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r : . : ':, DÁNIEL BERNOU LLI 
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(1 700-1 782) 
L' . 
T entando explicar a origem do outro elemento ainda mais mal - Universo, no século VI &C., os o ar infuiito - que, por rareraçào ou gregos aventaram a hipótese da por compressh, daria origem a todas 
existência de um substrato inicial que. as coisas. 
graças è sua capacidade de diversirica- A visão da realidade composta por 
ç h , seria a origem de todos os seres. arranjos de um ou vários fluidos seria 
-' Para Tales de Mileto, esse substrato rompida pelo atomismo de Leucipo e k seria a bgua, principalmente devido è Demócrito. A grande novidade que eles 
fluidez - que lhe permite assumir as introduziram foi a distinção de dois 
mais diversas formas, conforme o reci- componentes na constituição do Uni- 
piente que a contenha - e, também, ao verso: o corpórw descondnuo (formado 
a fato de apresentar-se tanto no estado 86- por um númcro inwnthcl dc &tomos) c I lido como no líquido ou gasoso. Outros o incorpóreo contínuo (o vazio). S6 a 
fuósofos gregoscriaram novosesquemas presença desses dois fatores poderia 
i explicativos da origem do Cosmo, todos explicar, segundo eles, um Universo de 
eles, portm, apresentando um elemento múltiplos seres e movimentos. 
comum: para que a diversidade dos Aristóteles recusou essa noção de 
acres pudesse ser explicada, a raiz do vazio. Para ele, o mundo fisico era 
Universo deveria situar-se em algo constituído por duas regiões perfeita- 
fluido. mente distintas: o mundo sublunar, for- 
Essa idéia levou Anax'menes de Mile- mado por quatro elementos - água, ar, 
to a abandonar a água, escolhendo terra e fogo -, que apresentariam 
' movimentos retilíneos e descontínuos; e 
o mundo supralunar, composto de uma 
"quinta-essência". o éter, com movi- 
mentos regulares, circulares e contí- 
nuos. Essa concepção aristotélica, ado- 
tada pelo pensamento medieval, 
perdurou longamente. até ser rejeitada 
pela nova Física nascida com o Renas- 
cimento. 
A partir dessa época, homens como 
Da Vici, Torricelli, Pascal. Von Gue- 
ricke e, principalmente, Daniel Bemoul- 
li, revolucionaram o conhecimento dos 
fluidos - atualmente dcfuiidos como 
substâncias cujas partículas constitu- 
tivas podem mover-se com relativa ou 
completa liberdade. 
OS BERNOULLI: 
UMA FAM~LIA DE G ~ N I O S 
Radicada em Basiltia, Suíça, a fmí - 
lia Bernoulli (ou Bemouilli) tem um 
papel de destaque nos meios cientifcos 
dos séculos XVII e XVIII: dela descen- 
dem nada menos que dez cientistas emi- 
nentes, que revolucionarão a Física e a 
Matemática do período. Pela diversi- 
dade e profundidade de seus trabalhos, 
Daniel Bemoulli - simultaneamente 
fuósofo, físico. fisiologista, médico, bo- 
tânico e matemático - é considerado 
por muitos o mais brilhante represen- 
. tante dessa família excepcional. 
Sobrinho do famoso físico e matemá- 
tico Jacques (ou Jakob) Bemoulli (o 
. criador dos números de Bemoulli, que 
desenvolveram o uso do cálculo infmitó 
- simal),fuho de Johann Bemoulli (doutor 
em Medicina e professor de Física Apli- 
cada da Universidade de Basiléia), Da- 
niel nasceu em Groningen, na Holanda, 
a 9 de fevereiro de 1700. Os Bernoulli 
- estavam radicados na cidade havia 
algum tempo, pois Johann era c&& ! tico na universidade local. Em 1705, 
com a morte de Jakob, eles retomaram 
à Basiléia, pois coube a Johann assumir 
o lugar do irmão à testa da cadeira de 
matemática da importante universidade 
I 166 suíça 
Aos treze anos, Daniel já iniciava 
seus estudos de Filosofia e Lógica, 
completando o curso colegial em dois 
anos Durante esse período, ele recebeu 
ensinamentos de Matemática de seu 
próprio pai e, especialmente, do irmão 
mais velho, Niolaus O verdadeiro de- 
sejo familiar, entretanto, era encami- 
nhá-lo para a carreira de comerciante. 
