
=
zz
zAzAzzzB
 
Logo: 
=
−−
+−−−+++
=
−−
−−
)1)(
2
1
1(
)
2
1
()
2
1
2
3
()(
)(
11
0
2
210
1
210
zz
BzAABzAAB
zX
 
)1)(
2
1
1(
21
11
21
−−
−−
−−
++
=
zz
zz
 
 
Assim, temos: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 56 
1210 =++ AAB 
2
2
1
2
3
210 =−−− AAB 
21
2
1
00 =⇒= BB 
Com isso, ficamos com: 








−=+
−=+
⇒
=−−−
=++
5
2
1
1
2
2
1
3
12
21
21
21
21
AA
AA
AA
AA
 
Resolvendo, temos: 
A1 = -9 e A2 = 8 
Logo: 
1
1 1
8
2
1
1
9
2)(
−
− −
+
−
−
+=
z
z
zX
 
que corresponde à Transformada Z da sequência: 
][.8][)
2
1
.(9][2][ nununnx n +−= δ 
  
A expansão em série de potências é aplicada quando a transformada Z é um 
polinômio da forma: 
∑
∞
−∞=
−=
n
n
znxzX ][)(
 
Isso ocorre, principalmente, se a TZ é uma sequência finita. 
 
Por exemplo, considere que a TZ de uma sequência x[n] é da forma: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 57 
)1)(1)(
2
1
1()( 1112 −−− −+−= zzzzzX 
Uma expansão em frações parciais para esse caso não é apropriada. No 
entanto, efetuando os produtos, podemos reduzir a expressão a: 
12
2
1
1
2
1
)( −+−−= zzzzX 
que equivale à sequência: 
x[n] = δ[n + 2] – ½.δ[n + 1] - δ[n] + ½.δ[n – 1] 
  
 
Exemplo 9: Considere a função: 
143
)(
2 +−
=
zz
z
zX 
Primeiro, vamos re-arranjar X(z) tal que ela se torne uma função em potências 
de z-1: 
21
1
21
1
43
0
43
)( −−
−
−−
−
+−
+
=
+−
=
zz
z
zz
z
zX 
Usando o MatLab, temos1: 
>> b = [0 1]; 
>> a = [3 -4 1]; 
>> [R, p, C] = residuez(b, a) 
R = 
 0.5000 
 -0.5000 
 
p = 
 1.0000 
 0.3333 
 
1 Para mais informação sobre a função residuez, digite help residuez no MatLab. 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 58 
 
C = [ ] 
 
que corresponde a: 
1
1
3
1
1
5,0
1
5,0
)(
−
−
−
−
−
=
z
z
zX
 
De maneira similar, podemos voltar à forma anterior: 
 
>> [b, a] = residuez(R, p, C) 
b = 
 -0.0000 0.3333 
a = 
 1.0000 -1.3333 0.3333 
 
que corresponde a: 
21
1
21
1
21
1
43
0
43
3
1
3
4
1
3
1
0
)(
−−
−
−−
−
−−
−
+−
+
=
+−
=
+−
+
=
zz
z
zz
z
zz
z
zX
 
como antes. 
  
