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Resumo 3 - Limites, limites laterais e limites infinitos

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RESUMO 3 
 
TEMA: LIMITES E CONTINUIDADE. 
 
 
“Um limite é uma concepção peculiar e fundamental, 
cujo uso na prova de proposições da Geometria Superior 
não pode ser suplantado por qualquer outra combinação 
de hipóteses e definições.” 
 
Willian Whewell 
Filósofo da Ciência 
 
1)INTRODUÇÃO. 
 
 O conceito de limite é a base sobre a qual se fundamenta a grande parte dos demais 
conceitos do Cálculo Diferencial e Integral. Este estudo se propõe a apresentar as noções intuitivas 
do conceito de limite que nos permitam compreender melhor as ideias básicas do Cálculo Diferencial 
e Integral, deixando para um momento posterior a apresentação das definições precisas deste 
conceito. 
 
2)LIMITES – UMA ABORDAGEM INTUITIVA 
A)Os Problemas do Cálculo. 
 
 Muitas das ideias básicas do Cálculo originaram-se a partir dos seguintes problemas 
geométricos: O problema da reta tangente e O problema da Área. 
 
O problema da reta tangente: Dada uma função f e um ponto 𝑃(𝑥0, 𝑦0) em seu gráfico, encontre 
uma equação da reta que é tangente ao gráfico em P. 
 
 
 
O problema da Área: Dada uma função f, encontre a área entre o gráfico de f e um intervalo [a, b] no 
eixo x. 
 
 Tradicionalmente, a parte do Cálculo que se originou do problema da reta tangente é 
denominada Cálculo Diferencial, e a que foi originada do problema da área é denominada Cálculo 
Integral. Porém, posteriormente veremos que o problema da reta tangente e o da área estão tão 
estreitamente relacionados e que a distinção entre Cálculo Diferencial e Integral é bastante artificial. 
 
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B)A RETA TANGENTE E SUA RELAÇÃO COM OS LIMITES. 
 
Em geometria plana dizemos que uma reta é tangente a um círculo se o encontrar em um 
único ponto conforme a figura abaixo. 
 
No entanto esta definição não é adequada para curvas mais gerais. Observe o caso da curva 
representada abaixo, apesar da reta encontrar a curva em um único ponto é evidente que esta não é 
tangente á curva dada. 
 
Observe agora a curva da figura. 
 
 A reta parece ser tangente a curva, no entanto intersecta a mesma em dois pontos distintos. 
Portanto, precisamos de uma definição de reta tangente que se apliquem a curvas que não sejam 
círculos. 
 
A Reta tangente 
Seja o gráfico de uma função f a curva apresentada abaixo e P
 00 , yx
 um ponto desta 
curva. 
 
 Tomando-se um ponto genérico Q(x, f(x)) com Q

P e fazendo-o aproximar-se de P( pela 
direita e pela esquerda de P), pode acontecer que a reta PQ ( denominada reta secante à curva) 
tenda a uma posição-limite dada pela reta t. Neste caso t é chamada reta tangente à curva em 
P, desde que esta não seja vertical. 
Veja que este novo conceito de reta tangente também é adequado para apresentar retas 
tangentes a círculos, conforme figura abaixo: 
 
 
 
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Nem sempre a reta tangente ao gráfico de uma função existe. Observe o exemplo abaixo: 
 
 
 
Ao considerar-se o processo de aproximação do ponto Q ao ponto P pela direita e pela 
esquerda, têm-se duas retas 
1t
 e 
2t
 como posições-limite. Neste caso, não existe uma reta 
tangente t ao gráfico desta função no ponto P. 
 
Exemplo 1: Decida se o gráfico de f tem reta tangente ao ponto P, nos casos indicados na figura. 
 
 
R: Admite tangente: b e d 
Exemplo 2: Encontre uma equação para a reta tangente à parábola 𝑦 = 𝑥2 no ponto P(1, 1). 
R: y = 2x – 1. 
 
C) O CÁLCULO DE ÁREA E SUA RELAÇÃO COM OS LIMITES. 
 