A insistência de Daniel. porém, levou 
Johann a autorizar sua inscrição no 
curso de Medicina, primeiramente em 
Basiléia, depois em Heidelberg e Estras- 
burgo. Somente em 1720 ele retomaria 
à Suíça, obtendo o doutorado no ano 
seguinte, com uma dissertação intitu- 
lada De respuatione. 
Após a conclusão do curso, não 
encontrando, imediatamente. um posto 
na Universidade de Basiléia, Daniel 
resolveu juntar-se ao irmão Niolaus, 
em Venaa, onde este último continuava 
seus estudos de Medicina com Pietro 
Antonio Michelotti. Também desejava 
trabalhar com G. B. Morgagni, em 
Pádua, mas não pode realizar essa von- 
tade devido a uma doença grave. 
Nessa época, publicou seu primeiro 
trabalho, as Exercilofiones Mathemati- 
cae, chamando a atenção dos meios 
científicos. A obra contém quatro traba- 
lhos diversos. estudando, sucessiva- 
mente, jogos de azar. a queda da água 
de recipientes abertos, a equação de 
Riccati (equação diferencial cuja solu- 
ção não pode, em geral, ser d u z i d a a 
integração - motivo porque despertou 
a curiosidade dos matemáticos) e as 
figuras limitadas por dois arcos circula- 
res. Nesse trabalho já se demonstrava o 
talento especial de Daniel para a Física, 
a Mecânica c a tscnologia, u~iindo a 
Matemática como suporte. 
Seu succsso rcsultou num convi& 
para 1.eionu no Aepdo-~ de &!L 
Petersburgo, nn R&ssin, pwe onda elo 
partiu, em 1725, com Niolaus. No 
mesmo ano, ganhou o prêmio da Aca- 
demia de Paris, o primeiro de uma série 
de dez lauréis que lhe foram conferidos 
por essa entidade. 
I 
Maremárico fmoso. Jakob - : 
Bernoulli. ouira figura 
da f d i a , destacou-se 
pelo emprego do 
cálculo na solucão de 
questões de ~écânica. 
Também introduziu 
o cálculo das variap-es. 
-* 
. y 'C '. 
Após o Renascimento, várias 
experiências negaram a 
inexistência do vácuo. Esta 
gravura, da Experimenta Nwa 
de Von Guericke, mosna a 
força da pressão atmo$bica:a 
tampa de uma vasflha, com 
vácuo no interior, resiste à 
força de vários homens. 
A PREPARAÇAO DA 
HIDRODINAMICA 
A estada deDanielemSãoPetersburgo 
deixou-lhe amargas lembranças. Além 
de perder o irmão mais velho, que tanto 
infiuenciara sua formação, sofreu bas- 
tante com os rigores do clima Por isso. 
solicitou três vezes uma cadeira na 
Universidade de Basiléia, que 96 obteve 
em 1733, passando a dirigiu o departa- 
mento de Anatomia e Botânica. 
Na Rússia, entretanto, sua produção 
intelectual foi extremamente rica, prin- 
cipalmente depois de 1727, quando tra 
balhou com outro grande cientista: Leo 
nhard Euler. Seus estudos dessa Cpoca 
incluem escritos em Medicina, Matemá- 
tica e Ciências Naturais (especialmente 
Mecânica), geralmente independentes 
um & outro, embora simultâneos. 
Assim, em L728, publicou uma teoria 
mecânica da contração muscular. Tam- 
bém realizou pesquisas sobre o nervo 
óptico e o trabalho mecânico do wra- 
ção, além de abordar questões de Fisio- 
logia, como o cálculo da quantidade 
máxima de trabalho realizada pelo 
homem. 
Seu verdadeiro interesse, porém, si- 
tuava-se nos camws da Física e da 
Matemática e, já ;essa época, ele wm- 
pletava o esquema de sua obra mais Para aumentar oflweo num poço de 
marcante, a Hfdrodinlimica - impor- pehúleo, empraa-se o mbtodo 
tante estudo de mecânica dos fluidos de wqoo de água que wmece acima. 
