Modelagem da Cinemática Direta, Inversa e da Dinâmica do Robô SCARA EPSON G10-851S

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Suma´rio
Suma´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Especificac¸o˜es Te´cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Desenvolvimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Obtenc¸a˜o da Cinema´tica Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Denavit-Hartenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Matrizes de Transformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Matrizes de Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Obtenc¸a˜o da Cinema´tica Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Obtenc¸a˜o da Equac¸a˜o de 𝜃2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Obtenc¸a˜o da Equac¸a˜o de 𝜃1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Obtenc¸a˜o da Equac¸a˜o de 𝜃4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.4 Obtenc¸a˜o da Equac¸a˜o de 𝑑3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Dina^mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Ine´rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2 Algoritmo de Newton-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Gerac¸a˜o de Trajeto´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Controle do Sistema Na˜o Linear e Variante no Tempo . . . . . . . . . . 19
3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Simulac¸a˜o da Cinema´tica Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Simulac¸a˜o da Cinema´tica Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Simulac¸a˜o da Dina^mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Simulac¸a˜o do Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Concluso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
REFERE^NCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Resumo
Este relato´rio tem como objetivo descrever de forma sucinta e objetiva o desen-
volvimento dos estudos na disciplina de Introduc¸a˜o a Robo´tica com a finalidade
de obter o modelo matema´tico do funcionamento do roboˆ SCARA G10-851S
do fabricante EPSON na forma da cinema´tica direta, inversa, Jacobiano e do
comportamento dinaˆmico do mecanismo manipulador.
1 Introduc¸a˜o
Automac¸a˜o industrial e a robo´tica sa˜o duas tecnologias extremamente relacionadas.
A robo´tica pode ser vista como uma forma de automatizar os processos industriais
utilizando roboˆs nos processos de produc¸a˜o e controle da fa´brica. Pode ser definida for-
malmente como “A robo´tica e´ uma cieˆncia da engenharia aplicada que e´ tida como uma
combinac¸a˜o da tecnologia de ma´quinas operatrizes e cieˆncia da computac¸a˜o” (GROO-
VER, 1989).
Para Tsai (1999) um roboˆ e´ considerado um manipulador quando capaz de ser
reprograma´vel, multifuncional e projetado para manusear materiais, pec¸as, ferramentas
ou dispositivos especiais, atrave´s de movimentos pre´-programados para realizac¸a˜o de
tarefas.
Os mecanismos robo´ticos mais frequentemente encontrados sa˜o os brac¸os robo´ticos
e pulsos robo´ticos (BAJD; MIHELJ; MUNIH, 2013). Estes sa˜o brac¸os robo´ticos mani-
puladores de um roboˆ humano´ide. Comumente possuem seis graus de liberdade, sendo
treˆs deles pertencentes ao brac¸o e os outros treˆs ao pulso do manipulador. Estes seis
graus de liberdade representam tambe´m o nu´mero mı´nimo de juntas para se atingir
uma posic¸a˜o arbitra´ria no espac¸o Euclidiano.
Estes roboˆs manipuladores sa˜o geralmente encontrado em indu´strias, como no caso
da automobil´ıstica, eles sa˜o comumente utilizados para solda. Sa˜o frequentemente uti-
lizados em tarefas de pinc¸amento de objetos de um local a outro, como por exemplo os
roboˆs paletizadores que carregam objetos em contaˆiners de maneira ordenada e organi-
zada. Roboˆs industriais manipuladores sa˜o necessa´rios em ambientes agressivos a sau´de
humana. Para Craig (2012, p. 3) os roboˆs manipuladores sa˜o o modelo mais importante
de roboˆs para indu´strias.
Quanto a denominac¸a˜o SCARA, do ingleˆs Selective Compliance Articulated Robot
Arm ou brac¸o robo´tico seletivo de comprimento articulado, nada mais sa˜o que roboˆs
adaptados para aproximac¸a˜o vertical, os que o tornam a´geis na movimentac¸a˜o de ob-
jetos (PADOIN; MENUZZI; VALDIERO, 2010). O manipulador foco desse relato´rio
e´ dotado de quatro graus de liberdade constituindo: ponto de apoio seguido de duas
juntas rotativas, uma prisma´tica e uma rotativa, abreviadamente 𝑅𝑅𝑃𝑅.
Na figura 1 pode-se observar o aspecto f´ısico do roboˆ SCARA G10.
Figura 1 – Roboˆ EPSON SCARA G10-851S
Fonte: Manual EPSON
1.1 Especificac¸o˜es Te´cnicas
Segundo a descric¸a˜o prima´ria do manual do fabricante, o Roboˆ EPSON SCARA
G10-851S possui a capacidade nominal de trabalhar com cargas de ate´ 10kg e´ no
ma´ximo 20kg, com alcance de 850mm e no eixo que representa a altura de 180mm.
Seu momento de ine´rcia nominal e´ de 0,05kgm2 e ma´ximo de 0,45kgm2. Na figura 2 e´
poss´ıvel observar as dimenso˜es do roboˆ manipulador estudado.
Figura 2 – Dimenso˜es do roboˆ EPSON SCARA G10-851S
Fonte: Adaptado do Manual EPSON
Na figura 3 pode ser visto como sera´ nomeadas e dispostas as juntas rotativas e
prisma´ticas e os brac¸os.
Figura 3 – Nomeac¸a˜o das juntas do roboˆ EPSON SCARA G10-851S
Fonte: Adaptado do Manual EPSON
2 Desenvolvimento
2.1 Obtenc¸a˜o da Cinema´tica Direta
Cinema´tica e´ a cieˆncia que tem como objetivo estudar os movimentos mas sem levar
em considerac¸a˜o as forc¸as que o causam. Nessa a´rea, sa˜o estudadas as equac¸o˜es que
descrevem a posic¸a˜o, a velocidade e a acelerac¸a˜o de corpos no espac¸o.
O estudo da cinema´tica dos roboˆs manipuladores se refere a todas as propriedades
geome´tricas e dependentes do tempo que fazem parte do movimento. A relac¸a˜o entre as
forc¸as e torques que causam o movimento sera´ objeto de estudo na dinaˆmica (CRAIG,
2012, p. 62).
Para se obter a cinema´tica direta, o me´todo escolhido foi o de 𝐷𝑒𝑛𝑎𝑣𝑖𝑡−𝐻𝑎𝑟𝑡𝑒𝑛𝑏𝑒𝑟𝑔,
apesar de ser uma ferramenta singular, ela permite a obtenc¸a˜o mais simplificada dos
paraˆmetros no espac¸o de juntas que representam a cinema´tica direta.
