Sistema Lineares

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II. Cálculo do determinanteMatrizdeordem3:odeterminanteéobtidopelaregradeSarrus.ConsidereamatrizA=detA = (12 + 25 + 24) –(40 + 6 + 30) = 61 –76 = –15
II. Cálculo do determinante
Matriz de ordem 3: o determinante é obtido pela regra de Sarrus.
Considere a matriz A =
det A = (12 + 25 + 24) – (40 + 6 + 30) = 61 – 76 = –15
II. Cálculo do determinanteMatrizdeordemmaiorque3:usa-seoteoremadeLaplace,quepodeserutilizadonocálculododeterminantedematrizescujaordemsejamaiorouiguala2.
II. Cálculo do determinante
Matriz de ordem maior que 3: usa-se o teorema de Laplace, que pode ser utilizado no cálculo do determinante de matrizes cuja ordem seja maior ou igual a 2.
III. Matriz reduzida e cofatorConsidere a matriz A =Matriz reduzida Aij: é obtida eliminando-se a i-ésimalinha e a j-ésimacoluna da matriz A. Matriz reduzida A21: é obtida retirando-se a segunda linha e a primeira coluna da matriz original:
III. Matriz reduzida e cofator
Considere a matriz A =
Matriz reduzida Aij: é obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. 
Matriz reduzida A21: é obtida retirando-se a segunda linha e a primeira coluna da matriz original:
IV. Teorema de LaplaceOdeterminantedeumamatrizA=(aij)n(n≥2)éobtidomultiplicando-secadaelementodeumadasfilas(linhaoucoluna)damatrizApeloseurespectivocofatoreadicionando-seosresultados.Exemplo:











365
142
251
A
IV. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido multiplicando-se cada elemento de uma das filas (linha ou coluna) da matriz A pelo seu respectivo cofator e adicionando-se os resultados.
Exemplo:
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
3
6
5
1
4
2
2
5
1
A
IV. Teorema de LaplaceEx:Escolhemosa1alinhaparacalcularoscofatores.











365
142
251
A
IV. Teorema de Laplace
Ex: Escolhemos a 1a linha para calcular os cofatores.
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
3
6
5
1
4
2
2
5
1
A
VII. Solução de um sistema de equações linearesÉtodaênuplaordenadaquetornaverdadeirassimultaneamentetodasasequaçõesquecompõemosistema.Emrelaçãoàssoluções,umsistemapodeserclassificadodaseguinteforma:Possíveledeterminado(SPD):soluçãoúnica;Possíveleindeterminado(SPI):infinitassoluções;Impossível(SI):semsolução.
VII. Solução de um sistema de equações lineares
É toda ênupla ordenada que torna verdadeiras simultaneamente todas as equações que compõem o sistema. Em relação às soluções, um sistema pode ser classificado da seguinte forma:
Possível e determinado (SPD): solução única;
Possível e indeterminado (SPI): infinitas soluções;
Impossível (SI): sem solução.
Equação linear: toda aquela do tipo
VIII. Resolução de sistemasSubstituição:trata-sedeisolarconvenientementeumadasincógnitasemcadaequaçãoesubstituí-lasemoutraequaçãodosistema,quedevesemanterintacta.Porfim,origina-seumaequaçãoequivalenteemfunçãodeumadasincógnitas.Comovalordeumadasincógnitas,porsubstituição,obtêm-seasdemais.Escalonamento:oobjetivoéobterumsistemaequivalente,noqual,decadaequaçãoparaaseguinte,aquantidadedecoeficientesnulosaumenteantesdoprimeirocoeficientenãonulo.
VIII. Resolução de sistemas
Substituição: trata-se de isolar convenientemente uma das incógnitas em cada equação e substituí-las em outra equação do sistema, que deve se manter intacta. Por fim, origina-se uma equação equivalente em função de uma das incógnitas. Com o valor de uma das incógnitas, por substituição, obtêm-se as demais.
Escalonamento: o objetivo é obter um sistema equivalente, no qual, de cada equação para a seguinte, a quantidade de coeficientes nulos aumente antes do primeiro coeficiente não nulo.
VIII. Resolução de sistemas3.RegradeCramer:apartirdeumsistemacomtrêsequaçõesetrêsincógnitas,podemosobteralgumasmatrizesedeterminantes:
VIII. Resolução de sistemas
3. Regra de Cramer: a partir de um sistema com três equações e três incógnitas, podemos obter algumas matrizes e determinantes:
IX. Discussão de um sistema linearSeD≠0,osistemaépossíveledeterminado.(SPD)SeD=0etodososDi’s=0,sistemaépossíveleindeterminado;(SPI)SeD=0sepelomenosumdosDi’s≠0,sistemaéImpossível;(SI)Ex:Discutaeresolvaossistemasquandohouversolução:
IX. Discussão de um sistema linear
Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado. (SPD)
Se D = 0 e todos os Di’s = 0, sistema é possível e indeterminado; (SPI)
Se D = 0 se pelo menos um dos Di’s ≠ 0, sistema é Impossível; (SI)
Ex: Discuta e resolva os sistemas quando houver solução: 
Determinante
Determinante
04)(UFRJ)DadaamatrizA=(aij)2x2,talqueencontreodeterminantedamatrizA.05)(UFF-RJ)Umbiscoitoécompostoporaçúcar,farinhadetrigoemanteiga,sendoaquantidadedefarinhaodobrodaquantidadedeaçúcar.Ospreçosporquilogramadoaçúcar,dafarinhaedamanteigasão,respectivamente,R$0,50,R$0,80eR$5,00.Ocustoporquilogramademassadobiscoito,considerandoapenasessesingredientes,éR$2,42.Calculeaquantidade,emgramas,decadaingredientepresenteem1kgdemassadobiscoito.Exercícios





