Dimensionamento de lajes exemplo numérico R2

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Disciplina Concreto Armado II - Prof. Me. Leandro Dias Küster - 2015 
UNESC – Faculdades Integradas de Cacoal 
Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Concreto Armado II 
 
 
 
 
 
 
Exemplo numérico: Laje maciça convencional 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Me. Leandro Dias Küster 
 
 
 
 
 
 
2015 
 
 
Disciplina Concreto Armado II - Prof. Me. Leandro Dias Küster - 2015 
SUMÁRIO 
 
Dados .............................................................................................................. 1 
1º Passo: Determinação das vinculações das lajes ......................................... 1 
2º Passo: Pré-dimensionamento das alturas das lajes .................................... 5 
3º Passo: Cálculo das cargas atuantes ............................................................ 5 
3.1 Consideração das paredes sobre as lajes: ............................................. 5 
3.2 Cargas permanentes: ............................................................................. 5 
3.3 Cargas acidentais: ................................................................................. 5 
3.4 Cargas para a combinação quase permanente: ..................................... 6 
3.5 Carregamentos diferenciados ................................................................ 6 
4º Passo: Verificação das flechas .................................................................. 10 
4.1 Flecha para a carga obtida com a combinação quase permanentepara 
lajes unidirecionais (Comb. 1)............................................................................... 11 
4.2 Flecha para ação apenas da carga acidental para lajes unidirecionais 
(Comb. 2) ............................................................................................................. 11 
4.3 Flecha para a carga obtida com a combinação quase permanente para 
lajes bidirecionais (Comb. 1) ................................................................................ 11 
4.4 Flecha para ação apenas da carga acidentalpara lajes bidirecionais 
(Comb. 2) ............................................................................................................. 12 
4.5 Consideração da fluência ..................................................................... 12 
5º Passo: Cálculo dos momentos .................................................................. 14 
6º Passo: Determinação das armaduras longitudinais ................................... 20 
7º Passo: Cálculo das reações das lajes nas vigas de apoio ......................... 23 
8º Passo: Verificação do efeito das forças cortantes (cisalhamento) ............. 23 
9º Passo: Detalhamento das armaduras ........................................................ 24 
BIBRIOGRAFIA ............................................................................................. 31 
ANEXOS ....................................................................................................... 32 
 
 
 
 
 
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LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1: Planta baixa ...................................................................................... 2 
Figura 2: Definição das lajes ............................................................................ 3 
Figura 3: Vinculação das lajes ......................................................................... 4 
Figura 4: Faixas de carregamento para as lajes L07 e L08 ............................. 6 
Figura 5: Carregamento da Faixa 1 das Lajes L07 e L08 ................................ 7 
Figura 6: Carregamento da Faixa 2 das Lajes L07 e L08 ................................ 8 
Figura 7: Carregamento da Faixa 3 das Lajes L07 e L08 ................................ 8 
Figura 8: Esquema de carregamento da Laje L13 ........................................... 9 
Figura 9: Compatibilização de momentos fletores ......................................... 16 
Figura 10: Compatibilização de momentos fletores - Corrigido ...................... 19 
Figura 11: Detalhamento das armaduras positivas (Inferiores) ...................... 25 
Figura 12: Comprimento das armaduras negativas ....................................... 26 
Figura 13: Primeira opção de detalhamento das armaduras negativas 
(Superiores) ............................................................................................................. 28 
Figura 14: Segunda opção de detalhamento das armaduras negativas 
(Superiores) ............................................................................................................. 29 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1: Pré-dimensionamento das alturas das lajes. .................................... 5 
Tabela 2: Cargas nas lajes. ............................................................................. 6 
Tabela 3: Valores limites de flechas .............................................................. 10 
Tabela 4: Verificação das flechas .................................................................. 13 
Tabela 5: Novas cargas nas lajes – 1º revisão. ............................................. 14 
Tabela 6: Nova verificação das flechas – 1º revisão ...................................... 14 
Tabela 7: Cálculo dos momentos máximos ................................................... 15 
Tabela 8: Determinação da altura útil mínima ................................................ 17 
Tabela 9: Novas cargas nas lajes – 2º revisão. ............................................. 17 
Tabela 10: Nova verificação das flechas – 2º revisão .................................... 18 
Tabela 11: Cálculo dos momentos máximos – 1º revisão .............................. 18 
Tabela 12: Determinação de kc e ks – armaduras positivas (face inferior)...... 20 
Tabela 13: Cálculo das armaduras positivas (face inferior) ............................ 22 
Tabela 14: Determinação de kc e ks – armaduras negativas (face superior) .. 22 
Tabela 15: Cálculo das armaduras negativas (face superior) ........................ 22 
Tabela 16: Valores de  ................................................................................. 23 
Tabela 17: Verificação ao cisalhamento ........................................................ 24 
Tabela 18: Valores de lb................................................................................. 27 
Tabela 19: Determinação do comprimento das armaduras negativas. ........... 27 
Tabela 20: Tabela de valores de coeficiente f2 ............................................. 32 
 
 
1 
 
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Dados 
Calcular e detalhar a armadura do pavimento de lajes maciças cuja planta 
baixa está indicada na Figura 1. Serão admitidos os seguintes dados de projeto: 
- Edifício de salas comerciais; 
- Pé-direito = 324 cm 
- Concreto com resistência característica fck = 20 MPa (Obs. Apesar de a 
Classe de agressividade II pedir um concreto de 25 MPa, devido a costumes locais o 
exemplo numérico está tratando o concreto com 20 MPa.); 
- Aço CA50; 
- Cobrimento nominal da armadura de 25 mm, admitindo classe de 
agressividade ambiental II; 
- Paredes = 15 cm (1,8 kN/m² de parede); 
- Contrapiso com espessura de 2,0 cm e  = 18 kN/m³; 
- Piso cerâmico, cujo peso é de 0,64 kN/m²; 
- Laje dos banheiros com rebaixo de 28 cm (utilizar piso suspenso); 
- Utilizar basalto como agregado para o concreto; 
- O escoramento será retirado 14 dias após a execução da concretagem. 
A Figura 1 representa a planta baixa do pavimento. As cotas e dimensões 
estão em cm. 
1º Passo: Determinação das vinculações das lajes 
Antes de determinar as vinculações das lajes é preciso definir as lajes. A 
Figura 2 apresenta essa definição. 
Visualmente, dá parase ter uma noção das vinculações que podem ser feitas 
em determinado pavimento. Na Figura 3 é apresentada uma idéia de vinculações de 
lajes que pode ser trabalhada. 
O pavimento tem simetria em torno do eixo Y. Portanto, as lajes 1 e 4 serão 
iguais, as lajes 2 e 3 serão iguais, as lajes 5 e 6 serão iguais, as lajes 7 e 8 serão 
iguais, as lajes 9 e 10 serão iguais e as lajes 11 e 12 serão iguais. 
Como as lajes 2 e 3 são rebaixadas, não dá para engastá-las em nenhuma 
outra.As lajes 5 e 6 são lajes unidirecionais. Como as mesmas estão no nível das 
lajes 9 e 10, elas podem engastar nessas lajes, coisa que não dá para fazer em 
relação as lajes 2 e 3.As lajes 7 e 8 estão no mesmo nível das lajes vizinhas, e como 
são lajes pequenas em relação as que estão em volta, pode-se engasta-las nas 
demais.As lajes 1 e4 acabaram ficando apoiadas nos quatro bordos. As lajes 11 e 
12 engastaram em um dos lados. A laje 13 engastou nas lajes 9 e 10. 
Para as lajes 9 e 10, foi utilizado um critério apresentado por Pinheiro (2003), 
onde o mesmo mostra casos onde não se possa engastar totalmente um dos 
bordos. Ao final da análise, essas lajes engastaram em dois dos 4 bordos. 
2 
 
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Figura 1: Planta baixa 
4
5
0
1
3
5
1
3
5
1
5
0
470470
400 400
110
4
5
0
400
275
540
3
5
0
S
A
L
A
 1
S
A
L
A
 2
S
A
L
A
 3
W
.C
.
W
.C
.
C
O
P
A
 /
C
O
Z
S
A
C
A
D
A
120
DESCE
DESCE
P
L
A
N
T
A
 B
A
IX
A
9
3
9
 
Fonte: Autor 
3 
 
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Figura 2: Definição das lajes 
D
E
F
IN
IÇ
Ã
O
 D
A
S
 L
A
J
E
S
L
0
1
L
0
2
L
0
5
L
0
9
L
0
7
L
1
1
L
0
4
L
0
3
L
0
6
L
1
0
L
0
8
L
1
2
L
1
3
415140415
127,5555125290
4
6
5
4
6
5
9
3
9
 
Fonte: Autor 
4 
 
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Figura 3: Vinculação das lajes 
L
0
1
L
0
2
L
0
5
L
0
9
L
0
7
L
1
1
L
0
4
L
0
3
L
0
6
L
1
0
L
0
8
L
1
2
L
1
3
V
IN
C
U
L
A
Ç
Ã
O
 D
A
S
 L
A
J
E
S
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 125 l
y
 =
 4
6
5
ly = 555 l
x
 =
 4
6
5
lx = 140 l
y
 =
 4
6
5
lx = 290 l
y
 =
 4
6
5
lx = 125 l
y
 =
 4
6
5
ly = 555 l
x
 =
 4
6
5
lx = 290 l
y
 =
 4
6
5
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 140 l
y
 =
 4
6
5
lx = 127,5 l
y
 =
 9
3
9
 
