Gráficos e L'Hospital

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
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a
Lista de Exercícios de Cálculo I - Esboço de gráficos e Regra de L'Hospital
Prof: Rafael Antônio Rossato
1) Esboce o gráfico das funções a seguir (OBS: esboçar o gráfico seguindo o roteiro dada em sala de aula! )
a) f(x) = x3 − 12x+ 1
b) f(x) = xe−3x
c) f(x) = 2 cos(3x)
d) f(x) = x lnx
e) f(x) = xln x
f) f(x) =
√
x+ 1√
x
g) f(x) = 2x2+3
h) f(x) = xx2+4
i) f(x) = x
2√
x2−1
j) f(x) = x
2√
1−x2
k) f(x) = x
2
2x+5
l) f(x) = 1x−1 − x
m) f(x) = ex − x
n) f(x) =
√|x2 − 2|
o) f(x) = (x3−4x2+4x)e−x
p) f(x) = 1+| ln x|1+|x|
q) f(x) = x2e(
|x|−1
x )
r) f(x) = xe−x
2
s) f(x) = cosx− cos2 x
t) f(x) =
√
x− 1√
x
u) f(x) = sen x+ cosx
v) f(x) = arcsenx
x) f(x) = arccosx
x) f(x) = secx
z) f(x) = arctanx
2) Para um peixe nadando a uma velocidade v em relação a água, a energia gasta por unidade de tempo é
proporcional a v3. Acredita-se que peixes migratórios tentam minimizar a energia total requerida para
nadar uma distância fixa. Se o peixe estiver nadando contra uma corrente u (u < v), então o tempo
requerido para nadar uma distância L é Lv−u e a energia total E requerida para nadar a distância é dada
por E(v) = av3 Lv−u onde a é uma constante de proporcionalidade. Determine o valor de v que minimiza
E e esboce o gráfico de E.
3) Calcule os seguintes limites usando a regra de L'Hospital (se possível e necessário):
a) lim
x→0
x
1−ex
b) lim
x→+∞
ln x
e3x
c) lim
x→+∞
sen 1x
arctan 1x
d) lim
x→pi2
3 cos x
2x−pi
e) lim
x→1
(
1
ln x − 1x−1
)
f) lim
x→0
tan x−x
x−sen x
g) lim
x→0+
xe
1
x
h) lim
x→−∞
2x
ex
i) lim
x→pi2
ln(sen x)
(pi−2x)2
j lim
x→0
2x−3x
x
k) lim
x→0+
sen x lnx
l) lim
x→+∞
(
x
x2+1
)x
m) lim
x→0−
(1− cosx) 1x
n) lim
x→0+
xsen x
o) lim
x→+∞(x
2 + 1)
1
ln x
p) lim
x→0+
(sen x)
1
ln x
GABARITO:
Exercícios 2: v = 3u2
Exercícios 3: a) -1, b)0, c) 1, d) -3/2, f) 2, g) +∞, h) +∞, k) 0, l) 0, n) 1, o) e2, p) e
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