3 Variáveis Aleatórias Principais Distribuições

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GL301 – Estatística I
Leonardo T. Duarte
Primeiro Semestre de 2013
Variável Aleatória
Principais distribuições contínuas
 
Importantes distribuições contínuas
● Distribuição Normal (ou Gaussiana)
● Distribuição Uniforme
● Distribuição exponencial
● Distribuição gama
● Distribuição lognormal
● Distribuição Weibull
 
Distribuição Uniforme
● VA X segue uma distribuição uniforme no intervalo 
[a,b]
x
f(x)
1/(b-a)
a b x
f(x)
 
Distribuição Uniforme
● Aplicação da distribuição uniforme
● quando não há informações específicas sobre o 
processo modelado
● utilizada para na geração de números aleatórios
 
Importantes distribuições contínuas
● Distribuição Normal (ou Gaussiana)
● Distribuição Uniforme
● Distribuição exponencial
● Distribuição gama
● Distribuição lognormal
● Distribuição Weibull
 
Distribuição exponencial
 
Propriedade distribuição exponencial
● Seja X1,...,XN um conjunto de Vas (independentes) 
exponenciais com parâmetros λ1,...,λN, 
respectivamente
● Considere a seguinte VA
Y = min (X1,...,XN) 
 
Propriedade distribuição exponencial
● Seja X1,...,XN um conjunto de Vas (independentes) 
exponenciais com parâmetros λ1,...,λN, 
respectivamente
● Considere a seguinte VA
Y = min (X1,...,XN) 
● É possível mostrar que Y segue uma distribuição 
exponencial com parâmetro λ1+λ2+...+λN
 
Propriedade distribuição exponencial
● Exemplo: um sistema é composto por 3 componentes 
diferentes cujos tempos de vida (semanas) seguem uma 
distribuição exponencial com parâmetros λ1=1/2, λ2=1/4 e 
λ3 = 1/4. Para o sistema funcionar, todos os componentes 
devem funcionar. Diante disso, calcule a probabilidade 
do sistema funcionar por pelo menos 2 semanas.
 
Propriedade distribuição exponencial
● Exemplo: um sistema é composto por 3 componentes 
diferentes cujos tempos de vida (semanas) seguem uma 
distribuição exponencial com parâmetros λ1=1/2, λ2=1/4 e 
λ3 = 1/4. Para o sistema funcionar, todos os componentes 
devem funcionar. Diante disso, calcule a probabilidade 
do sistema funcionar por pelo menos 2 semanas.
● Como o sistema depende de todos os componentes, ele 
parará de funcionar assim que houver um primeiro 
componente defeituoso
 
Propriedade distribuição exponencial
● Exemplo: um sistema é composto por 3 componentes 
diferentes cujos tempos de vida (semanas) seguem uma 
distribuição exponencial com parâmetros λ1=1/2, λ2=1/4 e 
λ3 = 1/4. Para o sistema funcionar, todos os componentes 
devem funcionar. Diante disso, calcule a probabilidade 
do sistema funcionar por pelo menos 2 semanas.
● Como o sistema depende de todos os componentes, ele 
parará de funcionar assim que houver um primeiro 
componente defeituoso
● Logo o tempo de vida do sistema é dado por 
Y = min (X1,X2,X3)
que segue uma distribuição exponencial de parâmetros 
λ1+λ2+ λ3=1 
 
Propriedade distribuição exponencial
● Queremos calcular
P(Y>2)
● Como Y é uma VA exponencial
P(Y>2) = 1 – P(Y ≤ 2) = 1 – exp(-2) = 0.8647
 
Importantes distribuições contínuas
● Distribuição Normal (ou Gaussiana)
● Distribuição Uniforme
● Distribuição exponencial
● Distribuição gama
● Distribuição lognormal
● Distribuição Weibull
 
Distribuição gama
● A fdp de uma VA X que segue uma distribuição gama é 
dada pela seguinte expressão
 
Distribuição gama
● A fdp de uma VA X que segue uma distribuição gama é 
dada pela seguinte expressão
● E{X} = α / λ
● σY 2 = α / λ2
 
Distribuição gama
● Resultado importante associado à distribuição gama
● Seja X1,...,XN um conjunto de VAs (independentes) 
exponenciais todas com parâmetros λ.
● Considere a seguinte VA
Y = X1+X2+...+XN
 
Distribuição gama
● Resultado importante associado à distribuição gama
● Seja X1,...,XN um conjunto de VAs (independentes) 
exponenciais todas com parâmetros λ.
● Considere a seguinte VA
Y = X1+X2+...+XN
● Então Y é uma distribuição gama de parâmetros α = 
N e λ
 
Distribuição gama
● Resultado importante associado à distribuição gama
● Seja X1,...,XN um conjunto de VAs (independentes) 
exponenciais todas com parâmetros λ.
● Considere a seguinte VA
Y = X1+X2+...+XN
● Então Y é uma distribuição gama de parâmetros α = 
N e λ
● Note que a medida que o número de variáveis cresce, 
α aumenta e, logo, Y tende a uma gaussiana → 
consequência do Teorema central do limite! 
 
Distribuição gama
● Aplicação: Suponha que uma máquina utiliza uma 
fonte de energia cujo tempo de vida segue uma 
distribuição exponencial de parâmetro λ. Se temos no 
estoque N fontes, qual a distribuição do tempo total 
que a máquina pode operar com essas N baterias.
 
Distribuição gama
● Aplicação: Suponha que uma máquina utiliza uma 
fonte de energia cujo tempo de vida segue uma 
distribuição exponencial de parâmetro λ. Se temos no 
estoque N fontes, qual a distribuição do tempo total 
que a máquina pode operar com essas N baterias.
● Tempo total → VA Y
Y = X1+X2+...+XN
● Logo, tempo total segue uma distribuição gama de 
parâmetros α = N e λ 
 
Importantes distribuições contínuas
● Distribuição Normal (ou Gaussiana)
● Distribuição Uniforme
● Distribuição exponencial
● Distribuição gama
● Distribuição lognormal
● Distribuição Weibull
 
Distribuição lognormal
● Seja X uma VA gaussiana
● W = exp(X)
● Então W é uma VA lognormal
 
Distribuição lognormal
● Seja X uma VA gaussiana
● W = exp(X)
● Então W é uma VA lognormal
 
Importantes distribuições contínuas
● Distribuição Normal (ou Gaussiana)
● Distribuição Uniforme
● Distribuição exponencial
● Distribuição gama
● Distribuição lognormal
● Distribuição Weibull
 
Distribuição Weibull
● Distribuição muito utilizada para modelar o tempo de 
falha de um sistema físico
 
Distribuição Weibull
● Ilustração
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