 
Fonte: Autor 
5 
 
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2º Passo: Pré-dimensionamento das alturas das lajes 
O cálculo das alturas iniciais a serem adotadas será realizado conforme a 
expressão abaixo. 
𝑑 ≥
𝑙
Ψ2. Ψ3
 (1) 
Sendo a espessura total da laje: 
𝑕 = 𝑑 + 𝑐 + 𝜙 +
𝜙
2
 (2) 
A Tabela 1 apresenta o pré-dimensionamento das alturas das lajes. Para as 
lajes unidirecional foram adotados os valores mínimos pela norma. 
Tabela 1: Pré-dimensionamento das alturas das lajes. 
Laje Caso lx (cm) Ly (cm)   2 3 d(cm) h(cm) h(cm) 
L01 = L04 1 415 465 1,12 1,10 1,46 25 11,4 15,4 15,0 
L02 = L03 2A 290 465 1,60 1,60 1,34 25 8,7 12,7 12,0 
L05 = L06 - 125 465 3,72 3,70 1,20 25 4,2 8,2 8,0 
L07 = L08 - 140 465 3,32 3,30 1,70 25 3,3 7,3 8,0 
L09 = L10 4B 465 555 1,19 1,20 1,86 25 10,0 14,0 14,0 
L11 = L12 2A 415 465 1,12 1,10 1,64 25 10,12 14,12 14,0 
L13 - 127,5 939 7,36 7,35 0,5 25 10,2 14,2 10,0 
Obs. As colunas que estão em negrito são de dados adotados (logo após os resultados de 
cálculo), 
Fonte: Autor 
3º Passo: Cálculo das cargas atuantes 
3.1 Consideração das paredes sobre as lajes: 
- Laje armada em duas direções: Considera-se parede(s) distribuída(s) sobre 
toda a laje. 
- Laje armada em uma direção: Será analisada a possibilidade de divisão de 
trechos da laje. 
3.2 Cargas permanentes: 
O peso específico do concreto é 25 kN/m³. 
Além do peso próprio, esse pavimento conta com as seguintes cargas: 
- Contrapiso com espessura de 2,0 cm e = 18 kN/m³, ou seja, 0,36 kN/m²; 
- Piso cerâmico, cujo peso é de 0,64kN/m²; 
3.3 Cargas acidentais: 
De acordo com a ABNT NBR 6120:1980, as cargas acidentais para escritórios 
é de 2 kN/m², e para corredor com acesso ao público (varanda) é de 3 kN/m². 
6 
 
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3.4 Cargas para a combinação quase permanente: 
A combinação quase permanente, necessária na verificação do estado limite 
de deformações excessivas, é obtida considerando-se as cargas permanentes mais 
a parcela de 1 da carga acidental (tabela em anexo). 
𝑝 = 𝑔 + Ψ2. 𝑞 (3) 
O valor de 2 é 0,4. 
Na tabela 2 são apresentadas as cargas por laje. 
Tabela 2: Cargas nas lajes. 
Lajes 
Carga permanente (kN/m²) Carga 
Acidental 
(kN/m²) 
2 
Comb.1 
(kN/m²) 
Total 
(kN/m²) 
Peso 
próprio 
Contrapiso Piso Parede 
L01 = L04 3,75 0,36 0,64 0 2,00 0,4 5,55 6,75 
L02 = L03 3,00 0,36 0,64 2,60 2,00 0,4 7,40 8,60 
L05 = L06 2,00 0,36 0,64 0 2,00 0,4 3,80 5,00 
L07 = L08 2,00 0,36 0,64 - 2,00 0,4 3,80 5,00 
L09 = L10 3,50 0,36 0,64 0 2,00 0,4 5,30 6,50 
L11 = L12 3,50 0,36 0,64 0 2,00 0,4 5,30 6,50 
L13 2,50 0,36 0,64 0 3,00 0,4 4,70 6,50 
Obs. 1 – O 2 comentado nesta tabela é referente a tabela 11.2 da ABNT NBR 6118:2014 
Obs. 2 - As lajes L02 e L03 receberam carga de parede como sendo uma carga uniformemente 
distribuída. 
Obs. 3 – As lajes L07 e L08 terão carga de parede considerando trecho a trecho. 
Obs. 4 – A laje L13 é uma varanda, portanto, além das cargas distribuídas na laje, precisa-se de 
outros carregamentos descritos a seguir. 
Obs. 5 – A combinação 1 é referente a combinação quase permanente. 
Fonte: Autor 
3.5 Carregamentos diferenciados 
Lajes L07 e L08: 
A Figura 4 apresenta a divisão de cargas devido a paredes nas lajes. 
Figura 4: Faixas de carregamento para as lajes L07 e L08 
14
0 c
mPar1 = 325cm
Pa
r2 
= 1
25
cm
Faixa 1 Faixa 2 Faixa 3
bw*
 
Fonte: Autor 
7 
 
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Nas lajes L07 e L08 têm-se os seguintes carregamentos gerais: 
Cargas permanentes: 
- Peso próprio = 2,00 kN/m² 
- Contrapiso + piso = 1 kN/m² 
Sobrecarga: 
2kN/m² 
Totais: 5,00kN/m² 
Cargas de parede: 
3,24*1,8 = 5,832 kN/m 
Faixa 1: 
Na Figura 5 são apresentados os carregamentos da faixa 1 (utilizando como 
base uma faixa de largura de um metro de laje). 
Os momentos fletores são calculados com base na carga total. 
Figura 5: Carregamento da Faixa 1 das Lajes L07 e L08 
q=5 kN/m
p=5,832 kN
70 cm 70 cm
 
Fonte: Autor 
Os esforços para este carregamento estão a seguir: 
𝑚 =
𝑞. 𝑙2
24
+
𝑝. 𝑙
8
=
5. 1,42
24
+
5,832.1,4
8
= 1,43𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑚′ =
𝑞. 𝑙2
12
+
𝑝. 𝑙
8
=
5. 1,42
12
+
5,832.1,4
8
= 1,84𝑘𝑁. 𝑚/𝑚𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 = 
𝑞. 𝑙
2
+
𝑝
2
=
5.1,4
2
+
5,832
2
= 6,42𝑘𝑁/𝑚 
Faixa 2: 
A largura bw* na faixa 2 dá-se por: 
𝑏𝑤
∗ =
1
2
. 𝑙𝑥 =
1
2
. 1,4 = 0,7𝑚 
8 
 
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O carregamento na faixa 2 (para uma largura de 100 cm) se dá por: 
𝑞∗ = 5 +
5,832. 𝑙𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒
𝑏𝑤∗ . 𝑙𝑥
= 5 +
5,832.1,25
0,7 ∗ 1,4
= 12,44𝑘𝑁/𝑚 
Além da carga uniformemente distribuída, considera-se uma carga 
concentrada, devido a outro trecho de parede de 35cm a ser considerado. 
𝑝∗ = 5,832 ∗ 0,35 = 2,04𝑘𝑁 
Na Figura 6 são apresentados os carregamentos da faixa 2 (utilizando como 
base uma faixa de largura de um metro de laje). 
Figura 6: Carregamento da Faixa 2 das Lajes L07 e L08 
q*=12,44 kN/m
p*=2,04 kN
70 cm 70 cm
 
 
Fonte: Autor 
Os esforços para este carregamento estão a seguir: 
𝑚 =
𝑞. 𝑙2
24
+
𝑝. 𝑙
8
=
12,44. 1,42
24
+
2,04.1,4
8
= 1,37𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑚′ =
𝑞. 𝑙2
12
+
𝑝. 𝑙
8
=
12,44. 1,42
12
+
2,04.1,4
8
= 2,39𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 = 
𝑞. 𝑙
2
+
𝑝
2
=
12,44.1,4
2
+
2,04
2
= 9,73𝑘𝑁/𝑚 
Faixa 3: 
Na Figura 7 são apresentados os carregamentos da faixa 3 (utilizando como 
base uma faixa de largura de um metro de laje). 
Figura 7: Carregamento da Faixa 3 das Lajes L07 e L08 
q=5 kN/m
70 cm 70 cm
 
Fonte: Autor 
9 
 
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Os esforços para este carregamento estão a seguir: 
𝑚 =
𝑞. 𝑙2
24
=
5. 1,42
24
= 0,41𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑚′ =
𝑞. 𝑙2
12
=
5. 1,42
12
= 0,82𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 = 
𝑞. 𝑙
2
=
5.1,4
2
= 3,5𝑘𝑁/𝑚 
LajeL13: 
Na laje L13 têm-se os seguintes carregamentos gerais: 
Cargas permanentes: 
- Peso próprio = 2,50 kN/m² 
- Contrapiso + piso = 1 kN/m² 
Sobrecarga: 
3kN/m² 
Totais: 6,50kN/m² 
Cargas de guarda corpo: 
- Grade metálica = 0,5 kN/m 
- acidental no guarda corpo: (horizontal = 0,8 kN/m; vertical = 2,0 kN/m) 
Na Figura 6 são apresentados os carregamentos da laje L13 (utilizando como 
base uma faixa de largura de um metro de laje). 
Figura 8: Esquema de carregamento da Laje L13 
10
0
115
5
15
10
5
122,5
0,8 kN/m
(2,0+0,5) kN/m
q=6,5 kN/m
 
