Unidade 03 ConcretoI Flexão

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CONCRETO ARMADO I 
 
 UCS 
ENGENHARIA CIVIL 
Profª. HENRIETTE MANFREDINI BARONI - UCS 
UNIDADE 03 
Profª. HENRIETTE MANFREDINI BARONI - UCS 
 ARMADURAS DE FLEXÃO 
 
LAJES 
VIGAS 
 
 
LAJES – SOLICITAÇÕES - TENSÕES: 
CONCRETO ARMADO I 
 LAJES 
 
q 
COMPORTAMENTO – configuração dos diagramas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lx 
Ly 
Mx 
My 
Xx 
CONCRETO ARMADO I 
 LAJES - FLEXÃO 
 
‘ ‘ 
CONCRETO ARMADO I 
 LAJES - FLEXÃO 
 
CONCRETO ARMADO I 
 VIGAS 
 
DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES 
VIGAS – SOLICITAÇÕES – TENSÕES: 
CONCRETO ARMADO I 
 VIGAS - FLEXÃO 
 
COMPORTAMENTO – configuração dos diagramas 
CONCRETO ARMADO I 
 VIGAS - FLEXÃO 
 
ENSAIO DE FLEXÃO 
VIGA DE CONCRETO ARMADO 
Profª. HENRIETTE MANFREDINI BARONI - UCS 
CONCRETO ARMADO I 
 VIGAS - FLEXÃO 
 
M 
Q 
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 VIGAS - FLEXÃO 
 
 
MODELO PARA ESTUDO DA FLEXÃO 
EQUIPAMENTO 
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 VIGAS - FLEXÃO 
 
APOIO DE 1º GÊNERO 
CONCRETO ARMADO I 
 VIGAS - FLEXÃO 
 
APOIO DE 1º GÊNERO 
CONCRETO ARMADO I 
 VIGAS - FLEXÃO 
 
APOIO DE 2º GÊNERO 
CONCRETO ARMADO I 
 VIGAS - FLEXÃO 
 
APOIO DE 2º GÊNERO 
CONCRETO ARMADO I 
 VIGAS - FLEXÃO 
 
VIGA – ENSAIO DE FLEXÃO 
CONCRETO RMADO I 
 VIGAS - FLEXÃO 
 
VIGA – FISSURADA 
CONCRETO ARMADO I 
 VIGAS - FLEXÃO 
 
VIGA – FISSURADA 
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 VIGAS - FLEXÃO 
 
PROJETO DE LAJES E VIGAS 
Profª. HENRIETTE MANFREDINI BARONI - UCS 
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 FLEXÃO 
 
• MONTAGEM DOS MODELOS ESTRUTURAIS 
 
• TRAÇADO DOS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS 
 
• DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS DE FLEXÃO 
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 FLEXÃO 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
 DE FLEXÃO DE VIGAS 
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 FLEXÃO 
 
P< Pr P< Pr 
tração compressão 
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES 
ESTÁDIO I - SEM FISSURAS 
finferior< fct 
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 FLEXÃO 
 
P< Pr P< Pr 
tração compressão 
ESTÁDIO I 
c c= Ec.c 
s= Es.s 
M 
LN 
s 
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 FLEXÃO 
 
 Para fi <fct  Estádio I 
 
• Momento máximo  M= P.a 
 
• Módulo resistente da seção  ymax=h/2 
 
• Tensão nas fibras inferiores: fi 
 fi = M / W -> M=fi . W 
 
 Sendo Mr= momento de fissuração: 
 
 Para fi  fct Estádio II  M Mr 
 
ESTÁDIO I - SEM FISSURAS 
max
y
I
W 
.
.
max
y
If
M ct
r

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 FLEXÃO 
 
Para fi>fct 
 P=Pr P=Pr 
 
 
 
 
ESTADIO I ESTADIO II ESTADIO I 
 
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 FLEXÃO 
 
 
 P >Pr P>Pr 
 
 
 
 
 
 ESTADIO II 
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 FLEXÃO 
 
• ESTÁDIO I - ELEMENTO DE CONCRETO 
ARMADO SEM FISSURAS 
 
• ESTÁDIO II – ELEMENTO DE CONCRETO 
ARMADO COM FISSURAS 
 
• ESTÁDIO III - RUPTURA 
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 FLEXÃO 
 
Estádio III: é onde se dá a RUPTURA da viga. 
 
