Tabelas para EstadosLimitesUtilizacao

Prévia do material em texto

-- ..
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Estados Limites de Deformação
Cálculo de Flechas - Método dos Coefi-cientesGlobais
Referências:
[4] - CEB, Manual on Cracking and Deformations, Bulletin D'Information
nQ158-E, Construction Press, 1985.
--- -
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
97
Cálculo de deformações - Método dos coeficientes globais [4]
p-~ bd
A's
p' = bd
I!!CARREGAMENTO ~1 = 1.0 ~2 =1.0
1.0
~a.p
...
30
3.0 ~o
2.0 60
00
00
0.0
MD < Mcr
Estado I
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.\1 0.3 0.2 0.1 0.0
I I MD~Mcr
I Estadon
ACÇÕES REPETIDAS ~1 = 1.0 ~2 =0.5
10.0
9.0
8.0
7.0
. 6. O
5.0
11.0
3.0
2.0
1.0
0.0
0.015
0.020
0.025
0.030
0.0110
0.060
8: ~88 Mcr
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.\1 0.3 0.2 0.1 0.0 MD
MD< Mcr
Estado I
I I MD ~ Mcr
I Estado II
- -- --- - - -
0.010 0.015 0.020 0.025
v /' V ....... .- - 0.0
l/ V .-j..--'" i-
0.0
./ ./
V -- .- - lo--- -
/ V ./ - I--. 0.0
/ L,.r'" - t-"'
0.1
0.2
I I I
-- -
98 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculode deformações- Método dos coeficientesglobais [4]
1[:]
T As I A'sP =- p=-
h 3h bd bd
1 1 Es at = (7) 11
kt ac
a =- == 7.0
-t- b-+ Ec
Kt I
q> = 1.5 I
.«.p
..-
_0.010
10.0 1--- .- . J...- --1--- ..I -I- -
9.0 -- t--' .- '-- --t- - I-
B.O , 0.015
7.0
-
- 0.0206.0 - 0.0255.0 -. 0.030
11.0 0.0110
3.0 a 0.0602.0 0.100
- - 0.200
1.0 T Ma- 0.0
MD1.0 0.9 (Le o. 7 0.6 0.5 0.11-0.3 0.2 0.1 0.0
MD< Mcr t L MD> Mcr (Estado lI)Estado 1 I
let I
q> = 2.5 1
.«.p
..-
10.0 0.010
9.0 0.0158.0
7.0 0.020
6.0 0.025
5.0 0.030
11.0 0.0110
3.0 0.060
2.0 0.1000.200
1.0 Mcr0.0
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.11 0.3 0.2 0.1 0.0 MD
MD< Mcr
L Mo > Mcr (Estado lI)Estado I
Kt I q> = 3.5 I
.«.p
..-
10.0 0.010
0.0159.0 ,
8.0 0.020
7.0
0.0256.0 0.030
5.0 0.0110
11.0 0.060
3.0 0.100
2.0 .. 0.200
1.0 Mcr
-. 0.0
Mo1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.11 0.3 0.2 0.1 0.0
MD < Mcr
L Mo> M cr (Estado II)Estado I
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 99
Cálculo de deformações - Método dos coeficientes globais [4]
r
l:J
~ T
d h
1 ~ 1
-+-b-+
11
a.p
....
1.o --,
I I I I I I '_li1 ~ I I
. -~. , --;!:::::t-
" , - f--I
~ ~~ -r- "" __
~ '" -,I" _
r-
i' Ii'....
, -- ~ I-
-
-
-
- c--r--
-~~ ~~~
-t-r-1 1 1 J l~I I I 1 1r- I I I I II i J
01
0.9
os
0.8
o
0.7
0.6
o
0.5
0.4
0.0 0.25 0.50 0.75 1.00
p'/p
- -- - - -- --- - -
---
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado- 1ST
Estados Limites de Deformação
Cálculo de Curvaturas
Flecha devida à Retracção
Referências:
[4]-CEB, Manual on Cracking and Defomlations, Bulletin D'Infonnation
nQ158-E, Construction Press, 1985.
- ------------ - - -
----
Grupo de Belão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
103
Cálculo de curvaturas - coeficiente k sI [4] o $ d' / h $ 0.2
p = p' = A's 7.0bd
1.0
d/h = 1.0
0.9
o.a
0.7
0.6
.0
- 0.25
-0.5
. 1
CI.p
0.5
0.001
d/h = 0.9
.
I
, -r-- - -1---"'- -- , .......
I ,
-- ,
,
.... -
, ,,
- :
,
, " -
, ; I
: ,
-
-
'"
-
"",=.\ '
i
- p'/p
,"",= p'/p
\ p'/p
I
""t:
I p'/p
0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
".1
1.0
I
0.9
.
o.a
o "'-"""jp'/ p - o
I I __'s:'.. .
o., . ,', p'/ P - 0.25, . I I
rr - --\ p'/ p . 0.5- ->,-
..0.6
-,
!..l-
0.51 I I I I I II I I ! I ! H-++r---1 .a.p0.001 0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
ICSI
I
d/h =0.8
1.0
- - u.
- -
0.9 .....
'-'- .....p./p-o,'- . ,, ,-, . ,
p'/p.O.250.8
. _o. __ - , . \' \
_._-- - \. /p.n5--- .. .\"-..- -.\.--
o. 'I : I I , I. I I \ , .
p'/ p. 1.---
0.6 a.p0.001 0.002 0.01 O.OZ 0.1 O.Z
--
104 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k 52 [4]
A's
o ;5;;dI / h ;5;;0.2
p' =p =
bd
40
30
20
10
O,
ClOOI
70
80
50
40
30
20
lO
O
0.00 I 0.002 0.1 0.20.01 0.02
d/h = 1.0
CI'P
d/h = 0.9
d/h = 0.8
CI'P
\
\
\
lO
i, I !
I I ,I \
I IJ 11
i.. . ' '\
I . I ...iIi ; : 8
I I I II '\
'\ :. I 7I , ,, I 6 '\,
:,"' 5 '"
I' 4
t3 -.J!o0P"p"'1 1"0.
2
-1I
I
0.002 0.01 0.D2 0.1 0.2
It s2
\
50
401
. t::i::!. \ I. '-'-----L '
I I
30 I,
20
i
I
10
I I ------
O CI'P
0.001 0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
It 12
\
\
\
. .
20
15
I
O"'P"P""
5
--..:
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k <p1[4]
A's
105
d/h =1.0
OS dI / h S 0.2
p' =p =
bd
1.o
0.9
0.8
0.7
0.6
O.~
....--
~-- I
~_.p'/p
~--
p' I P
p'/p
0.3
0.2
0.001 0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
0.4
1.0
0.9
o.e
0.7
0.6
0.5
0.3
0.2
0.001 0.02 0.1 0.20.002 0.01
--
Xq>=2
p'/ P - o
- 0.25
- 0.5
- 1
a.p
Xq>=3
-o
p - 0.25
P - 0.5
P - 1
a.p
4
I
,
--
,
"-
--.:;:: p'l
..... p'l
p'l
'-<!' p'l
106 Grupo de Betão Annadoe Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k cpl [4]
p = A's
p' = bd
o.
.
'--
-
t:::. +-=
;= ~'-- -; j. . 1--==- .
=-- . . .'---
=-= ~ .- - -
- ~~~- .- ---"
,=- -- -_ _ --A.-' """
- ~ -+-' P
'I
.~ -I- . ·===
-
--
- ~
= ~- - ~
P'/
- - -
It:::- --' -<::j~- ~~ +-' :';p"---t =
~p'/~ -
1.0
O.S
0.8
0.7
0.6
o.
O.
0.001 0.002 0.01 0.02 O. \ 0.2
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.001 0.002 0.0\ 0.02 O. I 0.2
d/h = 0.9
O~ d' / h S 0.2
Xq>=2
-o
p - 0.25
p - 0.5
p-1
a.p
X<p=3
-o
p - 0.25
P - 0.5
p - 1
a.p
-
......
p'l
-
-
- -
108 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k cp2[4]
I
Id'ij A~ I rt ..& 1
+- b-+
0.8 ~ d I h ~ 1.0
dI I h =0.0
bd
p' = A'sp = bd
Xq>=2
o.
t
(......
I..- I_ 1 i!
- I II !
- ,--;-' -, " ' , ~-! ' -, , '
'1- ,
! I -:. . ; I'
I i ; I .
- ,,';'
I ,: "I '" '
P
'I
r- I I 'L- 1--' I ' ,,;1. 7
I
T I I ' ;T
~ '" ' /,'- ,.-
I I I 1/ -
~ ! ~,,'.' I"
~ '-~ : I -r .r, -
'- ~ i ' ,..."
I ' -" -
"- I I I ' > 'I, -=-- ,"
~ I I /'f 0 "".. -- ' ~ ~I I 11 ...0'1 __ ! I I I
I " ' ' " - -
P
'I
~~ I I' .
. II -
L I T~DI '1 ,- - -~ , ' '1 '-- 'T' -, I ~---
P
'I
_ I I T -
: l-rl: - - -
p-o
0.3
0.2
p .0.25
0.1 p.O.5
p. 1
0.0
0.001 0.002 0.01 0.02 O. I 0.2
a.p
Xq>=3
o.
p.o
o.
0.2
p - 0.25
0.1 p.0.5
p. 1
0.0
0.001 0.002 0.01 0.02 O.I 0.2
a.p
1
..l. ...1 ; ! '...1IJ. ...1
I .l-
I
J ..l.
:
p'l
J
I J.
I
I I
J -!-
/
-1
: .J.
:.....1
I
-1
-+
/
I
-
I
-
; I . --
.J LI:
.1
.1
.1
L I
p'l
.1
...::::
I
-IJ
:t:::: ...1
p'l
...L
t::l , -,
.1. -1--+
.;..'
! '.1
:::::::-:- 11
i
p'l
I
I ..:.
1----
-
UL -
...LL -...!. .1 .1-.lI...1 l. .1I
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
109
Cálculo de curvaturas - coeficiente k q>2[4] 0.8 s;d/h s; 1.0dI / h = 0.1
p = p' = A's Esa =- == 7.0
Ecbd
X<p=2
o."
p.o
0.3
0.2 p . 0.25
p.0.5
O.I
p.1
0.0
0.001 0.002 0.01 0.02 O.I 0.2 a.p
X<P=3
0.3
t
LI~
- I I
- I I I I_ _ +_I-~ 11 I!
- - I
I: "
1
., " " ---," I" ' , , , , -I
-l --I I I , I I -~~ -
L I I
I1
T---1-~
-
I
-' -- '
,-' ' , ' " ' , , p/,-' '" ' ,"" 7"
.l- ! _ ++ Ti 1 ~
;L=
-;r-
- I
I
-~
- ' , "_~ I ' " ,!y -_ ,-' ! I 1 ' 'Vf ' -
~ lTl ' 4 ' y" , I, ' .A , ' -..;:;;
P
'I
I 1/'-
_
I ,+ 1 . I
i
I r í ,.' I -
- I I II Y'___, I" ,- -
_ I
. i I ~ '.
P
'I
_~ ' ," -
C= + I -- -LJ--i-L ,," -I TI' I I l '---'--+-- ~:p::::j--=:;I I I I I -, , ' I , : p'/, . ,. i I " . : I ---j, :111 I -
p.O
0.2
p .0.25
p.0.5
O.I
p. 1
0.0
0.001 0.002 0.01 0.02 O. I 0.2
a.p.
I I I I I r
I
p'l
/- -
L
"/L- __--
-;;::; p'l
I
..,'
"'" i
-
i/
/i'/
-- - p'l
-
' , i I
-
,- I I ---
T I. p'l
1 I
11
I
---I i .1 .....
110 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k <p2[4] 0.8 S;d I h S;1.0dI I h = 0.2
p = p' =
A's
bd
Xq>=2
0.4
-o
0.3
p - 0.25
0.2
p - 0.5
0.1
0.0
0.001 0.002
a.p
0.01 0.02 0.1 0.2
Xq>=3
0.4
-o
0.3
p - 0.25
0.2
p - 0.5
0.1 p. 1
0.0
0.001 0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
a.p
.,
; I -, ,I ..;..
! : . : ; -
; '...l ..L
.l
p'/l
J
'..... -
..
J
I -'- : :
-+; ...l I .
-1. i i.l
..1
+ . :I
, I
/L_
. I :
I i.l
:
L .
...!...I
I I ' .
; .i : 11
:-'- --
p'/
; i
.J
/
.I-
J
I
...i
. i Li.
..
i
.l
L' L t:....
- p'/
I
...l
I
I --'.
I
...l
i , I
+ . -
I ;
I .l ...l...J.J
p'l
...i -
.1 J I !
-c;;_.:.
'...i
...J
--- =- ..L -! .
I
. '-1.+
I
--.i J.,
.. : --
I..l..J.
-
1. '..
-1
, I
.1
LU ...
li!'""""'"
.1 J. 1
..
-L .1 i
1 1l 1 J. -L .1 i . 1-11.
..
L.-
L.- I
----=t:=t I i I !- I 111; .;
- ,,'I ' ,o o -,o- - '__ I H--i- n' , -' o' ----j- I ' I '-- I ,- -
- I ' I I "I ,-'-_ TTi" o : " 'o ---;>" p"_ _>-- IT.--r- -, ".
_ I I I o f--------j----' o o , r:7!-I 1 . i i ;' . . / --
_ _'-- I T · ' o - , y -111+ . 'o c.;<--
- o - _: o o · , ' --- p'/
L o 1 1 i -,' /, : 0_ --
:::==1 1 1 'T- / - o - -'-- 1 1 T o /,,< - ===p'/
I I - I I -I
:
! ! --::-
L=--
'- I ; I
I I : :
- p'/
I
T
1-- T
I
I I t-t-:
: I I . -:-
I I I I II
I
I I I i
--
I m -I I . I l-==:j ....
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k csl [4]
p = A's
p' = bd
"CS1
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.11
0.3
0.2
o.
0.0
0.001 0.02 0.1 0.20.002 0.01
"CS1
0.1
O.B
0.7
0.6
0.5
0.11
0.3
0.2
0.0
o
111
x cp= 2.5
OS di I h S 0.2
d I h = 1.0
-o
- 0.25
- 0.5
p-1
a.p
d I h = 0.8
-o
- 0.25
- 0.5
a.p
-. p.' p - 1
---
j
-
p'/
p'/
----- p'/
-- p'/
i
i
p'/p
. .
i
I
. . -- p' / fJ
I
. -....-.-- p'/fJ
.001 0.002 .... 0"1 n 02 o.
I
I
112 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k cs2 [4] x <p= 2.50.8$ d/h $ 1.0
p' = A's
bd
d' / h = 0.0
"cs2
1. 3,
1.2
.
L- I-- =
- =
~ . -- -- --
- ;:::_ '"'" _""2. p' /
~- ~
- -
-
-
-
p'!
- - =
- ..., p'/
~ i:: -==;= ' -==:j - - p'!...
p-o
1.1
1.0
0.9
0.8
'0.7
0.6
o.s
p .0.25
0.11
0.3
0.2
0.001
p - 0.5
0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
d' / h = 0.2
"cs2
1.3
+
::::::::;:::=--I-
~~-== . : ~ ::::I
.~ ~-= p'/
, .- =~ -~ . -===
--
_. ~ .-=- ======== -
--= -~ -
~ ~ = -
t -
,~ --c -
,~
P'!
~ -,..=--=
~ -~ --'- - -
'-- .~ ~ ~:"C"'"-=
-r= ............
=- =0.-= ~.L.-+ -
P'!
'- -f+'- ~ -
f-- -- =<--~--< - >:;:::
-=-
---" p'i.~ -
-o1.2
1.1
1.0
0.9 p . 0.25
0.6
0.7 p - 0.5
0.6
0.5
0.01 0.1
p. 1
a.p0.11
0.001 0.002 0.02 0.2
k
). . ó. ~ . 40
0.01 0.05 tEXEMPLE 0.10 0.15 Q.p.0.20
--w.
TipodeViga I Õ
L 1EcsI
Estado 11(Fendilhado)
I VigasimplesmenteI
1.0
acs =k apOIada
30 x 1Õ5
Mcr MD 2Mcr I Viga bi-encastrada I 0.5
d/h =0.9 ; X <p=2.0
Consola I 4.0
p'/p. O ---1 1;-
Qn:r ..,c
'8
0.25 I lo. o.
G
< ti:!-. Go. E),
I I o0.5 ;I>
., 3I»-- o.., o= o
n '"O
o.(') ..,G.I I
o Ir
c Õ'
=-. I»
õ' o.o., I3 -ti)"'"i
..-.