Fonte: Autor 
Os esforços para este carregamento estão a seguir: 
10 
 
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𝑚′ =
𝑞. 𝑙2
2
+ 𝑃1. 𝑙1 + 𝑝2. 𝐿2 =
6,5. 1,2752
2
+ 2,5.1,225 + 0,8.1,05 = 9,19𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑃1 + 𝑞. 𝑙 = 2,5 + 6,5.1,275 = 10,79𝑘𝑁/𝑚 
4º Passo: Verificação das flechas 
Os deslocamentos máximos (flechas), calculados para a combinação quase 
permanente e para carga acidental, deverão atender aos limites dados pela ABNT 
6118:2014 (está em anexo). 
Será considerado como limite para as lajes o valor limite de 2/3 do limite total 
(laje mais vigas) estabelecido. Os limites, em que l é o menor vão da laje 
considerada, são: 
- Para a combinação quase permanente (considerando a fluência) para os 
dois elementos (vigas mais laje): l/250; Somente para laje: (2/3) . (l/250) = l/375; 
- Para apenas a carga acidental para os dois elementos (vigas mais laje): 
l/350; Somente para laje: (2/3) x (l/350) = l/525. 
Os valores limites para cada situação de carregamento e para cada uma das 
lajes estão na Tabela 3. 
Tabela 3: Valores limites de flechas 
Laje lx (cm) 
Flechas limites (cm) 
Combinação quase 
permanente 
Carga acidental 
L01 = L04 415 1,11 0,79 
L02 = L03 290 0,77 0,55 
L05 = L06 125 0,33 0,24 
L07 = L08 140 0,37 0,27 
L09 = L10 465 1,24 0,89 
L11 = L12 415 1,11 0,79 
L13 127,5 0,68 0,49 
Obs. Como a laje L13 está em balanço, o vão lx a ser considerado deve ser o dobro do 
valor real. 
Fonte: Autor 
Para se calcular a flecha imediata: 
𝑓𝑖𝑚𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎 =
𝑝. 𝑙𝑥
4
𝐸. 𝑕3
𝛼
100
 (4) 
O módulo de elasticidade secante se dá pela seguinte expressão: 
𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 . 𝐸𝑐𝑖 (5) 
Onde: 
𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝑒 . 5600 𝑓𝑐𝑘 (6) 
𝛼𝑒 = 1,2 (para basalto e diabásio) 
O valor de 𝛼𝑖 está contido em tabela em anexo. 
𝛼𝑖 = 0,85 
11 
 
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𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 . 𝐸𝑐𝑖 = 0,85.1,2.5600. 20 = 25544,8𝑀𝑃𝑎 = 2554,48𝑘𝑁/𝑐𝑚
2 
4.1 Flecha para a carga obtida com a combinação quase permanente para lajes 
unidirecionais (Comb. 1) 
Para lajes unidirecionais utiliza-se a mesma teoria que as vigas: Princípio dos 
trabalhos virtuais. 
Laje engaste apoio – Lajes L05 e L06: 
𝑓𝑔+𝑞 =
3. 𝑞. 𝑙4
554. 𝐸. 𝐼
=
3.3,8. 1,254
554.25544800.
1.0,083
12
= 4,6. 10−5𝑚 = 0,0046𝑐𝑚 
Laje biengastada – Lajes L07 e L08: 
𝑓𝑔+𝑞 =
1. 𝑞. 𝑙4
384. 𝐸. 𝐼
+
1. 𝑝. 𝑙3
192. 𝐸. 𝐼
=
11,24. 1,404
384.25544800.
1.0,083
12
+
2,04. 1,403
192.25544800.
1.0,083
12
 
𝑓𝑔+𝑞 = 1,30. 10
−4𝑚 = 0,013𝑐𝑚 
Laje em balanço – Laje L13: 
𝑓𝑔+𝑞 =
1. 𝑞. 𝑙4
8. 𝐸. 𝐼
+
1. 𝑝. 𝑙3
3. 𝐸. 𝐼
=
4,7. 1,2754
8.25544800.
1.0,13
12
+
(0,4 ∗ 2 + 0,5). 1,2253
3.25544800.
1.0,13
12
 
𝑓𝑔+𝑞 = 7,29. 10
−4 + 3,74. 10−4 = 1,10. 10−3𝑚 = 0,11𝑐𝑚 
4.2 Flecha para ação apenas da carga acidental para lajes unidirecionais 
(Comb. 2) 
Laje engaste apoio – Lajes L05 e L06: 
𝑓𝑞 =
3. 𝑞. 𝑙4
554. 𝐸. 𝐼
=
3.2. 1,254
554.25544800.
1.0,083
12
= 2,4. 10−5𝑚 = 0,0024𝑐𝑚 
Laje biengastada – Lajes L07 e L08: 
𝑓𝑞 =
1. 𝑞. 𝑙4
384. 𝐸. 𝐼
=
2. 1,404
384.25544800.
1.0,083
12
= 1,8. 10−5𝑚 = 0,0018𝑐𝑚 
Laje em balanço – Laje L13: 
𝑓𝑞 =
1. 𝑞. 𝑙4
8. 𝐸. 𝐼
+
1. 𝑝. 𝑙3
3. 𝐸. 𝐼
=
3. 1,2754
8.25544800.
1.0,13
12
+
2. 1,2253
3.25544800.
1.0,13
12
 
𝑓𝑞 = 4,65. 10
−4 + 5,76. 10−4 = 1,04. 10−3𝑚 = 0,104𝑐𝑚 
4.3 Flecha para a carga obtida com a combinação quase permanente para lajes 
bidirecionais(Comb. 1) 
Para se calcular a flecha com a combinação quase permanente: 
12 
 
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𝑓𝑔+𝑞 =
 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 + Ψ2 . 𝑞 . 𝑙𝑥
4
𝐸. 𝑕3
𝛼
100
 (7) 
4.4 Flecha para ação apenas da carga acidental para lajes bidirecionais (Comb. 
2) 
Para se calcular a flecha para ação apenas de carga acidental: 
𝑓𝑞 =
𝑞. 𝑙𝑥
4
𝐸. 𝑕3
𝛼
100
 (8) 
4.5 Consideração da fluência 
𝑓𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ,∞ = 𝑓𝑖𝑚𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎 . 1 + 𝛼𝑓 (9) 
𝛼𝑓 =
Δ𝜉
1 + 50𝜌′
 (10) 
Δ𝜉 = 𝜉 𝑡 − 𝜉 𝑡0 (11) 
𝜉 𝑡 = 
0,68. 0,996𝑡 . 𝑡0,32 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
 (12) 
Onde: 
t = tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; 
t0 = idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. 
Considerou-se que todas as ações atuarão após a retirada do escoramento 
(14 dias). 
Logo: 
𝑡0 =
14
30
= 0,47 
𝜉 𝑡0 = 0,68. 0,996
0,47 . 0,470,32 = 0,53 
Como não há armadura comprimida, 𝜌′ = 0. 
Sendo assim: 
𝛼𝑓 =
Δ𝜉
1 + 50𝜌′
=
2 − 0,53
1 + 50 𝑥 0
=
1,47
1
= 1,47 
𝑓𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ,∞ = 𝑓𝑖𝑚𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎 . 1 + 𝛼𝑓 = 𝑓𝑖𝑚𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎 . 1 + 1,47 = 2,47𝑓𝑖𝑚𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎 
 
 
 
 
 
13 
 
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Tabela 4: Verificação das flechas 
Laje Caso Lx(cm)  
FComb. 
1 
Flechas elásticas e limites (cm) 
ftotal, ftotal,lim fq fq,lim 
L01 = L04 1 415 1,10 5,74 0,110 0,27 1,11 0,10 0,79 
L02 = L03 2A 290 1,60 8,32 0,099 0,24 0,77 0,07 0,55 
L05 = L06 - 125 3,70 0,0046 0,011 0,33 0,006 0,24 
L07 = L08 - 140 3,30 0,013 0,032 0,37 0,004 0,27 
L09 = L10 4B 465 1,20 2,61 0,092 0,23 1,24 0,09 0,89 
L11 = L12 2A 415 1,10 4,11 0,092 0,23 1,11 0,09 0,79 
L13 - 127,5 7,35 0,110 0,27 0,68 0,26 0,49 
Fonte: Autor 
Carvalho & Figueiredo Filho (2014) comentam que se o limite de flecha 
está folgado, pode-se igualar o valor da flecha limite com a equação, deixando 
a altura como incógnita. 
𝑓𝑞 =
𝑞. 𝑙𝑥
4
𝐸.𝑕3
𝛼
100
 
