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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta Dinâmica - Efeito da Localização dos Polos - Resposta no tempo - Efeito de Polos e Zeros adicionais - Estabilidade Routh-Hurwitz - Simulações Computacionais - Obtendo Modelos de Dados Experimentais Principal Referência: Sistemas de Controle para Engenharia, Sexta Edição Gene F. Franklin • J. David Powell • Abbas Emami-Naeini UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas de Primeira Ordem São sistemas diferenciais que envolvem apenas a primeira derivada da saída na sua equação. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas de Primeira Ordem Resposta ao Degrau Unitário A Transformada de Laplace da Função Degrau Unitário é 1/s UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas de Primeira Ordem Resposta ao Degrau Unitário UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Funções de Primeira Ordem Obtidas Experimentalmente Características de um sistema de primeira ordem: 1) Não presença de sobre- valor 2) inclinação inicial não nula. C(t) = 𝐾 𝑎 1 − 𝑒−𝑎.𝑡 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas de Primeira Ordem Resposta à Rampa Unitária A Transformada de Laplace da Função Rampa é 1/s2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas de Primeira Ordem Resposta à Rampa Unitária UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas de Primeira Ordem Resposta ao Impulso Unitário UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Propriedade Importante de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Pólos e Zeros de Um Sistema de Primeira Ordem – Um Exemplo (1) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Pólos e Zeros de Um Sistema de Primeira Ordem – Um Exemplo (2) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta Forçada/Natural 1202/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel ou ao Impulso UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 3.23 Franklin 1302/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel 𝐻 𝑠 = 2𝑠 + 1 𝑠2 + 3𝑠 + 2 Num = [2 1]; Den = [1 3 2]; pzmap(Num,Den); UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 3.23 Franklin 1402/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel 𝐻 𝑠 = 2𝑠 + 1 𝑠2 + 3𝑠 + 2 Num = [2 1]; Den = [1 3 2]; sysH = tf(Num,Den); Impulse(sysH); UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 1- 1 2 3 Te mpo ( s ) f 1 t( ) f 2 t( ) f 1 t( )f 2 t( ) + t Ex 3.23 Franklin 02/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel 𝐻 𝑠 = 2𝑠 + 1 𝑠2 + 3𝑠 + 2 Num = [2 1]; Den = [1 3 2]; [r,p,k] = residue(Num,Den); 𝐻 𝑠 = − 1 𝑠 + 1 + 3 𝑠 + 2 𝐻 𝑡 = −𝑒−𝑡 +3𝑒−2𝑡 Mais rápido r = [-1 3]; p = [-1 -2]; k = []; UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Efeito da localização dos polos 1602/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Massa-mola-amortecedor Coef. de Amortecimento e freq. natural 17Aula 3 raízes: nesse caso: Coef. de Amortecimento Se > 1, raízes reais Se < 1, raízes complexas Se = 1, raízes repetidas e reais freq. natural Superamortecido Subamortecida Amortecimento crítico UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta Sistema 2ª Ordem coef. de amortecimento 1802/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Subamortecimento 1902/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Pólos e Zeros Lugar das Raízes UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Pólo vs. Coeficiente de Amortecimento 2002/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta Sistema 2ª Ordem 2102/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Resposta ao Impulso Resposta ao Degrau (Não Amortecido) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta Sistema 2ª Ordem 2202/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA MATLAB 2302/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA MATLAB 2402/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Massa-mola-amortecedor Resposta do Sistema 2502/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Quanto maior , mais rápido será o transitório e mais longe do eixo das ordenadas (y) será o pólo UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Definições 2602/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Tempo de Subida Tempo de Pico Tempo de Acomodação Sobressinal (overshoot) 𝑡𝑟 = 1,8 𝜔𝑛 𝑡𝑝 = π 𝜔𝑛 𝑡𝑠 = 4,6 𝜁 𝜔𝑛 𝑀𝑝 = 𝑒 Τ−𝜋𝜁 1−𝜁2 0 ≤ 𝜁 ≤ 1 Depende do critério No caso: 1% UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Relação Sobressinal vs. Coef. de Amortecimento 2702/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel 𝑀 𝑝 = 𝑒 Τ − 𝜋 𝜁 1 − 𝜁 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Regiões do plano-s 2802/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Efeito SomadoTempo de Pico Tempo de Acomodação Sobressinal (overshoot) 𝜎 = 𝜁 𝜔𝑛 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Efeito da movimentação dos pólos 2902/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 3.25 Franklin supondo 2ª ordem 3002/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Resposta do sistema 𝑡𝑟 ≤ 0,6𝑠 ; 𝑀𝑝 ≤ 10% ; 𝑡𝑠 ≤ 3𝑠 𝑡𝑠 = 4,6 𝜁 𝜔𝑛 𝑀𝑝 = 𝑒 Τ−𝜋𝜁 1−𝜁2𝑡𝑟 = 1,8 𝜔𝑛 𝜔𝑛 ≥ 3 rad/s 𝜁 ≥ 0,6𝜎 = 𝜁 𝜔𝑛 ≥ 