Para Craig (2012, p. 67), qualquer roboˆ pode ser descrito cinematicamente quando
sa˜o conhecidos quatro paraˆmetros de cada elo. Dois desses paraˆmetros descrevem o
elo em si o os outros dois representam a ligac¸a˜o com o elo vizinho. No caso de uma
junta rotativa, 𝜃𝑖 e´ chamado de junta varia´vel e as outras sera˜o juntas fixas com seus
paraˆmentros de cada elo. Para juntas prisma´ticas, 𝑑𝑖 e´ a junta varia´vel e as outras
tambe´m sa˜o fixadas como paraˆmentros de cada elo. Se o sistema e´ descrito dessa ma-
neira, pode-se afirmar que foi usada a notac¸a˜o de Denavit-Hartenberg.
2.1.1 Denavit-Hartenberg
Para descrever a orientac¸a˜o de cada elo em relac¸a˜o aos elos vizinhos, e´ necessa´ria
a fixac¸a˜o de um sistema de coordenadas (𝑆𝑅{𝑖}) para referenciar e localizar a junta
no espac¸o. Os 𝑆𝑅{𝑖}’s devem respeitar certas regras para serem fixados. O me´todo e´
considerado singular se, porventura, o mecanismo na˜o puder respeitar tais regras, o
me´todo na˜o podera´ ser aplicado.
Basicamente, um mecanismo pode ser descrito atrave´s da notac¸a˜o de Denavit-
Hartenberg fixando os 𝑆𝑅{𝑖}’s de maneira que o eixo Z seja normal ao plano de rotac¸a˜o
da junta rotativa 𝜃𝑖. Para as juntas prisma´ticas, o eixo Z deve ser fixado paralelo ao
sentido de deslocamento de 𝑑𝑖. Quando existira necessidade de rotacionar o 𝑆𝑅{𝑖} de
um elo em relac¸a˜o ao anterior, essa rotac¸a˜o deve ocorrer somente no eixo X.
Com isso, foi poss´ıvel obter a representac¸a˜o simplificada do manipulador estudado
aplicando-se o me´todo de 𝐷𝑒𝑛𝑎𝑣𝑖𝑡−𝐻𝑎𝑟𝑡𝑒𝑛𝑏𝑒𝑟𝑔. Na figura 4 pode-se observar a fixac¸a˜o
numerada dos 𝑆𝑅’s como sub-´ındices dos eixos Z e X. Para o eixo Y, 𝑋 representa
eixo entrando no plano do papel e · para saindo.
Figura 4 – Representac¸a˜o simplificada dos sistemas de refereˆncia.
Fonte: Autoria Pro´pria
Atrave´s da figura 4 e´ poss´ıvel obter todos os paraˆmetros da notac¸a˜o de Denavit-
Hartenberg resultando na tabela 1.
𝑖 𝛼𝑖−1 𝑎𝑖−1 𝑑𝑖 𝜃𝑖
1 0 0 𝑑1 𝜃1
2 0 𝐿1 0 𝜃2
3 𝛼2 𝐿2 𝑑3 0
4 0 0 𝑑4 𝜃3
Tabela 1 – Paraˆmetros da notac¸a˜o de Denavit-Hartenberg.
Fonte: Autoria Pro´pria.
O valor desses paraˆmetros foram encontrados no manual do fabricante do roboˆ
SCARA G10-851S, sa˜o eles:
∙ 𝑑1 = 460, 5[𝑚𝑚]
∙ 𝑑3 = 𝑑[𝑚𝑚] (varia´vel)
∙ 𝑑4 = 67[𝑚𝑚]
∙ 𝐿1 = 450[𝑚𝑚]
∙ 𝐿2 = 400[𝑚𝑚]
∙ 𝛼2 = 180o
∙ 𝜃1 = 304o
∙ 𝜃2 = 305o
∙ 𝜃4 = 360o
2.1.2 Matrizes de Transformac¸a˜o
Assim como visto em Craig (2012, p. 75), a forma canoˆnica da matriz de trans-
formac¸a˜o 𝑖−1𝑖T pode ser vista na equac¸a˜o 2.1.1.
𝑖−1
𝑖T =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝑐𝜃𝑖 −𝑠𝜃𝑖 0 𝛼𝑖−1
𝑠𝜃𝑖𝑐𝛼𝑖−1 𝑐𝜃𝑖𝑐𝛼𝑖−1 −𝑠𝛼𝑖−1 −𝑠𝛼𝑖−1𝑑𝑖
𝑠𝜃𝑖𝑠𝛼𝑖−1 𝑐𝜃𝑖𝑠𝛼𝑖−1 𝑐𝛼𝑖−1 𝑐𝛼𝑖−1𝑑𝑖
0 0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (2.1.1)
Portanto, a matriz de transformac¸a˜o de 1 para 0 (01T) pode ser vista em 2.1.2.
0
1T =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝑐1 −𝑠1 0 0
𝑠1 𝑐1 0 0
0 0 1 𝑑1
0 0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (2.1.2)
Em consequeˆncia, 12T,
2
3T e
3
4T podem ser vistas em 2.1.3, 2.1.4 e 2.1.5 respectiva-
mente.
1
2T =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝑐2 −𝑠2 0 𝐿1
𝑠2 𝑐2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (2.1.3)
2
3T =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0 𝐿2
0 −1 0 0
0 0 −1 𝑑3
0 0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (2.1.4)
3
4T =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝑐4 −𝑠4 0 0
𝑠4 𝑐4 0 0
0 0 1 𝑑4
0 0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (2.1.5)
Uma vez que os 𝑆𝑅’s foram fixados, os paraˆmetros de cada link encontrados e as
matrizes de transformac¸a˜o obtidas, pode-se enta˜o obter a matriz de transformac¸a˜o de
4 para 0 (04T) apenas multiplicando 2.1.2,2.1.3,2.1.4 e 2.1.5, resultando em 2.1.6.
0
4T =
0
1T
1
2T
2
3T
3
4T (2.1.6)
Obtendo assim, a matriz 2.1.7.
0
4T =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝑐12−4 𝑠12−4 0 𝐿1𝑐1 + 𝐿2𝑐2
𝑠12−4 −𝑐12−4 0 𝐿1𝑠1 + 𝐿2𝑠2
0 0 −1 𝑑1 − 𝑑2 − 𝑑4
0 0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (2.1.7)
2.1.3 Matrizes de Rotac¸a˜o
Para se obter a matriz de rotac¸a˜o e´ necessa´rio descrever a orientac¸a˜o de um corpo no
espac¸o. Para isso, deve-se primeiramente anexar um sistema de coordenadas ao corpo
e descreve-lo em relac¸a˜o a um sistema de refereˆncia (CRAIG, 2012, p. 21).