 
 𝑕3 ≥
𝑞. 𝑙𝑥
4
𝐸.𝑓𝑞
𝛼
100
 
Desta forma, a nova altura das lajes seria: 
Lajes L01 e L04: 
𝑓𝑔+𝑞 =
 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 + Ψ2.𝑞 . 𝑙𝑥
4
𝐸. 𝑕3
𝛼
100
. 2,47 ≤ 1,11 →
0,000555. 4154
2554,48. 𝑕3
5,74
100
. 2,47 ≤ 1,11 
𝑕 ≥ 9,37𝑐𝑚 
Lajes L02 e L03: 
𝑓𝑔+𝑞 =
 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 + Ψ2 . 𝑞 . 𝑙𝑥
4
𝐸. 𝑕3
𝛼
100
. 2,47 ≤ 0,77 →
0,00074. 2904
2554,48. 𝑕3
8,32
100
. 2,47 ≤ 0,77 
𝑕 ≥ 8,18𝑐𝑚 
Lajes L09 e L10: 
𝑓𝑔+𝑞 =
 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 + Ψ2 . 𝑞 . 𝑙𝑥
4
𝐸. 𝑕3
𝛼
100
. 2,47 ≤ 1,24 →
0,00053. 4654
2554,48. 𝑕3
2,61
100
. 2,47 ≤ 1,24 
𝑕 ≥ 7,96𝑐𝑚 
Lajes L11 e L12: 
𝑓𝑔+𝑞 =
 𝑔1 + 𝑔2 + 𝑔3 + Ψ2 . 𝑞 . 𝑙𝑥
4
𝐸. 𝑕3
𝛼
100
. 2,47 ≤ 1,11 →
0,00053. 4154
2554,48. 𝑕3
4,11
100
. 2,47 ≤ 1,11 
𝑕 ≥ 8,27𝑐𝑚 
Para as lajes mencionadas, será adotada altura de laje de 12 cm. 
Sendo assim, a nova configuração de cargas está na Tabela 5. 
 
 
14 
 
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Tabela 5: Novas cargas nas lajes – 1º revisão. 
Lajes 
h 
(cm) 
Carga permanente (kN/m²) Carga 
Acidenta
l (kN/m²) 
2 
Comb. 1 
(kN/m²) 
Total 
(kN/m²) 
Peso 
próprio 
Contrapiso Piso Paredes 
L01 = L04 12,0 3,00 0,36 0,64 0 2,00 0,4 4,80 6,00 
L02 = L03 12,0 3,00 0,36 0,64 2,60 2,00 0,4 7,40 8,60 
L05 = L06 8,0 2,00 0,36 0,64 0 2,00 0,4 3,80 5,00 
L07 = L08 8,0 2,00 0,36 0,64 - 2,00 0,4 3,80 5,00 
L09 = L10 12,0 3,00 0,36 0,64 0 2,00 0,4 4,80 6,00 
L11 = L12 12,0 3,00 0,36 0,64 0 2,00 0,4 4,80 6,00 
L13 10,0 2,50 0,36 0,64 0 3,00 0,4 4,70 6,50 
Obs. 1 – O 2 comentado nesta tabela é referente a tabela 11.2 da ABNT NBR 6118:2014 
Obs. 2 - As lajes L02 e L03 receberam carga de parede como sendo uma carga uniformemente 
distribuída. 
Obs. 3 – As lajes L07 e L08 terão carga de parede considerando trecho a trecho. 
Obs. 4 – A laje L13 é uma varanda, portanto, além das cargas distribuídas na laje, precisa-se de outros 
carregamentos. 
Obs. 5 – A combinação 1 é referente a combinação quase permanente. 
Fonte: Autor 
A Tabela 6 apresenta uma nova verificação das flechas. 
Tabela 6: Nova verificação das flechas – 1º revisão 
Laje Caso Lx(cm)   FComb. 1 
Flechas elásticas e limites (cm) 
ftotal, ftotal,lim fq fq,lim 
L01 = L04 1 415 1,10 5,74 0,185 0,46 1,11 0,19 0,79 
L02 = L03 2A 290 1,60 8,32 0,099 0,24 0,77 0,07 0,55 
L05 = L06 - 125 3,70 0,0046 0,011 0,33 0,006 0,24 
L07 = L08 - 140 3,30 0,013 0,032 0,37 0,004 0,27 
L09 = L10 4B 465 1,20 2,61 0,133 0,33 1,24 0,14 0,89 
L11 = L12 2A 415 1,10 4,11 0,133 0,33 1,11 0,14 0,79 
L13 - 127,5 7,35 0,110 0,27 0,68 0,26 0,49 
Fonte: Autor 
5º Passo: Cálculo dos momentos 
O cálculo dos momentos por tabela serão realizados apenas para as lajes 
bidirecionais. 
𝑚𝑥 = 𝜇𝑥 .
𝑝. 𝑙𝑥
2
100
 (13) 
𝑚𝑥
′ = 𝜇𝑥
′ .
𝑝. 𝑙𝑥
2
100
 (14) 
𝑚𝑦 = 𝜇𝑦 .
𝑝. 𝑙𝑥
2
100
 (15) 
𝑚𝑦
′ = 𝜇𝑦
′ .
𝑝. 𝑙𝑥
2
100
 (16) 
Para o cálculo dos momentos máximos, utiliza-se a carga total. 
 
 
 
15 
 
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Tabela 7: Cálculo dos momentos máximos 
Lajes Caso 
Lx 
(m) 
 
P (kN 
/ m²) 
Momentos (kN.m/m) 
𝜇𝑥 𝑚𝑥 𝜇𝑥
′ 𝑚𝑥
′ 𝜇𝑦 𝑚𝑦 𝜇𝑦
′ 𝑚𝑦
′ 
L01 = 
L04 
1 4,15 1,10 6,00 5,00 5,17 - - 4,27 4,41 - - 
L02 = 
L03 
2A 2,90 1,60 8,60 7,07 5,11 - - 3,81 2,76 11,55 8,35 
L09 = 
L10 
4B 4,65 1,20 6,00 3,57 4,63 7,70 9,99 1,63 2,11- - 
L11= 
L12 
2A 4,15 1,10 6,00 3,61 3,73 - - 3,74 3,86 9,18 9,49 
Fonte: Autor 
Para as lajes unidirecionais, abaixo estão as especificações dos momentos. 
L05 e L06: 
Os esforços para este carregamento estão a seguir: 
𝑚′ =
𝑞. 𝑙2
8
=
5. 1,252
8
= 0,98𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
Quando não se tem tabelado algum esforço, deve-se proceder com o cálculo 
manual. Desta forma, para se encontra o máximo momento positivo, deve-se 
encontrar as reações de apoio, e montar a equação base: 
A reação vertical no engaste se dá por: 
𝑅1 =
5. 𝑝. 𝑙
8
=
5.5.1,25
8
= 3,91𝑘𝑁/𝑚 
A reação vertical no apoio simples se dá por: 
𝑅2 =
3. 𝑝. 𝑙
8
=
3.5.1,25
8
= 2,34𝑘𝑁/𝑚 
Ajustando a formulação, têm-se: 
𝑚 = 3,91. 𝑥 − 5. 𝑥.
𝑥
2
− 0,98 = −2,5𝑥2 + 3,91𝑥 − 0,98 
Derivando, se encontra a equação da cortante: 
𝑣 = −5𝑥 + 3,91 
Igualando a 0, para descobrir o máximo momento, têm-se: 
−5𝑥 + 3,91 = 0 → 𝑥 = 0,7816 
Colocando o valor de x na equação do momento, achamos o momento 
máximo. 
𝑚 = −2,5𝑥2 + 3,91𝑥 − 0,98 = −2,5. 0,78162 + 3,91.0,7816 − 0,98 = 0,55𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
Os outros esforços de momento já foram apresentados no 3º Passo. 
Na Figura 9 são apresentadas as compatibilizações de momentos fletores. 
16 
 
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Figura 9: Compatibilização de momentos fletores 
L
0
1
L
0
2
L
0
5
L
0
9
L
0
7
L
1
1
L
0
4
L
0
3
L
0
6
L
1
0
L
0
8
L
1
2
L
1
3
M
o
m
e
n
to
s
 f
le
to
r
e
s
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 125 l
y
 =
 4
6
5
ly = 555 l
x
 =
 4
6
5
lx = 140 l
y
 =
 4
6
5
lx = 290 l
y
 =
 4
6
5
lx = 125 l
y
 =
 4
6
5
ly = 555 l
x
 =
 4
6
5
Mx = 290 l
y
 =
 4
6
5
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 140 l
y
 =
 4
6
5
lx = 127,5 l
y
 =
 9
3
9
M
y
 =
 4
,4
1
k
N
m
/m
Mx = 5,17kNm/m
M
y
 =
 4
,4
1
Mx = 5,17
M
y
 =
 2
,7
6
Mx = 5,11
M
y
 =
 2
,7
6
Mx = 5,11
Mx = 0,55
Mx = 0,55
M
y
 =
 3
,8
6
Mx = 3,73
M
x
 =
 4
,6
3
My = 2,11
M
'y
 =
 8
,3
5
M
'y
 =
 8
,3
5
M
'x
 =
 9
,9
9
M
'x
 =
 9
,9
9
My = 2,11
M
'x
 =
 9
,9
9
M
'y
 =
 9
,4
9
M
' 
=
 9
,7
4
M
'x
 =
 9
,4
9
M
'y
 =
 9
,9
9
M
' 
=
 9
,7
4
M
y
 =
 3
,8
6
Mx = 3,73
M'x = 0,98
M'x = 0,98
M'x = 9,19
4
,7
6
M
x
 =
 4
,6
3
4
,7
6