......
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de Tensões em Estado Fendilhado
Secções Rectangulares
------- - - - -
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST 117
------ --
Flexão Composta com Compressão
13= As2/ ASl = O
Secções Rectangulares. Tensões em Estado Fendilhado
crsl=(1 Cs Ms Es
Td4-
t bd2 (1=- Ec
As2 r crs2 crc = - Cc Ms
bd2 ASld p=-
1
. crc bd
crs2 = (1 - ( x - 0.1d)
crsl X Ms
Cc es=--+- b--+ x= d N
(Cc+ Cs)
Tr[jM
I + I +:N(H2)
TN
[jrh d + N 1-11 _ +b/2
es/d
"'p 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 0.23 0.47 0.75 0.97 1.14 1.31 1.48 1.61 1.79 1.91 2.15 2.33 2.52
.40 0.27 0.56 0.90 1.16 1.37 1.59 1.80 1.96 2.18 2.33 2.610 2.87 3.10
.30 0.33 0.69 1.13 1.48 1.75 2.010 2.32 2.53 2.83 3.03 3.43 3.71, 10.05
.25 0.37 0.78 1.30 1.71 2.04 2.39 2.72 2.97 3.33 3.57 4.06 10.103 10.80
.20 0.42 0.91 1.54 2.05 2.46 2.90 3.31 3.62 4.07 10.37 4.98 5.45 5.91
.15 0.49 1.10 1.91 2.58 3.13 3.71 4.26 4.68 5.28 5.68 6.50 7.12 7.75
Cs
.12 0.55 1.26 2.25 3.09 3.77 4.49 5.18 5.71 6.46 6.97 8.00 8.77 9.56
.10 0.60 1.40 2.57 3.57 4.39 5.26 6.09 6.72 7.63 8.24 9.48 10.41 11.36
.08 0.66 1.60 3.02 4.26 5.28 6.37 7.102 8.22 9.36 10.12 11.67 12.85 110.03
.06 0.73 1.87 3.71 5.35 6.72 8.19 9.59 10.66 12.19 13.22 15.30 16.87 18.106
.05 0.77 2.06 1,.22 6.19 7.810 9.60 11.29 12.58 14.42 15.66 18.17 20.07 21.98
.01, 0.83 2.30 4.94 7.39 9.46 11.68 13.81 15.43 17.74 19.30 22.105 24.83 27.23
.03 0.89 2.63 6.03 9.31 12.08 15.07 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.72 35.93
.02 0.96 3.12 7.98 12.91 17.12 21.65 25.99 29.30 34.00 37.16 43.51, 48.37 53.21
.01 1.06 3.99 12.81 22.77 31.100 40.66 109.51 56.25 65.78 72.19 85.09 910.82 1010.59
.50 3.12 3.23 .3.36 3.46 3.53 3.61 3.68 3.73 3.80 3.85 3.94 1,.01 10.08
.40 3.11, 3.27 3.43 3.55 3.64 3.73 3.81 3.87 3.95 4.01 ".12 4.20 4.28
.30 3.16 3.33 3.53 3.68 3.79 3.90 4.00 4.08 10.18 4.25 1,.39 4.48 10.58
.25 3.18 3.38 3.60 3.77 3.90 10.03 10.15 4.23 4.35 1,.1,3 10.58 10.69 10.80
.20 3.21 3.43 3.70 3.90 4.06 4.21 4.35 4.45 4.59 4.68 1,.85 10.98 5.11
.15 3.21, 3.52 3.85 4.10 4.29 1,.1,7 4.61, 4.77 4.93 5.04 5.26 5.101 5.56
Cc .12 3.27 3.59 3.98 4.27 4.1,9 4.71 4.91 5.05 5.25 5.37 5.62 5.80 5.97
.10 3.29 3.65 4.10 4."3 ".68 4.93 5.15 5.31 5.53 5.68 5.95 6.15 6.34
.08 3.32 3.73 4.25 4.64 4.94 5.22 5.48 5.67 5.92 6.09 6.40 6.63 6.85
.06 3.35 3.83 4.47 4.95 5.31 5.66 5.97 6.20 6.50 6.70 7.07 7.34 7.60
.05 3.37 3.91 4.63 5.18 5.58 5.98 6.33 6.58 6.92 7.13 7.55 7.85 8.14
.01, 3.40 1,.00 4.84 5.48 5.95 6.40 6.81 1.10 1.48 7.13 8.20 8.S" 8.87
.03 3.43 10.11 5.14 5.91 6.48 7.03 7.51 7.86 8.31 8.61 9.17 9.56 9.91,
.02 3.46 4.28 5.62 6.61, 7.38 8.09 8.70 9.14 9.72 10.09 10.79 11.28 11.76
.01 3.50 1,.56 6.62 8.25 9.40 10.48 11.40 12.05 12.90 13.44 14.1,7 15.19 15.87
118 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão =Ás2/ Ásl =0.2.5
Secções Rectangulares - Tensões em Estado Fendilhado d2 / d =0.05
<Jsl=a Cs Ms Es
t bd2 (l=-
T d,:j: -
Ec
As2 t <Js2 <Jc = - Cc Msbd2 As1d p=-
1 <Js2= a ( x - 0.1d)
bd
<Jsl x Ms
Cc es=--i- b-+ x= d N
(Cc+ Cs)
H[:]M
I + I +:N(d-)
TN
[:]1h d + t11 _ d-+h!2
es/d
«p 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 0.07 0.29 0.57 0.78 0.95 1.13 1.30 1.1,2 1.60 1.73 1.97 2.16 2.34
.40 0.11 0.38 0.71 0.98 1.19 1.1,1 1.61 1.77 2.00 2.15 2.1,6 2.69 2.92
.30 0.17 0.51 0.94 1.28 1.56 . 1.85 2.13 2.34 2.64 2.81, 3.25 3.56 3.87
.25 0.22 0.60 1.11 1.52 1.85 2.20 2.53 2.78 3.11, 3.38 3.88 1,.25 1,.62
.20 0.27 0.73 1.35 1.86 2.27 2.70 3.12 3.1,3 3.88 I,.19 1,.80 5.27 5.74
.15 0.35 0.93 1.72 2.39 2.94 3.52 4.07 1,.49 5.10 5.50 6.32 6.95 7.58
Cs .12 0.1,2 1.10 2.07 2.90 3.58 1,.30 5.00 5.53 6.28 6.79 7.82 8.61 9.39
.10 0.1,8 1.25 2.39 3.38 4.20 5.07 5.91 6.55 7.1,5 8.07 9.31 10.25 11. 20
.08 0.51, 1.45 2.85 1,.08 5.10 6.20 7.21, 8.05 9.19 9.96 11. 51 12.69 13.88
.06 0.63 1.73 3.54 5.18 6.55 8.01 9.1,2 10.50 12.03 13. 06 15.15 16.73 18.32
.05 0.68 1.92 1,.06 6.02 7.67 9.1,3 . 11.13 12.1,3 11,.27 15.51 18.03 19.93 21.85
.01, 0.75 2.17 1,.78 7.23 9.30 11.52 13.65 15.28 17.60 19.16 22.32 24.71 27.11
.03 0.82 2.51 5.88 9.15 11.93 14.92 17.78 19.97 23.08 25.18 29.41 32.61 35.82
.02 0.91 3.02 7.84 12.76 16.98 21.52 25.87 29.19 33.89 37.06 1,3.45 48.28 53.13
.01 1.03 3.91 12.69 22.65 31.29 40.57 49.43 56.17 65.71 72.13 85.04 94.78 104.56
.50 2.27 2.35 ' 2.45 2.53 2.58 2.64 2.69 2.73 2.78 2.82 2.88 2.93 2.98
.40 2.41 2.51 2.64 2.73 2.80 2.87 2.93 2.98 3.05 3.09 3.17 3.23 3.29
.30 2.57 2.70 2.87 2.99 3.08 3.18 3.26 3.32 3.40 3.46 3.57 3.61, 3.72
.25 2.66 2.82 3.01 3.16 3.27 3.38, 3.47 3.55 3.65 3.71 3.83 3.92 4.01
.20 2.76 2.96 3.19 3.37 3.50 3.63 3.75 3.84 3.96 4.03 1,.18 4.29 1,.39
.15 2.88 3.13 3.43 3.65 3.82 3.99 I,.14 4.25 4.39 1,.1,9 1,.68 4.81 1,.91,
I'" .12 2.97 3.25 3.61 3.88 4.08 4.28 4.46 4.59 4.77 4.88 5.10 5.25 5.41"C
.10 3.03 3.35 3.77 4.08 4.31 4.54 4.75 4.89 5.09 5.22 5.47 5.65 5.82
.08 3.10 3.48 3.97 4.34 1,.61 4.88 5.12 5.30 5.53 5.68' 5.97 6.18 6.38
.06 3.18 3.63 4.24 4.70 5.04 5.37 5.66 5.87 6.16 6.34 6.69 6.94 7.18
.05 3.22 3.73 4.1,2 4.95 5.33 5.71 6.04 6.28 6.60 6.81 7.20 7.1,8 7.75
. aI, 3.27 3.84 4.66 5.27 ' 5.73 6.17 6.55 6.83 7.20 7.43 7.88 8.20 8.51
.03 3.33 3.99 4.98 5.74 6.29 6.83 7.29 7.62 8.06 8.35 8.88 9.26 9.63
.02 3.39 4.19 5.50 6.50 7.23 7.92 8.52 8.94 9.51 9.87 10.55 11.03 11.49
.01 3.46 1,.50 6.54 8.16 9.29 10.35 11.26 11. 90 12.71, 13.28 14.28 11,.99 15.67
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
119
Flexão Composta com Compressão f3 = As2/ As1 = 0.5
Secções Rectangulares - Tensões em Estado Fendilhado d2 / d = 0.05
asl =a Cs Ms Es
t bd2
Td,t -
a=-
Ec
As2
x l7f as2 ac = -CcMs
bd2 As1d + p=-
1 as2 =a (x -0.1 d)
bd
asl x
. Ms
Cc es=-b-+ x= d N
(Cc+ Cs)
n[JM
I + I +:N(HQ)
TN
[JIh d + N t11 _ +h!2
es/d
p 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 - 0.20 0.46 0.68 0.85 1.03 1.20 1.32 1.51 1.63 1.88 2.07 2.26
.40 0.01 0.27 0.60 0.86 1.07 1.29 1.50 1.66 1.89 2.04 2.35 2.59 2.82
.30 0.07 0.39 0.81 1.15 1.43 1.72 2.00 2.22 2.52 2.72 3.13 3.45 3.76
.25 0.11 0.48 0.97 1.38 1.71 2.06 2.40 2.65 3.01 3.26 3.75 4.13 4.51
.20 0.16 0.60 1.21 1.71 2.12 2.56 2.98 3.30 3.75 4.06 4.68 5.14 5.62
.15 0.25 0.79 1.58 2.24 2.79 3.37 3.93 4.35 4.96 5.36 6.19 6.82 7.45
Cs .12 0.32 0.96 1.92 2.74 3.43 4.15 4.85 5.38 6.14 6.65 7.69 8.48 9.27
.10 0.37 1.11 2.24 3.23 4.04 4.92 5.76 6.40 7.31 7.93 9.18 10.12 11. 07
.08 0.45 1.31 2.69 3.92 4.95 6.04 7.10 7.90 9.05 9.82 11.38 12.57 13.76
.06 0.54 1.60 3.39 5.02 6.39 7.86 9.28 10.36 11.89 12.93 15.02 16.61 18.20
.05 0.60 1.80 3.91 5.86 7.51 9.29 10.99 12.29 llt.14 15.39 17.91 19.82 21.74
.04 0.67 2.05 4.63 7.08 9.15 11.38 13.52 15.15 17.47 19.04 22.20 24.60 27.01
.03 0.76 2.40 5.74 9.00 11.79 14.78 17.66 19.85 22.97 25.07 29.30 32.51 35.73
.02 0.86 2.92 7.70 12.63 16.85 21.40 25.75 29.08 33.79 36.97 43.36 48.20 53.06
.01 1.00 3.84 12.57 22.54 31.18 40.48 49.34 56.10 65.65 72.07 84.99 94.74 104.53
.50 - 1.85 1.93 1.99 2.04 2.08 2.12 2.15 2.20 2.22 2.27 2.31 2.35
.40 1.95 2.04 2.14 2.22 2.28 2.34 2.39 2.43 2.48 2.51 2.58 2.63 2.67
.30 2.16 2.27 2.42 2.52 2.60 2.68 2.75 2.80 2.87 2.92 3.01 3.07 3.13
.25 2.28 2.42 2.59 2.72 2.81 2.91 2.99 3.05 3.14 3.19 3.30 3.37 3.44
.20 2.43 2.60 2.81 2.96 3.08 3.20 3.30 3.38 3.48 3.55 3.68 3.77 3.86
.15 2.60 2.81 3.09 3.29 3.44 3.60 3.73 3.83 3.96 4.05 4.21 4.33 4.44
Cc .12 2.72 2.98 3.31 3.56 3.14 3.93 4.09 4.21 4.37 4.47 4.66 4.80 4.94
.10 2.81 3.11 3.49 3.78 4.00 4.21 4.40 4.54 4.72 4.84 5.06 5.22 5.38
.08 2.91 3.26 3.72 .4.07 4.33
..