Conforme visto em Craig (2012, p. 22) a matriz de rotac¸a˜o 𝐴𝐵R pode ser escrita em
func¸a˜o do produto escalar de vetores unita´rios, resultando em 2.1.8
𝐴
𝐵R =
⎡⎢⎣�ˆ�𝐵 · �ˆ�𝐴 ˆ𝐵 · �ˆ�𝐴 ˆ𝐵 · �ˆ�𝐴�ˆ�𝐵 · ˆ𝐴 ˆ𝐵 · ˆ𝐴 ˆ𝐵 · ˆ𝐴
�ˆ�𝐵 · ˆ𝐴 ˆ𝐵 · ˆ𝐴 ˆ𝐵 · ˆ𝐴
⎤⎥⎦ (2.1.8)
Assim, as matrizes de rotac¸a˜o 01R,
1
2R,
2
3R e
3
4R podem ser vistas em 2.1.9, 2.1.10,
2.1.11 e 2.1.12 respectivamente.
0
1R =
⎡⎢⎣𝑐1 −𝑠1 0𝑠1 𝑐1 0
0 0 1
⎤⎥⎦ (2.1.9)
1
2R =
⎡⎢⎣𝑐2 −𝑠2 0𝑠2 𝑐2 0
0 0 1
⎤⎥⎦ (2.1.10)
2
3R =
⎡⎢⎣1 0 00 −1 0
0 0 −1
⎤⎥⎦ (2.1.11)
3
4R =
⎡⎢⎣𝑐4 −𝑠4 0𝑠4 𝑐4 0
0 0 1
⎤⎥⎦ (2.1.12)
Obte´m-se enta˜o a matriz de rotac¸a˜o de 4 para 0 (04R) apenas multiplicando, 2.1.9,
2.1.10, 2.1.11 e 2.1.12 resultando em 2.1.13.
0
4R =
0
1R
1
2R
2
3R
3
4R (2.1.13)
Encontrando assim, a matriz 2.1.14.
0
4R =
⎡⎢⎣𝑐12−4 𝑠12−4 0𝑠12−4 −𝑐12−4 0
0 0 −1
⎤⎥⎦ (2.1.14)
2.2 Obtenc¸a˜o da Cinema´tica Inversa
Como tratado anteriormente, a func¸a˜o da cinema´tica direta consiste em informar
os aˆngulos para o espac¸o de juntas e por consequeˆncia, obter uma posic¸a˜o da ponta da
ferramenta no espac¸o. Na cinema´tica inversa, como o pro´prio nome sugere, deseja-se
informar ao sistema uma posic¸a˜o para a ponta da ferramenta no espac¸o e obter como
resposta os aˆngulos das juntas rotativas e deslocamentos das juntas prisma´ticas.
Segundo Craig (2012, p. 101) existe certa dificuldade na resoluc¸a˜o das equac¸o˜es da
cinema´tica inversa pois essas sa˜o na˜o lineares.
Devido a configurac¸a˜o f´ısica do roboˆ manipulador estudado nesse trabalho, foi
poss´ıvel obter as equac¸o˜es da cinema´tica inversa atrave´s de uma abordagem trigo-
nome´trica.
Partindo do pressuposto de visualizar o manipulador a partir de cima, observa-se a
configurac¸a˜o inicial conforme a figura 5.
Figura 5 – Vista de cima do manipulador
Fonte: Autoria Pro´pria
Nota-se que na figura 5 e´ poss´ıvel obter os valores de 𝜃𝑖 atrave´s de manipulac¸o˜es
trigonome´trica com os aˆngulos.
2.2.1 Obtenc¸a˜o da Equac¸a˜o de 𝜃2
Para se obter a equac¸a˜o que resulta no aˆngulo da junta 2, a figura 6 sera´ utilizada
como ponto de partida.
Assim:
cos𝐴 =
𝑥
𝐿1
(2.2.1)
cos𝐵 =
𝑦
𝐿2
(2.2.2)
𝑥 = cos𝐴 · 𝐿1 (2.2.3)
Figura 6 – Vista de cima do manipulador utilizada para obter 𝜃2
Fonte: Autoria Pro´pria
𝑦 = cos𝐵 · 𝐿2 (2.2.4)
E´ poss´ıvel calcular 𝑟 (fig. 6) de duas maneiras:
𝑟 = 𝑥 + 𝑦 (2.2.5)
e
𝑟2 = 𝑟𝑥
2 + 𝑟𝑦
2 (2.2.6)
Enta˜o,
𝑟 = cos𝐴 · 𝐿1 + cos𝐵 · 𝐿2 (2.2.7)
Elevando 2.2.7 ao quadrato, obte´m-se:
𝑟2 = cos2𝐴 · 𝐿12 + cos2𝐵 · 𝐿22 + 2 · cos𝐴 · cos𝐵 · 𝐿1 · 𝐿2 (2.2.8)
Substituindo 2.2.8 em 2.2.6, resulta em:
𝑟𝑥2 + 𝑟𝑦2 = cos2𝐴 · 𝐿12 + cos2𝐵 · 𝐿22 + 2 · cos𝐴 · cos𝐵 · 𝐿1 · 𝐿2 (2.2.9)
Por definic¸a˜o, 𝜃2 = 𝐴 + 𝐵, enta˜o
cos 𝜃2 = cos(𝐴 + 𝐵) (2.2.10)
Usando a notac¸a˜o simplificada, cos 𝜃2 = cos(𝐴 + 𝐵) resulta em 𝑐2 = 𝑐𝑎𝑏.
Manipulando 2.2.10 obte´m-se:
𝑐𝑎 · 𝑐𝑏 = 𝑐2 + 𝑠𝑎 · 𝑠𝑏 (2.2.11)
E substituindo 2.2.11 em 2.2.9, resulta em 2.2.12:
2 · 𝑐2 · 𝐿1 · 𝐿2 = 𝑟𝑥2 + 𝑟𝑦2 − 𝑐𝑎2 · 𝐿12 − 𝑐𝑏2 · 𝐿22 − 2 · 𝑠𝑎 · 𝑠𝑏 · 𝐿1 · 𝐿2 (2.2.12)
Inspecionando a figura 6 pode-se retirar a seguinte relac¸a˜o:
𝑠𝑎 =
𝑠𝑏 · 𝐿2
𝐿1
(2.2.13)
E novamente, substituindo 2.2.13 em 2.2.12, obte´m-se 2.2.14.
2 · 𝑐2 · 𝐿1 · 𝐿2 = 𝑟𝑥2 + 𝑟𝑦2 − 𝐿22 − 𝑐𝑎2 · 𝐿12 − 𝐿22 · 𝑠𝑏2 (2.2.14)
Alterando a equac¸a˜o 2.2.13, resulta em:
𝑠𝑏 =
𝑠𝑎 · 𝐿1
𝐿2
(2.2.15)
E por fim, substituindo 2.2.15 em 2.2.14:
𝑐2 =
𝑟𝑥
2 + 𝑟𝑦
2 − 𝐿22 − 𝐿12
2 · 𝐿1 · 𝐿2 (2.2.16)
Para saber o aˆngulo 𝜃2, basta aplicar o arco-tangente, resultando em 2.2.17.