 =
 1
,1
0

 =
 1
,1
0

 =
 1
,6
0

 =
 1
,6
0

 =
 3
,7
0

 =
 3
,7
0

 =
 3
,3
0

 =
 3
,3
0

 =
 1
,1
0

 =
 1
,1
0

 =
 1
,2
0

 =
 1
,2
0

 =
 7
,3
5
 
Fonte: Autor 
17 
 
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Utilizando os momentos encontrados, podemos determinar a altura útil 
mínima da laje. A fórmula a ser utilizada encontra-se abaixo: 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2,0. 
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
 (17) 
Na tabela 8 são apresentados os valores mínimos para d. 
Tabela 8: Determinação da altura útil mínima 
Lajes bw (m) h (m) 
Momento positivo (kN.m/m) d (m) Momento negativo (kN.m/m) d (m) 
Mk Md dmin d M’k M’d d'min d' 
L01 = 
L04 
1,00 
0,12 
5,17 7,24 0,045 0,08 - - - - 
L02 = 
L03 
1,00 
0,12 
5,11 7,15 0,045 0,08 8,35 11,69 0,057 0,09 
L05 = 
L06 
1,00 
0,08 
0,55 0,77 0,013 0,04 0,98 1,37 0,017 0,05 
L07 = 
L08 
1,00 
0,08 
1,43 2,00 0,024 0,04 2,39 3,35 0,029 0,05 
L09 = 
L10 
1,00 
0,12 
4,63 6,48 0,043 0,08 9,99 13,99 0,063 0,09 
L11 = 
L12 
1,00 
0,12 
3,86 5,40 0,040 0,08 9,49 13,29 0,061 0,09 
L13 1,00 0,10 - - - - 9,19 18,66 0,072 0,07 
Obs.1 - Para o cálculo de d, pega-se o maior momento de cada laje. 
Obs.2 – Como a laje L13 está em balanço, para a obtenção do momento Md, além de multiplicar por 1,4 
precisa-se multiplicar pelo coeficiente n da tabela 13.2 da ABNT NBR 6118:2014. 
Fonte: Autor 
Como para a laje L13 o valor de d’min foi maior que o valor de d’, a altura da 
laje L13 deve ser alterada. 
Na Tabela 9 são apresentados os novos valores de cargas (por causa da 
alteração da espessura da laje L13). 
Tabela 9: Novas cargas nas lajes – 2º revisão. 
Lajes 
h 
(cm) 
Carga permanente (kN/m²) Carga 
Acidenta
l (kN/m²) 
2 
Comb. 1 
(kN/m²) 
Total 
(kN/m²) 
Peso 
próprio 
Contrapiso Piso Paredes 
L01 = L04 12,0 3,00 0,36 0,64 0 2,00 0,4 4,80 6,00 
L02 = L03 12,0 3,00 0,36 0,64 2,60 2,00 0,4 7,40 8,60 
L05 = L06 8,0 2,00 0,36 0,64 0 2,00 0,4 3,80 5,00 
L07 = L08 8,0 2,00 0,36 0,64 - 2,00 0,4 3,80 5,00 
L09 = L10 12,0 3,00 0,36 0,64 0 2,00 0,4 4,80 6,00 
L11 = L12 12,0 3,00 0,36 0,64 0 2,00 0,4 4,80 6,00 
L13 11,0 2,75 0,36 0,64 0 3,00 0,4 4,95 6,75 
Obs. 1 – O 2 comentado nesta tabela é referente a tabela 11.2 da ABNT NBR 6118:2014 
Obs. 2 - As lajes L02 e L03 receberam carga de parede como sendo uma carga uniformemente 
distribuída. 
Obs. 3 – As lajes L07 e L08 terão carga de parede considerando trecho a trecho. 
Obs. 4 – A laje L13 é uma varanda, portanto, além das cargas distribuídas na laje, precisa-se de outros 
carregamentos. 
Obs. 5 – A combinação 1 é referente a combinação quase permanente. 
Fonte: Autor 
Os esforços para a nova altura da laje L13 estão abaixo: 
𝑚′ =
𝑞. 𝑙2
2
+ 𝑃1. 𝑙1 + 𝑝2. 𝐿2 =
6,75. 1,2752
2
+ 2,5.1,225 + 0,8.1,05 = 9,39𝑘𝑁. 𝑚/𝑚 
18 
 
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𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 𝑃𝑖 + 𝑞. 𝑙 = 2,5 + 6,75.1,275 = 11,11𝑘𝑁/𝑚 
Abaixo está o cálculo da flecha da laje L13 obtida com a combinação quase 
permanente. 
𝑓𝑔+𝑞 =
1. 𝑞. 𝑙4
8. 𝐸. 𝐼
+
1.𝑝. 𝑙3
3. 𝐸. 𝐼
=
4,95. 1,2754
8.25544800.
1.0,113
12
+
1,3. 1,2253
3.25544800.
1.0,113
12
 
𝑓𝑔+𝑞 = 5,77. 10
−4 + 2,81. 10−4 = 8,58. 10−4𝑚 = 0,086𝑐𝑚 
Abaixo está o cálculo da flecha da laje L13 obtida apenas com as cargas 
acidentais 
𝑓𝑞 =
1. 𝑞. 𝑙4
8. 𝐸. 𝐼
+
1.𝑝. 𝑙3
3. 𝐸. 𝐼
=
3. 1,2754
8.25544800.
1.0,113
12
+
2. 1,2253
3.25544800.
1.0,113
12
 
𝑓𝑞 = 3,50. 10
−4 + 4,33. 10−4 = 7,83. 10−4𝑚 = 0,078𝑐𝑚 
A Tabela 10 apresenta uma nova verificação das flechas. 
Tabela 10: Nova verificação das flechas – 2º revisão 
Laje Caso Lx(cm)   FComb. 1 
Flechas elásticas e limites (cm) 
ftotal, ftotal,lim fq fq,lim 
L01 = L04 1 415 1,10 5,74 0,185 0,46 1,11 0,19 0,79 
L02 = L03 2A 290 1,60 8,32 0,099 0,24 0,77 0,07 0,55 
L05 = L06 -125 3,70 0,0046 0,011 0,33 0,006 0,24 
L07 = L08 - 140 3,30 0,013 0,032 0,37 0,004 0,27 
L09 = L10 4B 465 1,20 2,61 0,133 0,33 1,24 0,14 0,89 
L11 = L12 2A 415 1,10 4,11 0,133 0,33 1,11 0,14 0,79 
L13 - 127,5 7,35 0,110 0,21 0,68 0,19 0,49 
Fonte: Autor 
Na Tabela 11 são apresentadas as determinações de altura útil mínima 
(revisão devido a laje L13). 
Tabela 11: Cálculo dos momentos máximos – 1º revisão 
Lajes bw (m) h (m) 
Momento positivo (kN.m/m) d (m) Momento negativo (kN.m/m) d (m) 
Mk Md dmin d M’k M’d d'min d' 
L01 = 
L04 
1,00 
0,12 
5,17 7,24 0,045 0,08 - - - - 
L02 = 
L03 
1,00 
0,12 
5,11 7,15 0,045 0,08 8,35 11,69 0,057 0,09 
L05 = 
L06 
1,00 
0,08 
0,55 0,77 0,013 0,04 0,98 1,37 0,017 0,05 
L07 = 
L08 
1,00 
0,08 
1,43 2,00 0,024 0,04 2,39 3,35 0,029 0,05 
L09 = 
L10 
1,00 
0,12 
4,63 6,48 0,043 0,08 9,99 13,99 0,063 0,09 
L11 = 
L12 
1,00 
0,12 
3,86 5,40 0,040 0,08 9,49 13,29 0,061 0,09 
L13 1,00 0,11 - - - - 9,39 18,40 0,072 0,08 
Obs.1 - Para o cálculo de d, pega-se o maior momento de cada laje. 
Obs.2 – Como a laje L13 está em balanço, para a obtenção do momento Md, além de multiplicar por 1,4 
precisa-se multiplicar pelo coeficiente n da tabela 13.2 da ABNT NBR 6118:2014. 
Fonte: Autor 
19 
 