Exemplo 10: Calcule a transformada Z inversa de: 
)9,01()9,01(
1
)(
121 −− +−
=
zz
zX , |z|>0,9 
Podemos calcular o polinômio no denominador assim como os resíduos usando 
MatLab: 
>> b = 1; 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 59 
>> a = poly([-0.9 -0.9 0.9]) % calcula os coeficientes do polinômio que tem essas 
raízes 
a = 1.0000 0.9000 -0.8100 -0.7290 
>> [R, p, C] = residuez(b, a) 
R = 
 0.2500 
 0.2500 - 0.0000i 
 0.5000 + 0.0000i 
p = 
 0.9000 
 -0.9000 + 0.0000i 
 -0.9000 - 0.0000i 
C = [ ] 
Isso significa que X(z) pode ser expandido em frações parciais como: 
1211 9,01
25,0
)9,01(
5,0
9,01
25,0
)(
−−− +
+
−
+
−
=
zzz
zX , |z| > 0,9 
121
1
1 9,01
25,0
)9,01(
9,0
9,0
5,0
9,01
25,0
)( −−
−
− +
+
−
+
−
=
zz
z
z
z
zX , |z| > 0,9 
que, de acordo com as propriedades da transformada Z e a tabela da Seção 2.2, 
nos dá: 
][)9,0(25,0]1[)9,0)(1(
9
5
][)9,0.(25,0][ 1 nununnunx nnn −++++= +
Vamos tentar deixar todas as parcelas em função de u[n]. Para tanto, vamos 
trabalhar na segunda parcela: 
]1[)9,0)(1(
9
5 1 ++ + nun n 
Observe que: a.u[n + 1] = a.u[n -1] + a.u[n]. Logo: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 60 
][)9,0)(1(
9
5
)9,0)(1(
9
5
]1[)9,0)(1(
9
5 1
1
11 nunnnun n
n
nn +
−=
++ +++=++
][)9,0)(1(
9
5
]1[)9,0)(1(
9
5 11
nunnun
nn ++ +=++ 
][)9,0)(1(5,0][)9,0.(9,0).1(
9
5
nunnun
nn +=+= 
][)9,0(5,0][)9,0(5,0 nunun nn += 
Logo: 
][)9,0(25,0][)9,0.(5,0][)9,0.(75,0][ nununnunx nnn −++= 
Como antes, podemos verificar as 8 primeiras amostras da sequência x[n], no 
MatLab: 
>> [delta, n] = impseq(0,0,7); 
>> x = filter (b, a, delta) 
x = 1.0000 0.9000 1.6200 1.4580 1.9683 1.7715 2.1258 1.9132 
>> x = 0.75*(0.9).^n+0.5*n.*(0.9).^n + 0.25*(-0.9).^n 
x = 1.0000 0.9000 1.6200 1.4580 1.9683 1.7715 2.1258 1.9132 
  
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 61 
2.6 Exercícios 
 
1. Calcule a transformada Z das sequências: 
a. x[n] = -(1/2)nu[-n – 1] 
b. y[n] = (-1/2)nu[n] + (1/3)nu[-n – 1] 
c. y[n] =2δ[n – 3] + (-1/4)nu[-n - 1] + (1/2)nu[n] 
 
2. Calcule a transformada Z das seguintes sequências usando as suas 
propriedades e a tabela da Seção 2.2 e verifique seus resultados usando 
MatLab. 
a. x[n] = 2.δ[n-2] + 3u[n – 3] 
b. x[n] = (1/3)nu[n – 2] + (0,9)n-3u[n] 
 
3. Seja x[n] uma sequência com transformada Z dada por X(z). O que se pode 
dizer sobre as sequências que geram as seguintes transformadas: 
a. X1(z) = [(z – 1)/z]X(z) 
b. X2(z) = z.X(z
-1) 
 
4. Ache a transformada inversa de: 
a. 
1
2
1
1
1
)(
−+
=
z
zX , ROC = |z| > ½ 
b. 
1
2
1
1
1
)(
−+
=
z
zX , ROC = |z| < 1/2 
c. 
21
1
8
1
4
3
1
2
1
1
)(
−−
−
++
−
=
zz
z
zX , ROC = |z| > 1/2 
 
 
5. Determine a transformada inversa usando o método de expansão em frações 
parciais de: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 62 
321
321
1
4
1
8
13
4
11
1
441
)(
−−−
−−−
−+−
+−−
=
zzz
zzz
zX
 
sabendo que a sequência é causal. 
 
6. Suponha que X(z) é: 
21
1
1
81,01
32
)( −−
−
+−
+
=
zz
z
zX , |z| > 0,9 
Encontre as primeiras 20 amostras de x[n], usando o MatLab. 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 63 
2.7 Bibliografia Complementar 
 
1. Vinay K. Ingle, John G. Proakis, Digital Signal Processing, Thomson 
Learning, 2000. 
 
2. Michael Weeks, Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, 
Infinity Science Press, 2007. 
 
3. Alan V. Oppenheim, Ronald Schafer, Discrete Time Signal Processing, 
Prentice Hall, 1989 
 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 64 
3. Teorema da AmostragemSinais discretos no tempo podem ser gerados de diferentes formas, mas a mais 
comum é sendo uma representação de sinais contínuos no tempo. Em parte, 
isso é devido ao fato que o processamento de sinais contínuos no tempo é feito 
através do processamento discreto no tempo de sequências obtidas através de 
amostragem. Um sinal contínuo no tempo pode ser representado por amostras 
como na Fig. 3.1. 
 
