Escolha envolvendo risco

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Escolha Envolvendo Risco
- Prof. Claudio Burian Wanderley -
Formalização dos processos de escolhas nas ciências socias: Função utilidade.
Idéia é muito simples:
Escolha se dá sobre conjunto compacto pré-definido, Ω (dado pelas restrições inevitáveis que existem: o máximo de consumo possível é igual ao montante produzido; o máximo de tempo disponível é 24 horas por dia, etc).
Agentes têm preferências sobre este conjunto (ou seja, dados dois elementos deste conjunto, A e B, o agente ou prefere A a B, ou B a A ou é indiferente entre estes).
Sob hipóteses muito genéricas sobre estas preferências, é possível mostrar que existirá função contínua U:Ω→R, tal que se:
A é preferível a B, então U(A)>U(B).
B é preferível a A, então U(A)<U(B).
Se o agente é indiferente entre A e B, U(A)=U(B).
Assim sendo,
Processo de escolha do agente equivale a maximização de U(.) sob Ω.
Como Ω é compacto e U contínua, garante-se que este exercício tem solução.
Permite previsão sobre processos de escolha.
Não implica que as pessoas utilizem tal método para escolher e sim que este método é eficiente na previsão destas escolhas (tal qual, por exemplo, o uso de equações matemáticas para prever a evolução dos planetas pelo espaço).
Ação racional nas ciências sociais:
Agente escolhe o que prefere.
Não implica que os agentes sejam capazes de fazer cálculos sofisticados.
Não implica que os agentes tenham informação perfeita (em modelos com informação perfeita, os agentes têm informação perfeita. Em modelos de informação imperfeita, isto não ocorre).
Únicas hipóteses necessárias são relacionadas a estrutura de preferências dos agentes (mas são muito tranqüilas). Tal não ocorre, entretanto, ao trabalhar com preferências sociais.
Única crítica válida é que esta análise é tautológica. 
Ambiente probabilístico: Em modelos probabilísticos, ao contrário dos determinísticos, resultados das ações ou eventos a ocorrerem não são previamente determinados. Pode acontecer um conjunto distinto de resultados, cada qual com uma probabilidade específica.
Mundo é probabilístico.
Modelos determinísticos são muito importantes para explicar uma série de questões relevantes (não se compromete os resultados, facilidade matemática) – CIÊNCIA NÃO É VERDADE ABSOLUTA!!!!
Loterias: Qualquer ação ou bem cujo resultado é probabilístico.
Possível representar preferências também sobre conjunto de loterias.
Grande questão deste processo: Loterias não apresentam somente valor esperado (média), mas também risco (dado por qualquer medida de assimetria, como a variância).
Ponto importante: Risco importa e pessoas tendem a não gostar de riscos.
Note que o valor esperado (média) não existe. Se jogarmos uma destas loterias uma única vez, será um dos dois resultados que ocorrerá. No primeiro exemplo, existe 50% de chance que eu fique com 10 e 50% de chance que eu fique com zero. Posso representar a satisfação dada pela loteria da seguinte forma:
U(A)=0,5U(10)+0,5U(0)
U(B)=0,5U(10.000)+0,5U(-9.990)
As funções acima são conhecidas como UTILIDADE ESPERADA.
Genericamente, para uma loteria A qualquer:
Três atitudes possíveis frente ao risco:
Agentes aversos ao risco: Pagam para não correr riscos.
U(A)<U[E(A)]
Agentes neutros ao risco: Indiferentes ao risco.
U(A)=U[E(A)]
Agentes amantes do risco: Pagam para correr riscos.
U(A)>U[E(A)]
Conceito importante: Equivalente-certeza de uma loteria (z). O agente seria indiferente entre jogar determinada loteria ou receber seu equivalente-certeza com 100% de chance.
Agentes aversos ao risco: 
U(z)=U(A)<U[E(A)] => z<E(A)
Agentes neutros ao risco: 
U(z)=U(A)=U[E(A)] => z=E(A)
Agentes amantes do risco: Pagam para correr riscos.
U(z)=U(A)>U[E(A)] => z>E(A)
Outro conceito importante: Prêmio de risco de uma loteria. É a diferença entre o valor esperado de uma loteria e seu equivalente-certeza. Mostra quanto o agente está disposto a cobrar para correr determinado risco (quem é indiferente ao risco não cobra nada, quem gosta de risco está disposto a pagar para corrê-lo).
Em finanças, isto é observado diretamente no mercado (diferentes rentabilidades dos ativos refletiriam as diferentes taxas de risco estimadas pelos agentes). Exemplo: Prêmio de risco-país dos títulos soberanos.
Possível representar graficamente os conceitos vistos:
Curvas de indiferença dos agentes.
Funções utilidade (relativas às rendas) dos agentes.
Trocas de Mercado – Contratos e Seguros
Quando agente compra um seguro, ele está pagando para outro agente correr seus riscos.
Evidência empírica mostra que os agentes são aversos ao risco.
Agentes amantes do risco são só curiosidade teórica.
Existiriam agentes neutros ao risco? Isto é uma questão de preferências? As seguradoras, por exemplo, seriam compostas das pessoas que “gostam de viver perigosamente”?
Voltemos aquela loteria esquisita citada anteriormente (onde você ganha 10 mil ou uma dívida de quase 10 mil).
O risco é horrível e dificilmente encontraríamos alguém disposto a jogá-la uma vez (mesmo com preço zero).
Poderíamos dizer o mesmo caso o agente jogasse a mesma loteria 100 vezes?
Afinal, se o risco já é grande para se jogar uma vez, este deve ser infinitamente maior caso se jogue 100 vezes. Ou não?
Lei dos grandes números em estatística: Quando se realiza infinitas vezes uma variável aleatória, a frequência dos resultados converge para suas probabilidades e seu resultado médio converge para seu valor esperado.
Em linguagem de gente, quanto mais jogarmos a loteria descrita, mais os percentuais de cada resultado encontrado vão convergir para 50% (probabilidade de ocorrência).
Assim, quanto mais jogarmos a loteria, MENOR SERÁ O RISCO INCORRIDO!!!!!!!
Citando um exemplo simples. Vamos pensar em um aluno (ou professor ou pesquisador) que tenha carro. Qual a probabilidade deste ter 100% de seus carros (no caso, um) roubado? É a probabilidade de roubo de carros aqui na PUC (espero que bem pequena).
Agora, qual a probabilidade de TODOS os carros de TODAS as pessoas da PUC serem roubados? Isto é zero!!!
Façamos um exemplo numérico. Pense na loteria que paga 10.000 com 50% de chance e (-9.900) com 50% de chance. O valor esperado desta é $5, mas ninguém gostaria de jogá-la uma vez.
Mas, se jogarmos esta loteria 5 vezes, o que aconteceria com seu valor médio? Fazendo as contas, obteríamos (-9.900) em 3,1% das vezes, (-5.920) em 15,6%, (-1.940) em 31,2%, 2.040 em 31,2%, 6.020 em 15,6% e 10.000 em 3,1%.
Variância, com uma única jogada, é de 99 milhões. No caso de cinco jogadas, entretanto, esta cai para 19,8 milhões.
Se jogarmos esta mesma loteria 100 vezes, a variância cai para 992 mil!!!
Ou seja, o risco está diminuindo!!!!
Assim, o agente que agrega muito risco em suas mãos DIMINUI sua exposição ao risco, não aumenta.
Seguradoras, bancos e financeiras fazem isto. 
Estas seriam neutras ao risco, não devido a preferências peculiares, e sim devido a questões estatísticas.
Permite existir trocas eficientes no mercado (pessoas pagariam menos do que estariam dispostas para não correr riscos e seguradoras receberiam mais do que o necessário para correr tais riscos). AMBOS MELHORARIAM!!!!!
Como o equivalente-certeza dos segurados é menos que valor esperado da loteria e do segurador é igual, é possível ocorrência de trocas eficientes (agente neutro ao risco assumindo grande parte deste).
Questões importantes:
Questões informacionais levam os agentes neutros ao risco a não assumirem todo o risco em sua totalidade (agentes aversos ao risco continuam sujeitos a parcela deste).
Questão estatística vista ocorre não só no setor financeiro. Isto estará presente em todas as relações contratuais (existência de parte mais neutra ao risco em relação à outra – política de recursos humanos das empresas, políticas de inclusão social, entre outras).
Outro fator relevante na diminuição do risco (particularmente no mercado financeiro): Possibilidade de se utilizar correlações negativas existentes entre os ativos para proteger a
rentabilidade de determinada carteira de investimentos.
Um exemplo se refere à correlação negativa existente entre ações de petrolíferas e companhias aéreas (choque negativo para um setor é positivo para o outro). Manutenção de ações de ambos os setores diminui a volatilidade do retorno da carteira específica. 
Modelo simples de precificação de ativos: CAPM (Capital Asset Pricing Model).
Suponha existência de dois ativos na economia, um com risco e outro sem risco (retorno é constante e é dado).
O retorno esperado do ativo com risco é maior do que do ativo sem risco (caso contrário, ninguém compraria o ativo com risco).
b é a proporção da carteira com ativos com risco.
 