4.58 4.81 4.97 5.19 5.32 5.59 5.78 5.96
.06 3.02 3.45 4.03 4.47 4.79 5.11 5.38 5.58 5.85 6.02 6.35 6.58 6.80
.05 3.09 3.56 4.23 4.73 5.11 5.47 5.78 6.01 6.31 6.51 6.88 7.14 7.39
.04 3.16 3.70 4.49 5.09 5.52 5.95 6.32 6.58 6.93 7.16 7.59 7.89 8.18
.03 3.24 3.87 4.84 5.58 6.12 6.63 7.08 7.40 7.83 8.10 8.61 8.98 9.33
.02 3.33 4.10 5.38 6.37 7.08 7.76 8.34 8.75 9.30 9.65 10.31 10.78 11.23
.01 3.43 4.45 6.47 8.06 9.19 10.24 11.13 11.76 12.59 13.12 14.11 14.81 15.48
120 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão P=As21 As! = 1.0
Secções Rectangulares - Tensõesem Estado Fendilhado d2 I d =0.05
crs1 =a Cs Ms Es
t bd2 a=-
Td2+ -
Ec
As2
x;t crs2 crc = -Cc Ms
-+- bd2 As1d p=-
1 .;,;
crs2 = a (x - 0.1d)
bd
crs1
x
Ms
Cc es=--+- b-+- x= d N
(Cc+ Cs)
H[JM
I + I +:N(d-)
TN
[JIhd + -t11 _ d-+h!2
es/d
rt:p
0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 - 0.09 0.35 0.56 0.74 0.92 1.09 1.22 1.41 1.54 1.79 1.98 2.18
.40 - 0.14 0.46 0.72 0.94 1.16 1.38 1.54 1.77 1.93 2.25 2.49 2.73
.30 - 0.24 0.64 0.99 1.27 1.57 1.85 2.07 2.38 2.59 3.01 3.32 3.64
.25 - 0.31 0.79 1.20 1.53 1.89 2.23 2.49 2.86 3.11 3.61 3.99 4.38
.20 0.02 0.42 1.01 1.51 1.93 2.37 2.79 3.12 3.58 3.89 4.52 4.99 5.47
.15 0.09 0.59 1.35 2.01 2.57 3.15 3.72 4.15 4.76 5.18 6.02 6.65 7.29
Cs .12 0.16 0.75 1.68 2.50 3.19 3.92 4.63 5.17 5.94 6.46 7.50 8.30 9.10
.10 0.22 0.90 1.99 2.98 3.80 4.68 5.53 6.18 7.10 1.72 8.98 9.910 10.89
.08 0.30 1.10 2.44 3.66 4.69 5.80 6.86 1.61 8.83 9.61 11.18 12.38 13.58
.06 0.40 1.38 3.13 4.16 6.13 7.61 9.04 10.12 11.67 12.11 14.82 16.42 18.02
.05 0.41 1.58 3.64 5.59 1.25 9.04 10.75 12.06 13.92 15.11 11.11 19.63 21.56
.04 0.55 1.84 4.31 6.81 8.89 11.13 13.28 14.92 17.26 18.83 22.01 24.42 26.84
.03 0.65 2.20 5.48 8.14 11.53 14. 54 11.43 19.63 22.76 24.81 29..13 32.34 35.58
.02 0.18 2.14 1.45 12.31 16.61 21.17 25.55 28.88 33.61 36.80 43.21 48.06 52.93
.01 0.94 3.10 12.34 22.32 30.99 40.30 49.19 55.96 65.54 71.91 84.91 94.67 104.41
.50 - 1.30 1.36 1.40 1.44 1.41 1.50 1.52 1.55 1.51 1.60 1.63 1.65
.40 - 1.48 1.56 1.62 1.66 1.71 1.14 1..17 1.81 1.83 1.88 1.91 1.95
.30 - 1.12 1.84 1.92 1.98 2.04 2.10 2.14 2.19 2. :?2 2.29 2.33 2.38
.25 - 1.89 2.02 2.13 2.20 2.28 2.34 2.39 2.46 2.:0 2.58 2.63 2.69
.20 1.95 2.09 2.26 2.39 2.49 2.58 2.67 2.73 2.81 2.86 2.96 3.03 3.10
.15 2.11 2.34 2.58 2.75 2.88 3.01 3.12 3.20 3.31 3.38 3.51 3.60 3.69
Cc
.12 2.33 2.54 2.83 3.05 3.21 3.37 3.51 3.60 3.74 3.82 3.98 4.10 4.21
.10 2.45 2.70 3.04 3.30 3.49 3.68 3.84 3.96 4.11 4.21 4.40 4.54 4.67
.08 2.59 2.89 3.31 3.63 3.86 4.08 4.28 4.42 4.61 4.13 4.96 5.12 5.28
.06 2.15 3.13 3.66 4.01 4.36 4.65 4.90 5.08 5.32 5.41 5.76 5.96 6.16
.05 2.8 3.28 3.89 4.36 4.11 5.04 5.33 5.53 5.81 5.98 6.31 6.55 6.78
.04 2.95 3.45 4.19 4.75 5.16 5.55 5.89 6.14 6.46 6.67 7.06 1.33 7.60
.03 3.01 3.66 4.58 5.28 5.19 6.28 6.70 7.00 1.39 7.65 8.12 8.46 8.19
.02 3.20 3.93 5.17 6.12 6.80 1.45 8.01 8.40 8.93 9.26 9.88 10.33 10.15
.01 3.36 4.35 6.32 1.88 8.98 10.00 10.88 11.49 12.30 12.81 13.77 14.45 15.10
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
121
-- -
Flexão Composta com Compressão =As2/ ASI = 0.25
Secções Rectangulares - Tensões em Estado Fendilhado d2 / d = 0.10
crs1=(l Cs Ms Es
t bd2 (l=-
Td4-
Ec
As2
x 77 crs2 crc = -Cc Ms
d -+- bd2 As1p=-
1 crs2= (l crc (x -0.1 d)
bd
N crs1
x
Ms
CC es=--+-b-+ x= d N
(Cc+ Cs)
Tr[]M
I + I +:N(H)
TN
[]Ih d + N t11 _ -f;+b/2
es / d
ci.p 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 0.10 0.33 0.61 0.82 0.99 1.17 1.34 1.47 1.65 1.77 2.02 2.21 2.39
.40 0.14 0.42 0.75 1.02 1.23 1.45 1.66 1.82 2.05 2.20 2.51 2.74 2.98
.30 0.20 0.55 0.98 1.33 1.61 1.90 2.18 2.39 2.70 2.90 3.31 3.62 3.93
.25 0.25 0.64 1.16 1.57: 1.90 2.25 2.59 2.84 3.20 3.45 3.94 4.31 4.69
.20 0.30 0.77 1.40 1.91 2.32 2.76 3.18 3.50 3.95 4.25 4.87 5.34 5.81
.15 0.38 0.97 1.78 2.45 3.00 3.58 4.14 4.56 5.17 5.57 6.40 7.02 7.65
Cs .12 0.45 1.14 2.12 2.96 3.64 4.37 5.07 5.60 . 6.36 6.87 7.90 8.68 9.47
.10 0.50 1.29 2.45 3.44 4.27 5.14 5.98 6.62 7.53 8.15 9.39 10.33 11.28
.08 0.57 1.49 2.90 4.14 5.17 6.27 7.32 8.12 9.27 10.04 11.60 12.78 13.97
.06 0.65 1.77 3.60 5.25 6.62 8.09 9.50 10.58 12.11 13.15 15.24 16.82 18.41
.05 0.70 1.96 4.12 6.09 7.74 9.51 11.21 12.51 14.36 15.61 18.12 20.03 21.94
.04 0.77 2.21 4.84 7.30 9.38 11.61 13.74 15.37 17.69 19.26 22.41 24.80 27.21
.03 0.84 2.55 5.94 9.23 12.01 15.01 17.88 20.07 23.18 25.28 29.51 32.71 35.93
.02 0.93 3.05 7.90 12.84 17.07 21.61 25.97 29.29 33.99 37.16 43.55 48.38 53.23
.01 1.04 3.94 12.76 22.74 31.38 40.67 49.52 56.27 65.81 72.22 85.12 94.86 104.63
.50 2.34 2.43 2.54 2.62 2.68 2.74 2.80 2.84 2.89 2.93 3.00 3.06 3.11
.40 2.47 2.59 2.72 2.82 2.89 2.97 3.03 3.09 3.15 3.20 3.29 3.35 3.42
.30 2.63 2.77 2.94 3.07 3.17 3.27 3.35 3.42 3.51 3.57 3.68 3.76 3.84
.25 2.71 2.88 3.09 3.24 3.35 3.46 3.57 3.64 3.75 3.81 3.94 4.04 4.13
.20 2.81 3.02 3.26 3.44 3.58 3.72 3.84 3.93 4.05 4.13 4.29 4.40 4.51
.15 2.93 3.18 3.49 3.72 3.89 4.06 4.22 4.33 4.49 4.59 4.7& 4.92 5.06
Cc .12 3.01 3.30 3.67 3.94 4.15 4.36 4.54 4.67 4.85 4.97 5.20 5.36 5.52
.10 3.06 3.40 3.82 4.14 438 4.61 4.82 4.97 . 5.18 5.31 5.57 5.76 .. 5.93
.08 3.13 3.51 4.02 4.39 4.67 4.95 5.20 5.37 5.61 5.77 6.07 6.28 6.49
.06 3.20 3.66 4.28 4.75 5.09 5.43 5.73 5.95 6.24 6.43 6.79 7.04 7.29
.05 3.25 3.76 4.46 4.99 5.39 5.77 6.11 6.35 6.68 6.89 7.29 7.58 7.86
.04 3.29 3.87 4.70 5.32 5.78 6.22 6.62 6.90 7.28 7.52 7.98 8.31 8.62
.03 3.34 4.01 5.02 5.78 6.34 6.88 7.35 7.69 8.14 8.43 8.98 9.37 9.74
.02 3.40 4.21 5.53 6.54 7.27 7.97 8.58 9.01 9.58 9.95 10.64 11.13 11.61
.01 3.47 4.52 6.57 8.19 9.33 10.41 11.32 11.97 12.82 13.36 14.39 15.11 15.80
- - -
122 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão =As2/ Ast = 0.5
Secções Rectangulares -Tensões em Estado Fendilhado d2 / d =0.10
O'sl=(l Cs Ms Es
t bd2 (l=-
T d2+ -
Ec
As2 J O's2 O'c = -Cc Msbd2 ASId p=-
1 -f:; O's2 = (l ( x -0.1d)
bd
O'sl x Ms
Cc es=-+- b-+ x= d N
(Cc+ Cs)
HGM
I + I +:N(d-)
TN
G1hd + -J-:-t11 _ d-+hfl
es/d
clp 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75
2.00. 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 0.03 0.250.52 0.74 0.91 1.09 1.26 1.39 1.58 1.70 1.95 2.14 2.33
.40 0.06 0.32 0.66 0.93 1.14 1.36 1.58 1.74 1.97 2.12 2.43 2.67 2.91
.30 0.12 0.45 0.88 1.23 1.51 1.81 2.09 2.30 2.61 2.81 3.23 '3.54 3.86
.25 0.16 0.54 1.05 1.46 1.80 2.15 2.49 2.75 3.11 3.36 3.86 4.23 4.61
.20 0.21 0.67 1.29 1.80 2.22 2.66 3.08 3.1,0 3.86 1,.17 4.79 5.26 5.73
.15 0.30 0.86 1.66 2.34 . 2.89 3.48 1,.04 1,.47 5.08 5.1,9 6.32 6.95 7.58
Cs .12 0.36 1.03 2.01 2.85 3.51, I,. 27 1,.97 5.51 6.27 6.79 7.83 8.62 9.1,1
.10 0.42 1.18 2.34 3.34 1,.16 5.05 5.89 6.53 7.1,5 8.07 9.32 10.27 11.22
.08 0.1,9 1.39 2.79 1,.01, 5.07 6.18 7.21, 8.04 9.19 9.97 11.54 12.72 13.92
.06 0.59 1.67 3.50 5.15 6.53 8.01 9.1,3 10.51 12.05 13.09 15.19 16.78 18.38
.05 0.64 1.87 1,.02 5.99 7.66 9.1,1, 11.15 12.45 11,.31 15.56 18.08 19.99 21.91
.01, 0.11 2.12 1,.74 7.21 9.30 11. 54 13.68 15.32 17.65 19.22 22.38 24.78 27.19
.03 0.79 2.1,7 5.86 9.15 11.95 11,.95 17.83 20.03 23.15 25.25 29.49 32.70 35.92
.02 0.89 2.98 7.83 12.78 17.02 21.58 25.91, 29.27 33.99 31.16 43.56 48.39 53.25
.01 1.01 3.89 12.70 22.71 31.31 1,0.67 1,9.51, 56.29 65.83 12.25 85.16 91,.89 101,.66
.50 1.88 1.95 2.04 2.11 2.16 2.21 2.26 2.30 2.31, 2.37 2.U t.48 2.2
.1,0 2.04 2.14 2.25 2.34 2.1,0 2.1,7 2.53 2.57 2.63 2.61 2.75 2.80 2.85
.30 2.24 2.37 2.53 2.61, 2.73 2.81 2.89 2.95 3.03 3.08 3.18 3.25 3.32
.25 2.37 2.52 2.70 2.84 2.91, 3.01, 3.13 3.20 3.29 3.35 3.1,7 3.55 3.61,
.20 2.50 2.69 2.91 3.08 3.21 3.33 3.1,4 3.53 3.64 3.71 3.85 3.95 1,.05
.15 2.67 2.90 3.19 3.1,0 3.56 3.73 3.87 3.97 1,.12 1,.21 4.39 4.52 4.64
Cc .12 2.78 3.05 3.1,0 3.66 3.86 4.05 4.22 1,.35 4.52 4.63 4.84 4.99
5.14
.10 2.86 3.18 3.58 3.89 4.11 1,.33 4.53 4.68 1,.87 5.00 5.24 5.41 5.58
.08 2.96 3.33 3'81 4.17 1,.44 4.70 4.91, 5.11 5.34 5.48 5.77 5.97 6.17
.06 3.07 3.51 1,.11 4.56 1,.89 5.22 5.51 5.72 6.00 6.18 6.53 6.77 7.01
.05 3.13 3.62 1,.31 4.82 5.21 5.58 5.91 6.15 6.1,6 6.67 7.06 7.31, 7.60
.04 3.19 3.75 4.56 5.17 5.62 6.06 6.1,4 6.71 7.08 1.32 1.77 8.09 8.40
.03 3.26 3:92 4.91 5.66 6.21 6.74 7.20 7.53 1.91 8.26 8.80 9.18 9.55
.02 3.35 1,.14 5.41, 6.44 7.17 1.86 8.46 8.89 9.45 9.81 10.50 10.99 11.46
.01 3.41, 4.41 6.51 8.13 9.21 10.34 11.25 11. 89 12.15 13.29 11,.31 15.01, 15.73
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 123
Flexão Composta com Compressão
SecçõesRectangulares - Tensões em Estado Fendilhado
~ = Asz/ Ast = 1.0
dz / d = 0.10
asl =a Cs Ms
I
Es
ac bd2 (1=-
Td4-
t Eas2 cAs2 x Ms
+ ac = -Cc bd2
I
As1d p=-
1
as2 = a (x - 0.1d)
bd
asl
x
I
Ms
Cc es=-+- b-+ x= d N
(Cc+ Cs)
I
H[;]M
I + I +:N(d.)
TN
[;]1hd + -J:t <FC>11 _ d-+hfl
es/ d
clp
0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00. 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 - 0.15 0.1,2 0.61, 0.82 1.00 1.18 1.31 1.50 1.63 1.88 2.07 2.27
.1,0 - 0.21 0.55 0.82 1.03 1.26 1.1,8 1.65 1.88 2.01, 2.35 2.59 2.81,
.30 0.00 0.32 0.75 1.10 1.39 1.69 1.98 2.19 2.51 2.71 3.14 3.46 3.78
.25 0.01, 0.1,0 0.90 1.32 1.66 2.02 2.37 2.63 3.00 3.25 3.76 4.11, 1,.53
.20 0.09 0.52 1.13 1.65 2.07 2.52 295 3.28 3.71, 1,.05 1,.68 5.16 5.61,
.15 0.16 0.70 1.1,9 2.17 2.73 3.33 3.90 1,.31, 1,.95 5.37 6.21 6.85 7.49
Cs .12 0.23 0.86 1.83
2.68 3.38 4.12 1,.83 5.38 6.15 6.67 7.72 8.52 9.32
.10 0.29 1.01 2.15 3.16 4.00 4.89. 5.75 6.40 7.33 7.96 9.22 10.18 11.11,
.08 0.37 1.22 2.61 3.86 1,.91 6.03 7.10 7.92 9.08 9.86 11.1,5 12.64 13.85
.06 0.1,7 1.51 3.32 1,.98 6.37 7.87 9.30 10.1,0 11.95 13.00 15.11 16.71 18.32
.05 0.53 1.71 3.81, 5.83 7.51 9.31 11.03 12.35 11,.22 15.1,8 18.02 19.94 21.87
.04 0.61 1.97 4 .57 . 7. 06 9.16 11.42 13.58 15.23 17.58 19.16 22.31, 24.75 27.17
.03 0.70 2.32 5.69 9.01 11.83 11,.86 17.76 19.97 23.10 25.22 29.47 32.69 35.92
.02 0.82 2.86 7.69 12.67 16.94 21.52 25.90 29.24 33.98 37.16 1,3.58 48.42 53.28
.01 0.97 3.79 12.60 22.65 31.35 40.68 49.57 56.33 65.89 72.31 85.22 94.96 101,.73
.50 - 1.40. 1.47 1.53 1.57 1.61 1.65 1.67 1.71 1.73 1.78 1.82 1.85
.40 - 1.59 1.68 1."75 1.81 1.86 1.91 1.94 1.99 2.02 2.08 2.12 2.16
.30 1.74 1.81, 1.97 2.07 2.14 2.21 2.28 2.32 2.39 2.43 2.51 2.57 2.62
.25 1.88 2.00 2.16 2.28 2.37 2.45 2.53 2.59 2.66 2.71 2.81 2.88 2.95
.20 2.05 2.21 2.40 2.55 2.66 2.77 2.86 2.93 3.03 3.09 3.21 3.30 3.38
.15 2.26 2.46 2.72 2.91 3.06 3.20 3.33 3.1,2 3.54 3.62 3.78 3.89 4.00
Cc .12 2.42 2.66 2.97 3.21 3.39 3.56 3.72 3.83 3.98 1,.08 4.27
4.40 4.53
.10 2.54 2.81 3.19 3.46 3.67 3.88 4.06 4.19 4.36 1,.48 4.69 4.85 5.00
.08 2.67 3.00 3.45 3.79 4.04 4.28 4.50 1,.66 4.87 5.00 5.26 5.45 5.63
.06 2.83 3.23 3.80 4.23 4.54 4.85 5.12 5.32 5.58 5.75 6.07 6.30 6.53
.05 2.91 3.37 4.02 4.52 4.88 5.24 5.55 5.77 6.07 6.26 6.63 6.90 7.15
.01, 3.01 3.54 4.31. 4.90 5.33 5.75 6.11 6.38 6.73 6.95 7.38 7.69 7.99
.03 3.12 3.71, 1,.70 5.1,3 5.96 6.1,7 6.92 7.21, 7.67 7.94 8.46 8.84 9.20
.02 3.24 1,.00 5.28 6.26 6.97 7.65 8.23 8.65 9.21 9.56 10.24 10.72 11.19
.01 3.38 1,.39 6.41 8.01 9.14 10.20 11.11 11.75 12.60 13.14 14.17 14.90 15.60
_ _' ..'_.U._'.'