 
Fig. 3.1. Exemplo: (esquerda) sinal original e (direita) amostragem desse sinal. 
 
A forma mais comum de obter uma representação discreta no tempo de um sinal 
contínuo no tempo é através de uma amostragem periódica, quando a 
sequência de amostras x[n] é obtida de um sinal contínuo no tempo xc(t) de 
acordo com a relação: 
 
x[n] = xc(nT), -∞ < n < ∞ (Eq. 3.1) 
 
Na Eq. 3.1, T é chamado de período de amostragem e sua inversa, fs = 1/T, é a 
frequência de amostragem, medida em amostras por segundo. 
 
Referimo-nos a um sistema que implementa a operação da Eq. 3.1 como um 
conversor ideal contínuo-para-discreto (C/D) no tempo. Na prática, a operação 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 65 
de amostragem é implementada por um conversor analógico-para-digital (A/D). 
Tais sistemas podem ser vistos como aproximações de conversores C/D ideais. 
Na implementação ou escolha de um conversor A/D deve-se considerar a 
quantização da saída, linearidade, a necessidade de circuitos sample-and-hold e 
limitações na taxa de amostragem. 
 
Em geral, a amostragem é um processo não-inversível. Ou seja, dada uma 
sequência x[n], não é possível reconstruir o sinal original xc(t). Muitos sinais 
diferentes podem gerar a mesma sequência de amostras de saída. 
 
É conveniente representarmos matematicamente o processo de amostragem, 
dividindo-o em duas partes conforme a Fig. 3.2. O processo consiste de um trem 
de impulsos seguido de uma conversão desse trem em uma sequência. Na Fig. 
3.2, a diferença fundamental entre xs(t) e x[n] é que xs(t) é um sinal contínuo com 
valores zero exceto nos inteiros múltiplos de T. x[n], por outro lado, não possui 
informação explícita sobre a taxa de amostragem e é um sinal onde as regiões 
que não representam valores inteiros não têm valor definido. 
 
São muitas as razões para o aumento no uso de sistemas digitais: 
 
1. Muitas informações (ou dados) estão nessa forma, e.g. entrada/saída de 
computadores, sinais de controle digital, etc. 
 
2. A disponibilidade de componentes pequenos, confiáveis e de baixo custo, 
principalmente, com o aumento da escala de integração dos circuitos 
integrados. 
 
3. Relativa simplicidade no projeto de circuitos e facilidade de 
implementação usando circuitos integrados. 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 66 
 
Fig. 3.2. Amostragem com um trem de impulsos periódicos seguida de uma 
conversão para uma sequência discreta no tempo. a) Visão geral do sistema; b) 
xc(t) (sinal original no tempo contínuo) e xs(t); c) a sequência x[n] de saída. 
 
4. Ampla utilização de computadores digitais no processamento de todo tipo 
de dados e sinais. 
 
5. Armazenamento de sinais realizado de modo simples e econômico 
(simplicidade das memórias digitais) 
 
6. Crescente uso e disponibilidade de técnicas de processamento digital de 
sinais (DSP). 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 67 
7. Fidelidade em transmissões longas devido ao uso de estações 
repetidoras regenerativas. 
 
8. Flexibilidade do formato digital que permite: 
 
a. Combinação em um mesmo canal de uma variedade de diferentes 
tráfegos (telégrafo, dados, voz, imagem, vídeo, etc); 
 
b. Multiplexação feita de forma simples e econômica; 
 
c. Transmissão com velocidade ajustável; rápida ou lenta em função 
do tráfego e/ou qualidade exigidas. 
 
9. Uso de parte do sinal digital para controlar o progresso do sinal através 
do sistema (ex: cabeçalho). 
 
10. Possibilidade da codificação (teoria da informação): 
 
a. Codificação da fonte, reduzindo redundância, isto é, compactando 
os dados; 
 
b. Codificação do canal, combatendo os efeitos do ruído, 
interferências, etc. 
 