jijia
jia
ij
ij
se,3
se,2
04) (UFRJ) Dada a matriz A = (aij)2 x 2, tal que
encontre o determinante da matriz A.
05) (UFF-RJ) Um biscoito é composto por açúcar, farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços por quilograma do açúcar, da farinha e da manteiga são, respectivamente, R$ 0,50, R$ 0,80 e R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito, considerando apenas esses ingredientes, é R$ 2,42. Calcule a quantidade, em gramas, de cada ingrediente presente em 1 kg de massa do biscoito.
Exercícios
î
í
ì
³
+
=
<
=
j
i
j
i
a
j
i
a
ij
ij
se
,
3
se
,
2
06)(Fuvest-SP)CarlosesuairmãAndreiaforamcomseucachorroBiduàfarmáciadeseuavô.Lá,encontraraumavelhabalançacomdefeitoquesóindicavacorretamentepesossuperioresa60kg.Assimelespesaramdoisadoiseobtiveramasseguintesmarcas:Carloseocãopesam,juntos,87kg;CarloseAndreiapesam123kg;AndreiaeBidupesam66kg.Quaissãoseuspesos?Exercícios
06) (Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá, encontrara uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
Carlos e o cão pesam, juntos, 87 kg;
Carlos e Andreia pesam 123 kg;
Andreia e Bidu pesam 66 kg.
Quais são seus pesos?
Exercícios
07)(Vunesp-SP)Misturam-sedoistiposdeleite,umcom3%degorduraeoutrocom4%degorduraparaobter,aotodo,80litrosdeleitecom3,25%degordura.Quantoslitrosdeleitedecadatipoforammisturados?60litrosdeleitecom3%degordura20litrosdeleitecom4%degordura08)(Osec–SP)Osistemalineara)admitesoluçãoúnicab)admiteinfinitassoluçõesc)admiteapenasduassoluçõesd)nãoadmitesoluçãoe)N.D.AExercícios







