Determine as asśıntotas horizontais e as asśıntotas verticais da função f definida em seu doḿınio natural pela lei f(x) = √(1 + 4x^2)/(x-3) ca...

Para determinar as assíntotas horizontais e verticais da função f(x) = √(1 + 4x^2)/(x-3), podemos seguir os seguintes passos: 1. Verificar o domínio da função: o denominador da função é x-3, portanto, a função não está definida para x = 3. 2. Calcular os limites infinitos: - Limite quando x tende a +∞: dividindo o numerador e o denominador por x, temos f(x) = (√(1 + 4/x^2))/(1 - 3/x). Quando x tende a +∞, o termo 4/x^2 tende a zero, e o termo -3/x tende a zero. Portanto, temos f(x) ≈ (√1)/(1-0) = 1. Isso significa que a reta y = 1 é uma assíntota horizontal da função. - Limite quando x tende a -∞: seguindo o mesmo raciocínio, temos f(x) ≈ (√1)/(1-0) = 1. Portanto, a reta y = 1 é outra assíntota horizontal da função. 3. Calcular os limites no ponto de descontinuidade: quando x tende a 3 pela esquerda (x < 3), o termo (x-3) tende a zero negativo, e o termo √(1 + 4x^2) tende a um valor finito. Portanto, a função tem uma assíntota vertical no ponto x = 3. 4. Verificar se existem outras assíntotas verticais: não existem outras assíntotas verticais, pois a função é contínua em todo o seu domínio natural. Portanto, as assíntotas horizontais da função são as retas y = 1 e y = -1, e a assíntota vertical é a reta x = 3.