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Na Figura 10 são apresentadas as compatibilizações de momentos fletores 
corrigida. 
Figura 10: Compatibilização de momentos fletores - Corrigido 
L
0
1
L
0
2
L
0
5
L
0
9
L
0
7
L
1
1
L
0
4
L
0
3
L
0
6
L
1
0
L
0
8
L
1
2
L
1
3
M
o
m
e
n
to
s
 f
le
to
r
e
s
 -
 c
o
r
r
ig
id
o
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 125 l
y
 =
 4
6
5
ly = 555 l
x
 =
 4
6
5
lx = 140 l
y
 =
 4
6
5
lx = 290 l
y
 =
 4
6
5
lx = 125 l
y
 =
 4
6
5
ly = 555 l
x
 =
 4
6
5
Mx = 290 l
y
 =
 4
6
5
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 415 l
y
 =
 4
6
5
lx = 140 l
y
 =
 4
6
5
lx = 127,5 l
y
 =
 9
3
9
M
y
 =
 4
,4
1
k
N
m
/m
Mx = 5,17kNm/m
M
y
 =
 4
,4
1
Mx = 5,17
M
y
 =
 2
,7
6
Mx = 5,11
M
y
 =
 2
,7
6
Mx = 5,11
Mx = 0,55
Mx = 0,55
M
y
 =
 3
,8
6
Mx = 3,73
M
x
 =
 4
,6
3
My = 2,11
M
'y
 =
 8
,3
5
M
'y
 =
 8
,3
5
M
'x
 =
 9
,9
9
M
'x
 =
 9
,9
9
My = 2,11
M
'x
 =
 9
,9
9
M
'y
 =
 9
,4
9
M
' 
=
 9
,7
4
M
'x
 =
 9
,4
9
M
'y
 =
 9
,9
9
M
' 
=
 9
,7
4
M
y
 =
 3
,8
6
Mx = 3,73
M'x = 0,98
M'x = 0,98
M'x = 9,39
4
,7
6
M
x
 =
 4
,6
3
4
,7
6

 =
 1
,1
0

 =
 1
,1
0

 =
 1
,6
0

 =
 1
,6
0

 =
 3
,7
0

 =
 3
,7
0

 =
 3
,3
0

 =
 3
,3
0

 =
 1
,1
0

 =
 1
,1
0

 =
 1
,2
0

 =
 1
,2
0

 =
 7
,3
5
 
Fonte: Autor 
20 
 
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Devido a compatibilização de momentos, o momento Mx das lajes L09 e L10 
alteraram de 4,63 kN.m/m para 4,76 kN.m/m. 
6º Passo: Determinação das armaduras longitudinais 
Para a determinação da armadura longitudinal, será utilizado o cálculo 
mediante o coeficiente k. 
𝑘𝑐 =
𝑏𝑤 . 𝑑
2
𝑀𝑑
 (18) 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 .
𝑀𝑑
𝑑
 (19) 
Md = Momento fletor solicitante de cálculo; 
bw = Largura da seção (para lajes geralmente se adota 1 m); 
d = Altura útil; 
As = Área de armadura; 
Kc e Ks = Coeficientes tabelados. 
Na tabela 12 são apresentados os resultados de cálculo de kc e ks. 
Tabela 12: Determinação de kc e ks – armaduras positivas (face inferior) 
Lajes h (cm) d (cm) direção 
mk 
(kN.cm/m) 
md 
(kN.cm/m) 
kc ks 
L01 = L04 12 8 
x 517 724 8,84 0,024 
y 441 617 10,37 0,024 
L02 = L03 12 8 
x 511 715 8,95 0,024 
y 276 386 16,58 0,024 
L05 = L06 8 4 
x 55 77 20,78 0,0235 
y distribuída - - - 
L07 = L08 8 4 
x 143 200 8,00 0,024 
y distribuída - - - 
L09 = L10 12 8 
x 488 683 9,37 0,024 
y 211 295 21,69 0,0235 
L11 = L12 12 8 
x 373 522 12,26 0,024 
y 386 541 11,83 0,024 
L13 11 7 
x - - - - 
y - - - - 
Fonte: Autor 
O valor da armadura mínima é dado pela formulação abaixo: 
𝜌𝑠 =
𝐴𝑠
𝑏𝑤 . 𝑕
 (20) 
Ajustando a formulação, têm-se: 
𝐴𝑠 = 𝜌𝑠 .𝑏𝑤 . 𝑕 (21) 
O valor de 𝜌𝑠 é encontrado na Tabela em anexo. 
Valores de armadura mínima: 
21 
 
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Armaduras negativas: s≥min; 
Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções: s≥0,67min; 
Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção: s≥min; 
Valores de armadura de distribuição: 
(As/s) ≥ 20% da armadura principal e 
0,9 cm²/m; 
s ≥ 0,5 min. 
Obs. Utilizar o maior valor dos apresentados. 
O espaçamento máximo (Smáx) se dá por: 
𝑆𝑚á𝑥 = 
20 𝑐𝑚
2 . 𝑕 
 (22) 
Obs. Utilizar o menor valor dos apresentados. 
Para lajes unidirecionais, o espaçamento máximo da armadura de 
distribuição (secundária) é 33 cm. 
O diâmetro máximo das barras é expresso pela seguinte fórmula: 
𝜙𝑚á𝑥 =
𝑕
8
 (23) 
O número de barras por metro é expresso pela seguinte equação: 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠𝜙
 (24) 
Obs. Caso a divisão apresente número quebrado, arredonda-se o valor para 
cima. 
O espaçamento efetivo das armaduras é expresso pela seguinte equação: 
𝑆𝑒𝑓 =
100
𝑛
 (25) 
Obs. Caso a divisão apresente número quebrado, arredonda-se o valor para 
baixo. 
Na Tabela 13 são apresentados os valores de cálculo das armaduras 
positivas. 
Nas tabelas 14 e 15 são apresentados os cálculos para a obtenção das 
armaduras longitudinais negativas. 
 
 
 
22 
 
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Tabela 13: Cálculo das armaduras positivas (face inferior) 
Lajes direção 
As,cal 
(cm²/m) 
As,min (cm²/m) 
Smáx 
(cm) 
máx 
(mm) 
 
(mm) 
As 
(cm²) 
Sef 
(cm) 
As,ef 
(cm²/m) 
L01 = L04 
x 2,17 1,21 20 
15 
6,3 0,31 14 2,23 
y 1,85 1,21 20 6,3 0,31 16 1,95 
L02 = L03 
x 2,15 1,21 20 
15 
6,3 0,31 14 2,23 
y 1,16 1,21 20 5 0,20 14 1,40 
L05 = L06 
x 0,45 1,20 16 
10 
5 0,20 14 1,40 
y - 0,09 / 0,90 / 0,60 33 5 0,20 20 0,98 
L07 = L08 
x 1,20 1,20 16 
10 
5 0,20 14 1,40 
y - 0,24 / 0,90 / 0,6033 5 0,20 20 0,98 
L09 = L10 
x 2,05 1,21 20 
15 
6,3 0,31 14 2,23 
y 0,87 1,21 20 5 0,20 14 1,40 
L11 = L12 
x 1,57 1,21 20 
15 
5 0,20 12 1,64 
y 1,62 1,21 20 5 0,20 12 1,64 
L13 
x - 1,11 20 
13,75 
5 0,20 16 12,23 
y - 0,9 / 0,56 33 5 0,20 20 0,98 
Fonte: Autor 
Tabela 14: Determinação de kc e ks – armaduras negativas (face superior) 
Lajes h (cm) d (cm) direção 
mk 
(kN.cm/m) 
md 
(kN.cm/m) 
kc ks 
L01 = L04 12 9 
- - - - - 
- - - - - 
L02 / L03 12 9 
Principal 835 1169 6,93 0,025 
Secundária - - - - 
L05 / L09 
L06 / L10 
8 5 
Principal 98 137 18,25 0,024 
Secundária - - - - 
L07 /L01 
L07 /L11 
L08 /L04 
L08 /L12 
8 5 
Principal 239 335 7,46 0,024 
Secundária - - - - 
L09 / L11 
L10 / L12 
12 9 
Principal 974 1364 5,94 0,025 
Secundária - - - - 
L09 / L10 12 9 
Principal 999 1399 5,79 0,025 
Secundária - - - - 
L13 / L09 
L13 / L10 
11 8 
Principal 939 1840 3,48 0,027 
Secundária - - - - 
Fonte: Autor 
Tabela 15: Cálculo das armaduras negativas (face superior) 
Lajes direção 
As,cal 
(cm²/m) 
As,min (cm²/m) 
Smáx 
(cm) 
máx 
(mm)
 
(mm)
As 
(cm²) 
Sef 
(cm) 
As,ef 
(cm²/m) 
L01 = L04 
- - - - 
- 
- - - - 
- - - - - - - - 
L02 / L03 
Principal 3,24 1,80 20 
15 
8,0 0,50 14 3,59 
Secundária - 0,65/ 0,90 / 0,90 20 5,0 0,20 20 0,98 
L05 / L09 
L06 / L10 
Principal 0,66 1,20 16 
10 
5,0 0,20 14 1,40 
Secundária - 0,13 / 0,90 / 0,60 33 5,0 0,20 20 0,98 
L07 /L01 
L07 /L11 
L08 /L04 
L08 /L12 
Principal 1,51 1,20 16 
10 
5,0 0,20 12 1,64 
Secundária - 0,30 / 0,90 / 0,60 33 5,0 0,20 20 0,98 
L09 / L11 
L10 / L12 
Principal 3,79 1,80 20 
15 
10,0 0,79 20 3,93 
Secundária - 0,76 / 0,90 / 0,90 20 5,0 0,20 20 0,98 
L09 / L10 
Principal 3,88 1,80 20 
15 
10,0 0,79 20 3,93 
Secundária - 0,79 / 0,90 / 0,90 20 5,0 0,20 20 0,98 
L13 / L09 
L13 / L10 
Principal 6,21 1,65 20 
13,75 
10,0 0,79 12 6,54 
Secundária - 1,24 / 0,90 / 0,83 20 5,0 0,20 14 1,40 
Fonte: Autor 
23 
 