-, alCm de realizar um trabalho sobre A direita, estudo do 
oscilações e um tratado original da tec- escoamento defluidos gasosos, 
ria da probabilidade. ao redor do um peíftl ~lon8odo,~oiin 
Em 1733 retomou à BasilCia. junto m6todo estorao~d~icn. Podpse 
com o irmão mais novo, Johann, que o b s m m ao redor da ''asa" 
também se radicara em São Pctcrs- aJbnaçOa Ue cerros vdrrlcc~. burgo. Avroveitou a vianem Dara visitar 
v á r h cidades europék, &do bem 
recebido no mundo científico.Novamente instalado na Suica Daniel 
entregou-se às suas aulas de Medicina, 
sem abandonar, porém, os estudos de 
Matemática e Mecânica, sua verdadeira 
paixão. Publicou vários artigos e com- 
pletou a Hidrodinâmica (em 1734), que 
168 só publicou em 1738. 
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dosgrcmdes momentos: 
trabalhando 
independentemente, 
Newton e Leibniz (à 
esquerda)Jiundaram o 
cálculo. Foipreciso, no 
enlanlo, que h o m a 
como Johann 
BomouUi (ao &do) 
usassem a descoberta 
num grande número de 
campos da Física e 
da Matemática, para 
que sua importância 
ficasse patente. 
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-a e-. ,- . - 
t A MECÂNICA DOS FLUIDOS 
A mecânica dos fluidos divide-se em 
duas partes: a hidrostática, que estuda o 
equilíbrio dos fluidos, e a hidrodinâ- 
mica, que estuda seu movimento. A pri- 
meira nasceu com Arquimedes - de 
cuja obra Daniel Bernoulli é conside- 
rado um continuador -, mas recebeu 
um estudo sistemático somente no fmal 
do século XVII, com Stevin e Pascal. Já 
os fundamentos da dinâmica dos líqui- 
dos surgem apenas no século XVIII, 1 principalmente graças a Euler. A dinâ- mica dos gases apresenta impulso maior 
na atualidade, por sua aplicação ao vôo 
de aparelhos mais pesados que o ar. 
Como os fluidos reais são muito 
complexos, para estudá-los é necessário 
estabelecer, de início, um modelo sim- 
plificado, ao qual vão sendo acrescen- 
tadas propriedades que o tomem mais 
próximo do real. Antes de mais nada, é 
preciso distinguir e n G os Líquidos e os 
fluidos no estado gasoso. Apesar de 
ambos não terem forma própria, assu- 
- - - .:*. -$:=-:...-,?- - . ' 
, . . . 
s li". s 
mindo, sem eforço, a forma do reci- 
piente que os contém, os Líquidos pos- 
suem volume defimido. Para alterar, por 
exemplo, o volume ocupado pela água 
contida em um copo C necessário exer- 
cer uma força enorme. Em contraposi- 
ção, os corpos no estado gasoso tendem 
sempre a expandir-se, ocupando todo o 
volume disponível. E podem ter seu vo- c'! 
lume muito reduzido com a aplicação . 
de pressões relativamente pequenas. 
, *I 
Na medida em que a distinção entre . ''; 
líquidos e gases vem do fato dos primei- . 
ros terem volume defmido, enquanto os r 
fluidos no estado gasoso ocupam todo o 
espaço disponível, pode-se defmir um Lí- 5 
quido como sendo um corpo fluido com 
volume constante. Trata-se, porém, de 
defmição ideal, uma vez que, exercen- 
do-se forças de grande intensidade, tam- 
bém é possível alterar o volume de um 
líquido. A hipótese do volume inaite- 
rável é apenas uma simplificaçáo válida 
para explicar os fenômenos em que não 
intervêm forças excessivamente inten- 
sas. Diz -se, então, que os "Líquidos 
ideais" são incompress~úeis, isto é, por 
maiores que sejam as forças aplicadas, 
seu volume permanece sempre o 
mesmo. 