11. Aplicações de técnicas de criptografia, garantindo a privacidade e 
autenticidade da comunicação. 
 
A digitalização de sinais analógicos vem tornando-se cada vez mais importante, 
principalmente, com o desenvolvimento das redes digitais de serviços 
integrados. 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 68 
Na conversão analógico-digital é necessário colher-se um número discreto de 
amostras de um sinal contínuo. O problema crucial na amostragem está com o 
número de amostras/seg devem ser colhidas. Um número muito pequeno de 
amostras pode resultar em uma representação demasiadamente pobre do sinal. 
A análise quantitativa acerca desse problema é estudada pelo Teorema de 
Shannon-Nyquist. 
 
A princípio, pode-se imaginar que, no processo de amostragem de um sinal 
analógico, há sempre perda de informação e que essa perda é tanto menor 
quanto maior a taxa de amostragem utilizada. Entretanto, o teorema de Shannon 
mostra que isto nem sempre é verdade. 
 
O teorema estabelece que sob certas condições, as amostras de um sinal 
podem conter precisamente toda a informação a ele associada. Isto significa que 
o sinal pode ser perfeitamente recuperado a partir de amostras colhidas sem 
nenhuma aproximação. 
 
O estudo sobre o teorema da amostragem é aplicado a sinais banda limitado, 
isto é, aqueles que não possuem componentes espectrais para frequência acima 
de uma dada frequência (Fig. 3.3). 
 
 
Fig. 3.3. Exemplo de um sinal banda limitado. 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 69 
 
Embora essa condição não seja rigorosamente verificada, ela é bastante útil em 
termos práticos. 
 
3.1 Teorema de Shannon 
 
Teorema de Shannon: Um sinal de banda limitada por fm Hz está unicamente 
determinado por amostras, se são tomadas, pelo menos, 2.fm amostras 
eqüidistantes por segundo. 
 
Prova: 
Se as amostras são obtidas a cada Ts segundos, considera-se então um trem 
de impulsos δTs(t) 
∑
∞
−∞=
−=
n
Ts nTstt )()( δδ 
A amostragem de um sinal f(t) em intervalos de T segundos será definida por: 
 
∑
∞
−∞=
−==
n
Tss nTsttfttftf )().()().()( δδ 
Então a função amostrada contém apenas informações acerca das amostras 
f(nTs), n = 0, 1, 2, 3, ...., pois 
∑
∞
−∞=
−=
n
s nTstnTsftf )().()( δ 
Toda a informação de um sinal banda limitada em fm Hz está contida nas 
amostras colhidas em intervalos uniformes menores que ½ fm Hz. 
 
Os pares sinal e transformada envolvidos no processo podem ser vistos na Fig. 
3.4. 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 70 
 
Fig. 3.4. (topo) Exemplo de um sinal e sua transformada banda limitada em wm. 
(centro) Trem de impulsos e sua transformada e (embaixo) o resultado da 
amostragem do sinal; sua transformada é analisada a seguir. 
 
O espectro do sinal amostrado fs(t) pode ser determinado com o auxílio do 
teorema da convolução na frequência: 
f1(t).f2(t) ↔ (1/2π)F1(w)*F2(w) 
onde * é a operação de convolução. Segue, então, que: 
∑
∞
−∞=
−↔
n
SsT nwwwwFttf )(*)(
2
1
)()( δ
π
δ 
Se: 
fs(t) ↔ Fs(w) 
Então, o espectro de fs(t) é dado por: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 71 
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−=−=
n
S
s
n
Sss nwwwF
w
nwwwwFwF )()(
2
)(*)(
2
1
)( δ
π
δ
π 
∑
∞
−∞=
−=
n
S
s
s nwwwF
T
wF )()(
1
)( δ , com ws = 2π/Ts 
e, finalmente, 
∑
∞
−∞=
−=
n
S
s
s nwwF
T
wF )(
1
)( 
 
Este espectro é esboçado para vários valores de ws, isto é, vários valores para o 
espaçamento Ts entre amostras. 
 
A escolha do valor de Ts e, consequentemente, de ws é importante para evitar a 
sobreposição entresinais no domínio da frequência. A fig. 3.5 apresenta três 
casos onde o valor de ws é maior, igual ou menor a wm (frequência limite da 
banda do sinal de entrada). Nesses três casos, pode-se ver que não há 
sobreposição quando ws ≥ 2wm. Então, o uso de um filtro passa-baixa ideal 
permite recuperar o sinal perfeitamente sem distorções (Fig. 3.6). A 
sobreposição dos sinais é chamada de aliasing e deve ser evitada. 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 72 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
Fig. 3.5. a) Sinal original banda limitado em wm; resultado no domínio da 
frequências de amostragens com: b) ws > 2wm, c) ws = 2wm, d) ws < 2wm 
(sobreposição de sinais – aliasing). 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 73 
 
Fig. 3.6. Recuperação do sinal original com um filtro passa-baixa. 
 
