Lista de Sequências e Séries - Professor Ricardo do Carmo

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
MAF 1072 – PROF. : RICARDO DO CARMO 
SEQUÊNCIAS e SÉRIES
SEQUÊNCIA
DEFINIÇÃO 1
Sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos, onde f(1) , f(2) , f(3) , ... , f(n) , ... são os elementos da sequência, sendo:
f(1) ( 1º termo
f(2) ( 2º termo
 . .
 . . 			NOTAÇÃO: { an }
 . .
f(n) ( n-ésimo termo
Exemplo
 representa a sequência: 
OBS.
Como 
 temos que enquanto 
 vai aumentando, 
 vai diminuindo e cada vez mais os termos ficarão próximos de 
, isto é , 
 e dizemos que a sequência 
 converge para o limite 
.
DEFINIÇÃO 2
Se a sequência { an } tiver um limite, dizemos que ela é convergente, e an converge para o limite. Se a sequência não for convergente, ela será divergente.
PROPRIEDADES DOS LIMITES DE SEQUÊNCIAS
Sejam { an } e { bn } sequências que convergem para os limites A e B, respectivamente, e que c é uma constante. Então:
1ª) 
			2ª) 
3ª) 
		4ª) 
5ª) 
6ª) 
 , se k é uma constante positiva
7ª) se
 ( (a(< 1 ( 
 ( (a( > 1 ( { an } diverge
Exercício
1) Escreva os quatro primeiros elementos das sequências abaixo e determine se elas são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, ache o seu limite.
a) 
 b) 
 c) 
d) 
	 e) 
		 f) 
Resp.
a) converge p/ 3/2
b) converge p/ 3
c) diverge 
d) converge p/ 1/2
e) diverge
f) converge p/ 0
 SÉRIE
DEFINIÇÃO 1
Se { an } for uma sequência e Sn = a1 + a2 + ... + an , então a sequência { sn } é denominada de série infinita cuja notação é 
= a1 + a2 + ... + an + ... , onde a1 , a2 , ... , an , ... são os termos da série infinita e s1 , s2 , ... , sn são as somas parciais da 
série infinita.
Ex. Na série 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... + 
+ ... = 
 , temos que 0,3; 0,33 ; 0,333 ; ... é a sequência das somas parciais da série, onde será possível mostrar que esta sequência tem limite 1/3 quando n cresce, isto é, a soma da série infinita é 1/3.
DEFINIÇÃO 2 ( Covergência de uma série infinita )
Se a sequência {sn} das somas parciais da série infinita 
converge para um limite S = 
, dizemos que a série infinita 
é convergente e sua soma é S. Se 
não existir, a série dada será divergente e não terá uma soma.
Ex. Calcule os quatro primeiros termos da série 
 e então calcule os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais da série. Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma.
			
 As cinco primeiras somas parciais são consequentemente dadas por:
 Estas cinco primeiras somas parciais‘sugerem’ que a n-ésima série dada pela fórmula: 
.
SÉRIES GEOMÉTRICAS
DEFINIÇÃO 3
Série geométrica é toda série da forma 
= a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + ... , onde cada termo após o primeiro é obtido pela multiplicação de seu predecessor imediato por uma constante multiplicativa r . Observe que uma série geométrica fica completamente especificada através de seu primeiro termo a e sua razão r. Por exemplo, a série geométrica de termo inicial a = 1 e razão r = 1/2 é:
.
	Uma razão negativa r produz uma alternância de sinais algébricos; por exemplo, a série geométrica 
 tem primeiro termo a = 2/3 e razão r = –3/4.
OBS.
A soma parcial sn de uma série geométrica é dada por 
 . De fato pois:
	Se sn = a + ar + ar2 + ... + arn–1 (1) , e multiplicando por r, obtemos:
 snr = ar + ar2 + ar3 + ... + arn (2) . subtraindo (2) da equação (1), temos:
 sn – snr = a – arn ou sn(1 – r) = a (1 – rn) . E portanto 
.
TEOREMA 1
A série geométrica 
= a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + ... , com a ( 0 ,
converge, e tem por soma 
, se (r(< 1 ;
diverge , se (r(( 1 .
Ex. 1) Determine se a série geométrica 
converge ou diverge e, se convergir, ache sua soma:
, a série é de fato geométrica com razão r = 1/3 e termo inicial a = 2. Como |r| = 1/3 < 1, a série converge e sua soma é dada por 
.
 
