2 Variáveis Aleatórias Distribuição Contínua

Prévia do material em texto

GL301 – Estatística I
Leonardo T. Duarte
Primeiro Semestre de 2013
Variável Aleatória
Distribuições contínuas
 
Variáveis Aleatórias Contínuas
● Variáveis aleatórias também podem ser definidas para 
dados contínuos
Discreto Contínuo
Função massa de probabilidade Função densidade de probabilidade 
 
Variáveis Aleatórias Contínuas
● Exemplos de variáveis aleatórias contínuas
● pH de um composto químico selecionado 
aleatoriamente num processo industrial
● Altura de uma população
● Peso de uma peça selecionada aleatoriamente de um 
lote
 
Caraterização de uma VA contínua
● Uma VA contínua pode ser caracterizada por uma função 
densidade de probabilidade
● Exemplo: Considere uma variável aleatória X distribuída 
uniformemente entre -0.5 e 0.5
● A função densidade de probabilidade neste caso é dada 
por:
-0.5
x
f(x)
-0.5
 
Caraterização de uma VA contínua
● A função densidade de probabilidade pode ser 
interpretada como um histograma no qual os intervalos 
possuem uma largura infinitesimal e quantidade de 
dados é extremamente grande. Exemplo:
- 6 - 4 - 2 0 2 4 6
0
1
2
3
4
x 1 0 5
- 6 - 4 - 2 0 2 4 6
0
2
4
6
8
x 1 0 4
- 6 - 4 - 2 0 2 4 6
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
x 1 0 4
 
Caraterização de uma VA contínua
● Dada uma VA X cuja função densidade de probabilidade 
(fdp) é dada fX(x), como calcular a probabilidade de uma 
realização de X estar no intervalo [a,b]?
Exemplo:
● Devemos calcular a área sob fX(x) no intervalo desejado. 
 
1 x
f(x)
1,5 2,5
0.5
1 3 x
f(x)
0.5
 
Caraterização de uma VA contínua
● Dada uma VA X cuja função densidade de probabilidade 
(fdp) é dada fX(x), como calcular a probabilidade de uma 
realização de X estar no intervalo [a,b]?
Exemplo:
● Devemos calcular a área sob fX(x) no intervalo desejado.
 
 
1 x
f(x)
1,5 2,5
0.5
1 3 x
f(x)
0.5
 
Caraterização de uma VA contínua
● Exemplo: Considere a densidade abaixo
● Calcule c para esta curva seja uma densidade: área total 
sob a curva deve ser 1
● Qual a probabilidade de uma realização da VA associada 
a esta densidade estar no intervalo [0,0.5]: temos que 
calcular a área neste intervalo
P(0 ≤ x ≤ 0.5) = 
x
f(x)
10,5 x
f(x)
c
 
Caraterização de uma VA contínua
● Exemplo: Considere a densidade abaixo
● Calcule c para esta curva seja uma densidade: área total 
sob a curva deve ser 1
● Qual a probabilidade de uma realização da VA associada 
a esta densidade estar no intervalo [0,0.5]: temos que 
calcular a área neste intervalo
P(0 ≤ x ≤ 0.5) = (0.5 × 2) / 2 = 0.5 
x
f(x)
10,5 x
f(x)
c
 
Caraterização de uma VA contínua
● Dado que
● Uma fdp deve respeitar as seguintes condições:
● A primeira condição evita probabilidades negativas.
● A segunda condição garante que probabilidade do 
evento certo seja 1.
 
Caraterização de uma VA contínua
● Implicação interessante: qual a probabilidade de uma VA 
contínua ser igual a um dado número c?
 
● Ou seja, a probabilidade de uma VA assumir um dado 
valor é nula!
● Intuição: numa variável aleatória contínua há um número 
infinitamente grande de elementos no espaço amostral.
● Logo, a probabilidade de um dado ponto é zero.
 
 
Função de distribuição acumulada
● A função de distribuição acumulada (fda) de uma VA X, 
representada por FX(x), é definida com
FX(x) = P(X ≤ x)
● Podemos escrever 
FX(x) = P(- ∞ ≤ X ≤ x)
● Logo
● Pelo teorema fundamental do cálculo
 
Exercício
● Num processo de manufatura, há variação no peso de 
cada embalagem produzida. O engenheiro responsável 
modelou esta variação por meio de uma VA X cuja fdp é
● Determine k
● Sabendo que o valor desejado é 1, determine a 
probabilidade de uma embalagem escolhida ao acaso ter 
peso no intervalo [0,75, 1].
● Determine e esboce a função de distribuição acumulada
● Determine a média, variância e mediana.
 