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de Tensões em Estado Fendilhado
Secções em T
- - - - --- ---- - - -
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 127
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - Tensõesem Estado Fendilhado
b I bw =2
hf/d=O.l
b
t crc
x
-+-
crs = cx Cs Es
cx=~
As1
P=bdcrc= - Cc
Cc
x=
(Cc+ Cs)
d
r I]
M
d + t~
1
Yo- +
-- ----
(/,s/d
0(1' 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.3000 0.17 0.56 1.03 1.39 1.67 1.97 2.25 2.47 2.77 2.97 3.38 3.68 4.00
.2000 0.22 0.76 1.1,2 1.95 2.37 2.81 3.23 3.54 3.99 4.30 4.91 5.37 5.84
.1600 0.25 0.88 1.69 2.34 2.86 3.41 3.93 4.33 4.89 5.27 6.03 6.62 7.20
.1200 0.30 1.07 2.11 2.95 3.64 4.37 5.06 5.59 6.35 6.85 7.88 8.66 9.45
.1000 0.33 1.20 2.41 3.42 4.24 5.12 5.95 6.59 7.49 8.11 9.34 10.28 11.23
.0800 0.36 1.38 2.84 4.09 5.11 6.21 7.25 8.05 9.19 9.96 11.51 12.69 13.88
Cs .0600 0.41 1.63 3.50 5.14 6.51 7.97 9.38 10.45 11.98 13.01 15.09 16.68 18.27
.0500 0.104 1.79 3.98 5.91, 7.59 9.35 11. 04 12.34 14.18 15.1,2 17.94 19.81, 21.76
.01,00 0.107 2.01 4.65 7.10 9.16 11.38 13.51 15.11, 17.1,6 19.02 22.18 21,.57 26.98
.0300 0.51 2.30 5.67 8.92 11.70 11,.68 17.55 19.75 22.87 24.97 29.21 32.42 35.65
.0250 0.53 2.49 6.43 10.33 13.67 17.28 20.75 23.1,0 27.16 29.70 34.81 38.68 42.57
.0200 0.55 2.73 7.1,8 12.36 16.58 21.13 25.50 28.84 33.58 36.76 43.19 1,8.04 52.92
.0150 0.58 3.03 9.08 15.62 21.32 27.1,7 33.35 37.85 44.21 48.1,8 57.10 63.60 70.13
.0100 0.61 3.45 11.90 21.84 30.55 39.94 48.90 55.71 65.310 71.81 81,.81 91,.60 101,.1,3
.0050 0.65 4.08 18.89 39.38 57.43 76.68 94.91 108.71 128.15 141.16 167.26 186.88 206.55
.3000 4.79 1,.91, 5.12 5.26 5.36 5.46 5.56 5.63 5.72 5.79 5.91 6.00 6.09
.2000 4.81 5.02 5.27 5.46 5.60 5.74 5.87 5.96 6.09 6.17 6.34 6.46 6.57
.1600 10.82 5.07 5.37 5.59 5.75 5.92 6.07 6.18 6..33 6.43 6.62 6.76 6.89
.1200 1,.81, 5.14 5.51 5.78 5.99 6.19 6.38 6.51 6.70 6.81 7.04 7.21 7.37
.1000 4.85 5.19 5.61 5.92 6.16 6.39 6.60 6.75 6.96 7.09 7.35 7.53 7.71
.0800 1,.87 5.25 5.75 6.12 6.39 6.66 6.91 7.08 7.32 7.47 7.76 7.97 8.17
Cc .0600 4.89 5.34 5.95 6.40 6.73 7.06 7.35 7.56 1.81, 8.02 8.37 8.61 8.85
.0500 4.90 5.40 6.09 6.60 6.98 7.35 1.61 7.91 8.22 8.102 .80 9.07 9.33
.0400 4.91 5.48 6.27 6.81 7.31 7.74 8.11 8.37 8.73 8.95 9.38 9.68 9.91
.0300 4.92 5.57 6.53 1.26 7.79 8.30 8.74 9.05 9.47 9.73 10.23 10.58 10.92
.0250 4.93 5.64 6.72 7.54 8.14 8.70 9.19 9.54 10.00 10.29 10.83 11.22 11.59
.0200 4.91, 5.71 6.96 7.91 . 8.60 9.24 9.80 10.19 10.70 11.03 11.65 12.08 12.50
.0150 10.95 5.81 7.29 8.45 9.27 10.03 10.68 11.14 11.74 12.12 12.84 13.35 13.81,
.0100 10.97 5.93 7.83 9.34 10.38 11.310 12.16 12.73 13.48 13.96 14.86 15.51 16.13
.0050 4.98 6.11 8.94 11.29 12.81 14.30 15.53 16.39 17.54 18.28 -19.70 20.72 21. 71
128 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão
Secções em T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw=2
heI d = 0.2
p ~ ASI
bd
r l]
M
d + t~
1
Ya
- +
! b !
T
t8 I as = a C Ms
s-
d
X
bd2
1
+r I ac = -C Msc-
+ bw+ N
I I as
bd2
I
x=
Cc
(Cc+ Cs)
d
es/d
o( 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.501.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.3000 0.09 0.1,7 0.91, 1.31 1.60 1.90 2.18 2.1,0 2.70 2.90 3.32 3.63 3.91,
.2000 0.12 0.61, 1.31 1.81, 2.27 2.71 3.11, 3.1,6 3.92 1,.22 1,.85 5.32 5.79
.1600 0.13 0.75 1.56 2.22 2.75 3.30 3.83 1,.21, 1,.81 5.20 5.97 6.56 7.16
.1200 0.15 0.91 1.95 2.81 3.51 1,.26 1,.97 5.51 6.27 6.79 7.83 8.62 9.1,2
.1000 0.17 1.02 2.21, 3.27 1,.11 5.00 5.86 6.51 7.1,3 8.05 9.31 10.26 11.22
.ccoo 0.19 1.17 2.61, 3.92 1,.98 6.10 7.17 7.99 9.15 9.93 11.51 12.70 13.90
Cs .0500 0.21 1.37 3.27 1,.97 6.38 7.89 9.32 10.1,2 11.98 13.03 15.11, 16.71, 18.35
. 0500 0.22 1.51 3.71, 5.77 7.1,7 9.29 11.02 12.35 11,.23 15.1,9 18.03 19.96 21.89
.01,00 0.23 1.69 1,.39 6.91, 9.08 11.36 13.55 15.21 17.57 19.15 22.35 21,.76 27.17
.0300 0.25 1.93 5.1,0 8.81 11.69 11,.77 17.70 19.93 23.09 25.21 29.1,7 32.69 35.92
.0250 0.26 2.09 6.16 10.26 13.71, 17.1,5 20.99 23.67 27.1,7 30.01 35.13 38.99 1,2.86
.0200 0.27 2.28 7.23 12.39 16.77 21.1,3 25.86 29.23 33.97 37.15 1,3.51, 1,8.37 53.21
.0150 0.28 2.51, 8.89 15.82 21.71 27.96 33.87 3!!.35 1,1,.67 1,8.91 57.1,5 63.91 70.39
.0100 0.29 2.88 11.91 22.1,1 31.30 1,0.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82 101,.59
.0050 0.31 3.1,0 19.69 1,0.73 58.1,2 77.31, 95.31, 109.00 128.30 11,1.25 167.27 186.88 206.55
.3000 1,.06 1,.21 1,.37 1,.50 1,.59 1,.68 1,.77 1,.83 1,.92 1,.98 5.09 5.17 5.25
.2000 1,.07 1,.27 1,.50 1,.67 1,.79 1,.92 5.01, 5.13 5.21, 5.32 5.1,7 5.58 5.68
.1600 1,.08 1,.30 1,.58 1,.78 1,.93 5.09 5.22 5.32 5.1,6 5.55 5.73 5.85 5.97
.1200 1,.09 1,.36 1,.70 1,.95 5.11, 5.33 5.50 5.62 5.79 5.90 6.11 6.26 6.1, 1
. 1000 1,.09 1,.1,0 1,.79 5.08 5.29 5.51 5.70 5.81, 6.03 6.15 6.39 6.56 6.72
.0800 1,.10 1,.1,5 1,.90 5.25 5.50 5.75 5.98 6.11, 6.36 6.50 6.77 6.96 7.15
Cc .0600 1,.11 1,.52 5.08 5.50 5.81 6.12 6.39 6.58 6.85 7.02 7.31, 7.58 7.80
. 0500 1,.11 1,.56 5.20 5.68 6.01, 6.38 6.69 6.91 7.20 7.39 7.76 8.02 8.28
.01,00 1,.12 1,.62 5.36 5.93 6.31, 6.71, 7.10 7.35 7.69 7.92 8.31, 8.65 8.91,
.0300 4.13 1,.69 5.60 6.29 6.80 7.29 7.71 8.02 8.44 8.70 9.22 9.59. 9.96
.0250 1,.13 4.74 5.77 6.56 7.13 7.68 8.16 8.51 8.98 9.28 9.87 10.30 10.71
.0200 1,.13 1,.80 5.99 6.91 7.58 8.22 8.78 9.19 9.71, 10.10 10.79 11.28 11.76
.0150 I,.11, 1,.87 6.31 7.1,1, 8.26 9.04 9.73 10.23 10.91 11.34 12.16 12.71, 13.29
.0100 I,. 11, 1,.97 6.83 8.35 9.43 10.48 11.40 12.05 12.90 13.44 11,.1,7 15.19 15.87
.0050 4.15 5.11 7.99 10.1,9 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21. 71
_u__ --- --------.--.--
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
129
Flexão Composta com Compressão
Secções em T -Tensões em Estado Fendilhado
b I bw = 2
hei d = 0.3
b
t crc
x
-+-
crs =a Cs Es
a=E;
As1
P=b"d
crc= - Cc
Cc
x=
(Cc+ Cs)
d
r I]
M
d + t-jE
1
Y(i- +
- - - - ------
es I d
«,o 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 (X)
.3000 0.08 0.1, 7 0.91, 1.31 1.60 1.90 2.19 2.1, 1 2.72 2.92 3.31, 3.65 3.97
.2000 0.10 0.63 1.31 1.85 2.28 2.71, 3.17 3.1,9 3.95 1,.26 1,.89 5.36 5.81,
.1600 0.12 0.71, 1.57 2.21, 2.78 3.31, 3.88 1,.29 I,.86 5.25 6.01, 6.63 7.23
.1200 0.11, 0.90 1.97 2.85 3.57 1,.32 5.01, 5.59 6.36 6.88 7.93 8.72 9.51
. 1000 0.15 1.01 2.27 3.32 1,.18 5.09 5.95 6.61 7.51, 8.16 9.1,2 10.37 11.33
.0800 0.17 1.16 2.69 1,.01 5.08 6.22 7.30 8.12 9.29 10.07 11.61, 12.83 11,.02
Cs .0600 0.18 1.38 3.35 5.10 6.51, 8.06 9.51 10.60 12.15 13.20 15.29 16.87 18.1,6
.0500 0.20 1.52 3.85 5.95 7.67 9.50 11.21, 12.55 110.1,1 15.66 18.17 20.07 21.98
.0400 0.21 1.71 1,.56 7.17 9.34 11. 62 13.79 15.1,3 17.74 19.30 22.45 24.83 27.23
.0300 0.22 1.97 5.65 9.14 12.02 15.06 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.72 35.93
.0250 0.23 2.15 6.48 10.65 14.10 17.72 21.17 23.81 27.55 30.07 35.15 38.99 42.86
.0200 0.24 2.37 7.65 12.84 17.12 21.65 25.99 29.30 34.00 37.16 43.54 48.37 53.21
.0150 0.25 2.65 9.46 16.31 21.98 28.08 33.91 38.36 44.67 48.91 57.45 63.91 70.39
.0100 0.26 3.06 12.70 22.77 31.40 40.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82 104.59
.0050 0.27 3.70 20.108 100.73 58.102 77.31, 95.310 109.00 128.30 1101.25 167.27 186.88 206.55
.3000 3.65 3.79 3.96 1,.08 1,.17 1,.27 1,.35 1,.1,1 1,.50 1,.56 1,.67 1,.75 1,.83
.2000 3.66 3.85 4.08 1,.25 1,.38 1,.51 1,.63 1,.71 1,.83 1,.91 5.06 5.17 5.28
.1600 3.66 3.89 1,.16 1,.36 1,.52 1,.67 1,.81 1,.91 5.05 5.11, 5.32 5.1,5 5.58
.1200 3.67 3.91, 1,.26 1,.54 1,.73 4.92 5.09 5.22 5.39 5.50 5.72 5.88 6.04
.1000 3.68 3.98 1,.37 10.67 10.89 5.11 5.30 5.105 5.61, 5.77 6.02 6.20 6.38
.0800 3.68 1,.03 1,.49 1,.81, 5.10 5.36 5.59 5.76 5.99 6.14 6.44 6.65 6.86
Cc .0600 3.69 4.10 4.67 5.11 5.43 5.75 6.04 6.24 6.53 6.71 7.08 7.34 7.60
.0500 3.69 1,.15 4.80 5.30 5.67 6.04 6.36 6.60 6.93 7.14 7.55 7.85 8.11,
.0400 3.70 4.21 1,.98 5.57 6.00 6.43 6.82 7.10 7.48 7.73 8.20 8.54 8.87
.0300 3.70 4.29 5.24 5.96 6.50 7.04 7.51 7.86 8.31 8.61 9.17 9.56 9.94
.0250 3.71 4.34 5.42 6.25 6.87 7.48 8.02 8.40 8.91 9.23 9.85 10.29 10.71
.0200 3.71 4.40 5.67 6.65 7.38 8.09 8.70 9.14 9.72 10.09 10.79 11.28 11.76
.0150 3.71 4.108 6.03 7.25 8.11, 8.98 9.71 10.22 10.91 11.310 12.16 12.74 13.29
.0100 3.72 4.60 6.63 8.25 9.1,0 10.1,8 11.40 12.05 12.90 13.104 110.47 15.19 15.87
.0050 3.72 10.77 7. 91 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21.71
--- --
130 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão b / bw= 4
Secções em T - Tensões em Estado Fendilhado hr/ d =0.1
i b I
O's =a Cs Ms Es
TC !W
bd2
a=-
Ec
+ Ms ASId O'c =-Cc p=-
1
bd2 bd
O's CC Ms
x= d es=-+bw+ (Cc+ Cs) N
rM
O ;::NYQ
jTN
d + t 011 Ya- +
es/d
fJ 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1. 75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.2000 - 0.47 1.18 1.73 2.17 2.62 3.05 3.38 3.84 4.H 4.77 5.24 5.71
.1600 - 0.55 1.42 2.10 2.61, 3.20 3.73 4.14 4.71 5.10 5.87 6.46 7.06
.1200 - 0.68 1.79 2.67 3.38 4.13 4.84 5.38 6.14 6.66 7.70 8.49 9.28
.1000 - 0.78 2.06 3.11 3.96 4.85 5.70 6.35 7.27 7.89 9.14 10.09 11. 04
.0800 - 0.90 2.45 3.74 4.79 5.91 6.98 7.79 8.94 9.72 11.29 12.48 13.68
.0700 - 0.98 2.71 4.17 5.37 6.65 7.87 8.80 10.12 11.01 12.82 14.18 15.55,... . 0600 - 1.07 3.04 4.73 6.13 7.63 9.05 10.14 11.69 12.73 14.84 16.1,4 18.01,\"s
.0500 - 1.19 3.47 5.49 7.17 8.97 10.69 12.00 13.87 15.13 17.67 19.59 21. 53
.0400 - 1.34 4.08 6.58 8.69 1O.95 13.11 14.77 17.12 18.70 21.89 21,.31 26.71,
.0300 - 1.54 5.00 8.32 11.15 lIt.19 17. 11 19.33 22.49 24.62 28.91 32.15 35.40
.0250 - 1.67 5.68 9.66 13.08 16.75 20.28 22.96 26.78 29.31, 34.51 38.1,1 1,2.32
.0200 - 1.83 6.63 11.61 15.92 20.56 25.00 28.39 33.18 36.40 1,2.89 1,7.78 52.69
.0150 - 2.04 8.07 11,.75 20.57 26.81, 32.83 37.38 43.82 48.11, 56.83 63.38 69.94
.0100 - 2.31 10.62 20.79 29.72 39.30 48.39 55.29 65.02 71. 54 81,.62 91,.47 104.32
.0050 - 2.69 16.99 38.14 56.65 76.22 94.64 108.54 128.07 141.11 167.25 186.88 206.55
.2000 - 6.76 6.97 7.12 7.24 7.35 7.46 7.54 7.65 7.72 7.86 7.96 8.05
.1600 - 6.78 7.03 7.22 7.36 7.50 7.62 7.72. 7.84 7.93 8.09 8.20 8.32
.1200 - 6.82 7.13 7.37 7.54 7.72 7.87 7.99 8.14 8.24 8.44 8.58 8.71
.1 000 - 6.85 7.21 7.47 7.68 7.88 8.05 8.18 8.36 1$.47 8.69 8.84 9.00
.0800 - 6.88 7.31 7.63 7.86 8.10 8.30 8.45 8.66 8.78 9.03 9.21 9.38
.0700 - 6.91 7.37 7.72 7.99 8.24 8.47 8.63 8.85 8.99 9.26 9.1,5 9.63
Cc .0600
- 6.93 7.1,6 7.85 8.11, 8.42 8.67 8.85 9.09 9.25 9.51, 9.75 9.91,
.0500 - 6.97 7.56 8.01 8.31, 8.66 8.94 9.14 9.1,1 9.58 9.90 10.13 10.35
.0400 - 7.01 7.70 8.23 8.61 8.98 9.30 9.53 9.83 10.02 10.39 10.64 10.89
.0300 - 7.07 7.91 8.55 9.01 9.45 9.83 10.10 10.45 10.68 11.10 11.1,0 11.68
.0250 - 7.10 8.05 8.78 9.30 9.79 10.21 10.50 10.89 11.11, 11.61 11.94 12.25
.0200 - 7.15 8.21, 9.08 9.68 10.24 10.71 11.05 11.49 11.77 12.30 12.67 13.03