• O dimensionamento do concreto armado é feito no 
Estádio III , e através dos coeficientes de segurança 
a peça atuará no Estádio II. 
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 FLEXÃO 
 
 P >Pr P>Pr 
 
 
 
 
 
 ESTADIO II 
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 FLEXÃO 
 
x 
b 
d h 
s 
c 
s 
c 
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 FLEXÃO 
 
Altura útil 
HIPÓTESES BÁSICAS: 
1) As seções planas permanecem planas de acordo com a 
Hipótese de Bernoulli, mesmo até a ruptura. 
 
2) O aço tem deformações limitadas em 10%O, para evitar flechas 
excessivas. 
 
3) O concreto tem sua deformações limitadas em 3,5%O nas 
seções fletidas, admitindo-se a ruptura em seções totalmente 
comprimidas com deformações de 2%O. 
 
4) O concreto é totalmente desprezado na região tracionada. 
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 FLEXÃO 
 
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO – NBR 6118 /14 ITEM 17.2.2 
Os domínios representam as diversas possibilidades de ruína da seção, a 
cada par de deformações específicas (εcd , εsd) corresponde um esforço 
normal (se existir) e um momento fletor atuante na seção. 
 
 
 
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 FLEXÃO 
 
NBR 6118/14 
CONCRETO ARMADO I 
 FLEXÃO 
 
DOMÍNIO 1 – FLEXO TRAÇÃO NÃO UNIFORME 
DOMÍNIO 2 – FLEXÃO SIMPLES OU COMPOSTA S/ RUPTURA À COMPRESSÃO 
DOMÍNIO 3 – FLEXÃO SIMPLES (SUBARMADA) OU COMPOSTA C/ RUPTURA À COMPRESSÃO DO 
 CONCRETO E C/ ESCOAMENTO DO AÇO 
DOMÍNIO 4 – FLEXÃO SIMPLES (SUPERARMADA) OU COMPOSTA C/ RUPTURA Á COMPRESSÃO DO 
 CONCRETO E S/ ESCOAMENTO DO AÇO 
DOMÍNIO 4ª - FLEXÃO COMPOSTA COM ARMADURA COMPRIMIDA 
DOMÍNIO 5 - COMPRESSÃO NÃO UNIFORME S/ TRAÇÃO 
NBR 6118/14 
HIPÓTESES BÁSICAS 
h 
d 
x 
c=3,5%O 
c=0,85fcd 
s<10%o s=fyd 
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y=0,8.x 
fyd 
0,85fcd 
Md 
x 
d 
d’ 
b 
h 
As 
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fyd 
Md 
3,5%o 
2%o 
x 
y 
s 
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 FLEXÃO 
 
Rc= 0,85fcd .Ac = 0,85fcd .y . b 
fyd 
x y 
d 
d’ 
h 
b 
Md 
0,85fcd 
Rc 
Rs As Rs=fyd .As 
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 FLEXÃO 
 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO: 
• Fx=0 
 - Rc + Rs = 0 
 (1) 
 
• M = 0 
 - Md + Rc . (d-y/2) = 0 
 (2) 
- 0,85 . fcd . b . y + As . fyd = 0 
- Md + 0,85fcd .b.y.(d-y/2) = 0 
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 FLEXÃO 
 
• Da Equação (2): 
 
• y = d 1 - 1 - Md 
 0,425 . b . d².fcd 
 
• Da Equação (1): 
 
• As = 0,85 . b . fcd . y 
 fyd 
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 FLEXÃO 
 
• Tendo-se então : 
 
• Seção de concreto necessária: Ac , ou seja as 
dimensões da peça de concreto. 
 