VAs Contínuas
● A média de uma VA contínua X é dada por:
● De modo mais geral
● A variância de X é dada por E{(X-E{X})2}, e logo
 
Revisão VAs Contínuas
● A média é um operador linear
 
Revisão VAs Contínuas
● A média é um operador linear
● A variância de Y = aX + b é dada por: 
 
Revisão VAs Contínuas
● A média é um operador linear
● A variância de Y = aX + b é dada por: 
 
Revisão VAs Contínuas
● A média é um operador linear
● A variância de Y = aX + b é dada por: 
 
Revisão VAs Contínuas
● A média é um operador linear
● A variância de Y = aX + b é dada por: 
 
Revisão VAs Contínuas
● A média é um operador linear
● A variância de Y = aX + b é dada por: 
 
Importantes distribuições contínuas
● Distribuição Normal (ou Gaussiana)
● Distribuição Uniforme
● Distribuição exponencial
● Distribuição gama
● Distribuição lognormal
 
Distribuição Gaussiana
● Distribuição Normal ou Gaussiana
● Variável aleatória mais importante em estatística
- 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
1 . 4
1 . 6
x
f(x
)
de Moivre
Laplace
Gauss
 
Distribuição Gaussiana
● Função densidade de probabilidade
 
Distribuição Gaussiana
● Função densidade de probabilidade
● Mostra-se que E{X} = μ e que a variância de X é σ2.
 
Distribuição Gaussiana
● Função densidade de probabilidade
● Mostra-se que E{X} = μ e que a variância de X é σ2.
● Neste caso, mediana = média = moda
 
Distribuição Gaussiana
● Função densidade de probabilidade
● Mostra-se que E{X} = μ e que a variância de X é σ2.
● Neste caso, mediana = média = moda
● Exemplo (Montgomery, 2003)
 
Distribuição Gaussiana
● Função de distribuição acumulada da VA normal é 
 
Distribuição Gaussiana
● Função de distribuição acumulada da VA normal é 
● Esta integral só pode ser calculada numericamente.
● No caso em que E{X} = μ = 0 e σ2 =1, temos a chamada 
distribuição normal padrão
 
Distribuição Gaussiana
● Função de distribuição acumulada da VA normal é 
● Esta integral só pode ser calculada numericamente.
● No caso em que E{X} = μ = 0 e σ2 =1, temos a chamada 
distribuição normal padrão
● Historicamente, a função Φ(z) é tabelada. Atualmente, 
softwares matemáticos calculam rapidamente esta função.
 
FDA de uma distribuição Gaussiana
 
FDA de uma distribuição Gaussiana
 
FDA de uma distribuição Gaussiana
● Exemplos (Wikipedia)
FDP FDA
 
Distribuição Gaussiana
● Exemplo: uma VA Z segue uma distribuição normal 
padronizada (μ = 0 e σ2 =1). Calcule:
● P(Z ≤ 1.5) = FZ(1.5) 
 
Distribuição Gaussiana
● Exemplo: uma VA Z segue uma distribuição normal 
padronizada (μ = 0 e σ2 =1). Calcule:
● P(Z ≤ 1.5) = FZ(1.5) = Φ(1.5) = 0.933. 
 
Distribuição Gaussiana
● Exemplo: uma VA Z segue uma distribuição normal 
padronizada (μ = 0 e σ2 =1). Calcule:
● P(Z ≤ 1.5) = FZ(1.5) = Φ(1.5) = 0.933. 
● P(-1.25 ≤ Z ≤ 0.37)= FZ(0.37) –FZ(-1.25) = Φ(0.37) -Φ(-1.25) 
= 0.644 – 0.105 = 0.538 
 
Distribuição Gaussiana
● Como calcular a probabilidade no caso de uma VA normal 
X não-padronizada de média μ e variância σ2 =1?
 
Distribuição Gaussiana
● Como calcular a probabilidade no caso de uma VA normal 
X não-padronizada de média μ e variância σ2 =1?
● Padronizar a variável X
● É fácil verificar que Z possui média 0 e variância 1.
 
Distribuição Gaussiana
● Como calcular a probabilidade no caso de uma VA normal 
X não-padronizada de média μ e variância σ2 =1?
● Padronizar a variável X
● É fácil verificar que Z possui média 0 e variância 1.
● LogoDistribuição Gaussiana
● Como calcular a probabilidade no caso de uma VA normal 
X não-padronizada de média μ e variância σ2 =1?
● Padronizar a variável X
● É fácil verificar que Z possui média 0 e variância 1.
● Logo
● Portanto,
 
 
Distribuição Gaussiana
● Exemplo: A potência dissipada em um resistor segue uma 
VA normal com μ = 1 W e variância σ2 = 0.1 W2. Qual a 
probabilidade desta potência estar no intervalo [1,1.5]W?
● Qual a probabilidade da potência dissipada ser maior do 
que 1.5W? 
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
Po
tê
nc
ia
 
(W
)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
00.20.40.60.811.21.4
x
f
X
(x)
 
Distribuição Gaussiana
● Qual a probabilidade da potência dissipada ser maior do 
que 1.5W? 
 