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7º Passo: Cálculo das reações das lajes nas vigas de apoio 
Para encontrar as reações das lajes nas vigas de apoio em lajes bidirecionais, 
deve-se encontrar o valor de . Já para as lajes unidirecionais, as reações de apoio 
são calculadas da mesma forma que os cálculos de análise de estruturas (já foram 
calculadas). Na Tabela 16 são apresentados os valores de , encontrados nas 
tabelas de Pinheiro (2007). 
Tabela 16: Valores de  
Lajes 
h 
(cm) 
d (cm) Lx (m) Caso 
Carga 
Total 
(kN/m²) 
x 'x y 'y
 
(maior)
L01 = L04 12 9 4,15 1 1,1 6 2,7 - 2,5 - 2,7 
L02 = L03 12 9 5,11 2A 1,6 8,6 2,9 - 3,0 4,3 4,3 
L05 = L06 8 5 1,25 - 3,7 - - - - - - 
L07 = L08 8 5 1,4 - 3,3 - - - - - - 
L09 = L10 12 9 4,65 4B 1,2 6 - 3,8 1,4 - 3,8 
L11 = L12 12 9 4,15 2A 1,1 6 2,0 - 2,9 4,2 4,2 
L13 11 8 1,275 - 7,4 - - - - - - 
Fonte: Autor 
O maior valor de  será utilizado para a verificação ao cisalhamento. 
Para se encontrar o valor das reações de apoio, utiliza-se a seguinte fórmula: 
𝑉𝑘 = 𝜈.
𝑝. 𝑙𝑥
10
 (26) 
Os valores das reações de apoio são expressos na Tabela 17. 
8º Passo: Verificação do efeito das forças cortantes (cisalhamento) 
Para a verificação da dispensa do aço devido as forças cortantes em lajes 
maciças convencionais, utilizaremos a seguinte fórmula: 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑 . 𝑘. 1,2 + 40. 𝜌1 . 𝑏𝑤 . 𝑑 (27) 
Onde: 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25. 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,25.
𝑓𝑐𝑡𝑘 ,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
 (28) 
Para concretos de classes até C50, têm-se: 
𝑓𝑐𝑡𝑘 ,𝑖𝑛𝑓 = 0,7. 𝑓𝑐𝑡 ,𝑚 = 0,7.0,3.𝑓𝑐𝑘
2 3 (29) 
Desta forma: 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25.
0,7.0,3. 𝑓𝑐𝑘
2 3 
𝛾𝑐
 (30) 
Obs. Tanto o fck quanto o fct,m são expressos em Mpa. 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25.
0,7.0,3. 202 3 
1,4
= 0,2763𝑀𝑃𝑎 = 276,3𝑘𝑁/𝑚² 
24 
 
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k = 1para elementos em que 50% da armadura inferior não chegam até ao 
apoio; 
K = (1,6 - d) ≥ 1, com d em metros, para os demais casos. 
𝜌1 =
𝐴𝑠1
𝑏𝑤 . 𝑑
≤ 0,02 (31) 
Obs. Se a cortante máxima estiver em um bordo apoiado, utilizar o As,ef da 
tabela de armadura positiva. Porém, se a cortante máxima estiver em um bordo 
engastado, utilizar o As,ef da tabela de armadura negativa. 
A verificação da compressão diagonal do concreto (bielas comprimidas), em 
elementos sem armadura de cisalhamento, é feita comparando-se a força cortante 
solicitante de cálculo VSd com a resistência de cálculo VRd2, dada por: 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,5. 𝛼𝑣1. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤 . 0,9.𝑑 (32) 
Onde: 
v1 = (0,7 – fck / 200) ≤ 0,5 (fck em Mpa); 
v1 = (0,7 – 20 / 200) = 0,6 
Portanto, utiliza-se o valor de 0,5 
fcd = fck / c = fck /1,4 = 14,2856 MPa = 14285,6 kN/m² 
Na Tabela 17 São apresentadas as verificações das forças cortantes 
(Cisalhamento). 
Tabela 17: Verificação ao cisalhamento 
Lajes 
h 
(cm) 
d 
(cm) 
Lx 
(m) 
 
(maior)
vk 
(kN/m) 
vSd 
(kN/m) 
As,ef 
(cm²) 
1 k 
vRd1 
(kN/m) 
vRd2 
(kN/m) 
L01 
L04 
12 9 4,15 2,7 6,80 9,52 2,23 0,0025 1,51 48,78 289,29 
L02 
L03 
12 9 5,11 4,3 19,03 26,64 3,59 0,0040 1,51 51,05 289,29 
L05 
L06 
8 5 1,25 - 3,91 5,47 1,4 0,0028 1,55 28,09 160,71 
L07 
L08 
8 5 1,4 - 9,73 13,62 1,64 0,0033 1,55 28,51 160,71 
L09 
L10 
12 9 4,65 3,8 10,60 14,84 4,91 0,0055 1,51 53,25 289,29 
L11 
L12 
12 9 4,15 4,2 10,38 14,54 3,93 0,0044 1,51 51,62 289,29 
L13 11 8 1,275 - 10,79 21,15 6,54 0,0082 1,52 51,30 257,14 
Fonte: Autor 
Como todos os valores de VSd são inferiores aos valores de VRd1, não precisa 
armar a cortante. Como todos os valores de VSd são inferiores aos valores de VRd2, 
as bielas de compressão não estão sofrendo ruptura. 
9º Passo: Detalhamento das armaduras 
Na Figuras 11 é apresentado o detalhamento das armaduras positivas. 
25 
 
Disciplina Concreto Armado II - Prof. Me. Leandro Dias Küster - 2015 
Figura 11: Detalhamento das armaduras positivas (Inferiores) 
D
e
ta
lh
a
m
e
n
to
 d
a
s
 a
r
m
a
d
u
r
a
s
 p
o
s
it
iv
a
s
 (
in
fe
r
io
r
e
s
)
L
0
1
L
0
2
L
0
5
L
0
9
L
0
7
L
1
1
L
0
4
L
0
3
L
0
6
L
1
0
L
0
8
L
1
2
L
1
3
2
6
 N
1
 Ø
 6
.3
 C
/1
6
 C
=
4
8
7
33 N7 Ø 6.3 C/14 C=4376 6
6
6
2
6
 N
1
 Ø
 6
.3
 C
/1
6
 C
=
4
8
7
6
6
2
0
 N
2
 Ø
 5
 C
/2
0
 C
=
4
8
7
6
6
2
0
 N
2
 Ø
 5
 C
/2
0
 C
=
4
8
7
6
6
33 N7 Ø 6.3 C/14 C=4376 6
33 N11 Ø 6.3 C/14 C=3126 6
33 N11 Ø 6.3 C/14 C=3126 6
33 N6 Ø 5
C/14 C=150
33 N10 Ø 5
C/14 C=135
6
 N
3
 Ø
 5
 C
/2
0
 C
=
4
7
5
C/14 C=135
6
 N
3
 Ø
 5
 C
/20
 C
=
4
7
5
7
 N
3
 Ø
 2
 C
/2
0
 C
=
4
7
5
33 N6 Ø 5
C/14 C=150
7
 N
3
 Ø
 2
 C
/2
0
 C
=
4
7
5
2
6
 N
1
 Ø
 6
.3
 C
/1
6
 C
=
4
8
7
38 N5 Ø 5 C/12 C=4376 6
6
6
2
6
 N
1
 Ø
 6
.3
 C
/1
6
 C
=
4
8
7
6
6
3
9
 N
1
 Ø
 6
.3
 C
/1
4
 C
=
4
8
7
6
6
3
9
 N
1
 Ø
 6
.3
 C
/1
4
 C
=
4
8
7
6
6
38 N5 Ø 5 C/12 C=4376 6
33 N9 Ø 5 C/14 C=5776 6
33 N9 Ø 5 C/14 C=5776 6
h
=
1
2
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
1
2
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
1
1
59 N8 Ø 5
C/16 C=140
55
7
 N
4
 Ø
 5
 C
/2
0
 C
=
9
4
4
5
5
33 N10 Ø 5
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
(
9
3
9
)
(400) (400)(125)
(400) (400)(125)
(275) (110) (540)
(275) (110) (540) (120)
 
Fonte: Autor 
26 
 
Disciplina Concreto Armado II - Prof. Me. Leandro Dias Küster - 2015 
Para o comprimento das armaduras negativas (menos a laje em balanço), 
será adotada a seguinte forma de detalhamento: 
Figura 12: Comprimento das armaduras negativas 
 
Fonte: Pinheiro (2003) 
Sendo que: 
𝑎1 ≥ 
𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 
0,25𝑙 + 10𝜙
 (33) 
𝑎𝑙 = 1,5𝑑 
𝑙𝑏 =
𝜙. 𝑓𝑦𝑑
4. 𝑓𝑏𝑑
 (34) 
Onde: 
𝑓𝑦𝑑 = resistência de cálculo do aço =
50
1,15
= 43,48 
𝑓𝑏𝑑 = 𝜂1. 𝜂2. 𝜂3 . 𝑓𝑐𝑡𝑑 35 
𝜂1 = 
1,0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑠𝑎𝑠 
1,4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑕𝑎𝑑𝑎𝑠 
2,25 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠
 