Outra propriedade importante no es- 
tudo da Hiddmâmica é a existência de 
forças internas que se opõem ao desliza- 
mento das camadas do liquido umas 
sobre as outras. Essas forças tornam-se 
bem evidentes quando se procura verter 
mel de um vidro para um prato, em 
comparação. por exemplo, com o derra- 
mamento de água nas mesmas condi- 
&S. A diferença é devida justamente à 
presença dessas forças, que caracte- 
rizam a chamada "viscosidade" do lí- 
quido. A maior facilidade com que se 
derrama a água, entretanto, não se deve 
à ausência de viscosidade desta Última, 
mas ao simples fato de sua viscosidade 
ser muito menor que a do mel. Em 
maior ou meilor grau, todos os fluidos 
têm viscosidade, até mesmo os gases. 
Em todo problema de escoamento, e 
principalmente quando este se dá ama- 17 1 
Vibração de um barbante em um modo fundamen~al. 
v& de aberturas pequenas, a viscosi- 
dade desempenha importante papel. 
Também no movimento de um &ido na 
superficie ou no interior de um fluido 
(navio, submarino. avião, automóvel) o 
deito da viscosidade não pode ser 
desprezado. Para simplicidade do estu- 
, do, no entanto. supkse. de início, o 
mopelo dos fluidos ideais. que são, por 
hipbtése, incompresdveis (com volume 
e densidade inalteráveis) e não viscosos 
(suas camadas deslizam umas sobre as 
outras sem a menor resistência). Com- 
preendida a mecânica dos fluidos ideais, 
passa-se, então, ao estudo dos fenôme- 
nos cujo entendimento exige que se con- 
sidcre a compressibiiidade e a viscosi- 
dade. 
A distinção entre o modelo ideal e os 
fluidos reais pode ser percebida, com 
facilidade, quando se introduz um fuete 
colorido (como tinta de escrever. por 
exem~lol num õauido aue se escoa atra- 
vés de uma fenda ~nquanto o escoa- 
mento é bem lento, o movimento do 
fluido é "lamelar", ou seja, suas cama- 
das escomgam umas sobre as outras 
sem se misturarem. Aumentando-se a 
vazão (quantidade de fluido que atra- 
vwsa uma secção por unidade de 
tempo) e, conseqUcntemente, a veloci- 
&dade do líquido, o filete colorido desa- 
,--parece, dando lugar a uma coloração 
';:difusa, espalhada por todo o volume 
c ocupado pelo fluido em movimento. 6 Isto ilustra a fonnação dos "vórtices" OU "redemoinhos", que caracterizam 
I outro regime de movimento - o "turbi- lhonar". Se o modelo ideal dos líquidos foise verdadeiro, uma vorticidade ja- mais poderia ser introduzida em seu movimento; em outras palavras, não havendo redemoinhos no movimento 
anterior do líquido, este não poderia 
exibi-los ap6s atravessar dada secção. 
Aumentando-se ainda mais a veloci- 
dade, os vórtices tornam-se mais evi- 
dentes, podendo ser observados direta- 
mente e atC mesma fotografados. 
Realmente, a6 com um modelo de Ií- 
quido o mais próximo à realidade, 
levando em conta a sua viscosidade, é 
que se pode estudar o movimento 
turbilhonar. 
Hoje. apos os trabalhos de Osborne 
Reynolds, sabe-se que o regime do 
movimento depende do valor de uma 
grandeza chamada mimem de Rey- 
nolds, defuiida em função da velocidade 
do líquido, das dimensões lineares dos 
orifícios que atravessa e de sua viscosi- 
dade. Assim. para nlmeros de Reynolds 
abaixo de 2 320, o movimento é lama 
lar, ao passo que para velocidades mais 
altas a probabilidade de haver turbu- 
lência torna-se cada vez maior. 
OS TRABALHOS PRECURSORES 
Daniel Bcrnoulli inspirou-se em D e 
ndcrito e Arquimcdes para desenvolver 
as idéais centrais de sua mecânica dos 
fluidos. Do primeiro ele tirou a concep 
ção de que a matéria é composta de Hto- 
mos que se movem rapidamente em 
todas as dirgóes. Mas foi a partir dos 
Desde São Perersburgo, uma longa 
amizade uniu Bmoulll a Euler Cfotoj 
conceitos de hidrostática e mecânica 
.'-L. desenvolvidos por Arquimedes, que o 
matemático suíço estruturou sua h i o - 
dinâmica. 