𝜃2 = arctan
±√1−𝑀2
𝑀
(2.2.17)
Sendo que,
𝑀 = cos 𝜃2 =
𝑟𝑥
2 + 𝑟𝑦
2 − 𝐿12 − 𝐿22
2 · 𝐿1 · 𝐿2 (2.2.18)
2.2.2 Obtenc¸a˜o da Equac¸a˜o de 𝜃1
Para se obter a equac¸a˜o que resulta no aˆngulo da junta 1, a figura 7 sera´ utilizada
como ponto de partida.
Escrevendo o aˆngulo 𝛼:
𝛼 = 𝐴 + 𝜃1 (2.2.19)
Sabendo que:
𝛼 = arctan
𝑟𝑦
𝑟𝑥
(2.2.20)
Figura 7 – Vista de cima do manipulador utilizada para obter 𝜃1
Fonte: Autoria Pro´pria
Aplicando a lei dos senos:
𝐿2
sin𝐴
=
𝑟
sin(180− 𝜃2) (2.2.21)
Resulta em 2.2.22.
sin𝐴 =
𝐿2 · sin 𝜃2
𝑟
(2.2.22)
Agora, aplicando a lei dos cossenos:
cos𝐴 =
𝑟2 + 𝐿1
2 − 𝐿22
2 · 𝑟 · 𝐿1 (2.2.23)
Reescrevendo 2.2.23 em termos de 𝜃2, obtem-se:
cos𝐴 =
𝐿2 · cos 𝜃2 + 𝐿1
𝑟
(2.2.24)
Ja´ que tan𝐴 = sin𝐴
cos𝐴
, substituindo sin𝐴 e cos𝐴 pelos valores encontrandos em 2.2.22
e 2.2.24, resulta em 2.2.25.
tan𝐴 =
𝐿2·sin 𝜃2
𝑟
𝐿1+𝐿2·cos 𝜃2
𝑟
=
𝐿2 · sin 𝜃2
𝐿1 + 𝐿2 · cos 𝜃2 (2.2.25)
Como visto em 2.2.19, 𝛼 = 𝐴 + 𝜃1, enta˜o:
𝜃1 = 𝛼− 𝐴 (2.2.26)
Obtendo portanto, o valor de 𝜃1 em 2.2.27.
𝜃1 = arctan
𝑟𝑦
𝑟𝑥
− arctan 𝐿2 · sin 𝜃2
𝐿1 + 𝐿2 · cos 𝜃2 (2.2.27)
2.2.3 Obtenc¸a˜o da Equac¸a˜o de𝜃4
Conhecendo as equac¸o˜es que determinam 𝜃1 e 𝜃2 a obtenc¸a˜o de 𝜃4 torna-se trivial
atrave´s da equac¸a˜o 2.2.28.
𝜃4 = 𝜃1 + 𝜃2 − arctan 𝑟21
𝑟11
(2.2.28)
Onde 𝑟21 e 𝑟11 representam as respectivas posic¸o˜es da matriz de rotac¸a˜o
0
4R vista
em 2.1.14.
2.2.4 Obtenc¸a˜o da Equac¸a˜o de 𝑑3
Por se tratar de uma junta prisma´tica, 𝑑3 pode ser encontrado mais facilmente
quando comparado as equac¸o˜es das juntas rotativas.
Um ponto no eixo 𝑍 pode ser descrito por:
𝑃𝑧 = 𝑑1 − 𝑑4 − 𝑑3 (2.2.29)
Sabendo que 𝑑1 e 𝑑4 sa˜o constantes e, isolando 𝑑3, resulta na equac¸a˜o 2.2.30 que
descreve a junta prisma´tica.
𝑑3 = 𝑑1 − 𝑑4 − 𝑃𝑧 (2.2.30)
Conclui-se assim a etapa da obtenc¸a˜o da cinema´tica inversa do roboˆ manipulador
alvo deste relato´rio.
2.3 Jacobiano
O Jacobiano expande os estudos ale´m do posicionamento esta´tico. Examinando as
noc¸o˜es de velocidade linear e angular de um corpo r´ıgido e utilizando destes conceitos
para analisar o movimento do manipulador. Tambe´m sera˜o consideradas forc¸as que
agem sobre o corpo r´ıgido e enta˜o utilizar dessas ideias para estudar a aplicac¸a˜o de
forc¸as esta´ticas com o roboˆ manipulador alvo deste relato´rio (CRAIG, 2012, p. 135).
Estes estudos tem como fim obter uma matriz que informa as duas velocidades
(linear e angular) e as forc¸as esta´ticas. Essa matriz e´ chamada de Jacobiano.
Conforme visto em Craig (2012, cap. 5) e aplicando os me´todos la´ demonstrados,
foi poss´ıvel obter a matriz Jacobiana1 2.3.1.
J =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−𝐿2 · 𝑠12−2·4 − 𝐿1 · 𝑠1+2·2−2·4 −𝐿2 · 𝑠12−2·4 0 0 0 0 0 0
𝐿2 · 𝑐12−2·4 + 𝐿1 · 𝑐1+2·2−2·4 𝐿2 · 𝑐12−2·4 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 −1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(2.3.1)
A matriz Jacobiana encontrada e´ de ordem 6x8 e sera´ de grande importaˆncia nos
estudos da Dinaˆmica.
2.4 Dina^mica
Ate´ agora, os estudos deste trabalham focaram apenas nas considerac¸o˜es esta´ticas.
Existem dois problemas relacionados a dinaˆmica do roboˆ manipulador que para Craig
(2012, p. 165) sa˜o interessantes de serem resolvidos. No primeiro problema, conhecendo
um ponto da trajeto´ria, ˙ e ¨ deseja-se encontrar o vetor dos torques nas juntas. O
segundo problema e´ calcular como o mecanismo vai se comportar sobre a aplicac¸a˜o
desses torques nas juntas.
A modelagem da dinaˆmica pode ser obtida atrave´s de parcelas referentes a ine´rcia,
conjugados, equac¸o˜es de Newton-Euler e sera˜o apresentadas ao longo de subsec¸o˜es da
dinaˆmica.
2.4.1 Ine´rcia
Conhecendo o conceito ba´sico da ine´rcia visto em F´ısica, aplicado ao aˆmbito deste
trabalho, admitindo que a ine´rcia e´ a resisteˆncia f´ısica que um corpo r´ıgido (elo) oferece
quando o mesmo e´ submetido a` acelerac¸a˜o, foram descritos abaixo os devidos ca´lculos
para se obter o tensor ou matriz de ine´rcia, assim denominada.
Considerando os elos do manipulador deste projeto similares a figura geome´trica do
paralelep´ıpedo, obte´m-se a matriz tensor de ine´rcia 𝐼 (2.4.1) em relac¸a˜o a um sistema
de refereˆncia 𝐴.