Para recuperação do sinal com um FPB sem distorções, é preciso que: 
ws ≥ 2wm 
ou seja 
2π/Ts ≥ 2.2πfm ⇒ Ts ≤ 1/(2fm) seg 
 
O limite 1/Ts = 2fm é chamado de taxa de Nyquist. Valores de Ts que não 
atendam a essa condição podem provocar diversas distorções no sinal, como: 
• Ganho nas altas frequências 
• Perda nas altas frequências 
• Modulação das frequências do sinal original 
• Casos híbridos 
 
Esses problemas podem ser vistos na Fig. 3.7. A Figura 3.8 mostra uma 
distorção desse tipo em uma imagem. Esse problema (conhecido como efeito 
Moirée) surgiu por causa de uma baixa resolução utilizada na digitalização da 
imagem. Ele se apresenta de forma mais forte em partes da imagem que 
tenham um padrão repetitivo (como essas linhas circulares). 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 74 
 
Fig. 3.7. Distorções que podem ser provocadas por escolha errada na banda de 
passagem do fitro passa-baixa para recuperação do sinal de entrada após a 
amostragem. 
 
Fig. 3.8. Efeito Moirée. 
 
3.2 Re-Obtenção do Sinal a partir de suas amostras 
De acordo com o teorema de Shannon-Nyquist, se Ts ≤ 1/(2fm), então a 
passagem do sinal amostrado por um filtro passa-baixa ideal recupera 
exatamente o sinal analógico. Suponha que o filtro passa-baixa tem função de 
transferência: 
H(w) = Ts. ∏(w/(2wm)) 
então 
Fs(w).Ts. ∏(w/(2wm)) = F(w) 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 75 
A seguir, vamos analisar o processo de re-obtenção do sinal no domínio do 
tempo: 
f(t) ↔ F(w) = Fs(w).Ts. ∏(w/(2wm)) 
O uso do teorema da convolução no tempo indica que 
f(t) = F-1(Fs(w))*F-1(Ts. ∏(w/(2wm))) 
Utilizando os pares de transformadas: 
fs(t) ↔ Fs(w) 
(wm/π) Sa(wmt) ↔ ∏(w/(2wm)) 
onde sa(t) é a chamada função sample e tem a forma sen(x)/x, tem-se 
f(t) = fs(t)*Ts(wm/π)Sa(wmt) 
logo 
)(*)()()( twSanTtnTf
wT
tf m
n
ss
ms






−= ∑
∞
−∞=
δ
π 
∑
∞
−∞=
−=
n
mss
ms twSanTtnTf
wT
tf )](*)()[()( δ
π 
 
Lembrando da propriedade da amostragem da função impulso, segue-se 
∑
∞
−∞=
−=
n
smssm nTtwSanTfTftf ))(()(.2)( 
 
No caso particular em que Ts = 1/(2fm), tem-se 
∑
∞
−∞=
−=
n
m
m
ntwSa
f
n
ftf )()
2
()( π 
 
Como o sinal é recomposto através das amostras, observa-se que f(t) 
corresponde à superposição de várias funções sample deslocadas, centradas 
em 0, ±T, ±2T, .... (Fig. 3.9). 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 76 
 
Fig. 3.9. Interpolação das amostras por filtro passa-baixa. 
 
Observações 
a) Nos pontos de amostragem nT, o valor correto de f(t) é f(nT). Em T = 0, 
todas as funções sample se anulam, exceto aquele centrado em t=0, cujo 
valor é f(0). Em t=T apenas a sample aí centrada não é nula, e assim por 
diante. 
 
b) Nos instantes diferentes de nT, as samples somam desde -∞ a +∞ e 
reconstituem o valor de f(t) no ponto analisado por interpolação. 
 