O grande sábio de Siracusa foi o pri- 
meiro a assinalar, ainda no século I1 
- aC., que os fluidos não guardam espa- 
I ços vazios entre si, apresentando-se, 
L portanto, macpxcopicamente contínuos 
e uniformes. 
O norueguês Stevin, contemporâneo 
de Galileu, estudou a distribuição das 
pressões nos líquidos em equilíbrio, 
complementando e sistematizando o es- 
tudo do princípio de Arquimedes. Não 
se sabe se Blaise Pascal (1623-1662) 
tinha conhecitnento do trabalho de StP 
vin, mas ele completou e confumou seus 
: resultados, assinalando como a trans- 
missão das p r e s s k a todos os pontos 
de um líquido em equ ih ío podia ser 
aproveitada na prensa hidráulica 
Foi Torricelli quem se preocupou pri- 
meiro com os problemas suscitados 
pelo movimg!to dos fluidos. Talvez o 
conjunto de estudos que realizou sobre 
o escoamento de um líquido por um ori- 
ficio seja uma de suas mais importaiites 
- obras. apesar de relativamente pouco 
,, conhecida. A chave dainterpretaçãodas 
I. peculiaridades do movimento dos flui- 
dos ideais, porém, foi dadano Tratado 
' de HidrodinBmlca, que Daniel Bernoulli 
?; publicou em Estrasburgo, em 1738. 
A TEORIA CINÉTICA DOS GASES 
O tratado principia com uma breve 
história da Hidráulica, seguida de p 
. quena apresentação da Hiiostática 
Mas, nos treze capítulos, C aos fluidos 
.i. elásticos - os gascs - que Bernoulli 
' dedica a parte mais importante da obra, 
esboçando uma teoria cinética dos 
- g h . Para ele. esses fluidos são com- 
postos "de minúsculas part'culas que se 
- deslocam de c?i para lá, numa movimen- 
tação rápidan. A idéia básica de sua 
teoria cinética é a de que a pressão de 
um fluido s o b a parede do recipiente 
174 que o contém é devida aos inúmeros 
choques (contra a parede) das pequenas 
partículas (moléculas) que compóem o 
fluido. A parede fica sujeita a uma , 
multiplicidade de forças que, em média, , 
correspondem a uma força constante 
distribuída por toda a superfície em 
contato com o fluido. 
Para calcular a pressão, Bernoulli 
aventou a hipótese, atualmente considc 
rada incorreta, de que todas as molécu- 
las de um gás teriam velocidades iguais. 
A distribuição das velocidades molecu- 
lares só foi esclarecida muito mais tarde, 
por Maxwell, mas. o que é curioso, 
substituindo-se a média quadrática das 
velocidades das moléculas do gás, na 
fbrmuia da pressão descoberta por Ber- 
noulli, esta fica perfeitamente correta 
A partir de sua fórmula de relaciona- 
mento da pressão do gás com a energia 
cinética (isto 6, a energia correspon- 
dente ao movimento) de suas moléculas, 
ficou estabelecida uma relação entre 
dois tipos de grandezas: uma primeira 
relativa ao ghs como um todo (isto é, ao 
corpo como é sentido e observado) e 
uma outra relativa às minúsculas e invi- 
síveis parti'culas que comNem o corpo, 
A maior ou menor resktência que um 
corpo e>lfrenta ao mover-se no ar 
éfunção do que se costuma chamar 
coeíicienre de forma desse corpo. 
Para velocidades em certa faixa. 
as duas grandezas es~ão 
relacionadas entre sipela 
expressão matemática R = CdVSl2, 
onde R é a resistência, C o 
wflcienre de forma, d a densldude 
do ar, V avelocldaUed0areSa 
drea da supepcle do corpo que 
esfb uoltndnpmn nfluxa de m. 
Mantendo-se f i a área & 
wef lc ie do cargo w l fnda~mn o 
fluxo de ar. e vmimrdo afonna 
desse corpo, o coef~iente de forma 
aumenta qumrdo se passa de 
s u ~ c i e s p l a n a s para eqlZricas. 
Esse coqfkiente é menor 
para os corpos com cauda alongada. 