𝐴I =
⎡⎢⎣
𝑚
3
(𝑙2 + ℎ2) −𝑚
4
𝜔𝑙 −𝑚
4
ℎ𝜔
−𝑚
4
𝜔𝑙 𝑚
3
(𝜔2 + ℎ2) 𝑚
4
ℎ𝑙
−𝑚
4
ℎ𝜔 𝑚
4
ℎ𝑙 𝑚
3
(𝑙2 + 𝜔2)
⎤⎥⎦ (2.4.1)
1 Onde −𝐿2 · 𝑠12−2·4 − 𝐿1 · 𝑠1+2·2−2·4 leˆ-se −𝐿2 sin(𝜃1 + 𝜃2 − 2 · 𝜃4)− 𝐿1 sin(𝜃1 + 𝜃2 − 2 · 𝜃4)
Utilizando o teorema dos eixos paralelos para auxiliar e simplificar o ca´lculo do
tensor de ine´rcia associando um sistema de refereˆncia C com origem no centro de massa
do corpo r´ıgido. Aplicando este me´todo, a matriz 2.4.1 e´ simplificada resultando em
2.4.2.
𝐶I =
⎡⎢⎣
𝑚
3
(𝑙2 + ℎ2) 0 0
0 𝑚
3
(𝜔2 + ℎ2) 0
0 0 𝑚
3
(𝑙2 + 𝜔2)
⎤⎥⎦ (2.4.2)
2.4.2 Algoritmo de Newton-Euler
Nesta subsec¸a˜o do trabalho, sera´ abordado o ca´lculo dos torques que correspondem
a uma dada trajeto´ria do roboˆ manipulador. Assumindo que sa˜o conhecidas a posic¸a˜o,
velocidade e acelerac¸a˜o das juntas (𝜃, ˙ e )¨. Para Craig (2012, p. 173) conhecendo
esses dados do manipulador e somados as informac¸o˜es da cinema´tica e da distribuic¸a˜o
de massa obtidos anteriormente sera´ poss´ıvel calcular o torque necessa´rio para mover
a junta desejada.
As equac¸o˜es para as juntas rotativas sa˜o descritas em iterac¸o˜es de 𝑖 : 0 → 𝑛− 1.
𝑖+1𝜔𝑖+1 =
𝑖+1
𝑖𝑅
𝑖𝜔𝑖 + ˙𝑖+1
𝑖+1 ˆ
𝑖+1 (2.4.3)
. Onde 2.4.3 e´ a velocidade angular.
𝑖+1�˙�𝑖+1 =
𝑖+1
𝑖𝑅
𝑖�˙�𝑖 +
𝑖+1
𝑖𝑅
𝑖𝜔𝑖 × ˙𝑖+1 𝑖+1 ˆ𝑖+1 + �¨�+1 𝑖+1 ˆ𝑖+1 (2.4.4)
. Onde 2.4.4 e´ a acelerac¸a˜o angular.
Se a junta 𝑖 + 1 for prisma´tica, a equac¸a˜o 2.4.5 simplifica.
𝑖+1�˙�𝑖+1 =
𝑖+1
𝑖𝑅
𝑖𝜔𝑖 (2.4.5)
.
A acelerac¸a˜o linear de cada elo pode ser obtida atrave´s de 2.4.6.
𝑖+1�˙�𝑖+1 =
𝑖+1
𝑖𝑅[
𝑖𝜔𝑖 × 𝑖𝑃 𝑖+1 + 𝑖𝜔𝑖 × (𝑖𝜔𝑖 × 𝑖𝑃 𝑖+1) + 𝑖�˙�𝑖] (2.4.6)
.
Alterando a 2.4.6 para uma junta prisma´tica, obte´m-se 2.4.7.
𝑖+1�˙�𝑖+1 =
𝑖+1
𝑖𝑅[
𝑖�˙�𝑖 × 𝑖𝑃 𝑖+1 + 𝑖𝜔𝑖 × (𝑖𝜔𝑖 × 𝑖𝑃 𝑖+1) + 𝑖�˙�𝑖
+ 2 𝑖+1𝜔𝑖+1 × �˙�+1 𝑖+1 ˆ𝑖+1 + �¨�+1 𝑖+1 ˆ𝑖+1]
(2.4.7)
.
Para o algoritmo, tambe´m e´ necessa´rio saber a acelerac¸a˜o linear do centro de massa
de cada elo, que pode ser obtida atrave´s de 2.4.8.
𝑖�˙�𝐶𝑖 =
𝑖�˙�𝑖 × 𝑖𝑃𝐶𝑖 + 𝑖𝜔𝑖 × (𝑖𝜔𝑖 × 𝑖𝑃𝐶𝑖) + 𝑖�˙�𝑖 (2.4.8)
Para ca´lculo da forc¸a e do torque em cada elo, sabendo as equac¸o˜es da acelerac¸a˜o
linear e angular do centro de massa de cada elo, e´ poss´ıvel aplicar o algoritmo de
Newton-Euler para calcular-las atrave´s da equac¸a˜o 2.4.9.
𝐹𝑖 = 𝑚�˙�𝐶𝑖 ,
𝑁𝑖 =
𝐶𝑖𝐼�˙�𝑖 + 𝜔𝑖 × 𝐶𝑖𝐼𝜔𝑖,
(2.4.9)
onde {𝐶𝑖} tem origem centrada no centro de massa do elo e tem a mesma orientac¸a˜o
do elo 𝑖.
Para o torque requerido na junta 𝑖:
𝜏𝑖 =
𝑖𝑛𝑇𝑖
𝑖 ˆ
𝑖 (2.4.10)
Onde:
∙ 𝜔 : Velocidade Angular;
∙ �˙� : Acelerac¸a˜o Angular;
∙ 𝑣 : Velocidade Linear;
∙ �˙� : Acelerac¸a˜o Linear;
∙ 𝐹 : Forc¸a;
∙ 𝑁 : Momento;
∙ 𝑛 : Torque exercido no elo devido ao elo anterior;
∙ 𝜏 : Torque na junta.
2.5 Gerac¸a˜o de Trajeto´ria
Nesta subsec¸a˜o, sera´ mostrado o me´todo para gerar a trajeto´ria do mecanismo
alvo deste trabalho. Esta trajeto´ria se refere a um valor no tempo para a posic¸a˜o,
velocidade e acelerac¸a˜o de cada junta. Na figura 8 e´ poss´ıvel visualizar uma ilustrac¸a˜o
das diferentes trajeto´rias poss´ıveis para o manipulador atingir o ponto desejado. Esta
figura esta representada no espac¸o de juntas.
Figura 8 – Diferentes trajeto´rias.
Fonte: Craig (2012, p. 204)
Para a descric¸a˜o desta trajeto´ria, um polinoˆmio de certa ordem deve se escolhido.