.0150 - 7.20 8.50 9.53 10.21, 10.90 11.46 11.85 12.37 12.70 13.32 13.77 14.20
.0100 - 7.27 8.93 10.26 11.17 12.01 12.72 13.22 13.88 11,.30 15.12 15.71 16.28
.0050 - 7.37 9.82 11.91 13.31 14.60 15.72 16.52 17.61 18.32 19.70 20.72 21.71
Grupo de BelAo Armado e Pré-Esforçado - 1ST 131
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - Tensõesem Estado Fendilhado
b I bw =4
hr/d=O.2
b
t crc
x
-+-
Es
(X=~
As1
P =b"dcrc= - Cc
Cc
x=
(Cc+ Cs)
dr
I]
M
d + t~
1 Ya- +
- -- - - --- - -
es/d
f1 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.2000 - 0.34 1.06 1.62 2.07 2.53 2.97 3.30 3.77 4.09 4.72 5.20 5.68
.1600 - 0.40 1.28 1.97 2.53 3.11 3.65 1,.07 1,.66 5.05 5.85 6.1,5 7.05
.1200 - 0.50 1.62 2.53 3.27 1,.01, 1,.77 5.33 6.11 6.61, 7.70 8.51 9.31
.1000 - 0.57 1.88 2.96 3..85 1,.77 5.65 6.32 1.27 1.90 9.18 10.15 11.12
.0800 - 0.65 2.21, 3.59 1,.69 5.86 6.96 7.80 8.99 9.78 11.39 12.60 13.81
.0700 - 0.71 2.49 I,.03 5.29 6.62 7.89 8.85 10.21 11.12 12.96 11,.31,15.73
Cs .0600 - 0.78 2.81 1,.60 6.08 7.61, 9.12 10.24 11.83 12.90 15.01, 16.66 18.28
.0500 - 0.87 3.24 5.39 7.16 9.04 10.82 12.18 11,.09 15.37 17.95 19.89 21.84
.0400 - 0.97 3.85 6.53 8.76 11.13 13.36 15.06 17.45 19.06 22.28 24.71 27.14
.0300 - 1.12 4.80 8.39 11.39 11,.56 17.55 19.82 23.01 25.15 29.45 32.68 35.91
.0250 - 1.21 5.51 9.85 13.1,6 17.27 20.87 23.59 27.1,2 29.98 35.12 38.99 42.86
.0200 - 1.33 6.54 11.99 16.52 21.30 25.79 29.18 33.95 37.15 43.51, 1,8.37 53.21
.0150 - 1.47 8.16 15.47 21.53 27.89 33.85 38.35 41,.67 1,8.91 57.45 63.91 70.39
.0100 - 1.67 11.16 22.19 31.21, 1,0.66 49.51 56.25 65.78 72.19 85.09 94.82 104.59
.0050 - 1.94 19.12 40.73 58.42 77.34 95.34 109.00 128.30 141.25 167.27 186.88 206.55
.2000 - 4.96 5.15 5.28 5.39 5.49 5.59 5.66 5.75 5.82 5.94 6.03 6.°12
.1600 - 4.98 5.20 5.37 5.49 5.62 5.73 5.81 5.93 6.00 6.11, 6.25 6.35
.1200 - 5.00 5.28 5.1,9 5.65 5.81 5.95 6.05 6.19 6.28 6.46 6.59 6.71
.1000 - 5.02 5.34 5.59 5.77 5.95 6.11 6.23 6.39 6.49 6.69 6.84 6.98
.0800 . - 5.04 5.43 5.72 5.93 6.15 6.34 6.1,1 6.66 6.78 1.02 7.19 7.35
.0700 - 5.06 5.48 5.81 6.04 6.28 6.49 6.64 6.85 6.98 7.24 7.42 7.61
Cc .0600
- 5.08 5.55 5.92 6.19 6.45 6.68 6.85 1.08 7.23 7.52 7.73 1.93
.0500 - 5.10 5.64 6.06 6.37 6.61 6.94 7.13 7.39 7.56 1.89 8.13 8.37..
.0400 - 5.12 5.17 6.26 6.63 6.98 7.29 7.52 7.83 8.03 8.42 8.71 8.99
.0300 - 5.16 5.95 6.57 7.02 7.1,5 7.81, 8.12 8.51 8.76 9.25 9.61 9.97
.0250 - 5.18 6.09 6.79 1.31 7.81 8.25 8.58 9.02 9.31 9.88 _ 10.30 10.71
.0200 - 5.21 6.27 7.10 7.71 8.30 8.83 9.22 9.75 10.10 10.79 11.28 11.76
.0150 - 5.25 6.53 7.57 8.33 9.07 9.74 10.23 10.91 11.34 12.16 12.74 13.29
.0100 - 5.29 6.98 8.41 9.1,5 10.48 11.40 12.05 12.90 13.1,4 14.1,1 15.19 15.87
.0050 - 5.36 8.04 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21.71
132 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - Tensõesem Estado Fendilhado
b I bw= 4
hrl d = 0.3
MsI
I crs = a Cs bd2
f b crc
~ tc=7
T hr x
I
Ms
d + -+- r ac =-Cc bd'
1 ~s CcAs I crs d- N I I x = (Cc+ c.)+bw+
p--bd
r
I]
M
d + t~
1
YG
- +
es/d
o(fJ
0.15 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.15 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.2000 - 0.39 1.12 1.69 2.15 2.62 3.06 3.1,0 3.81 1,.19 1,.83 5.31 5.19
.1600 - 0.1,6 1.36 2.01 2.63 3.22 3.18 1,.19 1,.19 5.18 5.98 6.58 1.19
.1200 - 0.51 1.13 2.61 3.1,2 1,.20 1,.91, 5.50 6.29 6.82 1.88 8.69 9.1,9
.1000 - 0.65 2.01 3.11, 1,.01, 1,.98 5.86 6.51, 1.1,8 8.12 9.39 10.35 11.31
.0800 - 0.76 2.1,2 3.82 1,.91, 6.12 1.23 8.01 9.25 10.01, 11.63 12.82 11,.02
.0700 - 0.83 2.10 1,.30 5.58 6.92 8.19 9.11, 10.1,9 11.39 13.21 11,.57 15.93
Cs .0600
- 0.91 3.01 1,.92 6.1,2 7.98 9.1,6 10.57 12.11, 13.19 15.29 16.87 18.1,6
.0500 - 1.02 3.56 5.78 1.57 9.1,1, 11.20 12.53 11,.1,1 15.66 18.11 20.07 21.98
.01,00 - 1.16 1,.26 1.03 9.26 11.59 13.77 15.1,2 17.71, 19.30 22.1,5 21,.83 21.23
.0300 - 1.35 5.38 9.01, 11.98 15.05 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.12 35.93
.0250 - 1.1,8 6.22 10.58 11,.09 11.72 21.11 23.81 27.55 30.07 35.15 38.99 1,2.86
.0200 - 1.65 1.1,3'12.81 17.12 21.65 25.99 29.30 34.00 37.16 43.51, 1,8.31 53.21
.0150 - 1.86 9.30 16.31 21.98 28.08 33.91 38.36 44.67 1,8.91 57.1,5 63.91 70.39
.0100 - 2.17 12.61, 22.71 31.40 1,0.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82101,.59
.0050 - 2.66 20.48 1,0.73 58.42 71.31, 95.31, 109.00 128.30 141.25 161.21 186.88 206.55
.2000 - 1,.15 1,.31, 1,.49 1,.60 4.71 4.81 4.89 4.99 5.06 5.19 5.29 5.38
.1600 - 4.17 4.1,0 4.58 4.71 4.85 4.97 5.06 5.18 5.26 5.1,2 5.51, 5.65
.1200 - 4.20 4.50 4.72 4.89 5.06 5.21 5.33 5.48 5.58 5.78 5.93 6.08
.1000 - 4.22 1,.51 1,.83 5.02 5.22 5.40 5.53 5.71 5.83 6.06 6.23 6.1,0
.0800 - 4.25 4.66 4.98 5.21 5.1,5 5.66 5.82 6.03 6.18 6.1,5 6.66 6.86
.0700 - 4.26 1,.73 5.08 5.31, 5.60 5.81, 6.02 6.26 6.41 6.13 6.96 1.18
Cc .0600
- 4.29 1,.81 5.21 5.51 5.80 6.01 6.27 6.54 6.72 7.08 7.31, 7.60
.0500 - 4.32 1,.92 5.38 5.73 6.07 6.38 6.61 6.93 7.11, 7.55 7.85 8.11,
.01,00 - 1,.35 5.07 5.62 6.04 6.1,5 6.82 7.10 7.1,8 1.73 8.20 8.54 8.81
.030Ó - 4.40 5.30 6.00 6.52 1.04 7.51 7.86 8.31 8.61 9.11 9.56 9.94
.0250 - 4.1,3 5.1,7 6.27 6.88 7.48 8.02 8.1,0 8.91 9.23 9.85 10.29 10.71
.0200 - 4.1,8 5.70 6.66 1.38 8.09 8.70 9.14 9.72 10.09 10.79 11.28 11.16
.0150 - 4.53 6.01, 7.25 8.11, 8.98 9.71 10.22 10.91 11.31, 12.16 12.71, 13.29
.0100 - 4.60 6.63 8.25 9.40 10.48 11.40 12.05 12.90 13.1,1,11,.47 15.19 15.87
.005o - 4.72 1.91 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.1,2 18.21 19.69 20.72 21.11
- -.- .. - .
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 133
Flexão Composta com Compressão
Secções em T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw = 6
hrl d = 0.1
b
t O"c
x
+ O"c=-Cc p _ ASl
bd
Cc
x=
(Cc+ Cs)
d
r
I]
M
d + t~
1
Ya
- +
es/d
",.o
0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.1600 - 0.32 1.22 1.93 2.1,8 3.06 3.60 1,.01 1,.59 1,.98 5.77 6.36 6.96
.1200 - 0.1,0 1.56 2.47 3.20 3.96 1,.68 5.23 6.01 6.53 7.58 8.37 9.17
.1000 - 0.1,6 1.81 2.89 3.76 1,.67 5.51, 6.19 7.12 7.75 9.01 9.97 10.93
.0800 - 0.53 2.16 3.49 4.57 5.71 6.79 7.62 8.78 9.57 11.15 12.35 13.56
.0600 - 0.64 2.70 4.1,5 5.88 7.40 8.85 9.95 11.52 12.57 11,.70 16.30 17.92
.0500 - 0.72 3.10 5.18 6.90 8.73 10.47 11.80 13.69 11,.96 17.52 19.1,5 21.1,0
Cs
.0450 - 0.76 3.35 5.65 7.56 9.60 11.51, 13.03 15.13 16.51, 19.1,0 21.55 23.72
.01,00 - 0.81 3.66 6.21, 8.39 10.69 12.88 11,.55 16.93 18.52 21.7t, 21,.17 26.61
.0350 - 0.87 1,.04 6.97 9.43 12.07 14.59 16.51 19.23 21.06 21,.75 27.53 30.33
.0300 - 0.91, 1,.52 7.93 10.81 13.90 1 6 . 86 19.11 22.30 21,.1,1,28.76 32.01 35.28
.0250 - 1.02 5.15 9.23 12.72 16.45 20.02 22.71, 26.58 29.16 31,.36 38.28 1,2.21
.0200 - 1.12 6.03 11.14 15.53 20.25 21,.71,28.16 32.99 36.23 1,2.75 1,7.66 52.59
.0150 - 1.25 7.38 11,.23 20.16 26.52 32.57 37.17 43.65 1,7.99 56.72 63.28 69.86
.0100 - 1.1,1 9.78 20.21 29.30 39.00 48.17 55.11 64.89 71.43 81,.55 91, .1,1 1 04 . 29
.0050 - 1.64 15.84 37.55 56.32 76.04 94.51,108.1,7128.01,11,1.10167.25 186.88 206.55
.1600 - 7.72 7.94 8.09 8.22 8.34 8.1,5 8.53 8.61, 8.71 8.85 8.95 9.05
.1200 - 7.71, 8.01 8.21 8.37 8.52 8.65 8.75 8.89 8.98 9.15 9.27 9.39
.1000 - 7.75 8.07 8.30 8.48 8.65 8.81 8.92 9.08 9.17 9.36 9.50 9.63
.0800 - 7.77 8.15 8.1,2 8.63 8.84 9.02 9.15 9.33 9.1,1, 9.66 9.82 9.97
.0600 - 7.80 8.26 8.61 8.87 9.12 9.31, 9.50 9.71 9.85 10.10 10.29 10.1,6
.0500 - 7.82 8.31, 8.71, 9.01, 9.32 9.57 9.75 9.98 10.11, 10.1,2 10.62 10.82
Cc .01,50 - 7.83 8.40 8.83 9.11, 9.45 9.71 9.90 10.16 10.31 10.62 10.83 11.01,
.01,00 - 7.81, 8.46 8.93 9.27 9.60 9.89 10.09 10.36 10.53 10.85 11.08 11.30
.0350 - 7.85 8.53 . 9.05 9.1,3 9.78 10.09 10.31 10.60 10.79 11.13 11.38 11.62
.0300 - 7.87 8.62 9.20 9.62 10.01 10.35 10.59 10.91 11.11 11.1,9 11.76 12.01
.0250 - 7.89 8.7t, 9.1,0 9.86 10.30 10.68 10.95 11.30 11.52 11.91, 12.21, 12.53
.0200 - 7.91 8.89 9.66 10.20 10.70 11.13 11.1,3 11.83 12.09 12.57 12.92 13.25
.0150 - 7.91, 9.12 10.05 10.70 11.29 11.80 12.16 12.63 12.94 13.52 13.91, 14.31,
.0100 - 7.98 9.1,8 10.70 11.53 12.30 12.95 13.1,1 11,.01, 11,.1,1, 15.21 15.78 16.33
.0050 - 8.03 10.24 12.19 13.1,9 11,.71 15.79 16.57 17.63 18.33 19.71 20.72 21.71
- - - -
134 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão
Secções em T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw =6
hf/d=O.2
Ms
I as = a Cs d2f b j Gc btc=7
_
r ~ x
I
Ms
d + -+- r ac= -CCb"d2
1 ~Ms CcAs · as d- N I I x= (c.+C,)+bw+
Es
a=~
As1
P =bd"
r
I]
M
d + t~
1 Y(j- -+
VTN
lJl
es/d
á/J075 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 .OO 5.00 10.00 00
.1600 - 0.22 1.13 1.85 2.1,2 3.01 3.57 3.99 1,.59 1,.99 5.79 6.39 7.00
.1200 - 0.27 1.1,5 2.39 3.15 3.91, 1,.68 5.25 6.01, 6.57 7.65 8.1,6 9.27
.1000 - 0.-31 1.69 2.81 3.72 1,.67 5.56 6.21, 7.20 7.81, 9.13 10.10 11.08
.0800 - 0.36 2.03 3.1,3 1,.56 5.75 6.87 7.72 8.92 9.72 11.31, 12.55 13.78
.0600 - 0.1,3 2.57 1,.1,3 5... 7.53 9.03 10.16 11.77 12.81, 15.00 16.62 18.25
.0500 - 0.1,8 2.98 5.20 7.02 8.93 10.71, 12.11 11,.03 15.32 17.91 19.86 21.82
Cs .01,50
- 0.51 3.21, 5.71 7.71, 9.87 11.87 13.39 15.51, 16.97 19.85 22.01 21,.18
.01,00 -- 0.55 3.56 6.31, 8.63 11.03 13.29 15.00 17.1,1 19.02 22.26 21,.69 27.13
.0350 - 0.59 3.97 7.15 9.76 12.51 15.10 17.05 19.81 21.65 25.35 28.12 30.91
.0300 - 0.63 1,.1,9 8.20 11.26 11,.10717.1,9 19.78 22.99 25.13 29.1,1, 32.67 3591
.0250 - 0.69 5.19 9.66 13.35 17.20 20.82 23.56 27.1,0 29.97 35.12 38.99 1,2.86
.0200 - 0.76 6.20 11.82 16.1,3 21.21, 25.76 29.17 33.95 37.11, 1,3.51, 1,8.37 53.21
.0150 - O.SI, 7.81 15.33 21.1,7 27.86 33.81, 38.35 1,1,.67 1,8.91 57.1,5 63.91 70.39
.0100 - 0.95 10.82 22.10 31.22 1,0.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82 101,.59
.0050 - 1.10 18.88 1,0.72 58.1,2 77.31, 95.31, 109.00 128.30 11,1.25 167.27 186.88 206.55
.1600 - 5.28 5.1,8 5.62 5.71, 5.85 5.95 6.02 6.12 6.19 6.32 6.1,1 6.51
.1200 - 5.29 5.51, 5.73 5.87 6.01 6.11, 6.23 6.36 6.1,1, 6.60 6.72 6.83
.1000 - 5.30 5.59 5.81 5.97 6.11, 6.28 6.39 6.51, 6.63 6. SI 6.95 7.08
.0800 - 5.31 5.66 5.92 6.12 6.31- 6.1,9 6.61 6.78 6.90 7.12 7.27 7.1,3
.0600 - 5.33 5.76 6.10 6.31, 6.58 6.80 6.96 7.17 7.31 7.58 7.78 7.98
.0500 - 5.31, 5.81, 6.23 6.51 6.79 7.01, 7.22 7.1,6 7.62 7.91, 8.17 8.1,0
Cc .01,50 - 5.35 5.89 6.31 6.62 6.92 7.19 7.38 7.65 7.83 8.17 8.1,2 8.67
.01,00 - 5.35 5.95 6.1,1 6.71, 7.07 7.37 7.58 7.8S 8.07 8.1,5 8.73 9.00
.0350 - 5.36 6.02 6.53 6.90 7.27 7.60 7.81, 8.17 8.38 8.80 9.11 9.1,2
.0300 - 5.37 6.11 6.68 7.11 7.52 7.89 8.16 8.53 8.78 9.26 9.62 9.97
.0250 - 5.38 6.22 6.89 7.38 7.85 8.28 8.60 9.03 9.32 9.88 10.30 10.71
0200 - 5.1,0 6.38 7.1S- 7.76 S.33 8.85 9.23 9.76 10.10 10.79 11.28 11.76
.0150 - 5.1,2 6.63 7.63 8.36 9.09 9.71, 10.23 10.91 11.31, 12.16 12.71, 13.29