Distribuição Gaussiana
● Qual a probabilidade da potência dissipada ser maior do 
que 1.5W? 
 
Distribuição Gaussiana
● Qual a probabilidade da potência dissipada ser maior do 
que 1.5W? 
 
Distribuição Gaussiana
● A porcentagem de área em torno da média a cada 
incremento de desvio padrão. 
 
Distribuição Gaussiana
● Exemplo de aplicação em qualidade. Considere uma certa 
especificação para um produto (e.g. peso).
 
Distribuição Gaussiana
● Exemplo de aplicação em qualidade. Considere uma certa 
especificação para um produto (e.g. peso).
● Defeito: quando a característica desejada está fora do 
intervalo que define os limites da especificação (LSL-USL). 
 
Distribuição Gaussiana
● Exemplo de aplicação em qualidade. Considere uma certa 
especificação para um produto (e.g. peso).
● Defeito: quando a característica desejada está fora do 
intervalo que define os limites da especificação (LSL-USL). 
● Considere que a característica analisada segue uma 
distribuição normal, cuja média μ é o valor especificado. 
● Assumindo que LSL = μ – 3σ e USL = μ + 3σ, quantas 
peças serão defeituosas?
 
Distribuição Gaussiana
● Exemplo de aplicação em qualidade. Considere uma certa 
especificação para um produto (e.g. peso).
● Defeito: quando a característica desejada está fora do 
intervalo que define os limites da especificação (LSL-USL). 
● Considere que a característica analisada segue uma 
distribuição normal, cuja média μ é o valor especificado. 
● Assumindo que LSL = μ – 3σ e USL = μ + 3σ, quantas 
peças serão defeituosas?
● Resposta: 
Aproximadamente 0,27%
● Processo +/- 3 sigma
● Qualidade +/- 3 sigma 
 
Distribuição Gaussiana
● É possível considerar outros níveis de sigma em qualidade.
● Processo seis sigma (desenvolvido pela Motorola em 1986) 
apresenta 0.002 peças defeituosas por milhão.
 
Distribuição Gaussiana
● É possível considerar outros níveis de sigma em qualidade.
● As porcentagens são menores aqui pois geralmente não é 
possível garantir exatamente o valor nominal.
 
Variável Aleatória Gaussiana
● Por que a VA Gaussiana é tão importante?
 
Variável Aleatória Gaussiana
● Por que a VA Gaussiana é tão importante?
● Vamos considerar um conjunto de N variáveis aleatórias: 
X1, X2,...,XN
 
Variável Aleatória Gaussiana
● Por que a VA Gaussiana é tão importante?
● Vamos considerar um conjunto de N variáveis aleatórias: 
X1, X2,...,XN
● Somando este conjunto, obtemos uma nova VA:
Y = X1 + X2 + … + XN
 
Variável Aleatória Gaussiana
● Por que a VA Gaussiana é tão importante?
● Vamos considerar um conjunto de N variáveis aleatórias: 
X1, X2,...,XN
● Somando este conjunto, obtemos uma nova VA:
Y = X1 + X2 + … + XN
● À medida que N cresce, a densidade de Y tende a uma 
Gaussiana, não importando quais são as densidade de 
X1, X2,...,XN
 
Variável Aleatória Gaussiana
● Por que a VA Gaussiana é tão importante?
● Vamos considerar um conjunto de N variáveis aleatórias: 
X1, X2,...,XN
● Somando este conjunto, obtemos uma nova VA:
Y = X1 + X2 + … + XN
● À medida que N cresce, a densidade de Y tende a uma 
Gaussiana, não importando quais são as densidade de 
X1, X2,...,XN
● Este resultado é conhecido como Teorema Central do 
Limite.
 