• Seção de aço necessária: As , ou seja, a seção 
total de aço, que deverá ser a soma das seções 
transversais das barras. 
 
• Tem-se a peça de concreto armado dimensionada 
à flexão. 
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 FLEXÃO 
 
h d 
d’ 
As 
b 
Ac 
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 FLEXÃO 
 
h d 
d’ 
b 
d = h – d’ 
d’ = c + (Ф/2) 
b, h -> usar pré-
dimensionamento 
b x h = Ac 
Determinar: As 
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Exemplo: 
 
fck = 30 MPa 
CA 50 / c= 2,5 cm 
10kN/m 
3,5 m 
15 
34 
M= q L²/8 
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 FLEXÃO 
 
Rc= 0,85fcd .Ac = 0,85fcd .y . b 
fyd 
x y 
d 
d’ 
h 
b 
Md 
0,85fcd 
Rc 
Rs As Rs=fyd .As 
CONCRETO ARMADO I 
 FLEXÃO 
 
• Fx=0 
 - Rc + Rs = 0 
 (1) 
 
• M = 0 
 - Md + Rc . (d-y/2) = 0 
 (2) 
- 0,85 . fcd . b . y + As . fyd = 0 
- Md + 0,85fcd .b.y.(d-y/2) = 0 
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 FLEXÃO 
 
EQUAÇÕES DEEQUILÍBRIO: 
• Da Equação (2): 
 
• y = d 1 - 1 - Md 
 0,425 . b . d².fcd 
 
• Da Equação (1): 
 
• As = 0,85 . b . fcd . y 
 fyd 
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• b = 15 cm 
• h = 34 cm 
• d = 30 cm 
 
• Md = M x 1,4 
 
 
• Da Equação (1): y = ______ 
 
• Da Equação (2): As = ______ 
 
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Viga dimensionada à flexão: 
3,5 m 
2 ___ mm 
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 FLEXÃO 
 
Trabalhando no Domínio 3: 
 c=3,5%O 
 
 
d xlim 
 
 
 
10%O yd 
Xlim = d - xlim 
0,0035 yd 
 
xlim = d . 0,0035 
 (yd+0,0035) 
 
yd=fyd/Es 
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 FLEXÃO 
 
Para os aços: 
• CA 50 
 
• yd= 0,00207 
 
• xlim = 0,628 . d 
 
 
x/d<0,45 
 
• CA 60 
 
• yd=0,00248 
 
• xlim =0,585 . d 
 
ylim =0,8 xlim 
ylim=0,8x0,45 d = 0,36 d 
NBR6118/14 
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 FLEXÃO 
 
Como : y = 0,8 . x  ylim = 0,8 . xlim 
Substituindo na Equação (2), teremos: Mdlim 
 
Md lim = 0,85.fcd.b.ylim.(d-ylim/2) 
 
 
 
Constante dependente do tipo de aço 
Md lim = lim . b . d². fcd 
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 FLEXÃO 
 
Para os aços: 
 CA 50: 
 Md lim = 0,32 b.d².fcd 
 
 CA 60: 
 Md lim = 0,30 b.d².fcd 
 
 NBR6118/03 
 Md lim = 0,25 b.d².fcd 
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 FLEXÃO 
 
Máximo momento para utilizar armadura simples: 
 
 Md lim = 0,25 .b.d².fcd 
 
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 FLEXÃO 
 
 Md < Md lim  Equações (1) e (2) 
 
 
 
 Md > Md lim  Não são válidas 
 estas equações 
 
 Armadura simples 
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 FLEXÃO 
 
 0,85fcd b 
 
<xlim 
 <ylim d 
 Rc 
 h 
 
 Md<Mdlim 
 
 Rs d´ 
 
 
As 
ARMADURA SIMPLES: 
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 FLEXÃO 
 
• Fx=0 
 - Rc + Rs = 0 
 (1) 
 