Com base em Craig (2012, p. 204) o polinoˆmio escolhido foi de terceira ordem conforme
equac¸a˜o 2.5.1 que representa a posic¸a˜o do manipulador em func¸a˜o do tempo.
𝜃(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1𝑡 + 𝑎2𝑡
2 + 𝑎3𝑡
3 (2.5.1)
Assim, velocidade e a acelerac¸a˜o sa˜o as respectivas derivadas de 2.5.1 resultando
em 2.5.2.
˙(𝑡) = 𝑎1 + 2𝑎2𝑡 + 3𝑎3𝑡
2
(¨𝑡) = 2𝑎2 + 6𝑎3𝑡
(2.5.2)
Resolvendo este sistema, encontra-se os valores para os coeficientes 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2 e 𝑎3
em 2.5.3.
𝑎0 = 𝜃0,
𝑎1 = 0,
𝑎2 =
3
𝑡2𝑓
(𝜃𝑓 − 𝜃0),
𝑎2 = − 2
𝑡3𝑓
(𝜃𝑓 − 𝜃0).
(2.5.3)
Estas equac¸o˜es sera˜o utilizadas para gerar a trajeto´ria do roboˆ manipulador deste
trabalho. A ordem do polinoˆmio representa a suavidade das variac¸o˜es da posic¸a˜o, ve-
locidade e acelerac¸a˜o. Nota-se que o polinoˆmio mı´nimo e´ o de terceira ordem e con-
sequentemente e´ o que esta´ sendo utilizado neste trabalho. Na func¸a˜o da acelerac¸a˜o,
nota-se que a func¸a˜o torna-se linear e portanto, variac¸o˜es na˜o ta˜o suaves de acelerac¸a˜o
ocorrera˜o.
2.6 Controle do Sistema Na˜o Linear e Variante no Tempo
Segundo Lathi (2007, p. 102),Philips, Parr e Riskin (2014, p. 90), sistemas lineares
sa˜o aqueles cuja sa´ıda e´ proporcional a sua entrada. A propriedade aditiva tambe´m
deve ser verificada. Esta propriedade indica que se uma u´nica entrada 𝑥1 resulta em
uma sa´ıda 𝑦1 enta˜o a soma das entradas 𝑥1 + 𝑥2 implica em uma sa´ıda 𝑦1 + 𝑦2. A
propriedade da homogeneidade ou escalamento tambe´m e´ importante pois indica a
proporcionalidade da entrada em relac¸a˜o a sa´ıda. Uma entrada 𝑘𝑥 resulta em uma
sa´ıda 𝑘𝑦 para todo 𝑘 real ou imagina´rio.
Ja´ os sistemas invariantes no tempo sa˜o aqueles cujo paraˆmetros na˜o sa˜o alterados
com tempo. Para tais sistemas, se a entrada for atrasada em 𝑇 segundos, a sa´ıda e´
a mesma anterior, pore´m atrasada tambe´m em 𝑇 segundos. Podem ser exemplifica-
dos como sistemas compostos por RLC (Resistor, Indutor e Capacitor) dentre outros
(LATHI, 2007, p. 106).
No caso do sistema do manipulador alvo deste trabalho, o mesmo sera´ analisado
como um sistema na˜o linear e variante no tempo pois este sistema na˜o respeita as
propriedades listadas acima.
Como visto em Craig (2012, p. 292) o modelo do servo pode ser obtido pela equac¸a˜o
2.6.1
𝑓 ′ = �¨�𝑑 + 𝑘𝑣�˙� + 𝑘𝑝𝑒 (2.6.1)
onde os valores dos ganhos 𝑘𝑝 e 𝑘𝑣 podem ser ajustados para especificac¸o˜es de perfor-
mance desejados.
O sistema resultante em malha fechada para controle do servo pode ser visto na
figura 9.
Figura 9 – Sistema de controle do servo em malha fechada.
Fonte: Craig (2012, p. 292)
Para o controle efetivamente do manipulador, na˜o mais apenas do servos mas do
manipulador como um todo, pode-se observar na equac¸a˜o 2.6.2 o torque.
𝜏 = 𝑀(𝜃) ˙ + 𝑉 (𝜃, )¨ + 𝐺(𝜃) (2.6.2)
Onde 𝑀 e´ a matriz das massas, 𝑉 a matriz da velocidade e 𝐺 da gravidade. A matriz
𝑀 conte´m os termos da equac¸a˜o de torque que sa˜o em func¸a˜o de 𝜃 e multiplicam .¨
A matriz 𝑉 conte´m todos os termos que sa˜o dependentes da velocidade da junta e por
fim, a matriz 𝐺 conte´m todos os termos onde a constante gravitacional aparece.
Utilizando de um esquema de controle particionado como sugerido em Craig (2012,
p. 295) e assumindo os coeficientes deste esquema como sendo as matrizes 𝑀 , 𝑉 e 𝐺
e´ poss´ıvel montar um sistema de controle para o manipulador. A equac¸a˜o 2.6.3 mostra
o esquema de controle simplificado
𝜏 = 𝛼𝜏 ′ + 𝛽 (2.6.3)
onde 𝜏 e´ o vetor 𝑛× 1 dos torques nas juntas, 𝛼 e 𝛽 sa˜o 2.6.4.
𝛼 = 𝑀(𝜃),
𝛽 = 𝑉 (𝜃, )¨ + 𝐺(𝜃).
(2.6.4)
Na figura 10 e´ poss´ıvel observar o funcionamento esquema de controle descrito em
forma de diagrama de blocos.
Figura 10 – Sistema de controle do manipulador em malha fechada.
Fonte: Adaptado de Craig (2012, p. 296)
3 Resultados
Nesta sec¸a˜o sera˜o mostrados os resultados obtidos atrave´s da simulac¸a˜o feita no
software Matlab alimentado com as equac¸o˜es desenvolvidas ao longo desse trabalho.
3.1 Simulac¸a˜o da Cinema´tica Direta
Com as equac¸o˜es da cinema´tica direta desenvolvidas, foi poss´ıvel encontrar resulta-
dos plenamente satisfato´rios para o manipulador deste relato´rio. Atrave´s da ferramenta
computacional Matlab, com as equac¸o˜es da cinema´tica direta, alimentando com dados
do manipulador encontrados no manual do fabricante e valores para os aˆngulos das
juntas, os resultados gra´ficos obtidos sera˜o mostrados ao longo dessa sub-sec¸a˜o.
Na figura 11 e´ poss´ıvel observar o alcance ma´ximo das juntas rotativas e prisma´tica
do manipulador. A vista e´ do plano 𝑦𝑧. Em azul o alcance ma´ximo da junta rotativa
1, em vermelho o alcance ma´ximo da junta rotativa 2 e em verde o alcance da junta
prisma´tica. Na figura 13, e´ poss´ıvel visualizar o alcance ma´ximo das juntas rotativas
no plano xy, ou seja uma visa˜o de cima do manipulador, respeitando o manual do
fabricante.
