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Um Curso de Cálculo e Equações Diferenciais com Aplicações

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θ. Assim como a medida da projec¸a˜o no eixo x (orientada como
o eixo x) do arco de comprimento θ e´ o cosseno do aˆngulo θ.
θ
1
sen 
θcos 
tan θ
θ
Figura: Definic¸a˜o elementar de seno e cosseno
Seno e cosseno naturalmente sa˜o perio´dicos de per´ıodo 2pi, devido a` ambiguidade
na medida do aˆngulo.
Agora vamos usar a intuic¸a˜o que temos de que, se variamos um pouquinho o arco
θ para θ+h, enta˜o as duas projec¸o˜es vertical e horizontal mudam pouco (as projec¸o˜es
sa˜o func¸o˜es cont´ınuas).
Ou seja, Afirmamos que seno e cosseno sa˜o func¸o˜es cont´ınuas por serem definidas
a partir de projec¸o˜es.
Lembro que seno retrito a [−pi
2
, pi
2
] e´ uma func¸a˜o estritamente crescente; sua func¸a˜o
inversa chamada de arcoseno (pois diz de que arco o nu´mero dado e´ um seno) tambe´m
e´ estritamente crescente.
Isso vale em geral:
Se uma func¸a˜o y = f(x) e´ estritamente crescente, sua inversa x = f−1(y) tambe´m
e´.
2. POLINOˆMIOS, FUNC¸O˜ES RACIONAIS E TRIGONOME´TRICAS 76
De fato, se por absurdo ocorresse que y
1
< y
2
mas f−1(y
1
) ≥ f−1(y
2
) enta˜o
ter´ıamos x1 = f
−1(f(x1)) ≥ f−1(f(x2)) = x2 contradizendo que y = f(x) e´ estrita-
mente crescente.
Pelo item 5) do Teorema 1.1, a func¸a˜o sin(x)
cos(x)
e´ cont´ınua nos pontos onde cos(x) 6= 0,
ou seja para x 6= pi/2 + k · pi, k ∈ Z. Essa func¸a˜o e´ por definic¸a˜o a func¸a˜o tangente
tan(x) :=
sin(x)
cos(x)
.
Sera´ importante mais adiante, quando falarmos dos coeficientes angulares de retas.
A periodicidade do seno do cosseno repercute na func¸a˜o tangente, que e´ perio´dica
de per´ıodo pi. Seu domı´nio e´ uma unia˜o de infinitos intervalos de comprimento pi:
. . . ∪ (−pi
2
− pi, pi
2
− pi) ∪ (−pi
2
,
pi
2
) ∪ (−pi
2
+ pi,
pi
2
+ pi) ∪ . . .
e na˜o e´ dif´ıcil de ver que quando restrita a cada intervalo ela e´ uma func¸a˜o:
• i) estritamente crescente e
• ii) que fica em mo´dulo ta˜o grande quanto quisermos se nos aproximamos
suficentemente dos extremos
pois o denominador cos(θ) de sin(θ)
cos(θ)
se aproxima de zero enquanto o numerador sin(θ)
se aproxima de 1 ou de −1.
4
2
0
-2
-4
x
10,50-1-0,5
Figura: Gra´fico feito no computador de y = tan(x) em (−pi
2
+ 0.2, pi
2
− 0.2)
Nessa Figura, feita numericamente no computador, na˜o pude pedir para o com-
putador trabalhar no intervalo (−pi
2
, pi
2
), pois os valores de tan explodem em mo´dulo.
A restric¸a˜o
tan : (
−pi
2
,
pi
2
)→ R
tem uma inversa arctan : R→ (−pi
2
, pi
2
). Tambe´m e´ uma func¸a˜o estritamente crescente,
como ja´ explicamos acima, mas seus valores na˜o sobrepassam em mo´dulo a pi
2
.
CAPI´TULO 6. A NOC¸A˜O DE CONTINUIDADE 77
0,5
1
-0,5
0
-1x
420-2-4
Figura: Gra´fico de arctan(x)
Podemos expressar o comportamento de arctan(x) usando a notac¸a˜o da Sec¸a˜o 3:
•
lim
x→+∞
arctan(x) =
pi
2
para dizer que arctan(x) fica ta˜o pro´ximo quanto quisermos de pi
2
se deixarmos
x crescer o suficiente;
•
lim
x→−∞
arctan(x) = −pi
2
para dizer que arctan(x) fica ta˜o pro´ximo quanto quisermos de −pi
2
se deixar-
mos x decrescer o suficiente;
E podemos introduzir novos s´ımbolos para comparar com o comportamento de
tan(x):
•
lim
θ↘−pi
2
tan(θ) = −∞
significa que tan(θ) fica ta˜o negativo quanto quisermos desde que θ > −pi
2
decresc¸a e se aproxime o suficiente de −pi
2
.
•
lim
θ↗pi
2
tan(θ) =∞
significa que tan(θ) fica ta˜o positivo quanto quisermos desde que θ < pi
2
cresc¸a
e se aproxime o suficiente de pi
2
.
3. CONTINUIDADE DA FUNC¸A˜O INVERSA 78
3. Continuidade da func¸a˜o inversa
E´ poss´ıvel provar (mas a prova e´ um pouco te´cnica demais) que:
Afirmac¸a˜o 3.1. Se f : I → R, y = f(x) definida num intervalo I e´ cont´ınua e
tem inversa, enta˜o f−1 : f(I) → I tambe´m esta´ definida num intervalo f(I) e f−1
tambe´m e´ cont´ınua.