 A noção geral de área também nos conduz ao conceito de limite. Para regiões planas com 
contornos formados por linhas retas as áreas podem ser calculadas subdividindo-se a região em 
retângulos ou triângulos e somando-se as áreas das partes constituintes. Observe: 
 
 
 No entanto para regiões cujo contorno é curvo, como na figura abaixo, se faz necessária uma 
abordagem mais geral. 
 
 
 
 Uma dessas abordagens é começar aproximando a área da região com certo número de 
retângulos inscritos de larguras iguais sob a curva, e somar as áreas desses retângulos. Observe: 
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 Intuitivamente se repetirmos este processo de aproximação com cada vez mais retângulos 
então eles tenderão a preencher o vazio sob a curva se aproximando cada vez mais da área exata sob 
a curva. 
 
 Portanto, podemos conceber a área sob a curva como sendo o valor limite dessas 
aproximações pelas somas das áreas dos retângulos. 
 
D)A SOMA DE UMA SÉRIE E SUA RELAÇÃO COM OS LIMITES. 
 
 Um dos paradoxos de Zenon apresentado por Aristóteles afirma que uma pessoa num certo 
ponto de uma sala não pode caminhar até a parede. Ela deve percorrer metade da distância, depois 
a metade da distância restante, e então novamente a metade da distância que restou e assim por 
diante de tal forma que o processo pode ser sempre continuado e não terá fim, isto é, ela não 
chegará até a parede. 
 
 Mas intuitivamente sabemos que ela pode chegar até a parede. E então o que acontece? 
 
 Na verdade é possível que a distância total possa ser expressa como uma soma de infinitas 
distâncias cada vez menores, como a seguir: 
 
 1 = 
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ … + 
1
2𝑛
+ ⋯ 
 
 Zenon afirmava que não fazia sentido somar um número infinito de números. Porém algumas 
somas infinitas (também chamadas de séries infinitas) tem um significado se utilizarmos a ideia de 
limite. 
 Considere 𝑆𝑛 a soma dos n primeiros termos da série infinita 
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ … + 
1
2𝑛
+ ⋯. Assim: 
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Ou seja à medida que somamos mais e mais termos a soma, as somas parciais ficam cada vez 
mais próximas de 1. Parece então razoável afirmar que a soma desta série infinita tende ao valor 
limite de 1. 
 
3)LIMITES. 
 
 O uso mais básico de limite é descrever o comportamento de uma função quando a variável 
independente tende a um determinado valor. 
 
 Seja a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 definida para x real. Vamos analisar o comportamento da função f 
quando x assume valores próximos de 2. Para tal elaboremos as tabelas 1 e 2: 
TABELA 1 : x se aproxima de 2 por valores à 
esquerda de 2: 
 
x f(x) 
 1 1 
1,5 1,75 
1,9 2,71 
1,99 2,9701 
1,999 2,997001 
 
TABELA 2: X se aproxima de 2 por valores a 
direita de 2. 
x f(x) 
 3 7 
2,5 4,75 
2,1 3,31 
2,01 3,030100 
2,001 3,003001 
 
Ou seja, os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de ___ à medida que escolhermos 
valores de x cada vez mais próximos de ___ por qualquer um dos lados, esquerdo ou direito . 
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Descrevemos isso dizendo que o “limite de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 é 3 quando x tende a 2 por qualquer 
um dos lados , e escrevemos lim
𝑥→3
𝑥2 − 𝑥 + 1= 3. 
Observe esse comportamento observando a representação gráfica desta função: 
 
Generalizando esta idéia podemos dizer que : 
“Se os valores de f(x) puderem ser tornados tão próximos quanto queiramos de L, desde que 
tomemos os valores de x suficientemente próximos de a ( mas não iguais a a ), então escreveremos 
 
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
Que deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é L.” 
Ainda podemos escrever: 𝑓(𝑥) → 𝐿 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑎. 
OBS: Uma vez que x deve ser diferente de a então o valor de f em a não tem relação alguma com o 
limite L, bem como é indiferente se f está