−1 −0.5 0 0.5 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ranges das Juntas #1, #2 e #3
Y (m)
Z 
(m
)
Figura 11 – Alcance ma´ximo das juntas.
Fonte: Autoria Pro´pria.
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−1 −0.5 0 0.5 1
Ranges das Juntas #1 e #2
Y (m)
X 
(m
)
Figura 12 – Visa˜o no plano 𝑦𝑥.
Fonte: Autoria Pro´pria.
Em uma visa˜o a partir de cima do manipulador, ou seja, no plano 𝑥𝑦, a figura 12
exibe em azul o movimento da junta 2 mantendo a junta 1 fixa. Vermelho representa
o movimento da junta 1, mantendo a junta 2 fixa.
Ja´ uma visa˜o tridimensional do movimento do manipulador pode ser obtida atrave´s
da figura 14. Esta figura exibe o movimento da junta 1 ao mesmo tempo que a junta
2 varia, ate´ que elas atinjam simultaneamente seu valor ma´ximo no plano 𝑥𝑦𝑧.
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 1
Range Rotativo EPSON SCARA G10−851S
Y (m)
X 
(m
)
Figura 13 – Alcance ma´ximo das juntas.
Fonte: Autoria Pro´pria.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
X (m)
Range Rotativo EPSON SCARA G10−851S
Y (m)
Z 
(m
)
Figura 14 – Alcance ma´ximo no espac¸o.
Fonte: Autoria Pro´pria.
Todos os movimentos mostrados se referem a variac¸o˜es dos aˆngulos 𝜃𝑖. A variac¸a˜o
desses valores para se obter uma posic¸a˜o da ponta da ferramenta do manipulador
caracteriza a cinema´tica direta.
3.2 Simulac¸a˜o da Cinema´tica Inversa
Assim como visto anteriormente na simulac¸a˜o da cinema´tica direta, a inversa se
resume a alimentar o sistema com uma posic¸a˜o no espac¸o que esteja dentro da regia˜o
de trabalho do manipulador e obter como resposta os valores de 𝜃𝑖 e de 𝑑3.
Foi poss´ıvel encontrar os resultados esperados de maneira plenamente satisfato´ria e
quando comparado a cinema´tica direta, os resultados da inversa mostram-se corretos.
Essa comparac¸a˜o da´-se pelo fato de obter os valores de 𝜃𝑖 e de 𝑑3 fornecidos pela
cinema´tica inversa e alimentar o sistema na cinema´tica direta. Observa-se enta˜o se a
ponta da ferramenta na cinema´tica direta alcanc¸a exatamente o ponto no espac¸o que
foi inicialmente passados ao sistema da cinema´tica inversa.
Na figura 15 observa-se no plano 𝑦𝑥 as duas poss´ıveis posic¸o˜es que o manipulador
pode assumir para atingir o ponto dado. Em vermelho a aproximac¸a˜o negativa e em
verde a aproximac¸a˜o positiva. Essas duas possibilidades resultam da equac¸a˜o 2.2.17.
Ja´ na figura 16 e´ poss´ıvel visualizar em azul a posic¸a˜o em repouso do manipulador.
Em vermelho a aproximac¸a˜o negativa e em verde a positiva. Nessa visualizac¸a˜o no
espac¸o e´ poss´ıvel visualizar tambe´m a ponta da ferramenta e um deslocamento para
𝑑3.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 1
Estado de Repouso e Possíveis Trajetórias
Y (m)
X 
(m
)
Figura 15 – Poss´ıveis posic¸o˜es do manipu-
lador.
Fonte: Autoria Pro´pria.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
X (m)
Estado de Repouso e Possíveis Trajetórias
Y (m)
Z 
(m
)
Figura 16 – Manipulador no espac¸o.
Fonte: Autoria Pro´pria.
3.3 Simulac¸a˜o da Dina^mica
Conforme visto, a dinaˆmica do roboˆ manipulador representa os movimentos angula-
res e lineares levando em considerac¸a˜o as ine´rcias e o efeito da forc¸a gravitacional sobre
o mecanismo. Nesta simulac¸a˜o sera˜o exibidos gra´ficos que representam as variac¸o˜es da
posic¸a˜o, velocidade, acelerac¸a˜o e torque em cada uma das quatro juntas em func¸a˜o
do movimento do mecanismo para sair de um ponto e chegar em outro, respeitando a
trajeto´ria gerada.
Na figura 17 pode-se observar a variac¸a˜o do torque ao longo do tempo de simulac¸a˜o.
No primeiro gra´fico, e´ poss´ıvel visualizar a variac¸a˜o do torque na junta rotativa #1, no
segundo gra´fico o torque na junta rotativa #2, no terceiro o torque na junta prisma´tica
#3 e por fim, o torque na junta rotativa #4. Essa variac¸a˜o de torque foi obtida atrave´sda simulac¸a˜o do mecanismo partindo da posic¸a˜o de repouso e atingindo um ponto alvo
no espac¸o.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
−2
0
2
x 10−4 Torques nas Juntas
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
−2
0
2
x 10−4
To
rq
ue
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
1.6
1.62
1.64
x 10−3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
−1
0
1
t (s)
Figura 17 – Variac¸a˜o do torque nas juntas ao longo do tempo.
Fonte: Autoria pro´pria
Como pontos interessantes desta figura, vale notar por exemplo, no quarto gra´fico
que representa a junta rotativa #4 que o torque e´ zero. Isto implica que o roboˆ na˜o esta
com carga nenhuma acoplada em sua ferramenta, ou seja, esta junta esta´ em aberto
para que futuramente uma carga possa ser adicionada. Nota-se tambe´m que das juntas
rotativas, a junta #1 e´ a que executa maior torque visto que as outras juntas esta˜o
conectadas a base atrave´s dela. Ja´ na u´nica junta prisma´tica deste mecanismo, nota-se
o efeito do torque para mover o mecanismo na posic¸a˜o desejada no eixo ˆ enquanto
sofre os efeitos da gravidade.
Ja´ na figura 18 e´ poss´ıvel visualizar a variac¸a˜o da posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o
na junta #1.
0 5
−0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
t (s)
Po
si
çã
o
0 5
−0.09
−0.08
−0.07
−0.06
−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
t (s)
Ve
lo
ci
da
de
Junta #1
0 5
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
t (s)
Ac
el
er
aç
ão
Figura 18 – Variac¸a˜o da posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o da junta #1.
Fonte: Autoria pro´pria
E respectivamente, as figuras 19, 20 e 21 para as juntas #2, #3 e #4.
0 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t (s)
Po
si
çã
o
0 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
t (s)
Ve
lo
ci
da
de
Junta #2
0 5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t (s)
Ac
el
er
aç
ão
Figura 19 – Variac¸a˜o da posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o da junta #2.