.0100 - 5.1.1, 7.05 8.1,3 9.1,6 10.1,8 11.1,0 12.05 12.90 13.1,1,11,.1.7 15.19 15.87
.0050 - 5.1,7 8.06 10.1,9 12.25 13.86 15.22 16.17 17.1,2 18.21 19.69 20.72 21.71
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST 135
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - Tensõesem Estado Fendilhado
b I bw = 6
h rI d = 0.3
b
t ac
x
-+- ac = - Cc p _ As1
bd
Cc
x=
(Cc+ Cs)
d
Ms
eS=N
r~
M
d + t~
1
Yr;- +
------
es/d
áp 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.1600 - 0.33 1.26 1.99 2.57 3.17 3.73 4.16 4.76 5.16 5.96 6.57 7.17
.1200 - 0.41 1.62 2.59 3.36 4.16 4.91 5.47 6.27 6.80 7.87 8.67 9.108
.1000 - 0.107 1.90 3.06 3.98 10.93 5.83 6.51 7.106 8.10 9.38 10.34 11.31
.0800 - 0.55 2.30 3.74 10.89 6.08 7.20 8.010 9.23 10.03 11.62 12.82 14.02
.0600 - 0.67 2.94 4.85 6.37 7.95 9.104 10.56 12.13 13.18 15.29 16.87 18.46
.0500 - 0.76 3.43 5.71 7.53 9.42 11.19 12.53 14.100 15.66 18.17 20.07 21.98
Cs .01050 - 0.81 3.75 6.28 8.29 10.39 12.35 13.82 15.90 17.28 20.08 22.19 210.32
.01000 - 0.87 4.14 6.97 9.23 11.58 13.77 15.102 17.74 19.30 22.105 210.83 27.23
.0350 - 0.910 4.63 7.85 10.102 13.08 15.57 17.45 20.10 21.88 25.109 28.22 30.96
.0300 - 1.02 5.26 9.00 11.97 15.05 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.72 35.93
.0250 - 1.13 6.11 10.56 110.08 17.72 21.17 23.81 27.55 30.07 35.15 38.99 102.86
.0200 - 1.26 7.33 12.80 17.12 21.65 25.99 29.30 34.00 37.16 43.54 48.37 53.21
.0150 - 1.1010 9.23 16.31 21.98 28.08 33.91 38.36 1010.67 108.91 57.105 63.91 70.39
.0100 - 1.69 12.61 22.77 31.40 100.66 49.51 56.25 65.78 72.19 85.09 910.82 1010.59
.0050 - 2.10 20.108 100.73 58.102 77.310 95.310 109.00 128.30 1101.25167.27 186.88 206.55
.1600 . - lo..28 10.50 10.66 10.79 10.91 5.03 5.11 5.23 5.31 5.106 5.57 5.68
.1200 - 10.30 4.58 10.79 10.95 5.11 5.26 5.37 5.51 5.61 5.81 5.95 6.09
. 1000 - 10.31 4.64 10.89 5.08 5.26 5.43 5.56 5.73 5.85 6.07 6.24 6.101
.0800 - 10.33 10.73 5.03 5.25 5.108 5.69 5.810 6.05 6.19 6.46 6.66 6.87
.0600 - 10.36 10.87 5.25 5.53 5.82 6.08 6.28 6.55 6.73 7.08 7.310 7.60
.0500 - 10.38 4.97 5.101 5.75 6.08 6.39 6.62 6.93 7.110 7.55 7.85 8.110
Cc .01050 - 10.39 5.03 5.52 5.88 6.25 6.58 6.83 7.18 7.41 7.85 8.17 8.107
.01000 - 10.101 5.11 5.610 6.05 6.105 6.82 7.10 7.108 7.73 8.20 8.510 8.87
.0350 - 10.103 5.20 5.80 6.25 6.71 7.12 7.43 7.85 8.12 8.63 9.00 9.35
.0300 - 10.105 5.33 6.01 6.52 7.04 7.51 7.86 8.31 8.61 9.17 9.56 9.910
.0250 - 4.107 549 6.28 6.88 7.108 8.02 8.100 8.91 9.23 9.85 10.29 10.71
.0200 - 10.50 5.71 6.66 7.36 6.09 8.70 9.14 9.72 10.09 10.79 11.26 11.76
.0150 - 10.510 6.05 7.25 8.110 8.98 9.71 10.22 10.91 11.310 12.16 12.710 13.29
.0100 - 4.60 6.63 8.25 9.100 10.108 11.40 12.05 12.90 13.104 110.107 15.19 15.87
.0050 - 4.69 7.91 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.102 18.21 19.69 20.72 21.71
- - ----
136 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw = 10
hf/d=O.l
p ~ As1
bd
r
[G
M
d + t~
1
YG
- 4=
Mst b t crc
I crs =a.Cs bd2
T1
tc=7
Ms
x
I+r crc =-Cc b d2
d
1 As I I crs
I
Cc
d
x- )- (Cc+ Cs+bw+
es/d
otp 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.0800 - 0.05 1.78 3.18 4.29 5.47 6.57 7.1,1 8.60 9.40 11. 00 12.21 13.1,3
.0600 - 0.06 2.26 4.08 5.57 7.13 8.61 9.73 11.32 12.39 11,.51, .16.16 17.79
. 0500 - 0.07 2.61 4.78 6.56 8.44 10.22 11.57 13.1,9 14.77 17.36 19.31 21.27
.0450 - 0.07 2.81, 5.24 7.2.1 9.30 11.29 12.79 11,.92 16.36 19.24 21.41 23.59
.0400 - 0.08 3.11 5.80 8.02 10.38 12.62 14.32 16.72 18.33 21.58 24.03 26.1,9
.0350 - 0.09 3.45 6.51" 9.06 11.76 11,.32 16.27 19.02 20.87 21,.59 27.40 30.21
Cs .0300
- 0.09 3.88 7.44 10.42 13.58 16.59 18.87 22.09 24.26 28.60 31.88 35.17
.0250 - 0.10 1,.1,6 8.72 12.30 16.12 19.75 22.50 26.38 28.98 34.22 38.16 42.11
.0200 - 0.11 5.26 10.58 15.10 19.91 24.47 27.93 32.80 36.07 42.62 47.56 52.50
.0175 - 0.12 5.81 11.90 17.09 22.61 27.81, 31.80 37.38 41.12 48.62 54.27 59.92
.0150 - 0.13 6.50 13.63 19.72 26.20 32.32 36.96 1,3.48 1,7.85 56.61 63.20 69.79
.0125 - 0.13 7.1,3 16.02 23.39 31.21 38.59 41,.16 52.01 57.26 67.78 75.69 83.60
.0100 - 0.14 8.74 19.57 28.88 38.70 1,7.96 51,.95 61,.77 71.31, 84.1,9 94.37 101,.26
.0050 - 0.16 14.1,8 36.95 56.01 75.87 91,.1,5 108.42 128.01 141.08 167.25 186.88 206.55
.0025 - 0.18 21,.37 70.88 109.11 148.51, 185.26 212.90 251.87 277.96 330.36 369.80 409.31
.0800 - 873 9.04 9.27 9.1,4 9.61 9.77 9.87 10.02 10.12 10.30 10.43 10.56
.0600 - 8.73 9.12 9.41 9.63 9.84 10.02 10.16 10.33 10.45 10.67 10.82 10.97
.0500 - 8. 'I, 9.18 9.52 9.76 10.00 10.21 10.36 10.56 10.69 10.93 11.11 11.27
.0450 - 8.7.. 9.22 9.58 9.85 10.11 10.33 10.49 10.70 10.84 11.10 11.29 11.46
. 0400 .- 8 ,. 9.26 9.66 9.95 10.23 10.47 10.64 10.87 11.02 11.30 11.50 11.69. ioif
.0350 - 8.74 9.31 9.76 10.08 10.38 10.65 10.83 11.08 11.21, 11. 54 11.76 11.97
Cc .0300 - 8.74 9.38 9.88 10.23 10.57 10.86 11.07 11.34 11.52 11.85 12.09 12.32
.0250 - 8.71, 9.1,7 10.04 10.44 10.82 11.11, 11.38 11.68 ..11.88 12.25 12.52 12.79
.0200 - 8.71, 9.59 10.25 10.72 11.16 11.53 11.80 12.16 12.38 12.82 13.13 13.1,1,
.0175 - 8.75 9.66 10.40 10.91 11.38 11.79 12.08 12.47 12.72 13.20 13.55 13.89
.0150 - 8.75 9.76 10.58 11.14 11.67 12.12 12.1,4 12.88 13.15 13.69 14.08 11,.47
.0125 - 8.75 9.88 10.81 11.45 12.01, 12.55 12.92 13.41 13.73 14.35 14.80 15.25
.0100 - 8.75 10.01, 11.13 11.87 12.56 13.16 13.59 14.17 11,.55 15.30 15.84 16.38
. 005o - 8.75 10.66 12.44 13.66 14.81 15.85 16.60 17.65 18.34 19.71 20.72 21.71
.0025 - 8.76 11.53 14.53 16.64 18.73 20.64 22.02 23.83 24.96 27.08 28.57 29.98
- - ___ - ___uo _ou_
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado- 1ST 137
Flexão Composta com Compressão
Secções em T -Tensões em Estado Fendilhado
b I bw =10-
hr/d=0.2
p = ASI
bd
r l]
M
d + t~
1
Ya
- 4=
---------------------
MsI b I
crc
I crs= a Cs bd2
T
t!:::7
Ms
x
I+r crc= - Ccbd2
d
1 As I crs
I
Cc
d
- I
x- )- (Cc + Cs+bw+
es I d
0<1' 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 . 2.50 3.00 5.00 10.00 CX>
.0800 - 0.03 1.81 3.27 1,.1,3 5.61, 6.78 7.61, 8.8S 9.66 11.29 12.52 13.71,
.0600 - 0.03 2.32 1,.25 5.80 7.1,2 8.91, 10.09 11.71 12.79 JI,.96 16.60 18.23
.0500 - 0.01, 2.71 5.02 6.89 8.83 10.66 12.01, 13.98 15.28 17.59 19.81, 21.80
.01,50 - 0.01, 2.96 5.53 7.61 9.77 11.80 13.31, 15.1,9 16.93 19.82 22.00 21,.17
.01,00 - 0.01, 3.27 6.16 8.50 10.93 13.22 11,.95 17.37 18.99 22.21, 21,.68 27.12
.0350 - 0.05 3.66 6.97 9.61, 12.42 15.04 17.01 19.78 21.63 25.33 28.11 30.90
Cs .0300 - 0.05 1,.17 8.03 11.15 11,.1,017.1,1, 19.71, 22.96 25.12 29.1,3 32.67 35.91
.0250 - 0.06 1,.86 9.1,9 13.21, 17.14 20.79 23.53 27.39 29.96 35.12 38.99 42.86
.0200 - 0.06 5.86 11.66 16.31, 21.20 25.71, 29.15 33.91, 37.11, 1,3.51, 1,8.37 53.21
.0175 - 0.07 6.55 13.19 18.53 21,.06 29.23 33.12 38.57 1,2.21 49.52 55.01, 60.58
.0150 - 0.07 7.46 15.20 21.1,1 27.81, 33.81, 38.31, 1,1,.67 1,8.91 57.1,5 63.91 70.39
.0125 - 0.07 8.69 17.97 25.38 33.01, 1,0.18 1,5.55 53.11, 58.25 68.53 76.30 81,.10
.0100 - 0.08 10.1,9 22.02 31.20 1,0.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.0S 910.82101,.59
.0050 - 0.09 18.67 1,0.72 58.102 77.310 95.34 109.00 128.30 1101.25 167.27 186.88 206.55
.0025 - 0.10 32.17 73.99 110.21 148.76 185.26 212.90 251.87 277.96 330.36 369.80 409.31
.0800' - 5.57 5.88 6.11 6.29 6.46 6.62 6.710 6.89 7.00 7.20 7.35 7.50
.0600 - 5.57 5.96 6.26 6.49 6.71 6.91 7.05 7.25 7.38 7.610 7.83 8.02
.0500 - 5.57 6.03 6.37 6.63 6.89 7.12 7.29 7.53 7.68 7.98 8.21 8.43
.0450 - 5.57 6.07 6.45 6.73 7.01 7.26 7.45 7.70 7.87 8.20 8.45 8.69
.0400 - 5.57 6.11 6.54 6.85 7.16 7.44 7.64 7.92 8.11 8.108 8.75 9.02
.0350 - 5.57 6.17 6.65 6.99 7.34 7.65 7.88 8.20 8.41 8.82 9.13 9.43
Cc .0300 - 5.57 6.25 6.79 7.18 7.58 7.93 8.19 8.56 8.80 9.27 9.62 9.97
.0250 - 5.57 6.35 6.98 7.1.,4 7.90 8.31 8.62 9.05 9.33 9.89 10.30 10.71
.0200 - 5.57 6.49 7.25 1.80 8.36 8.86 9.24 9.76 10.10 10.79 11.28 11.76
.0175 - 5.58 6.59 7.43 8.06 8.68 9.25 9.67 10.26 10.65 11.40 11.93 °12.44
.0150 - 5.58 6.71 7.67 8.38 9.09 9.75 10.23 10.91 11.34 12.16 12.74 1329
.0125 - 5.58 6.87 7.99 8.82 9.66 10.43 11.00 11.75 12.23 13.14 13.78 14.39
.0100 - 5.58 7.10 8.1,5 9.1,6 10.1.,8 11.40 12.05 12.90 13.44 14.47 15.19 15.87
.0050 - 5.58 8.07 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21.71
.0025 - 5.58 9.57 13.59 16.26 18.65 20.64 22.02 23.83 24.96 27.08 28.57 29.98
- -- --- - --
138 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw:; 10
hf/d=O.3
p _ As1
bd
T I]
M
d + t~
1
YG
- +
I b I
T
t"8 I
as = a C Ms
d
x
s-
1
+r
bd2
I ac = - C Msc-
+bw+ N
I · as
bd2
I
x=
cc
(Cc+ Cs)
d
es/d
c<p 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.0800 - 0.31, 2.19 3.67 1,.81, 6.05 7.18 8.03 9.22 10.02 11.62 12.82 11,.02
.0600 - 0.1,2 2.82 1,.78 6.33 7.93 9.1,2 10.55 12.13 13.18 15.29 16.87 18.1,6
.0500 - 0.1,8 3.31 5.65 7.50 9.1,0 11.18 12.52 lI, .1,0 15.66 18.17 20.07 21.98
.01,50 - 0.51 3.63 6.22 8.26 10.37 12.31, 13.82 15.90 17.28 20.08 22.19 21,.32
.01,00 - 0.55 1,.02 6.92 9.21 11.57 13.77 15.1,2 17.71, 19.30 22.1,5 24.93 7.23
.0350 - 0.60 1,.52 7.81 10.1,0 13.08 15.57 17.1,5 20.10 21.86 25.1,9 28.22 30.96
Cs .0300 - 0.66 5.15 8.96 11.96 15.05 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.72 35.93
.0250 - 0.71, 6.02 10.53 11,.08 17.72 21.17 23.81 27.55 30.07 35.15 38.99 1,2.86
.0200 - 0.83 7.26 12.79 17.12 21.65 25.99 29.30 31,.00 37.16 1,3.51, 48.37 53.21
.0175 - 0.89 8.10 11,.33 19.22 21, .1,2 29.1,0 33.20 38.58 1,2.21 1,9.52 55.01, 60.58
.Q150 - 0.96 9.18 16.31 21.98 28.08 33.91 38.36 1,1,.671,8.91 57.1,5 63.91 70.39
.0125 - 1.05 10.61 18.91, 25.79 33.15 1,0.18 1,5.55 53.11, 58.25 68.53 76.30 81,.10
.0100 - 1.15 12.60 22.77 31.1,0 1,0.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82101,.59
.0050 - 1.41, 20.1,8 1,0.73 58.42 77.31, 95.34 109.00 128.30 141.25 167.27 186.88 206.55
.0025 - 1.68 32.65 73.99 110.21 148.76 185.26 212.90 251.87 277.96 330.36 369.80 409.31
.0800 - I,.41. 1,.79 5.07 5.29 5.51 5.71 5.85 6.06 6.20 6.1,7 6.67 6.87
.0600 - 4.43 1,.91 5.28 5.56 5.81, 6.09 6.29 6.55 6.73 7.08 7.31, 7.60
.0500 - 1,.44 5.01 5.44 5.76 6.09 6.39 6.62 6.93 7.14 7.55 7.85 8.11,
.01,50 - 1,.1,5 5.07 5.51, 5.!= 6.26 6.59 6.34 7.18 7.1,1 7.85 8.17 8.1,7
.01000 - 4...6 5.110 5.66 6.... 6.46 6.83 7.10 7.1,8 7.73 8.20 8.54 8.87
.0350 - 1,.107 5.23 5.82 6.26 6.71 7.13 7.1,3 7.85 8.12 8.6 9.00 9.35
Cc .0300 - 10.108 5.35 6.02 6.52 7.04 7.51 7.86 8.31 8.61 9.17 9.56 9.910
.0250 - 10.50 5.50 6.28 6.88 7.108 8.02 8.100 8.91 9.23 9.85 10.29 10.71
.0200 - 1,.52 5.72 6.66 7.38 8.09 8.70 9.14 9.72 10.09 10.79 11.28 11.76
.0175 - 1,.53 5.87 6.92 7.72 8.49 9.15 9.62 10.25 10.64 11.40 11.93 12.1,4
.0150 - 1,.54 6.05 7.25 8.14 8.98 9.71 10.22 10.91 11.34 12.16 12.74 13.29
.012 - 10.56 6.30 7.67 8.67 9.62 10.42 11.00 11.75 12.23 13.14 13.78 14.39
.0100 - 4.58 6.63 8.25 9.40 10.48 11.40 12.05 12.90 13.41, 14.47 15.19 15.87
