3 Controle Resposta Dinâmica

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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Resposta Dinâmica
- Efeito da Localização dos Polos
- Resposta no tempo
- Efeito de Polos e Zeros adicionais
- Estabilidade Routh-Hurwitz
- Simulações Computacionais
- Obtendo Modelos de Dados Experimentais
Principal Referência:
Sistemas de Controle para Engenharia, Sexta Edição
Gene F. Franklin • J. David Powell • Abbas Emami-Naeini
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sistemas de Primeira Ordem
São sistemas diferenciais que envolvem apenas 
a primeira derivada da saída na sua equação. 
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Sistemas de Primeira 
Ordem
Resposta ao Degrau Unitário
A Transformada de 
Laplace da Função 
Degrau Unitário é 1/s
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Sistemas de Primeira 
Ordem
Resposta ao Degrau Unitário
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Funções de Primeira Ordem 
Obtidas Experimentalmente
Características de um 
sistema de primeira 
ordem:
1) Não presença de sobre-
valor
2) inclinação inicial não 
nula.
C(t) =
𝐾
𝑎
1 − 𝑒−𝑎.𝑡
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Sistemas de Primeira 
Ordem
Resposta à Rampa Unitária
A Transformada de 
Laplace da Função Rampa 
é 1/s2
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Sistemas de Primeira 
Ordem
Resposta à Rampa Unitária
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Sistemas de Primeira 
Ordem
Resposta ao Impulso Unitário
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Propriedade Importante de Sistemas 
Lineares Invariantes no Tempo
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Pólos e Zeros de Um Sistema de 
Primeira Ordem – Um Exemplo (1)
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Pólos e Zeros de Um Sistema de 
Primeira Ordem – Um Exemplo (2)
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resposta Forçada/Natural
1202/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
ou ao Impulso
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 3.23 Franklin
1302/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
𝐻 𝑠 =
2𝑠 + 1
𝑠2 + 3𝑠 + 2
Num = [2 1];
Den = [1 3 2];
pzmap(Num,Den);
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 3.23 Franklin
1402/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
𝐻 𝑠 =
2𝑠 + 1
𝑠2 + 3𝑠 + 2
Num = [2 1];
Den = [1 3 2];
sysH = tf(Num,Den);
Impulse(sysH);
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1-
1
2
3
Te mpo ( s )
f 1 t( )
f 2 t( )
f 1 t( )f 2 t( )
+
t
Ex 3.23 Franklin
02/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
𝐻 𝑠 =
2𝑠 + 1
𝑠2 + 3𝑠 + 2
Num = [2 1];
Den = [1 3 2];
[r,p,k] = residue(Num,Den);
𝐻 𝑠 = −
1
𝑠 + 1
+
3
𝑠 + 2
𝐻 𝑡 = −𝑒−𝑡 +3𝑒−2𝑡
Mais rápido
r = [-1 3];
p = [-1 -2];
k = [];
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Efeito da localização dos polos
1602/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Massa-mola-amortecedor
Coef. de Amortecimento e freq. natural
17Aula 3
raízes:
nesse caso:
Coef. de Amortecimento
Se > 1, raízes reais
Se < 1, raízes complexas
Se = 1, raízes repetidas e
reais
freq. natural
Superamortecido
Subamortecida
Amortecimento crítico
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Resposta Sistema 2ª Ordem
coef. de amortecimento
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Subamortecimento
1902/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Pólos e Zeros Lugar das Raízes
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Pólo vs. 
Coeficiente de Amortecimento
2002/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Resposta
Sistema 2ª Ordem
2102/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Resposta ao Impulso Resposta ao Degrau
(Não Amortecido)
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Resposta
Sistema 2ª Ordem
2202/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA MATLAB
2302/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA MATLAB
2402/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Massa-mola-amortecedor
Resposta do Sistema
2502/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Quanto maior , mais rápido será o transitório e
mais longe do eixo das ordenadas (y) será o pólo
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Definições
2602/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Tempo de Subida
Tempo de Pico
Tempo de Acomodação
Sobressinal (overshoot)
𝑡𝑟 =
1,8
𝜔𝑛
𝑡𝑝 =
π
𝜔𝑛
𝑡𝑠 =
4,6
𝜁 𝜔𝑛
𝑀𝑝 = 𝑒
Τ−𝜋𝜁 1−𝜁2
0 ≤ 𝜁 ≤ 1
Depende do critério
No caso: 1%
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Relação Sobressinal vs.