 
 
Resultado básico:
Retorno da carteira tem relação linear com risco assumido (desvio-padrão da carteira).
Carteira montada será função das preferências dos agentes (pode ser visto graficamente).
Gráf3
	0.03125	-9900
	0.15625	-5920
	0.3125	-1940
	0.3125	2040
	0.15625	6020
	0.03125	10000
	-9900	0.5
	10000	0.5
Valor2
Valor1
Gráf1
	0.03125
	0.15625
	0.3125
	0.3125
	0.15625
	0.03125
P(x)
Gráf2
	0.03125	-9900
	0.15625	-5920
	0.3125	-1940
	0.3125	2040
	0.15625	6020
	0.03125	10000
	-9900	0.5
	10000	0.5
Valor2
Valor1
Plan1
	
	
					P(x)	Valor									Valor	P(x)
				1	0.5	-9900				-9900	0.03125				-9900	0.03125
				2	0.5	10000				-5920	0.15625				-5920	0.15625
										-1940	0.3125				-1940	0.3125
										2040	0.3125				2040	0.3125
										6020	0.15625				6020	0.15625
										10000	0.03125				10000	0.03125
	
	
		P(x)	Valor2	Valor1
		0.03125		-9900
		0.15625		-5920
		0.3125		-1940
		0.3125		2040
		0.15625		6020
		0.03125		10000
		0.5	-9900
		0.5	10000
Plan2
	
Plan3
	
Gráf4
	-9900	0
	-9701	0
	-9502	0
	-9303	0
	-9104	0
	-8905	0
	-8706	0
	-8507	0
	-8308	0
	-8109	0
	-7910	0
	-7711	0
	-7512	0
	-7313	0
	-7114	0
	-6915	0
	-6716	0
	-6517	0
	-6318	0
	-6119	0.0000000001
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	-4328	0.0000039434
	-4129	0.0000097904
	-3930	0.0000231707
	-3731	0.0000523209
	-3532	0.000112817
	-3333	0.0002324713
	-3134	0.0004581053
	-2935	0.0008638557
	-2736	0.0015597394
	-2537	0.0026979276
	-2338	0.00447288
	-2139	0.0071107323
	-1940	0.0108438667
	-1741	0.0158690732
	-1542	0.0222922695
	-1343	0.0300686426
	-1144	0.0389525598
	-945	0.0484742966
	-746	0.0579583981
	-547	0.0665905
	-348	0.0735270104
	-149	0.0780286641
	50	0.0795892374
	249	0.0780286641
	448	0.0735270104
	647	0.0665905
	846	0.0579583981
	1045	0.0484742966
	1244	0.0389525598
	1443	0.0300686426
	1642	0.0222922695
	1841	0.0158690732
	2040	0.0108438667
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	2438	0.00447288
	2637	0.0026979276
	2836	0.0015597394
	3035	0.0008638557
	3234	0.0004581053
	3433	0.0002324713
	3632	0.000112817
	3831	0.0000523209
	4030	0.0000231707
	4229	0.0000097904
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	4826	0.0000005519
	5025	0.0000001913
	5224	0.0000000629
	5423	0.0000000196
	5622	0.0000000058
	5821	0.0000000016
	6020	0.0000000004
	6219	0.0000000001
	6418	0
	6617	0
	6816	0
	7015	0
	7214	0
	7413	0
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	9602	0
	9801	0
	10000	0
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	0.3125	2040
	0.15625	6020
	0.03125	10000
Valor2
Valor1
Gráf1
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	0.3125
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	0.03125
P(x)
Gráf2
	0.03125	-9900
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	0.3125	-1940
	0.3125	2040
	0.15625	6020
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	10000	0.5
Valor2
Valor1
Gráf3
	-9900	0
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Valor2
Valor1
Plan1
																															P(x)	Valor2	Valor1
																						0	100		-9900	0	1	0			0	-9900			98109025	0
					P(x)	Valor									Valor	P(x)						1	99		-9701	0	100	0			0	-9701			94206436	0
				1	0.5	-9900				-9900	0.03125				-9900	0.03125		98109025	3065907.03125			2	98		-9502	0	4950	0			0	-9502			90383049	0
				2	0.5	10000				-5920	0.15625				-5920	0.15625		35105625	5485253.90625			3	97		-9303	0	161700	0			0	-9303			86638864	0
										-1940	0.3125				-1940	0.3125		3783025	1182195.3125			4	96		-9104	0	3921225.0000000033	0			0	-9104			82973881	0
										2040	0.3125				2040	0.3125		4141225	1294132.8125			5	95		-8905	0	75287520.00000001	0			0	-8905			79388100	0
										6020	0.15625				6020	0.15625		36180225	5653160.15625			6	94		-8706	0	1192052400.0000007	0			0	-8706			75881521	0
										10000	0.03125				10000	0.03125		99900025	3121875.78125			7	93		-8507	0	16007560800.00001	0			0	-8507			72454144	0
																			19802525			8	92		-8308	0	186087894300.00006	0			0	-8308			69105969	0
																						9	91		-8109	0	1902231808400	0			0	-8109			65836996	0.0000000001
		P(x)	Valor2	Valor1																		10	90		-7910	0	17310309456440.016	0			0	-7910			62647225	0.0000000009
		0.03125		-9900																		11	89		-7711	0	141629804643600	0			0	-7711			59536656	0.0000000067
		0.15625		-5920																		12	88		-7512	0	1050421051106700.5	0			0	-7512			56505289	0.0000000468
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																						89	11		7811	0	141629804643600	0			0	7811			60933636	0.0000000068
																						90	10		8010	0	17310309456440.016	0			0	8010			64080025	0.0000000009
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