𝜂2 = 
1,0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑎 𝑎𝑑𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎
0,7 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚á 𝑎𝑑𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
 
𝜂3 = 
1,0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜙 ≤ 32𝑚𝑚 
132 − ∅
100
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜙 > 32𝑚𝑚 
 
𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑡𝑘 ,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
=
0,7. 𝑓𝑐𝑡 ,𝑚
𝛾𝑐
=
0,7.0,3. 𝑓𝑐𝑘
2 3 
𝛾𝑐
 
Para transformar o valor de 𝑓𝑐𝑡𝑑 de MPa para kN/cm², deve-se dividir o valor 
por 10. 
Desta forma: 
27 
 
Disciplina Concreto Armado II - Prof. Me. Leandro Dias Küster - 2015 
𝑙𝑏 =
𝜙. 𝑓𝑦𝑑
4. 𝑓𝑏𝑑
=
𝜙.
50
1,15
4.2,25.1,0.1,0.
0,7.0,3.𝑓𝑐𝑘
2 3 
10.𝛾𝑐
 
Na Tabela 18 são apresentados valores de 𝑙𝑏 para diferentes diâmetros de 
armadura. 
Tabela 18: Valores de lb 
𝜙 (mm) 𝑙𝑏 (cm) 
5,0 21,86 
6,3 27,54 
8,0 34,97 
10,0 43,71 
12,5 54,64 
16,0 69,94 
20,0 87,42 
Fonte: Autor 
Na Tabela 19 são apresentados os devidos comprimentos das armaduras 
negativas. 
Tabela 19: Determinação do comprimento das armaduras negativas. 
Lajes d (cm) 𝜙 (mm) 𝑎𝑙 + 𝑙𝑏 (cm) lx (cm) 0,25𝑙 + 10𝜙 (cm) 
Valor mínimo 
(cm) 
L02 / L03 9,0 8,0 48,47 290 80,5 80,5 
L05 / L09 
L06 / L10 
5,0 5,0 29,36 125 36,25 36,25 
L07 / L01 
L07 / L11 
L08 / L04 
L08 / L12 
5,0 5,0 29,36 140 40,0 40,0 
L09 / L11 
L10 / L12 
9,0 10,0 57,21 465 126,25 126,25 
L09 / L10 9,0 10,0 57,21 465 126,25 126,25 
Fonte: Autor 
Pinheiro (2003) recomenda arredondar o comprimento das barras de 5 em 
5cm. 
Para a laje em balanço, Pinheiro (2003) recomenda engastar a armadura 
negativa 1,5lx, sendo lx o comprimento do balanço. 
Soriano (2003) apresenta o detalhamento das armaduras negativas das lajes 
conforme a Figura 13 
Carvalho & Figueiredo Filho (2014) e Pinheiro (2003) apresentam o 
detalhamento das armaduras negativas conforme a Figura 14. 
Em situações onde não se tenha alteração brusca de carregamento e as lajes 
são bem definidas, é usual armar lajes maciças convencionais conforme 
recomendação apresentada na Figura 14. Porém, quando se tem carregamentos 
muito diferentes e/ou as lajes não são tão bem definidas, recomenda-se que se 
utilize o detalhamento conforme a Figura 13. 
28 
 
Disciplina Concreto Armado II - Prof. Me. Leandro Dias Küster - 2015 
Figura 13: Primeira opção de detalhamento das armaduras negativas (Superiores) 
D
e
ta
lh
a
m
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n
to
 d
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m
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g
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v
a
s
 (
s
u
p
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r
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r
e
s
)
L
0
1
L
0
2
L
0
5
L
0
9
L
0
7
L
1
1
L
0
4
L
0
3
L
0
6
L
1
0
L
0
8
L
1
2
L
1
3
6
9 N11 Ø 5 C/20 C=312
6 6
h
=
1
2
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
1
2
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
1
1
55
2
3
 N
5
 Ø
 5
 C
/2
0
 C
=
9
4
4
5
5
(
1
6
5
)
(
9
3
9
)
(275)
(323)
6
2
0
 N
1
 Ø
 8
 C
/1
4
 C
=
1
7
7
8
2
,5
6
13 N10 Ø 5 C/20 C=577
6 6
(
1
6
5
)
(540)
6
2
8
 N
4
 Ø
 1
0
 C
/2
0
 C
=
2
6
7
1
2
7
,5
6
13 N7 Ø 5 C/20 C=577
6 6
(
1
6
5
)
(400)
6
2
1
 N
4
 Ø
 1
0
 C
/2
0
 C
=
2
6
7
1
2
7
,5
6
13 N7 Ø 5 C/20 C=577
6 6
(
1
6
5
)(400)
6
2
1
 N
4
 Ø
 1
0
 C
/2
0
 C
=
2
6
7
1
2
7
,5
6 6
38 N6 Ø 5 C/12 C=232
(
4
5
0
)
40
6
6
1
2
 N
2
 Ø
 5
 C
/2
0
 C
=
4
8
7
(225)
6 6
38 N6 Ø 5 C/12 C=232
40
(225)
6
6
1
2
 N
2
 Ø
 5
 C
/2
0
 C
=
4
8
7
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
3 6
33 N9 Ø 5 C/14 C=84
37,5
6
6
4
 N
3
 Ø
 5
 C
/2
0
 C
=
9
5
2
(75)
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
3 6
33 N9 Ø 5 C/14 C=84
37,5
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
26
79 N8 Ø 10 C/12 C=356
 
Fonte: Autor 
29 
 
Disciplina Concreto Armado II - Prof. Me. Leandro Dias Küster - 2015 
Figura 14: Segunda opção de detalhamento das armaduras negativas (Superiores) 
D
e
ta
lh
a
m
e
n
to
 d
a
s
 a
r
m
a
d
u
r
a
s
 n
e
g
a
ti
v
a
s
 (
s
u
p
e
r
io
r
e
s
)
L
0
1
L
0
2
L
0
5
L
0
9
L
0
7
L
1
1
L
0
4
L
0
3
L
0
6
L
1
0
L
0
8
L
1
2
L
1
3
6
h
=
1
2
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
1
2
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
8
h
=
1
2
h
=
1
1
55
2
3
 N
5
 Ø
 5
 C
/20
 C
=
9
4
4
(
9
3
9
)
(275)
6
2
0
 N
1
 Ø
 8
 C
/1
4
 C
=
1
7
7
8
2
,5
6
(540)
6
2
8
 N
4
 Ø
 1
0
 C
/2
0
 C
=
2
6
7
1
2
7
,5
6
(400)
6
2
1
 N
4
 Ø
 1
0
 C
/2
0
 C
=
2
6
7
1
2
7
,5
6
(400)
6
2
1
 N
4
 Ø
 1
0
 C
/2
0
 C
=
2
6
7
1
2
7
,5
6 6
38 N6 Ø 5 C/12 C=232
(
4
5
0
)
40
6 6
38 N6 Ø 5 C/12 C=232
40
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
3 6
33 N9 Ø 5 C/14 C=84
37,5
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
3 6
33 N9 Ø 5 C/14 C=84
37,5
(
4
5
0
)
(
4
5
0
)
26
79 N8 Ø 10 C/12 C=356
 
Fonte: Autor 
30 
 
Disciplina Concreto Armado II - Prof. Me. Leandro Dias Küster - 2015 
Araújo (2014) menciona que Quando as vigas de borda possuem grande 
rigidez à torção, deve-se colocar uma armadura de bordo. 
O comprimento (da face da viga em diante) da armadura de bordo deve ser 
igual a 0,15.lx. 
A Taxa de armadura de bordo deve ser a seguinte: 
𝐴𝑠 ≥ 
0,25. 𝐴𝑠1 
0,67. 𝐴𝑆,𝑚𝑖𝑛
 
Onde: 
𝐴𝑠1 = armadura positiva paralela à borda mencionada. 
 
31 
 
Disciplina Concreto Armado II - Prof. Me. Leandro Dias Küster - 2015 
BIBLIOGRAFIA 
ABNT, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto 
de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. 
ABNT, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto 
de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. 
ABNT, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120. Cargas 
para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. Vol. 1. 4. ed. Rio Grande: Editora 
Dunas, 2014. 
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. Vol. 2. 4. ed. Rio Grande: Editora 
Dunas, 2014. 
CARVALHO, R. C.; PINHEIRO, L. M. Cálculo e detalhamento de estruturas 
usuais de concreto armado. Vol. 2. 2. ed. São Paulo: PINI, 2013. 
PINHEIRO, L. M. Concreto armado: tabelas de lajes. São Carlos: EESC-USP, 
2007. 
PINHEIRO, L.M. Lajes maciças. São Carlos, São Carlos: EESC-USP, 2003. 
SORIANO, J. Estruturas de concreto A. Notas de Aula: Dimensionamento de 
lajes maciças. UNASP, 2003. 
 
 
32 
 
Disciplina Concreto Armado II - Prof. Me. Leandro Dias Küster - 2015 
ANEXOS 
Tabela 20: Tabela de valores de coeficiente f2 
 
Fonte: ABNT NBR 6118:2014 
 
 
Fonte: ABNT NBR 6118:2014