.0050 - 4.64 7.91 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21.71
.0025 - 10.69 9.56 13.59 16.26 18.65 20.64 22.02 23.83 24.96 27.08 28.57 29.98
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
139
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - TensõesemEstadoFendilhado
b / bw = 20
hr/d=O.l
Ms
I
as = a Cs -
d2t b I ac b~ t !::::7
T
h{ x
I
Ms
d + -+- r ac =-Cc bd2
1 ~Ms CA s r as c d- N I I x = (Cc + C.)+bw+
p-- bd
r
I:]
M
d + t-jE
1 ~G- -r
-- - --------
es/d
dp 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.01,00 - - 2.1,5 5.31 7.63 10.06 12.35 11,.08 16.52 18.15 21.1,3 23.90 26.37
.0300 - - 3.11 6.90 10.00 13.25 16.32 18.63 21.90 21,.08 28.1,7 31.76 35.07
.0200 - - 1,.32 9.98 11,.66 19.59 21,.22 27.72 32.63 35.92 1,2.51 1,7.1,7 52.1,3
.0150 - - 5.1,1, 12.99 19.29 25.89 32.09 36.77 1,3.31,1,7.73 56.53 63.13 69.71,
.0125 - - 6.28 15.38 22.97 30.92 38.38 1,1,.0051.89 57.16 67.71 75.63 83.56
.0100 - - 7.1,8 18.93 26.1,8 38.1,5 1,7.79 51,.81 61,.68 71.26 81,.1,1,91,.33101,.23
Cs .0075 - - 9.38 21,.79 37.62 50.91, 63.1,0 72.77 85.90 91,.66 112.20 125.36 138.53
.0050 - - 12.91 36.1,1 55.75 75.74 91,.38 108.38 127.99 11,1.07 167.25 186.88 20b.55
.001,0 - - 15.1,3 1,5.05 69.21, 91,.17 117.39 131,.82 159.25 175.53 208.16 232.71 257.31,
.0035 - - 17.19 51.18 78.80 107.21, 133.71 153.58 181.1,1 199.98 237.30 265.1,0 293.57
.0030 - - 19.1,8 59.30 91.1,7 121,.51,155.31 178.1,0 210.81 232.51 276.11 308.93 31,1.82
.0025 - - 22.63 70.58 109.03 11,8.53 185.26 212.90 251.87 277.96 330.36 369.80 1,09.31
.0020 - - 27.21, 87.26 135.02 181,.01 229.81 26.1,8 313.30 31,5.99 1,11.61 1,60.97 510.1,3
.0015 - - 31,.71111,.1,8177.38 21,2.38303.73 350.11 1,15.1,11,59.1051,6.76612.69 678.72
.0012 - - 1,1.9811,0.96218.82 300.1,2377.35 1,35.1,8517.26 571.97 681.70 761,.2081,6.83
.01,00 - - 10.06 10.37 10.60 10.82 11.02 11.16 11.31, 11.1,6 11.70 11.87 12.03
.0300 - - 10.13 10.53 10.82 11.09 11.33 11.50 11.73 11.88 12.17 12.38 12.58
.0200 - - 10.27 10.81 11.20 11.57 11.89 12.12 12.1,3 12.63 13.03 13.32 13.60
.0150 - - 10.38 11.07 11.55 12.00 12.1,0 12.69 13.08 13.33 13.83 11,.20 11,.56
.0125 - - 10.1,7 11.26 11.80 12.32 12.78 13.12 13.57 13.87 11,.1,511,.89 15.31
.0100 - - 10.59 11.52 12.17 12.79 13.31, 13.71, 11,.29 11,.65 15.36 15.89 16.1,2
Cc .0075
- - 10.76 11.93 12.7l, 13.52 11,.22 llt.73 15.1,1, 15.91 lG.81o 17.53 18.22
.0050 - - 11.06 12.66 13.79 11,.89 15.89 16.61, 17.67 18.35 19.71 20.72 21.71
.001,0 - - 11.26 13.18 11,.51,15.88 17.11 18.02 19.29 20.11,..21.79 22.96 21,.07
.0035 - - 11.39 13.53 15.06 16.58 17.96 19.00 20.44 21.39 23.17 24.1,2 25.61
.0030 - - 11.56 13.99 15.74 17.1,9 19.09 20.29 21.92 22.95 24.88 26.21, 27.52
.0025 - - 11.78 14.61 16.67 18.74 20.64 22.02 23.83 21,.96 27.08 28.57 29.98
.0020 - - 12.09 15.51 18.03 20.58 22.82 21,.38 26.1,1 27.68 30.06 31.13 33.32
.0015 - - 12.56 16.96 20.23 23.1,0 26.03 27.81, 30.20 31.67 31,.1,1,36.3738.21
.0012 - - 13.00 18.31, 22.31 25.89 28.85 30.88 33.53 35.19 38.29 1,0.1,61,2.51
------
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão
Secções em T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw = 20
hr/d=O.2
p-- bd
r
~
M
d + t~
1 Ya- +
Msi b I
(Jc
I (Js = a Cs b d2
T$
t!:::7
Ms
x
I+r (Jc = - Cc b d2
d
1 As .(Js
I
Cc
d
- I
x- )- (Cc+ Cs+bw+
es I d
tXfJ 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.0400 - - 2.99 6.00 8.39 10.86 13.17 }l,.90 17.34 18.97 22.22 24.67 27.12
.0300 - - 3.86 7.87 11.05 14.34 17.41 19.71 22.94 25.10 29.1,2 32.66 35.91
.0200 - - 5.53 11.53 16.28 21.16 25.72 29.11, 33.91, 37.11, 1,3.51, 48.37 53.21
.0150 - - 7.14 15.09 21.37 27.82 33.83 38.34 44.67 1.8.91 57.1.5 63.91 70.39
.0125 - - 8.38 17.88 25.36 33.03 1.0.18 45.55 53.14 58.25 68.53 76.30 81..10
.0100 - - 10.20 21.97 3L19 40.66 1.9.51 56.25 65.i8 i2.19 85.09 94.82 104.59
Cs .0075 - - 13.10 28.51 40.55 53.02 64.90 73.91,.86.72 95.30 112.57 125.59 138.66
.0050 - - 18.50 40.72 58.42 77.34 95.31, 109.00 128.30 141.25 167.27 186.88 206.55
.0040 - - 22.210 49.28 71.56 95.36 117.96 135.11 159.32 175.54 208.16 232.71 257.31,
.0035 - - 21,.77 55.27 80.85 108.15 131,.05 153.70 181.41 199.98 237.30 265.1,0293.57
.0030 - - 27.96 63.15 93.11. 125.12 155.1.3 178.1.1 210.81 232.51 276.11 308.93 31.82
.0025 - - 32.13 73.99 110.21 148.76 185.26 212.90 251.87 277.96 33036 369.80 1.09.31
.0020 - - 37.80 89.97 135.58 181..01 229.81 264.1.8 313.30 345.99 411.61 1.60.91 510.1,3
.0015 - - 1.5.99116.04 177.39 242.38 303.73 350.11 415.41 459.10 51.6.76612.69 678.72
.0012 - - 53.1.0141.62 218.82 300.42 377.35 435.48 517.26 571.97 681.70 764.20 846.83
.0400 - - 6.26 6.64 6.93 1.22 7.49 7.68 7.96 8.11. 8.49 8.76 9.03
.0300 - - 6.37 6.87 7.25 7.62 7.96 8.22 8.57 8.81 9.28 9.62 9.97
.0200 - - 6.59 1.30 7.84 8.38 8.88 9.25 9.76 10.10 10.79 11.28 11.76
.0150 - - 6.78 7.71 8.1.0 9.10 9.75 10.23 10.91 11.34 12.16 12.74 13.29
.0125 - - 6.93 8.02 8.84 9.66 10.43 11.00 11.75 12.23 13.14 13.78 14.39
.0100 - - 7.15 8.47 9.47 10.1.8 11.40 12.05 12.90 13.41. 14.1.7 15.19 15.87
Cc .0075 - - 7.48 9.18 10.1.7 11.71. 12.83 13.59 11..59 15.22 16.41 17.25 18.05
.0050 - - 8.08 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21.71
.001.0 .. - - 8.50 11.38 13.39 15.23 16.77 17.8 19.25 20.13 21.79 22.96 24.07
.0035 - - 8.77 11.96 14.14 16.12 17.78 18.93 20.41. 21.39 23.17 24.42 25.61
.0030 - - 9.12 12.67 15.07 17.22 19.03 20.28 21.92 22.95 . 24.88 26.21. 27.52
.0025 - - 9.57 13.59 16.26 18.65 20.64 22.02 23.83 24.96 27.08 28.57 29.98
.0020 - - 10.17 14.83 17.87 20.58 22.82 24.38 26.41 27.68 30.06 31.73 33.32
.0015 - - 11.04 16.64 20.23 23.1.0 26.03 27.84 30.20 31.67 34.44 36.37 38.21
.0012 - - 11.78 18.23 22.31 25.89 28.85 30.88 33.53 35.19 38.29 40.46 42.51
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST 141
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - Tensões em Estado Fendilhado
b / bw = 20
hr/d=0.3
p-- bd
r
I]
M
d + t~
1 YG- +
- ---
i b f
T1
t I
as = a. C Ms
d
x
5-
1
+r
bd2
I ac =- C Msc-
+ bw+ N
bd2
I
x=
Cc
(Cc+ Cs)
d
es/d
c{f
0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 . 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.01,00 - 0.23 3.93 6.88 9.19 11.56 13.77 15.1,2 17.71, 19.30 22.1,5 21,.83 27.23
.0300 - 0.28 5.07 8.94 11.95 15.05 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.72 35.93
.0200 - 0.36 7.19 12.78 17.12 21.65 25.99 29.30 31,.00 37.16 43.51, 48.37 53.21
.0150 - 0.43 9.li, 16.30 21.98 28.08 33.91 38.36 1,1,.671,8.91 57.1,5 63.91 70.39
.0125 - 0.1,7 10.58 18.91, 25.79 33.15 40.18 1,5.55 53.li, 58.25 68.53 76.30 81,.10
.0100 - 0.52 12.58 22.77 31.1,0 40.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82101,.59
!r- .0075 - 0.58 15.51, 28.91, 40.55 53.02 61,.90 73.91, 86.72 95.30 112.57 125.59 138.66I'-S
.0050 - 0.67 20.1,8 1,0.73 58.1,2 77.31, 95.31, 109.00 128.30 11,1.25 167.27 186.88 206.55
.001,0 - 0.71 23.80 1,9.28 71.56 95.36 117.96 135.11 159.32 175.51,208.16 232.71 257.34
.0035 - 0.74 26.01, 55.27 80.85 108.15 134.05 153.70 181.1,1199.98 237.30 265.40 293.57
.0030 - 0.76 28.89 63.15 93.11,125.12 155.1,3178.1,1210.81 232.51 276.11 308.93 31,1.82
.0025 - 0.79 32.65 73.99 110.21 11,8.76 185.26 212.90 251.87 277.96 330.36 369.80 1,09.31
.0020 - 0.82 37.93 89.97 135.58 181,.01 229.81 261,.1,8313.30 31,5.99 411.61 1,60.97 510.43
.0015 - 0.85 1,5.99 116.04 177.39 242.38 303.73 350.11 1,15.1,11,59.10 51,6.76 612.69 678.72
.0012 - 0.88 53.1,0 11,1.62 218.82 300.42 377.35 1,35.1,8517.26 571.97 681.70 761,.20 81,6.83
.01,00 - 1,.1,9 5.17 5.68 6.07 6.1,6 6.83 7.10 7.1,8 7.73 . 8.20 8.54 8.87
.0300 - 1,.50 5.36 6.02 6.53 7.04 7.51 7.86 8.31 8.61 9.17 9.56 9.91,
.0200 - 1,.52 5.73 6.66 7.38 8.09 6.70 9.14 9.72 1o.09 10.79 11.28 11.76
.0150 - 1,.53 6.06 7.25 8.14 8.98 9.71 10.22 10.91 11.31, 12.16 12.71, 13.29
.0125 - 1,.51, 6.30 7.67 8.67 9.62 10.1,2 11.00 11.75 12.23 13.11, 13.78 11,.39
.0100 - 1,.55 6.63 8.25 9.1,0 10.1,8 11.1,0 12.05 12.90 13.44 14.47 15.19 15.87
Cc .0075 - 1,.56 7.12 9.09 10.47 11.74 12.83 13.59 11,.59 15.22 16.1,1 17.25 18.05
.0050 - 1,.58 7.91 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.1,2 18.21 19.69 20.72 21.71
.001,0 - 4.58 8.1,0 11.38 13.39 15.23 16.77 17.81, 19.25 20.13 21.79 22.96 21,.07
.0035 - 1,.59 8.71 11.96 14.11, 16.12 17.78 18.93 20.41, 21.39 23.17 21,.42 25.61
.0030 - 1,.59 9.08 12.67 15.07 17.22 19.03 20.28 21.92 22.95 24.88 26.24 27.52
.0025 . - 1,.60 9.56 13.59 16.26 18.65 20.64 22.02 23.83 21,.96 27.08 28.57 29.98
.0020 - 1,.60 10.17 14.83 17.87 20.58 22.82 21,.38 26.41 27.68 30.06 31.73 33.32
.0015 - 1,.61 11.01, 16.64 20.23 23.40 26.03 27.81, 30.20 31.67 34.44 36.37 38.21
.0012 - 4.61 11.78 18.23 22.31 25.89 28.85 30.88 33.53 35.19 38.29 40.46 1,2.51
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 145
Peso de revestimentos e coberturas
Valores usualmente considerados no dimensionamento (kN/m2)
Pavimento em alcatifa incluindo até 3 cm de camada de regularização (implica
a não colocaçãodequaisquercanalizaçõesnessacamada)e estuqueno tecto 1.0
Revestimentos usuais de pavimentos -tacos, alcatifa ou mosaicos cerâmicos
(incluindo até 5 cm de camada de regularização e assentamento) e estuque ou
tectofalsona faceinferiordalaje 1.5
Revestimentosde pedra (até 3 cm) ou mosaicoshidráulicos(incluindoaté
5 cm decamadaderegularizaçãoe assentamento)e esblqueou tectofalso 2.0
Revestimentos de terraços, incluindo camada de forma em betão leve
(até 8 cm), telas impermeabilizantese protecções 2.0
Revestimentosde terraços, incluindo camada de forma em betão normal
(até 8 cm), telas impermeabilizantese protecções 2.5
CoberturasdetelhaapoiadaemripadodemadeiIa 1.0
Coberturasdetelhaapoiadaemripadodebetão 1.5
Coberturasde telhacomripadode betãoapoiadoem muretesde alvenaria 2.0
Coberturasde chapasde fibrocimentoapoiadasemmuretesde alvenaria 1.0
Elementos de revestimento de pavimentos, tectos e paredes (kN/m2)
Ladrilhohidráulico,incluindoargamassadeassentamento 0:90
Ladrilho cerâmico,incluindoargamassade assentamento 0.70
Azulejoscerâmicos,incluiO(~oargamassade assentamento 0.60
Reboco de cimento (por em de espessura) 0.20
Reboco de calou estuque (por em de espessura) 0.16
Pedra (3 cm de espessura),incluindoargamassade assentamento 1.20
Tacosde madeiIaassentescomcola 0.20
Estuqueem tectossob laje de betãoarmado,incluindochapinhadoe esboço 0.25
Forrodetectoem madeira 0.20
Tecto falso 0.20
Divisóriasleves 0.50
Elementos de revestimento de coberturas (kN/m2)
TelhaMarselha,incluindoripase varasdemadeiIa 0.65
TelhaLusa,incluindoripase varasde madeiIa 0.70
Telhas de betão com ripado de madeira ..... ..................... .... 0.90
Chapas de fibra-cimento 0.35
146 Grupo de Betão AnDado e Pré-Esforçado - 1ST
Elementos de enchimento
Argamassascelulares. ............
