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1 Instituto de Física da UFBA Departamento de Física do Estado Sólido Disciplina: Física Geral e Experimental II (FIS 122) Professor: Ossamu Nakamura Oscilações Amortecidas I. A equação de movimento Suponha que um oscilador harmônico, como o estudado anteriormente, esteja submetido a uma força dissipativa proporcional à velocidade. Esse tipo de força é comum em fluidos devido à viscosidade do meio. Todos já experimentaram a sensação de que a força do vento, quando estamos em um carro em movimento, aumenta na medida em que a velocidade cresce. Naturalmente esta força também depende da nossa “aerodinâmica” e pode aumentar ou diminuir dependendo como nos posicionamos e da forma que tomamos em relação ao vento. Uma maior área perpendicular à velocidade provoca uma maior resistência ao nosso movimento e vice-versa. Podemos escrever esta força como vbFres −= , onde dt dxv = é a velocidade e b é aquela constante de proporcionalidade que depende da geometria do corpo. O sinal negativo é indicativo de oposição ao movimento, ou seja indica que o vetor força aponta sempre na direção contrária ao vetor velocidade. A força total que atua sobre o oscilador será portanto resT FFF += . Como a força de restauração vale F = -k x e, de acordo com a lei de Newton, a força total é a massa vezes a aceleração , podemos escrever então a equação: 02 2 =++ xk dt dxb dt xdm (1) Esta é uma equação diferencial de 2a ordem, linear, homogênea e a coeficientes constantes, cuja solução já estudamos e vale: ( ) ttiti eeBeA)t(x α−ωω += (2) onde A e B são constantes complexas e 2 2 4m b m k −=ω e m b 2 =α (3) Observe que a solução para x(t) deve ser uma solução real e irá, portanto, depender das relações que as constantes m, k e b terão entre si. Vamos assim estudar 3 casos. 1. 2 2 4m b m k > Neste caso ω é real ( α é sempre real). Para que x(t) seja real é necessário que A e B sejam complexos, ou seja, A = a + i b e B = c + i d. Lembrando que tsentcose t ω±ω=ω± i.i , a equação (2) fica: [ ] te)tsent)(cosdc()tsent)(cosba()t(x α−ω−ω++ω+ω+= iiii [ ] [ ]{ } tetsen)ca(tcos)db(tsen)bd(tcos)ca()t(x α−ω−+ω++ω−+ω+= i Como x(t) é real, devemos ter necessariamente Im[x(t)] = 0, o que nos leva a: (b + d) = 0 e (a – c) = 0 Assim A = B* e a solução será: [ ] too etsenCtcosC)t(x α−ω+ω= 21 (4) onde C1 e C2 são duas constantes a serem determinadas a partir das condições iniciais. a. Caso b = 0. MHS Para este caso equação diferencial (1) fica 02 2 =+ xk dt xdm (5) e a solução será: tsenCtcosC)t(x oo ω+ω= 21 (6) m k o =ω=ω e 0=α Denominamos ωo como freqüência (angular) natural do sistema. A solução acima pode ser reescrita como: )tcos(A)t(x o ϕ+ω= (7) ( )ϕω−ϕω= sentsencostcosA)t(x oo (8) comparando com (6), obtemos 1CcosA =ϕ e 2CsenA =ϕ o que nos conduz a: 2 2 2 1 CCA += e 2 2 C Ctan =ϕ (9) Assim tanto (6) quanto (7) representam a mesma solução para o oscilador simples, onde as constantes C1, C2, A e ϕ estão relacionadas por (9). Estas constantes devem ser encontradas a partir das condições iniciais do problema. b. Caso b ≠≠≠≠ 0. Amortecimento sub-crítico A solução é dada por (4) ou, como vimos no parágrafo anterior, podemos reescrevê-la como: )tcos(eA)t(x t ϕ+ω= α− (10) Usando as definições (3) e (6), teremos 22 α−ω=ω o e m b 2 =α (11) 2 Para determinarmos as constantes iniciais A e ϕ devemos determinar antes a velocidade. Assim, [ ] te)tsen()tcos(A)t(v α−ϕ+ωω+ϕ+ωα−= (12) Suponha que no instante inicial x(0) = xo e v(0) = vo. Usando (10) e (12), teremos: ϕ= cosAxo e )sencos(Av ϕω+ϕα−=0 , o que nos leva a: 2 2 o oo x xv A + ω α+ = e ω + ω α −=ϕ o o x vtg (13) Uma situação particular de interesse é quando temos um caso de amortecimento fraco, ou seja, uma situação onde coeficiente da força de amortecimento é muito pequeno (b<<1), o que nos leva a 0≈ ω α . Assim, de acordo com (13) devemos ter 2 2 o o xvA + ω = e ω −=ϕ o o x vtg (14) Mais ainda: de (11) podemos aproximar oω≈ω , de forma que as expressões (10) e (12) ficam: )tcos(eA)t(x o t ϕ+ω= α− (15) )tsen(eA)t(v o t o ϕ+ωω−= α− A figura abaixo mostra a evolução temporal da posição x(t). Note que a função co-seno é modulada pela função exponencial, ou seja pela função amortecimento. Para a construção desta figura, usamos as expressões (10) e (14) tomando 010.= ω α . Se usássemos a expressão (15), a figura seria praticamente a mesma. c. Considerações sobre a energia. Amortecimento fraco A energia mecânica total do sistema não deve se conservar, uma vez que há dissipação de energia, em forma de calor, devido à força de atrito. A energia mecânica deve, naturalmente, diminuir com o tempo. Analisemos esta situação para o caso de amortecimento fraco apenas. A energia total será a soma das energias cinética e potencial, isto é: 22 2 1 2 1 xkvmE += Tomando as expressões (15) teremos: )t(cosAek)t(senAemE o t oo t ϕ+ω+ϕ+ωω= α−α− 2222222 22 Contudo, sabemos que 2omk ω= , o que nos conduz a: t o t o eEeAmE α−α− = ω= 222 2 2 1 Esta expressão nos mostra claramente que, para amortecimento fraco, a energia do oscilador decai exponencialmente com o tempo. 2. Caso 2 2 4m b m k < . Amortecimento supercrítico Voltemos à expressão (3) da freqüência ω. Observe que ela pode ser reescrita como: 22 2 2 i 4 1 om k m b)( ω−α= −−=ω β=ω i onde Ro ∈ω−α=β 22 A solução (2) ficará: ( ) ttt eeBeA)t(x α−β−β += (16) ( ) ( ) tttttt eeBeAeeBeA)t(v α−β−βα−β−β β−β++α−= [ ]tt e)(Be)(A)t(v β−β α+β−α−β= (17) Sejam as condições iniciais x(0) = xo e v(0) = vo. Assim, de (16) ⇒ BAx)(x o +==0 de (17) )(B)(Av)(v o α+β−α−β==⇒ 0 Resolvendo este sistema, encontramos: β+β α+β = 22 oo v)(xA e β−β α−β = 22 oo v)(xB Para o caso especial onde xo = xm e vo = 0, teremos: )(xA m α+ββ= 2 e )( xB m α−ββ= 2 , o que nos leva à solução: ( ) ( )[ ] tttm eeex)t(x α−β−β α−β+α+ββ= 2 (18) 3. Caso 2 2 4m b m k = . Amortecimento crítico Neste caso, 0=β , o que nos leva a um decaimento exponencial simples, tmex)t(x α− = . Contudo, é interessante observar o que sucede quando temos um amortecimento super crítico ( 0>β ), mas tendendo para um amortecimento crítico (isto é, 1<<β ). Na expressão (16), tomamos o termo em primeira ordem em β na exponencial, isto é, fazemos: e-α t 0 x(t) t 3 te t β±≈β± 1 . Assim [ ] te.)t(B)t(A)t(x α−β−+β+= 11 ( ) te.tCC)t(x α−+= 21 (19) onde BAC +=1 e β−= ).BA(C2 são duas constantes a serem determinadas a partir das condições iniciais. A figura abaixo mostra evolução temporal da posição do corpo na condição de amortecimento crítico. Para a condição xo = xm e vo = 0, podemos usar a equação (18) e a aproximação da exponenical acima ( ) ( )[ ] tm ettttx)t(x α−β+−β+α+β−+β+ββ= 11112 ( ) tm etx)t(x α−α+= 1 (20) Na figura abaixo comparamos o comportamento temporal dos amortecimentos crítico, sub crítico e supercrítico para a condição xo = xm e vo = 0 . Note que o amortecimento crítico é o que mais rapidamente decai com o tempo, ou seja é o que mais rapidamente chega ao equilíbrio. 0 t x(t) t x(t)Super crítico Sub crítico Crítico Oscilações Amortecidas I. A equação de movimento
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