Chamo a atenc¸a˜o que essa Afirmac¸a˜o pode ser falsa se o domı´nio da f na˜o e´ um
intervalo2
Para ver um exemplo disso, considere uma f definida numa unia˜o de intervalos:
[0, a] ∪ (a+ 1, b], que seja cont´ınua e que tenha inversa. Note que a continuidade em
x = a so´ se refere ao comportamento a f em relac¸a˜o a sequeˆncias xn ∈ [0, a] que
tendam a x = a. As sequeˆncias xn ∈ (a+ 1, b] do domı´nio da f na˜o tendem ao ponto
a, pois distam dele pelo menos 1, enta˜o na˜o interessam na ana´lise da continuidade da
f em a. O gra´fico que segue e´ um exemplo de uma tal f :
0 ba+1a
y = f(x)
Figura: f : [0, a] ∪ (a+ 1, b]→ R cont´ınua,
com x = f−1(y) descont´ınua em f(a)
Agora Afirmo que a func¸a˜o inversa x = f−1(y) e´ descont´ınua em y = f(a). De
fato, se yn < f(a) e´ uma sequeˆncia de pontos da imagem da f que tende a f(a) vemos
na Figura que limn→+∞ f−1(yn) = a. Mas se tomamos yn > f(a) uma sequeˆncia de
pontos da imagem da f que tende a f(a), vemos que limn→+∞ f−1(yn) = a+ 1.
A Figura a seguir ilustra:
y = f^{−1} (x)
0 ba+1a
y = f(x)
Figura: Aqui y = f(x) e y = f−1(x) esta˜o no mesmo sistema cartesiano
2Como esqueceu o Anton, na pag. 156, Teorema 2.6.2, da Oitava Edic¸a˜o do seu livro de Ca´lculo.
CAPI´TULO 6. A NOC¸A˜O DE CONTINUIDADE 79
4. Dois teoremas fundamentais sobre func¸o˜es cont´ınuas
A demonstrac¸a˜o dos dois Teorema a seguir foge do conteu´do usual do Ca´lculo,
e´ visto em disciplinas mais avanc¸adas de Ana´lise Matema´tica.
E´ importante que o estudante medite sobre seus enunciados.
Teorema 4.1. (Teorema do Valor Intermedia´rio - abrev.: T.V.I.)
Seja f : [a, b] → R func¸a˜o cont´ınua com A = f(a) e B = f(b), com A 6= B, por
exemplo A < B.
Seja C qualquer nu´mero C ∈ (A,B). Enta˜o existe algum x ∈ (a, b) tal que
f(x) = C (pode haver mais de um x desse tipo)
Teorema 4.2. (Teorema de Bolzano-Weierstrass)
Seja f [a, b]→ R cont´ınua, onde [a, b] e´ intervalo fechado e limitado. Enta˜o f tem
mı´nimo e ma´ximo globais assumidos em pontos de [a, b]
5. Primeiras aplicac¸o˜es do T.V.I
Vamos dar agora algumas aplicac¸o˜es iniciais do T.V.I. Mais tarde ele sera´ impor-
tante na prova do Teorema Fundamental do Ca´lculo, na Parte 2 do Curso.
Primeiro um t´ıpico teorema bem geral, mas que na˜o diz nada sobre a soluc¸a˜o em
cada caso espec´ıfico:
Proposic¸a˜o 5.1. Dado qualquer f : [0, 1] → [0, 1] cont´ınua, existe x ∈ [0, 1] tal que
f(x) = x.
Demonstrac¸a˜o.
Observe que geometricamente o que queremos e´ saber se o gra´fico de y = f(x)
corta o gra´fico da diagonal y = x.
Se f(0) = 0 ou se f(1) = 1 enta˜o corta e acabou, na˜o ha´ nada mais a provar.
Portanto vamos supor que f(0) ∈ (0, 1] e que f(1) ∈ [0, 1), para termos algo a provar.
E´ razoa´vel olhar a func¸a˜o diferenc¸a entre elas: f(x)−x. Por ser uma diferenc¸a de
duas func¸o˜es cont´ınuas, f(x) − x tambe´m e´ func¸a˜o cont´ınua. Ademais, f(0) ∈ (0, 1]
e f(1) ∈ [0, 1) dizem que:
f(0)− 0 > 0 e f(1)− 1 < 0.
Pelo T.V.I. existe algum x ∈ (0, 1) tal que:
f(x)− x = 0,
como quer´ıamos. �
6. Ra´ızes de polinoˆmios cujo grau e´ ı´mpar
A segunda aplicac¸a˜o do T.V.I.:
Proposic¸a˜o 6.1. Todo polinoˆmio de coeficientes Reais e de grau ı´mpar tem algum
zero Real: f(x) = 0.
6. RAI´ZES DE POLINOˆMIOS CUJO GRAU E´ I´MPAR 80
Observe que ha´ polinoˆmios de grau par sem zeros Reais, como f(x) = x2 + 1.
Demonstrac¸a˜o. Seja f o polinoˆmio de grau 2n− 1:
f(x) := a2n−1 · x2n−1 + a2n−2 · x2n−2 + . . .+ a1 · x+ a0, ai ∈ R, n ∈ N
Caso a2n+1 > 0:
Escrevo para x > 0:
a2n−1 · x2n−1 + a2n−2 · x2n−2 + . . .+ a1 · x+ a0 = a2n−1x2n−1 · (1 + a2n−2
x
+ . . .
a0
x2n−1
).
Pelo Teorema 3.1 e pelos Exemplos que o seguem, temos que
lim
x→+∞
(
a2n−2
x
+ . . .
a0
x2n−1
) = 0.
Portanto para x > 0 suficientemente grande temos que
1 +
a2n−2
x
+ . . .
a0
x2n−1
> 0.
Logo, para x > 0 suficientemente grande, o sinal de
a2n−1x2n−1 · (1