 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 77 
4. Filtros Digitais 
Um sistema discreto no tempo é definido matematicamente como uma 
transformação que mapeia uma sequência de entrada x[n] em uma sequência 
de saída y[n]. Isso pode ser denotado por: 
y[n]=T{x[n]} 
como representado na Fig. 4.1. 
 
Fig. 4.1. Representação de um sistema discreto no tempo 
 
Uma classe importante de sistemas consiste naqueles que são lineares e 
invariantes no tempo. Os sistemas lineares são aqueles que obedecem ao 
princípio da superposição. Se a propriedade da linearidade é combinada com a 
representação de uma sequência geral como uma combinação de impulsos, 
então um sistema linear pode ser completamente caracterizado pela sua 
resposta ao impulso. Seja hk[n] a resposta do sistema a δ[n – k]. Assim, como: 
∑
∞
−∞=
−=
k
knkxnx ][][][ δ 
então 
}][][{][ ∑
∞
−∞=
−=
k
knkxTny δ 
Pelo princípio da superposição, podemos escrever: 
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
=−=
k
k
k
nhkxknTkxny ][][}][{][][ δ 
De acordo com essa equação, a resposta do sistema a qualquer entrada pode 
ser expressa em termos da resposta a δ[n – k] (o impulso). 
 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 78 
A propriedade da invariância no tempo implica que, se h[n] é a resposta a δ[n], 
então a resposta a δ[n - k] é h[n – k]. Com isso, podemos dizer que: 
∑
∞
−∞=
−=
k
knhkxny ][][][ (Eq. 4.1) 
Como consequência, um sistema linear invariante no tempo é completamente 
descrito por sua resposta ao impulso. Essa equação é conhecida como soma de 
convolução (convolution sum) que pode ser representada pela notação: 
y[n] = x[n]*h[n] (Eq. 4.2) 
 
Apesar da semelhança na notação, deve-se salientar que a soma de convolução 
para sinais discretos não é uma aproximação da integral de convolução. 
 
Para qualquer que seja a entrada x[n] de um sistema: 
x[n]* δ[n] = x[n] 
Assim, em geral, se um sistema linear invariante no tempo tem uma resposta ao 
impulso h[n], então seus sistema inverso, se existir, tem resposta ao impulso 
hi[n] definida pela relação: 
h[n]*hi[n] = hi[n]*h[n] = δ[n] 
Uma classe importante de sistemas lineares invariantes no tempo consiste 
daqueles para os quais x[n] e y[n] se relacionam através de uma equação de 
diferenças de coeficientes constantes lineares de n-ésima ordem da forma: 
∑ ∑
= =
−=−
N
k
M
k
kk knxbknya
0 0
][][
 (Eq. 4.3) 
 
Um exemplo de um tal sistema é um acumulador definido pela sequência cujo 
diagrama de blocos pode ser visto na figura abaixo: 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 79 
 
 
Esse sistema é representado pela equação de diferenças: 
y[n] = y[n – 1] + x[n] 
ou 
y[n] - y[n – 1] = x[n] 
 
Pela Eq. 4.3, temos: N = 1, a0 = 1, a1 = -1, M = 0 e b0 = 1. 
 
4.1 Filtros Digitais 
Em geral, estamos interessados em manipular o sinal. Por exemplo, podemos 
querer retirar algum ruído de um sinal, como no caso de um sinal de voz, onde o 
ruído deve ser diferenciado da voz propriamente dita. Para isso, filtros são 
utilizados. Filtros estão envolvidos em diversas partes de um sistema de 
processamento digital de sinal. Eles podem ser implementados tanto em 
hardware quanto em software e atuam em sinais digitais de diversas naturezas, 
como sons, voz, imagem ou vídeo. Em cada caso, os filtros assumem 
particularidades diferentes. Vamos entender um pouco como se dá o processo 
em sinais e, em seguida, particularizar para o caso de imagens digitais. 
 
Filtros digitais são formados por poucos componentes. Basicamente são apenas 
multiplicadores, somadores e elementos de retardo (delay). Desses, 
multiplicadores e somadores implementam essas operações aritméticas em 
sequências discretas. Retardos são unidades que processam elementos 
anteriores de uma sequência (Fig. 4.2). 
Processamento Digital de Sinais – Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello Página 80 
 
Fig. 4.2. Retardo (delay) aplicado a uma sequência x[n]. 
 
A representação mostrada na Fig. 4.2 em diagrama de