Fonte: Autoria pro´pria
0 5
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4
t (s)
Po
si
çã
o
0 5
−0.03
−0.025
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
t (s)
Ve
lo
ci
da
de
Junta #3
0 5
−0.025
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
t (s)
Ac
el
er
aç
ão
Figura 20 – Variac¸a˜o da posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o da junta #3.
Fonte: Autoria pro´pria
0 5
0
1
2
3
4
5
6
7
t (s)
Po
si
çã
o
0 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (s)
Ve
lo
ci
da
de
Junta #4
0 5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
t (s)
Ac
el
er
aç
ão
Figura 21 – Variac¸a˜o da posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o da junta #4.
Fonte: Autoria pro´pria
Nota-se na figura 20 as variac¸o˜es na junta #3. Neste caso, o movimento ocorre no
sentido negativo de ˆ por isso seu sentido no gra´fico e´ diferente dos demais. Mesma
coisa na velocidade que ocorre a variac¸a˜o no sentido negativo do eixo. Na acelerac¸a˜o, o
movimento ocorre no sentido negativo tambe´m e depois na etapa do ”freio”a acelerac¸a˜o
ocorre no sentido contra´rio ao movimento, neste caso, o sentido positivo.
Ja´ na figura 22 e´ poss´ıvel visualizar o trajeto f´ısico do manipulador para atingir
o ponto desejado. Em azul a posic¸a˜o de repouso do roboˆ, em verde a posic¸a˜o final
desejada e em vermelho a trajeto´ria percorrida. Vale ressaltar o fato de que a junta
#1 gira no sentido negativo de rotac¸a˜o para que a ponta da ferramenta atinga o ponto
desejado. Essa rotac¸a˜o no sentido negativo pode ser vista atrave´s da figura 18.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X (m)
Trajetória
Y (m)
Z 
(m
)
Figura 22 – Movimentac¸a˜o f´ısica do manipulador.
Fonte: Autoria pro´pria
3.4 Simulac¸a˜o do Controle
Devido a complexidade em se extrair os termos caracter´ısticos da dinaˆmica presentes
na complicada equac¸a˜o do torque, o controle foi realizado considerando massas dos
corpos unita´ria e apenas de uma junta, no caso a junta #1. Na gerac¸a˜o de trajeto´ria
o modelo imposto foi o do servo, conforme visto na equac¸a˜o 2.6.1. Na figura 23 e´
poss´ıvel visualizar a variac¸a˜o da posic¸a˜o em graus da junta #1 no intervalo de tempo de
simulac¸a˜o. Nota-se que a junta se move da posic¸a˜o inicial ate´ a posic¸a˜o final (𝜃0 → 𝜃𝑓 ).
Observa-se em azul a trajeto´ria proposta pelas equac¸o˜es na sec¸a˜o de gerac¸a˜o de
trajeto´ria. Em vermelho, nota-se o efeito do controlador efetuando o controle do meca-
nismo. E´ poss´ıvel visualizar no ponto final da trajeto´ria uma diferenc¸a de 0,33o. Esta
diferenc¸a no ponto final da´-se pela aplicac¸a˜o do modelo do servo, onde o controla-
dor tenta ao ma´ximo manter o servo na trajeto´ria desejada. No entanto, ainda sim e´
poss´ıvel perceber um desvio dos valores no percentual de 4,4%. No esquema de controle
proposto na figura 9, os paraˆmetros 𝑘𝑝 e 𝑘𝑣 foram dimensionados em 230 e 5, respec-
tivamente. A alterac¸a˜o destes paraˆmetros ira˜o gerar alterac¸o˜es na figura 23, variando
diferenc¸a da posic¸a˜o final e do erro me´dio.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
−18
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
Controle de Posição
t (s)
Po
si
çã
o 
(°)
 
 
Posição #1
Posição Estimada #1
Figura 23 – Movimentac¸a˜o f´ısica do manipulador.
Fonte: Autoria pro´pria
4 Concluso˜es
Durante a elaborac¸a˜o deste relato´rio foi poss´ıvel observar os diversos aspectos refe-
rentes as caracter´ısticas de funcionamento do modelo matema´tico da cinema´tica direta,
inversa, matriz Jacobiana, dinaˆmica e do controlador do roboˆ manipulador alvo deste
trabalho. Foram encontradas diversas dificuldades ao decorrer da elaborac¸a˜o deste re-
lato´rio principalmente nas sec¸o˜es de dinaˆmica e do controlador.
Conforme visto, com a modelagem da cinema´tica inversa elaborada e´ poss´ıvel inserir
uma posic¸a˜o no espac¸o Euclidiano e obter como resposta uma configurac¸a˜o para os
aˆngulos das juntas do manipulador.
Atrave´s da matriz Jacobiana obtida, as func¸o˜es que representam a velocidade linear
e a velocidade angular sa˜o obtidas modelando assim o movimento do manipulador.
Com a obtenc¸a˜o da dinaˆmica do manipulador foram vistas as influeˆncias das massas
dos corpos r´ıgidos (elos) em movimento e sob efeito da forc¸a gravitacional.
Com os resultados, foi poss´ıvel obter de maneira satisfato´ria a visualizac¸a˜o dos
alcances ma´ximos do roboˆ manipulador tal como no manual do fabricante, bem como
as posic¸o˜es apontadas na cinema´tica direta e inversa coerentemente obtidas.
Para reduc¸a˜o do erro do controlador, melhores soluc¸o˜es para o controle podem ser
propostas de acordo com as necessidades de cada situac¸a˜o.
Refere^ncias
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& Business Media, 2013.
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PADOIN, E.; MENUZZI, O.; VALDIERO, A. C. Modelagem matema´tica e simulac¸a˜o
computacional da dinaˆmica de uma junta do roboˆ scara com a na˜o linearidade de
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TSAI, L.-W. Robot analysis: the mechanics of serial and parallel manipulators. [S.l.]:
John Wiley & Sons, 1999.
	Sumário
	Sumário
	Introdução
	EspecificaçõesTécnicas
	Desenvolvimento
	Obtenção da Cinemática Direta
	Denavit-Hartenberg
	Matrizes de Transformação
	Matrizes de Rotação
	Obtenção da Cinemática Inversa
	Obtenção da Equação de 2
	Obtenção da Equação de 1
	Obtenção da Equação de 4
	Obtenção da Equação de d3
	Jacobiano
	Dinâmica
	Inércia
	Algoritmo de Newton-Euler
	Geração de Trajetória
	Controle do Sistema Não Linear e Variante no Tempo
	Resultados
	Simulação da Cinemática Direta
	Simulação da Cinemática Inversa
	Simulação da Dinâmica
	Simulação do Controle
	Conclusões
	Referências