A equaçhfiadmmrtalda de acordo com uma hipótbse formuladi, 
H ~ k a 6 a s < l u ~ & de cunho simplesmmte teórico. 
B d i , que &bna w k M & Pela primeiia v a . aiguém relaciwou 
pms& e ~ & p o m c l < i l d o &ido: dois tipos de doque no estudo das 
P + A D P + DgH = cre propriedades dos corpos: a análise dire 
2 ta (ou m80íoscópiee) das propriedades 
(ondr P = pressão, V = wiocModa, que podem ser paeeb i i pelos =tidos 
D 3 dc~~stdade, H = aihaa com e mediias por instrumentos, e a inter- 
reiaqão a um pretPçõo teótica (micmdpica) *sas 
d e r d a d o r@menclol e propriedades com base em biphaes 
' g = açeler<i~ão da graviabde). Essa fundamentais, relativas B naíwcza dos 
s p ~ ~ p o d c ~ ~ n l p ~ ~ corpos. Este mçtodo de aa8fise tomou- 
olsmando-se apmJeção da se mais fecundo para a c&icii moder- 
porção de una Hquldo ao longo de um n a não d na Flsiea, como tambQn na 
tubo quaiquer. Quando o "bloco" Química e na Eiilogia. Em especial, 
Hqu& ocupa aposição A, numa existe atualmente um remo da Física 
aitura H. sQFc uma pressão PA e tem chamado Mecâuica Estadstb, cujo 
velocidade Vn. Empurrado para cima, objetivo C justamate sistematizar e 
numaposição B, ele apresenta aitura, ampliar os m&odos de W w conse- 
A velocidade epressão dferentes das qdências macrosc6picas de modelos 
hiciais, mas que ahda assim molecularcs supostos peraòs corpos. E 
176 SafIpfaem a equação de Bmoulli. na base dessa idbia, como precursor de 
a 
Ao se projetar a asa de um avião (à dbefta) busca-se uma fonna 
de tornar máxima a reIaç& entre a 
força ascendente que permite a 
sustentaç& (P) e a resist6ncta 
contra o movimento do corpo no ar 
I 
0; ou d a , tenta-se obter a 
maior susrentaç<io com a menor 
resistência possível. Na natureza, 
esse equiubrio veI@~ca-se 
na riem de um Inseto (ahirni 
- 11 
mais de cem anos de desenvolvimenta 
-. efetivo da teoria cinttica, surge o &aba. f Lho pioneiro de Bernoulli. 
O v00 DO MAIS 
PESADO QUE O AR 
Na mesma obra, o cientista deduz c 
teorema que leva seu nome - e que 
exprime, no fundo, a conservação da 
energia mecânica nos fluidos ideais 
afirmando que, em qualquer ponto dc 
fluido, hB uma relação constante mtrt 
três grandezas: velocidade. ressão t 
energia potencial do fluido. I! um do! 
princípios fundamentais da mecânicr 
dos fluidos, uma vez que, com alguma / comç&s (considerando-se a compressi, 
biidade e a viscosidade dos fluido: 
reais), pode seí aplicado ao movimente 
de qualquer tipo de fluido. Acima d6 
tudo, ele permite calcular a velocidade 
de um fluido medindo-se as variapões de 
pressão (a diminuição de velocidade 
provoca o aumento de pressão e vice- 
vasa). 
Partindo da idéia da conservação da 
energia mecânica - característica en- 
contrada mesmo em um Liquido isento 
de forças viscosas - Bernoulli mostrou 
que, em igualdade de nível, há uma dife- 
rença de pressóes devida à diferente 
velocidade de escoamento nos vários 
pontos de um fluido. Por exemplo. num 
dado ponto do fluido, no qual.este últi- 
mo esteja em repouso, a pressão aí será 
maior, pois está associada a uma fonna 
de energia potencial, ao passo que num 
outro ponto onde o fluido se move rapi- 
damente a pressão é menor, pois nessa 
posição à velocidade do fluido corres- 
ponde uma dose de energia cinética. 