TEOREMA 2 ( Condição necessária de convergência )
Se a série infinita 
 for convergente, então 
= 0 .
OBS.
O inverso deste teoema é falso, isto é, se 
= 0, então não é necessariamente verdadeiro que a série seja convergente.
Ex.
A série harmônica 
TEOREMA 3 ( Condição suficiente de divergência )
Se 
 não existe, ou se 
 existe mas é diferente de zero, então a série 
 é divergente.
Ex. Mostre que as seguintes séries são divergentes:
1) 
 2) 
SÉRIES DE POTÊNCIAS
DEFINIÇÃO 4
Uma série de potências em x – a é uma série da forma 
= c0 + c1(x – a) + + c2(x – a)2 + ... + cn(x – a)n + ...
OBS.
*Considera-se (x – a)0 = 1, mesmo quando x = a .
*Se a = 0, temos a seguinte série de potências
= c0 + c1x + c2x2 + ... + cnxn + ...
* Uma série de potências 
define uma função cujo domínio é o intervalo de convergência da série.
OBS.
* Considere a série geométrica com a = 1 e r = x, isto é, 
. Pelo teorema (1), a série converge para a soma 
 , se (x(< 1. Logo a série de potências 
define a função f, tal que f(x) = 
 e (x(< 1. Logo,
1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... =
 , se (x(< 1. ( 1 )
* Se na série ( 1 ) x for substituído por –x , teremos:
1 – x + x2 – x3 + ... + (–1)nxn + ... =
 , se (x(< 1.
* Se na série ( 1 ) x = x2 , teremos:
1 + x2 + x4 + x6 + ... + x2n + ... =
 , se (x(< 1.
* Se na série ( 1 ) x = –x2 , teremos: 
1 – x2 + x4 – x6 + ... + (–1)n x2n + ... =
 , se (x(< 1.
EXEMPLO:
Obtenha uma série de potências que represente 
SÉRIE DE TAYLOR e SÉRIE DE MACLAURIN
Se f for a função definida por
f(x) = 
= c0 + c1x + c2x2 + ... + cnxn + ... , cujo raio de convergência é R > 0, sucessivas derivações da função f(x), resultam em:
	f ‘(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 + 4c4x3 + ... + ncnxn–1 + ...
	f ‘’(x) = 2c2 + 2.3c3x + 3.4c4x2 + ... + (n – 1).ncnxn–2 + ...
	f ‘’’(x) = 2.3c3 + 2.3.4c4x + ... + (n – 2).(n – 1).ncnxn–3 + ...
	f (iv)(x) = 2.3.4c4 + ... + (n – 3).(n – 2).(n – 1).ncnxn–4 + ...
	e assim por diante. Se x = 0 , temos:
f(0) = c0 
 	
	f ‘(0) = c1 
	f ‘’(0) = 2c2 ( 
	f ‘’’(0) = 2.3c3 ( 
	f (iv)(0) = 2.3.4c4 ( 
Em geral, 
 para todo n inteiro positivo, logo pode-se escrever
 
Em um sentido mais geral, consideramos a função f como uma série de potências em x – a , isto é,
( Série de Taylor )
Se a = 0, teremos a série:
( Série de Maclaurin )
 
EXEMPLOS:
1) Ache a série de Maclaurin para ex .
 Se f(x) = ex , f (n)(x) = ex para todo x, logo f (n)(0) = 1 para todo n, e portanto
 , observe que esta série é a mesma obtida anteriormente.
2) Ache a série de Maclaurin para sen x .
	f (x) = sen x ( f(0) = 0
f ‘(x) = cos x ( f ‘(0) = 1
f ‘’(x) = –sen x ( f ‘’(0) = 0 
f ‘’’(x) = –cos x ( f ‘’’(0) = –1 
e as derivadas subsequentes seguem o mesmo padrão, substituindo os valores acima na série de maclaurin, obtemos:
.
3) Encontre um valor aproximado para sen( 0,1) .
sen( 0,1) = 0,1 –
 
4) Ache a série de Maclaurin para 
.
Substituindo x por –x2 na série obtida no exemplo 1, obtemos:
 
5) Calcule um valor aproximado para a integral indefinida 
 .
Usando a série obtida no exemplo 4, obtemos:
= 
Essa expressão para o valor da integral como uma série numérica é exata e pode ser usada para obter esse valor em forma decimal com qualquer grau de precisão.
________________________________________________________
EXERCÍCIOS
1) Determine se cada sequência dada abaixo converge ou diverge. Se convergir, calcule o seu limite.
a) 
	b)c) 
d) 
	e) 
	 f) 
2) Diga se cada sequência dada abaixo é crescente, decrescente ou não monótona.
a) 
 	b) 
	c) 
3) Encontre o termo inicial a e a razão r de cada série geométrica, determine se a série converge e, se convergir, encontre a sua soma:
a) 
		f) 
b) 
			g) 
c) 
		h) 
d) 
			i) 
e) 
			j) 
	
4) Encontre uma função que representa as séries dadas abaixo e dê o domínio destas funções:
a) 
 	c) 
b) 
	d) 
5) Sendo
, ache uma representação em série de potências e o intervalo de convergência de:
a) 
			d) 
b) 
			e) 
c)
 			f)
6) Use a fórmula 
(“Série de Maclaurin”) para obter uma série infinita que representa as funções:
a) 
			c) 
b) 
7) Use a fórmula 
(“Série de Taylor”) para obter uma série infinita que representa as funções:
a) 
		d) 
b) 
		e) 
c) 
 em c = 1
________________________________________________________
RESPOSTAS
1) a) converge p/ 5/4
 b) diverge
 c) converge p/ 0
 d) converge p/ 0
 e) converge p/ 1/3
 f) diverge	
2) a) crescente
 b) crescente
 c) não-monótona
3) a) 
	f) 
 b) 
	 g)
 c) 
	 h) 
 d)
 i)
 e)
 j) 
4) a) 
		c) 
 b) 
		d) 
5) a) 
			d) 
 b) 
		e) 
 c) 
		f) 
6) a) 
 
 b) 
 c) 
7) a)
 b) 
 c)
 d) 
 e) 
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