• M = 0 
 - Md + Rc . (d-y/2) = 0 
 (2) 
- 0,85 . fcd . b . y + As . fyd = 0 
- Md + 0,85fcd .b.y.(d-y/2) = 0 
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 FLEXÃO 
 
ARMADURA SIMPLES 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO: 
xlim 
ylim 
O,85fcd 
Rc 
Rs 
R`s 
Md>Mdlim 
d 
d` 
h 
b 
ARMADURA DUPLA: 
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 FLEXÃO 
 
 Fx=0 
 Rc + R´s - Rs = 0 (3) 
 
 
 M = 0 
 Md - Rc.(d-ylim/2) - R´s.(d-d´) = 0 (4) 
 Md – Md lim – fyd.A´s . (d-d´) = 0 
0,85 fcd . b .ylim +A´s . fyd - As . fyd = 0 
Md - 0,85fcd .b ylim.(d-ylim/2)- fyd.A´s(d-d´) =0 
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 FLEXÃO 
 
ARMADURA DUPLA 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO: 
• Da Equação (4): 
 A´s = Md - Md lim 
 fyd ( d - d´) 
 
• Da Equação (3): 
 As = 0,85 b . ylim . fcd + A´s.fyd 
 fyd 
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 FLEXÃO 
 
 Md < Md lim  Equações (1) e (2) 
 
 
 Md > Md lim  Equações (3) e (4) 
 Armadura dupla 
 
 Armadura simples 
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 FLEXÃO 
 
Exemplo: 
 
fck = 30 MPa 
CA 50 / c= 2,5 cm 
40 kN/m 
3,5 m 
15 
34 
M= q L²/8 
CONCRETO ARMADO I 
 FLEXÃO 
 
VIGA DIMENSIONADA: 
3,5 m 
2___ mm 
2___ mm 
2__ 
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 FLEXÃO 
 
NBR 6118/2014 – ITEM 17.3.5 
 
Armaduras longitudinais mínimas e máximas 
 
Armadura mínima: para evitar a ruptura frágil das seções transversais e 
obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras. 
 
Armadura máxima: para assegurar condições de ductilidade e respeitar 
o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições 
de funcionamento do conjunto aço-concreto. 
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 FLEXÃO 
 
PRESCRIÇÕES NORMATIVAS: 
Armadura mínima 
 Armadura mínima de tração: aquela necessária para o momento 
mínimo: 
 Md,min = 0,8. fctk . W0 
 
 Taxa mínima: 
 
 Asmin = ρmin . b . h 
 
 
 
 ρmin NBR 6118/014 –tabela 17.3 
 
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 FLEXÃO 
 
C20 – C25 – C30 
 
 ρmin = 0,15% 
Armadura mínima 
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 FLEXÃO 
 
NBR 6118/14 
Armadura máxima 
 
 A soma das armaduras de tração e de compressão: 
 (As+A’s) = Asmax  4 % b.h 
 
 Md > 1,4 Mdlim 
 
 - 
 
 REDIMENSIONAR A SEÇÃO 
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 FLEXÃO 
 
ROTEIRO: 
1. Determinar Md e Mdlim 
 
2. Md < Mdlim - ARMADURA SIMPLES 
  Equação 2 – determinar valor de y 
  Equação 1 – determinar As 
 
3. Md > Mdlim - ARMADURA DUPLA 
  Equação 4 – determinar A’s 
  Equação 3 – determinar As 
 
4. Verificações: As < Asmin  USAR Asmin 
 (As + A’s) > Asmax  REDIMENSIONAR 
 
‘ 
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 FLEXÃO 
 
EXERCÍCIO 
Definição da estrutura 
Definição dos materiais 
Modelagem das lajes 
Solicitações nas lajes 
Modelagem das vigas 
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Solicitações nas vigas 
Dimensionamento das armaduras de flexão 
Profª. HENRIETTE MANFREDINI BARONI - UCS 
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