Variável Aleatória Gaussiana
● Ilustração do teorema central do limite (TCL): vamos 
considerar N variáveis aleatórias uniformes
-0.5
x
f(x)
-0.5 -0.5
x
f(x)
-0.5 -0.5
x
f(x)
-0.5
…
 
Variável Aleatória Gaussiana
● Ilustração do teorema central do limite (TCL): vamos 
considerar N variáveis aleatórias uniformes
● Y → soma das realizações dessas Vas (não é a soma 
das pdfs!). Densidade aproximada de Y: 
-0.5
x
f(x)
-0.5
N = 2
-0.5
x
f(x)
-0.5 -0.5
x
f(x)
-0.5
…
N = 3 N = 10
- 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
- 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
3 5 0
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
3 5 0
4 0 0
4 5 0
 
Implicação do TCL
● Média amostral mX: pode ser vista como uma realização 
da seguinte variável aleatória
Y = (X1 + X2 + … + XN)/N
onde X1, X2, … , XN possuem a mesma distribuição fX(x)
 
Implicação do TCL
● Média amostral mX: pode ser vista como uma realização 
da seguinte variável aleatória
Y = (X1 + X2 + … + XN)/N
onde X1, X2, … , XN possuem a mesma distribuição fX(x)
● Pela linearidade da esperança da E{Y} = E{X} 
● Além disso, é fácil mostrar que σY2 = σX2/N
 
Implicação do TCL
● Média amostral mX: pode ser vista como uma realização 
da seguinte variável aleatória
Y = (X1 + X2 + … + XN)/N
onde X1, X2, … , XN possuem a mesma distribuição fX(x)
● Pela linearidade da esperança da E{Y} = E{X} 
● Além disso, é fácil mostrar que σY2 = σX2/N
● Finalmente pelo TCL, a distribuição de Y tende a uma 
Gaussiana a medida que N cresce. 
 
Implicação do TCL
● Exemplo: Seja X uma variável aleatória uniforme
● A média populacional (esperança) é E{X} = 0.5
● Vamos estudar a distribuição Y da média amostral 
considerando diferentes números de amostras N
Y = (X1 + X2 + … + XN)/N
1
x
f(x)
1
 
Implicação do TCL
● Média amostral de uma VA uniforme
Média estimada com N = 1 amostra (10000 repetições)
● Resultados apresentados em um histograma
0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
1 6 0
1 8 0
2 0 0
M é d i a a m o s t r a l
 
Implicação do TCL
● Média amostral de uma VA uniforme
Média estimada com N = 5 amostras (10000 repetições)
● Resultados apresentados em um histograma
0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
1 6 0
1 8 0
2 0 0
M é d i a a m o s t r a l
 
Implicação do TCL
● Média amostral de uma VA uniforme
Média estimada com N = 10 amostras (10000 repetições)
● Resultados apresentados em um histograma
0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
1 6 0
1 8 0
2 0 0
M é d i a a m o s t r a l
 
Implicação do TCL
● Média amostral de uma VA uniforme
Média estimada com N=100 amostras (10000 repetições)
● Resultados apresentados em um histograma
0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
1 6 0
1 8 0
2 0 0
M é d i a a m o s t r a l
 
Implicação do TCL
● Média amostral de uma VA uniforme
Média estimada com N=5000 amostras (10000 repetições)
● Resultados apresentados em um histograma
0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 01 6 0
1 8 0
2 0 0
M é d i a a m o s t r a l
 
Aproximação da binomial pela normal
● A distribuição normal é muito utilizada para aproximar 
outras distribuições
 
Aproximação da binomial pela normal
● A distribuição normal é muito utilizada para aproximar 
outras distribuições
● Exemplo: Binomial 
● Adequada para np>10 e n(1-p>10)
● Por que funciona?
Binomial é uma soma de variáveis 
de Bernoulli !
 
Soma de VAs normais
● Soma de duas variáveis aleatórias (independentes) 
normais também é uma variável normal
Y = X1 + X2
● Se X1 e X2 seguem uma distribuição normal, então Y 
também seguirá uma distribuição normal.
● É possível mostrar que 
E{Y} = E{X1} + E{X2}
σY2 = σX12 + σX22
 
Exercício
● O lucro anual de uma empresa (em dezenas de milhões de 
real) segue uma distribuição normal de média 12 e 
variância 3. Diante disso, calcule
● A probabilidade do lucro em um ano ser maior que 9 e 
menor que 14
● A probabilidade do lucro total em dois anos ser maior do 
que 25
● A probabilidade do lucro em um dado ano exceder o 
lucro do ano seguinte em 3
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40
	Slide 41
	Slide 42
	Slide 43
	Slide 44
	Slide 45
	Slide 46
	Slide 47
	Slide 48
	Slide 49
	Slide 50
	Slide 51
	Slide 52
	Slide 53
	Slide 54
	Slide 55
	Slide 56
	Slide 57
	Slide 58
	Slide 59
	Slide 60
	Slide 61
	Slide 62
	Slide 63
	Slide 64
	Slide 65
	Slide 66
	Slide 67
	Slide 68
	Slide 69
	Slide 70