Coef. de Amortecimento
2702/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
𝑀
𝑝
=
𝑒
Τ
−
𝜋
𝜁
1
−
𝜁
2
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Regiões do plano-s
2802/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Efeito SomadoTempo de Pico Tempo de 
Acomodação
Sobressinal
(overshoot)
𝜎 = 𝜁 𝜔𝑛
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Efeito da 
movimentação dos pólos
2902/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Ex 3.25 Franklin
supondo 2ª ordem
3002/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Resposta do sistema 𝑡𝑟 ≤ 0,6𝑠 ; 𝑀𝑝 ≤ 10% ; 𝑡𝑠 ≤ 3𝑠
𝑡𝑠 =
4,6
𝜁 𝜔𝑛
𝑀𝑝 = 𝑒
Τ−𝜋𝜁 1−𝜁2𝑡𝑟 =
1,8
𝜔𝑛
𝜔𝑛 ≥ 3 rad/s 𝜁 ≥ 0,6𝜎 = 𝜁 𝜔𝑛 ≥ 1,5𝑠
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Efeito de um 3º pólo
3102/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Perto
Longe
No Infinito
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Efeitodos Zeros Reais
Ex 3.26
3202/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
𝐻(𝑠) =
24
𝑧
(𝑠 + 𝑧)
(𝑠 + 4)(𝑠 + 6)
𝑧 = [1,2,3,4,5,6]
𝐻1(𝑠) = 𝐻(𝑠)
1
𝑠
=
24
𝑧
(𝑠 + 𝑧)
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 6)
=
24
𝑧
𝑠
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 6)
+
24
𝑠(𝑠 + 4)(𝑠 + 6)
𝑦 𝑡 = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2(𝑡)
𝑦1 𝑡 =
12
𝑧
𝑒−4𝑡 −
12
𝑧
𝑒−6𝑡
𝑦2 𝑡 =z ׬0
𝑡
𝑦1 𝜏 𝑑𝜏 = −3𝑒
−4𝑡 + 2𝑒−6𝑡 + 1
𝑦 𝑡 = 1 +
12
𝑧
− 3 𝑒−4𝑡 + 2 −
12
𝑧
𝑒−6𝑡
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Efeito dos Zeros Reais
Ex 3.26
3302/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
𝑦 𝑡 = 1 +
12
𝑧
− 3 𝑒−4𝑡 + 2 −
12
𝑧
𝑒−6𝑡
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Efeito dos Zeros Complexos
Ex 3.27
3402/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
𝐻(𝑠) =
(𝑠 + 𝛼)2+𝛽2
(𝑠 + 1) (𝑠 + 0,1)2+1
𝑍𝑒𝑟𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜𝑠 = −𝛼 ± 𝑗𝛽
𝛼 = 0,1; 0,25 𝑒 0,5
𝛽 = 1,0
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Exemplo 4.7. (Norman Nise)
Resposta Transiente Através do Projeto de Componentes.
Problema: Dado o sistema mostrado na figura abaixo, determine 
os valores de J e D de modo que o sistema apresente sobrevalor 
percentual de 20% e um tempo de assentamento de 2 segundos 
para uma entrada em degrau de torque T(t).
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Exemplo 4.7. (Norman Nise)
Depende do critério
No caso de 1% seria 4,6
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• 1. Conceito de estabilidade
• 2. Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz:
Estabilidade de Sistemas 
Lineares Realimentados
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Estabilidade de Sistemas 
Lineares Realimentados
• Estabilidade absoluta: o sistema é estável ou não
• Estabilidade relativa: para um sistema estável pode-
se atribuir graus de estabilidade
• A localização dos pólos em malha fechada fornece 
uma indicação do tipo de resposta temporal ...
3802/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Um sistema é dito estável se a resposta
temporal for limitada para qualquer sinal de
entrada também limitado.
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Estabilidade de Sistemas 
Lineares Realimentados
• Condição necessária e suficiente para que um 
sistema seja estável é que todos os polos da função 
de transferência tenham parte real negativa ...
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Critério de Estabilidade 
de Routh-Hurwitz
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Critério de Estabilidade 
de Routh-Hurwitz
• Organize os coeficientes do polinômio em linhas e colunas, de 
acordo com o seguinte padrão:
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Critério de Estabilidade 
de Routh-Hurwitz
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Critério de Estabilidade 
de Routh-Hurwitz
4302/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Critério de Estabilidade 
de Routh-Hurwitz
4402/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Critério de Estabilidade 
de Routh-Hurwitz
4502/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Critério de Estabilidade 
de Routh-Hurwitz
4602/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Critério de Estabilidade 
de Routh-Hurwitz
4702/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Critério de Estabilidade 
de Routh-Hurwitz
4802/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Critério de Estabilidade 
de Routh-Hurwitz
4902/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Critério de Estabilidade 
de Routh-Hurwitz
5002/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Aplicação do Critério de Estabilidade de 
Routh à Análise de Sistemas de Controle
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Aplicação do Critério de Estabilidade de 
Routh à Análise de Sistemas de Controle
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Ex 6.2 Nise
5302/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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Modelos a partir de 
dados da resposta transitória
5402/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Considerando α o polo mais lento
Resposta típica de processos químicos
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Partindo de 
Medições Experimentais
5502/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Dados da resposta ao degrau
5602/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Encontrando A e α
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Para encontrar:
A = -1,33
α = 1
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Encontrando B e β
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Subtraindo dos dados os termos 
conhecidos:
Lembrando:
A = -1,33
α = 1
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Como obter o numerador
5902/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Lembrando que A = -1,33; α = 1; B = 0,33 e β = 5,8
?
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Resultado Final
6002/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel
Ajustando utilizando métodos numéricos
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Sugestão de Exercícios
Franklin 6ª Ed.
• 3.14
• 3.18
• 3.24
• 3.25
• 3.27
• 3.30
• 3.31
• 3.33
• 3.40
• 3.41
• 3.44
6102/03/2016 Prof. Douglas Bressan Riffel