724
9432
22
zyx
zyx
zyx
07) (Vunesp-SP) Misturam-se dois tipos de leite, um com 3% de gordura e outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros de leite com 3,25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados?
60 litros de leite com 3% de gordura
20 litros de leite com 4% de gordura
08) (Osec – SP) O sistema linear 
a) admite solução única
b) admite infinitas soluções
c) admite apenas duas soluções
d) não admite solução
e) N.D.A
Exercícios
ï
î
ï
í
ì
=
+
+
=
+
+
=
+
-
7
2
4
9
4
3
2
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
09)(UFPR-PR)Paraqueosistemaadmitasoluçãoúnica,deve-seter:a)m≠1b)m≠3c)m≠2d)m≠–3e)m≠–210)Asomadosvaloresdekquetornamosistemaindeterminadoé:a)–7b)7c)–2d)10e)2Exercícios
09) (UFPR-PR) Para que o sistema admita solução única, deve-se ter:
a) m ≠ 1          
b) m ≠ 3
c) m ≠ 2          
d) m ≠ –3
e) m ≠ –2
10) A soma dos valores de k que tornam o sistema indeterminado é:
a) –7 
b) 7
c) –2 
d) 10
e) 2
Exercícios
11)Paraquevaloresdemosistemaépossíveledeterminado?a)m≠3b)m≠–3c)m≠6d)m=6e)∀m,m∈IR.12)(CEFET–MG)–SendoA=(aij),umamatrizquadradadeordem3ondeaij=i2–2ij+j2,então,odeterminantedeAéa)8b)9c)10d)11e)12Exercícios
11) Para que valores de m o sistema é possível e determinado?
a) m ≠ 3
b) m ≠ –3
c) m ≠ 6
d) m = 6
e) ∀ m, m ∈ IR.
12) (CEFET– MG) – Sendo A = (aij), uma matriz quadrada de ordem 3 onde aij = i2 – 2ij + j2, então, o determinante de A é
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Exercícios
Sistema de equações lineares
13)Exercícios
(CEFET– MG) – Seja A = (a
ij
), a matriz quadrada de ordem 3 onde a
ij
 = 
ቐ
21 – 3 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
𝑖 – 𝑗 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑖 + 𝑗 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
�
. O valor 
do determinante de A é igual a 
 
a) -57 
 
b) -19 
 
c) 0 
 
d) 19 
 
e) 57 
13)
Exercícios
(CEFET– MG) – Seja A = (a
ij
), a matriz quadrada de ordem 3 onde a
ij
 = 
ቐ
21 – 3 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
𝑖 – 𝑗 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑖 + 𝑗 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
�
. O valor 
do determinante de A é igual a 
 
