Limites

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
3
a
Lista de Cálculo I - Limite e Continuidade 1
Prof: Rafael Antônio Rossato
1) Para o ε dado, calcule um δ > 0 tal que |f(x)− L| < ε, para todo x tal que 0 < |x− p| < δ.
a) f(x) = x+ 3; L = 5; p = 2; ε = 0.01;
b) f(x) = −3x+ 1; L = −2; p = 1; ε = 0.01;
c) f(x) = x+1x−1 ; L = −1; p = 0; ε = 1;
2) Utilizando a definição de limite, demonstre que:
a) lim
x→4
x2 = 16
b) lim
x→−1
(11x+ 5) = −6
c) lim
x→√2
8
√
3 = 8
√
3
d) lim
x→10
x2−100
x−10 = 20
e) lim
x→ 14
√
x = 12
f) lim
x→1
1
x = 1
3) Esboce o gráfico da função dada e, utilizando a ideia intuitiva de função contínua, determine os pontos
em que a função deverá ser contínua.
a) f(x) = pi
b) f(x) = x+ 3
c) f(x) = x2
d) f(x) =
{
x2, se x ≤ 1
2, se x > 1
e) f(x) =
{
1
x2 , se |x| ≥ 1
2, sez|x| < 1
f) f(x) = x2 + 2
4) Esboce o gráfico de f(x) = 4x
2−1
2x−1 . Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule lim
x→ 12
4x2−1
2x−1 .
5) Seja f : R → R, tal que |f(x)| ≤ x2 para todo x ∈ R. Calcule, caso exista, lim
x→0
f(x) e verifique se f é
contínua em 0.
6) Em cada item abaixo determine o maior subconjunto de R onde a função f em questão é contínua.
a) f(x) = 3x−52x2−x−3
b) f(x) = x
2−9
x−3
c) f(x) =
√
2x− 3 + x2
d) f(x) = x−1√
x2−1
e) f(x) = xx2+1
f) f(x) =
√
9−x√
x−6
1
7) Seja f : R → R dada por f(x) =
{ |x−3|
x−3 , se x 6= 3
1, se x = 3
. A função f é contínua em x = 3? Justifique sua
resposta.
8) Encontrar, se existirem, as constantes A e B de modo que a função f : R→ R dada por
f(x) =

3x, se x ≤ 2
Ax+B, se 2 < x < 5
−6x, se x ≥ 5
seja contínua em R.
9) Considere a função f : R→ R dada por f(x) =
{√
x3+6x2
x , se x 6= 0
6, se x = 0
, para x ∈ R.
a) Calcule, se existir, lim
x→0
f(x).
b) Verifique se lim
x→0
f(x) = f(0).
10) Calcule, se existir, os limites:
a) lim
x→−3
x+2
x2−x−6
b) lim
h→0
(h−5)2−25
h
c) lim
t→9
9−t
3−√t
d) lim
x→2
1
x− 12
x−2
e) lim
x→13
3
√
x− 3√13
x−13
f) lim
x→4
√
5+x−3√
5−x−1
g) lim
x→1
√
x−1√
2x+3−√5
11) Sejam f e g funções contínuas em R, tais que f(3) = g(3). Pergunta-se: a função h : R → R, dada por
h(x) =
{
f(x), para x ≤ 3
g(x), para x > 3
é contínua em R? Explique sua resposta.
12) Calcule lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h , em cada um dos casos a seguir:
a) f(x) = x2 + 13
b) f(x) = 4x+ 5
c) f(x) = 5
13) Calcule lim
x→p
f(x)−f(p)
x−p em cada um dos casos a seguir:
a) f(x) = 1x
b) f(x) = 1x2
14) Analise a continuidade das funções abaixo nos seus respectivos domínios (isto é dizer os pontos onde
função é contínua e os pontos onde é descontínua).
a) f(x) =

√
x−1
x2−1 , sex 6= ±1√
2
2 , se x = 1
0, se x = −1
2
b) f(x) = x2(x+ 3)2
c) f(x) =
{
1
x−2 , se x ≤ 1
1
x , se x > 1
d) f(x) =
{
sin(2x)
x , se x 6= 0
2, se x = 0
e) f(x) =
{
3x− 1 se x < 2
4− x2, se x ≥ 2
f) f(x) = xx−3
g) f(x) =
√
x2 − x− 2
15) Suponha que a temperatura do ar seja 30◦F. Nesse caso, a sensação térmica (em ◦F) para uma velocidade
do vento v (em milhas por hora) é dada por
W (v) =

30, para 0 ≤ v ≤ 4
1,25v − 18,67√v + 62,3, para 4 < v < 45
−7, para v ≥ 45
a) Qual a sensação térmica para v = 20 milhas por hora? E para v = 50 milhas por hora?
b) Que velocidade do vento produz uma sensação térmica de 0◦F?
c) A função de sensação térmica W (v) é contínua em v = 4? E em v = 45?
16) No correio dos Estados Unidos, a �função de porte� p(x) pode ser descrita da seguinte forma:
p(x) =

37, para 0 < x ≤ 1
60, para 1 < x ≤ 2
83, para 2 < x ≤ 3
.
.
.
290, para 11 < x ≤ 12
onde x é o peso de uma carta em onças e p(x) é o preço correspondente do porte, em cents. Faça o
esboço do gráfico de p(x) para 0 < x ≤ 6. para que valores de x a função p(x) é descontínua no intervalo
0 < x ≤ 6?
17) Um cano rompido em uma plataforma petrolífera do Mar do Norte produz uma mancha de óleo circular
que tem y metros de espessura a uma distância de x metros do local do vazamento. A turbulência torna
difícil medir diretamente a espessura da mancha no local do vazamento (x = 0), mas para x > 0 observa-se
que
y =
1
2 (x
2 + 3x)
x3 + x2 + 4x
.
Supondo que a distribuição de óleo no mar seja contínua, qual é a espessura estimada no local do vaza-
mento?
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