1,5𝑠 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Efeito de um 3º pólo 3102/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Perto Longe No Infinito UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Efeitodos Zeros Reais Ex 3.26 3202/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel 𝐻(𝑠) = 24 𝑧 (𝑠 + 𝑧) (𝑠 + 4)(𝑠 + 6) 𝑧 = [1,2,3,4,5,6] 𝐻1(𝑠) = 𝐻(𝑠) 1 𝑠 = 24 𝑧 (𝑠 + 𝑧) 𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 6) = 24 𝑧 𝑠 𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 6) + 24 𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 6) 𝑦 𝑡 = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2(𝑡) 𝑦1 𝑡 = 12 𝑧 𝑒−4𝑡 − 12 𝑧 𝑒−6𝑡 𝑦2 𝑡 =z 0 𝑡 𝑦1 𝜏 𝑑𝜏 = −3𝑒 −4𝑡 + 2𝑒−6𝑡 + 1 𝑦 𝑡 = 1 + 12 𝑧 − 3 𝑒−4𝑡 + 2 − 12 𝑧 𝑒−6𝑡 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Efeito dos Zeros Reais Ex 3.26 3302/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel 𝑦 𝑡 = 1 + 12 𝑧 − 3 𝑒−4𝑡 + 2 − 12 𝑧 𝑒−6𝑡 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Efeito dos Zeros Complexos Ex 3.27 3402/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel 𝐻(𝑠) = (𝑠 + 𝛼)2+𝛽2 (𝑠 + 1) (𝑠 + 0,1)2+1 𝑍𝑒𝑟𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜𝑠 = −𝛼 ± 𝑗𝛽 𝛼 = 0,1; 0,25 𝑒 0,5 𝛽 = 1,0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Exemplo 4.7. (Norman Nise) Resposta Transiente Através do Projeto de Componentes. Problema: Dado o sistema mostrado na figura abaixo, determine os valores de J e D de modo que o sistema apresente sobrevalor percentual de 20% e um tempo de assentamento de 2 segundos para uma entrada em degrau de torque T(t). UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Exemplo 4.7. (Norman Nise) Depende do critério No caso de 1% seria 4,6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA • 1. Conceito de estabilidade • 2. Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz: Estabilidade de Sistemas Lineares Realimentados UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Estabilidade de Sistemas Lineares Realimentados • Estabilidade absoluta: o sistema é estável ou não • Estabilidade relativa: para um sistema estável pode- se atribuir graus de estabilidade • A localização dos pólos em malha fechada fornece uma indicação do tipo de resposta temporal ... 3802/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Um sistema é dito estável se a resposta temporal for limitada para qualquer sinal de entrada também limitado. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Estabilidade de Sistemas Lineares Realimentados • Condição necessária e suficiente para que um sistema seja estável é que todos os polos da função de transferência tenham parte real negativa ... 3902/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 4002/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz • Organize os coeficientes do polinômio em linhas e colunas, de acordo com o seguinte padrão: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 4202/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 4302/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 4402/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 4502/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 4602/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 4702/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 4802/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 4902/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 5002/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Aplicação do Critério de Estabilidade de Routh à Análise de Sistemas de Controle UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Aplicação do Critério de Estabilidade de Routh à Análise de Sistemas de Controle UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 6.2 Nise 5302/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Modelos a partir de dados da resposta transitória 5402/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Considerando α o polo mais lento Resposta típica de processos químicos UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Partindo de Medições Experimentais 5502/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Dados da resposta ao degrau 5602/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Encontrando A e α 5702/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Para encontrar: A = -1,33 α = 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Encontrando B e β 5802/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Subtraindo dos dados os termos conhecidos: Lembrando: A = -1,33 α = 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Como obter o numerador 5902/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Lembrando que A = -1,33; α = 1; B = 0,33 e β = 5,8 ? UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resultado Final 6002/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel Ajustando utilizando métodos numéricos UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sugestão de Exercícios Franklin 6ª Ed. • 3.14 • 3.18 • 3.24 • 3.25 • 3.27 • 3.30 • 3.31 • 3.33 • 3.40 • 3.41 • 3.44 6102/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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