a) -57 
 
b) -19 
 
c) 0 
 
d) 19 
 
e) 57 
14)AempresaBrinqueMuitorealizouumagrandedoaçãodebrinquedosparaumorfanato.Essadoaçãocompreendeu535brinquedos,entrebolasebonecas,370brinquedosentrebonecasecarrinhos,eototaldadoaçãoentrebolasecarrinhosforamde455brinquedos.Calculeonúmerodecadabrinquedo.15)Umconsumidordispõedecertaimportânciaparafazercompras.Secomprar1CD,1DVDe1livro,faltarãoR$20,00.Secomprar1CDe1livro,sobrarãoR$40,00esecomprar1DVDe1livro,sobrarãoR$15,00.QualéopreçodoDVD?16)Emumasala,haviacertonúmerodejovens.QuandoPaulochegou,onúmeroderapazespresentesnasalaficouotriplodonúmerodegarotas.Se,aoinvésdePaulo,tivesseentradonasalaAlice,onúmerodegarotasficariaametadedonúmeroderapazes.Determineonúmerodejovensqueestavaminicialmentenasala(antesdePaulochegar).Exercícios
14) A empresa Brinque Muito realizou uma grande doação de brinquedos para um orfanato. Essa doação compreendeu 535 brinquedos, entre bolas e bonecas, 370 brinquedos entre bonecas e carrinhos, e o total da doação entre bolas e carrinhos foram de 455 brinquedos. Calcule o número de cada brinquedo.
15) Um consumidor dispõe de certa importância para fazer compras. Se comprar 1 CD, 1 DVD e 1 livro, faltarão R$ 20,00. Se comprar 1 CD e 1 livro, sobrarão R$ 40,00 e se comprar 1 DVD e 1 livro, sobrarão R$ 15,00. Qual é o preço do DVD?
16) Em uma sala, havia certo número de jovens. Quando Paulo chegou, o número de rapazes presentes na sala ficou o triplo do número de garotas. Se, ao invés de Paulo, tivesse entrado na sala Alice, o número de garotas ficaria a metade do número de rapazes. Determine o número de jovens que estavam inicialmente na sala (antes de Paulo chegar).
Exercícios
17)UmEng.FlorestalprecisamontarumasementeiraparasemeiodesementesdeespéciesnativasdaregiãodoCaparaó.ParaissoeleprecisautilizarossubstratosA,BeC.CadagramadosubstratoAcontémcincoumidadesdeareia,umaunidadedevermiculitaetrêsunidadesdeestercobovinocurtido.CadagramadoSubstratoBcontémumaunidadedeareia,trêsunidadesdevermiculitaeseisunidadesdeestercobovinocurtido.CadagramadosubstratoCcontémquatrounidadesdeareia,noveunidadesdevermiculitaeumaunidadedeestercobovinocurtido.Seasementeiraprecisateroitentaunidadesdeareia,centoevinteunidadesdevermiculitaesessentaunidadesdeestercobovinocurtido,quantosgramasdecadasubstratodevemserutilizados?Exercícios
17) Um Eng. Florestal precisa montar uma sementeira para semeio de sementes de espécies nativas da região do Caparaó. Para isso ele precisa utilizar os substratos A, B e C. Cada grama do substrato A contém cinco um idades de areia, uma unidade de vermiculita e três unidades de esterco bovino curtido. Cada grama do Substrato B contém uma unidade de areia, três unidades de vermiculita e seis unidades de esterco bovino curtido. Cada grama do substrato C contém quatro unidades de areia, nove unidades de vermiculita e uma unidade de esterco bovino curtido. Se a sementeira precisa ter oitenta unidades de areia, cento e vinte unidades de vermiculita e sessenta unidades de esterco bovino curtido, quantos gramas de cada substrato devem ser utilizados?
Exercícios
18)Oatletaprecisaconsumirdiariamente2072Kcal(quilocalorias),220gdeproteínase19,3gdelipídeose,paraisto,umanutricionistapassouumadietaabasedearroz,filédefrangogrelhadoemaçã.NaTabelatemosaquantidadedestassubstânciasencontradasemcadaalimento.Quantosgramasdecadaumdestesalimentosoatletadeveingerirdiariamente?Exercícios
18) O atleta precisa consumir diariamente 2072Kcal (quilocalorias), 220g de proteínas e 19,3g de lipídeos e, para isto, uma nutricionista passou uma dieta a base de arroz, filé de frango grelhado e maçã. Na Tabela temos a quantidade destas substâncias encontradas em cada alimento.
Quantos gramas de cada um destes alimentos o atleta deve ingerir diariamente?
Exercícios
Sistema de equações lineares
DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARESArelaçãoentreasmatrizeseossistemaslinearesremontaaoséculo100a.C.Desdeentão,aevoluçãodousodasmatrizesedosdeterminantesnaresoluçãodesistemasdeusignificadorelevanteaessasfascinantesestruturasmatemáticas.
DETERMINANTES E 
SISTEMAS LINEARES
A relação entre as matrizes e os sistemas lineares remonta ao século 100 a.C. Desde então, a evolução do uso das matrizes e dos determinantes na resolução de sistemas deu significado relevante a essas fascinantes estruturas matemáticas.
I. DeterminanteÉovalorrealassociadoatodamatrizquadradaobtidoapartirdeumasériedeoperaçõesbemdefinidascomseuselementos.
I. Determinante
É o valor real associado a toda matriz quadrada obtido a partir de uma série de operações bem definidas com seus elementos.