Dado que a energia total é a mesma em 
todos os pontos do fdete líquido, nos 
pontos de maior energia cinética a pres- 
são é menor e vicaversa 
A partir das idéias de Bemoulli, soli- 
damente fundadas na conservação da 
energia mecânica, foi possível não ape- 
nas explicar as razões da distribuição de 
pressões em um fluido em movimento, 
que são por vezes inesperadas. como 
também prever e imaginar aplicagões 
para tal fenômeno. 
Um engenheiro do Languedoc cha- 
mado Pitot, por exemplo, imaginou um 
dispositivo que até hoje é usado para 
mediu a velocidade de aviões em vôo e 
que se baseia justamente na descoberta 
de Bermulli. 
O "tubo de Pitot" conduz h determi- 
nação da velocidade (v) pela medida da 
diferença de pressões ( p ~ - 1 possibilitada pelo tubo manopé ico 
entre o fluido em movimento que passa 
por M e o fluido em repouso em R 
(mantido assim justamente pela ação 
das camadas de fluido no tubo R). 
Matematicamente, v é dada por: 
(onde D indica a densidade do fluido). 
A pmpria força de sustentação dos 
aviões se deve à existência da diferença 
de pressões, que Bemoulli tão bem assi- 
nalou. De fato, como o trajeto que os 
fdetes de ar devem percorrer na parte 
superior do perfil da asa é bem maior 
que na parte inferior, estabelece-se Uma 
diferença de velocidade nos filetes, de 
forma que, onde a velocidade 6 maior, a 
pressão é menor. Essa diferença resulta 
numa força ascensional. 
v, maior 
p, menor 
I V, menor FI p, maior 
Em muitos objetos de propaganda da 
atualidade tem-se visto uma aplicação 
elementar do teorema de Bernoulli: uma 
bolinha de pingue-pongue, submetida a 
um jato de ar, é posta em rotação e sus- 
tentada aerodinamicamente. Isto se 
deve ao fato de a rotação da bolinha 
estabelecer uma diferença de veloci- 
dades entre os filetes de ar que passam 
pelos dois lados da esfera, o que origina 
Um maior conhecimento dosfluidos 
permitiu, enhe ouhos, o 
desenvolvimento do v00 de 
aparelhos mais pesados que o ar. 
Essas ilustrações ironizamas 
primeiras tentativas nesse sentido, 
no início do século XX. 
a força de sustenta$o que permite man- 
ter a bolinha no ar. 
Além do vôo do mais pesado que o 
ar, foram os conhecimentos de Hirodi- 
nâmica que possibilitaram muitos dos 
confortos da vida atual (íicade o cálculo 
de uma rede de aduçk e distribuição de 
água até o projeto dos submarinos, 
aviões supermnicos, foguetes e mesmo 
automóveis e outros vdculos moder- 
nos). Também nas turbinas a gás, insta- 
l a ~ & fr?gorificas, indústrias químicas, 
motores térmicos, nos quais; ao lado da 
Termodinâmica, a teoria Q escoqyto 
dos fluídos fornece a base &rica india- 
penshvel à sua consqução. 
A BRIGA COM O PROOENITOR 
Ao publicar sua obra, Daniel M e 
que suportar as críticas do próprio pai. 
que o acusou de partir de "um principio 
indireto, o qual C perfeitamente verda- 
deiro, mas que ainda não C acolhido por 
todos os f~sofos". Johann pretendia 
estudar o movimento das águas unick 
mente à luz dos princípios da Dinâmica, 
pelo que foi felicitado pelo próprio 
Euler (amigo íntimo de Daniel, com 
quem mantinha correspondência desde a 
partida deste Último de Sáo Petersbur- 
go). Em 1742, Johann publica sua 
HldráuIica,. com a pré-data de 1732, 
pretendendo, deita forma, a prioridada 
de algumas descobertas de 8ai fiiho. 
Os meios científicos, entretanto, con- 
sagraram o livro de paniel. Estemnti- 
nuou a lecionar em Basiléia, obtpido. 
em 1743, a cadeira de Fisiologia, mais 
. 
próxima de seus verdadeiros interesses. 
Finalmente, em 1750, ele obtám a cadei- 
ra de Física, que ocupária até 1776. Seis 
anos depois vem a falecer, sendo q u C 
tado em PetersLirche, perto do lugu 
onde residia. *