Betão simples 24
6-8
Betãolevecomargilaexpandida 12
Betãolevecomgranuladodecortiça 10
Betonilha 20
Solovegetal(canteiros) 20
Peso específico de alguns materiais
~ ....................................
Alumínio .........
Areia
Areia seca.. .............
Areiahúmida................................
Argamassa
Argamassadecimento ................................
Argamassadecalhidráulica. .........
Argamassabastarda(cale cimento) ...........
Betão
Betãoannado ...................
Betãosimples(nonnal) ..............................
Betão sem finos... ......
Betão leve com argila expandida...............................................................
Betão leve com granulado de cortiça .........................................................
Betão celular autoclavado (tipo Ytong).. ....................
Brita ..
Fibrocimento ..................................
Madeiras ..........
Solos
Argilasmoles .................................
Argilasduras ............
Areias soltas ........................
Areias compac tas..................................................................................
Vidro .............................
78
27
16
18
21
18
19
25
24
18
12
10
5.5
15
20
10
17 - 19
19 - 20
19 - 20
20 - 21
25
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 147
Peso de paredes divisórias de alvenaria
Tipo Dimensões dos Tijolos Espessura (m) Peso (kN/m2)
Tijolo furado
30 x 20 x 7 0.11 1.4
Paredes Simples
30 x 20 x 11 0.15 1.8
0.02
*'
30 x 20 x 15 0.19 2.1
1ft 30 x 20 x 22 0.24 2.5. .
+-e 30 x 20 x 22 0.26 2.6
Tijolo furado
30 x 20 x 7 + 30 x 20 x 7 0.09 + 0.09 + t 2.2
Paredes Duplas
0.02 30 x 20 x 7 + 30 x 20 x 11 0.09 + 0.13 + t 2.4
*' +t+
mOI
30 x 20 x 7 + 30 x 20 x 15 0.09 + 0.17 + t 2.7
:: :.
;; .1 30 x 20 x 11+ 30 x 20 x 11 0.13 + 0.13+ t 2.6
+-- e--+
30x20x 11+30x20x 15 0.13 + 0.17+ t 3.0
30 x 20 x 15+ 30 x 20 x 15 0.17 + 0.17+ t 3.3
Tijolo perfurado 22 x 11x 7 0.11 1.9m 22 x 11x 7 0.15 2.3
Tijolo maciço
22 x 11x 7 0.11 2.2- 22 x 11 x 7 0.15 2.6
Blocos de Betão 40 x 20 x 7 0.11 2.1
40 x 20 x 10 0.14 2.1
40 x 20 x 15 0.19 2.3
40 x 20 x 20 0.24 3.0
40 x 20 x 25 0.29 3.3
40 x 20 x 30 0.34 3.5
Blocos de Betão Celular 60 x 20 x 10 0.12 1.0
CV
60 x 20 x 15 .. 0.17 1.3
60 x 20 x 20 0.22 1.6
60 x 20 x 24 0.26 1.9
...~00
~
'8 IQ.
~ Io
g. I
~ I
~ I
o I
~
!lt I
~ I
8" I
I-ti)..,
'
IA B1 IA B
A B
Viga .
Carga f L f t L f I L f
pI! + pI! pI!
2 2
DIIID P MA = Mo = -12; Mmáx = 24 MA =-- ; M+ = M+ -8 máx 14.2 máx- 8
-+--1.. --+ V -V _ pL VA= ; Vo = 3 p L V _ _ pLA- 0-- A- 0--2 8 8 2
I! I! I!
fI.j
7 pI!
2 2 õ'
M+ _ P L + _ PLP MA=- O ; Mo=- O ; M:áx= 4.64 MA= - 120 ; Mmáx-
..,
máx- 23.65 o
'V _ 3 P L . Vo = 7 P L
fI.j
-+--L --+ V _ 27 P L . = 33PL pL pL
VA=6;Vo=3
-
A-2ü ' A- 120 ' o 12020 fI.j-
I! I! I!
-.
8 I! 2 2 n
M+ _ P L M+ =
oP M - P .M - P . 1\1+ - P MA=- . fI.jA--20' o--' máx-- 120 ' máx- 33.54 máx 16 Q.46.64
-+--L --+ V _ 7 P L . Vo = 3 p L V =48pL. _ 12PL pL pL =VA=3 ;Vo=6
-
A-2ü ' 20 A 120' o - 120 (fQ=
J! 2 _ 5 P L2. + = p I!
2 =fI.j
M -M - P . + _ PL + _ PL -A- 0---' Mmáx- 32 MA-- ,Mmáx 14.2 Mmáx- 12 -.19.2 "'Co
V - V - pL VA 21 P L ; Vo = 11 P L V -V _ pL
fI.j
-+--L --+ Q.A- 0-- A- 0--4 64 64 4
-<
Pall Pa2b + 2 P a2b2 P a2b (3L -a)
-.
M - P a b (L + b) . M+ = M+ = P a b
(JQ
-L MA=- ; Mo=-; Mmáx= 2L3
=
I! A- - 2 IJ ' máx máx . L
fI.j
r.; r.;
+-a-+-b-+
2 2 2 2 2 Pb Pa
V _ P ti (3a + b) . V _ P a (a + 3b) P b (3L - b ) P a (3L- a) VA=-; Vo=-A- 3 ,0- 3 VA = 2 O ; Vo= 2 L3 L LI.; 1.;
PL + PL M 3 PL + 5 PL + PL
MA=Mo= -8 ; Mmáx= 8 A =-16 ; Mmáx= 32 Mmáx= 4
+O.SL +O.SL + P llP 5P . P
VA= Vo= - VA= - ; Vo = - VA= Vo= -2 16 16 2
Carga
+a -+-b +a +
~p
-+-L --+
-+a+-b -+-c +
~
+-d-+-e-+
-+-L --+
nM
+a-+-b-+
+t
~h .,.
t L t
a - Coef. dil. ténn.
~IA B1~
t L t
MA= Mo= _-L [0 -a2(2L-a)]12L
M+ = L ( L3 -2 a3)
máx 24 L
VA =Vo = l ( a + b )2
p b 2 2
MA= -~ [ 12d e + b (L - 3 e) ]12L
P b 2 2
Mo =-- [ 12d e + b (L - 3 d) ]
1213
V A=- Pb3[4cr;+2br;+4de(d-e)+4L
2
+ b (d -e)]
M = Mb(2a-b)A 2 .
I..; ,
VA=-6Mab .r: '
Mo= M a ( a - 2 b )
L2
V _6Mabo--
C
MA = Mo = 2 a t E I
h
VA=Vo=O
M ( L2-3 b2 )
MA= 2
21..;
V =3Ma(a-2L) .~ =_3Ma(a-2L)
A 2 L3 , o 2 L3
M _ 3atEIA- h
V - - 3a t E I. VO=
A- Lh '
Ma Mb
Mesq=-L ; Mctlr =T
M M
VA =-- ; Vo=-L L
M = O (em todo o vão)
VA= Vo = O
3atEI
Lh
-J>,\O
IA
B A B
-6); -6); -6);
f L t , L ,
MA= - -L [0 _.a2(2 L - a)]
8L I M+ = L ( 3 L2 _ 4 a2)
ma\x 24
VA= -L[IJ(5b+6a)-a2(2L-a)] I I8
f
I VA = Vo=..L (a + b)
40(')
o
I'IJ
Vo = -L [ ( 3 b + 2 a ) + a2 ( 2 L -a ) ] 2 Q.- o8 t:xICfj o-
g-./")
o
I'IJ
Q.
M =- ( 2a + b )[ 2r: -b2-2a ( a + b )] I VA=pb(2c+b)
!.
C) oA 8I! 2L - o
(JQ= I=
I'IJ
Vo= pb3 {4IJ[a(2a+b)+(a+b)2]-
Vo=p b (2 a + b )
- õ'-.
i"CI8L 2L o. 2 Cfj
I-(2a+b)[a2+(a+b) n Q. -
(I)--i-.
(JQ
I'IJ
- - - - --- -
ISO Grupo de Betão Arm3do e Pré-Esforçado - 1ST
Esforços em vigas contínuas de dois tramos [5]
Momentos flectores
Re1açao Ar:t;:JD Sobrecarga variável no Ac1;ãD Sobrecarga variável no
dosvãos Permanente tIltramo 'P tramo Pennanente tIl tramo 211tramo
M2 M2 M2
+ + + +
maxMil maxMI2 maxMI maxMI21
12/ 11 g li
2 -2
g li g li
2 2
qlll q211 q111 q211
1.00 -0.125 -0.063 -0.063 0.070 0.070 0.096 0.096
1.10 -0.139 -0.060 -0.079 0.065 0.090 0.097 0.114
1.20 -0.155 -0.057 -0.098 0.060 0.111 0.098 0.134
1.30 -0.174 -0.054 -0.119 0.053 0.133 0.099 0.156
1.40 -0.195 -0.052 -0.143 0.047 0.157 0.100 0.179
1.50 -0.219 -0.050 -0.169 0.040 0.183 0.101 0.203
1.60 -0.245 -0.048 -0.197 0.033 0.209 0.102 0.229
1.70 -0.274 -0.046 -0.228 0.026 0.237 0.103 0.256
1.80 -0.305 -0.045 -0.260 0.019 0.267 0.104 0.285
1.90 -0.339 -0.043 -0.296 0.013 0.298 0.104 0.316
2.00 -0.375 -0.042 -0.333 0.008 0.330 0.105 0.347
2.25 -0.477 -0.039 -0.438 0.003 0.417 0.107 0.433
2.50 -0.594 -0.036 -0.558 - 0.513 0.108 0.527
Esforços transversos e reacções de apoio
Relação Sobrecargavariável no
dos vãos AcçAo Pennanente 1"tramo 2" tramo
111e 211
tramos
12/11 Vllf'Rl V2E V2D VR3 maxVl V2E V2D max V3 max R2
g 11 g 11 g 11 g 11 ql11 ql11 '1211 q211 q 11
1.00 0.375 0.625 0.625 0.375 0.438 0.563 0.563 0.438 1.250
1.10 0.361 0.639 0.676 0.424 0.441 0.560 0.622 0.478 1.315
1.20 0.345 0.655 0.729 0.471 0.443 0.557 0.682 0.518 1.384
1.30 0.326 0.674 0.784 0.516 0.446 0.554 0.742 0.558 1.457
1.40 0.305 0.695 0.839 0.561 0.448 0.552 0.802 0.598 1.534
1.50 0.281 0.719 0.896 0.604 0.450 0.550 0.863 0.638 1.615
1.60 0.255 0.745 0.953 0.647 0.452 0.548 0.923 0.677 1.698
1.70 0.226 0.774 1.011 0.689 0.454 0.546 0.984 0.716 1.785
1.80 0.195 0.805 1.069 0.731 0.455 0.545 1.045 0.755 1.875
1.90 0.161 0.839 1.128 0.772 0.457 0.543 1.106 0.794 1.967
2.00 0.125 0.875 1.188 0.813 0.458 0.542 1.167 0.833 2.063
2.25 0.023 0.977 1.337 0.913 0.462 0.539 1.320 0.930 - 2.313
2.50 -0.094 1.094 1.488 1.013 0.464 0.536 1.473 1.027 2.58i
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 151
Esforços em vigas contínuas de três tramos [5]
--- - - -
Momentos flectores
Relação Acção Sobrecarga no Acção Sobrecarga no
de vãos perma- I° tramo 2° tramo 1° e 2° Permanente 1° tramo 1° e 3° 2° tramo
nente tramo tramo
M- M2 M- max M2 Mi;
+ +
12 /11 2 2 MI1 Mh max Mh max MI?
2 2 2 2 2 2 2 2 2
g II qlll q2 II q II g II g II ql II ql II qlll
0.40 -0.083 -0.091 -0.005 -0.096 0.087 .0.063 0.084 0.089 0.015
0.50 -0.080 -0.086 -0.009 -0.095 0.088 .0.049 0.086 0.092 0.022
0.60 -0.080 -0.081 -0.014 -0.095 0.088 -0.035 0.088 0.094 0.031
0.70 -0.082 -0.077 -0.021 -0.098 0.087 .0.021 0.087 0.096 0.040
0.80 -0.086 -0.073 -0.029 -0.102 0.086 -0.006 0.091 0.098 0.051
0.90 -0.092 -0.070 -0.039 -0.108 0.083 0.010 0.093 0.100 0.063
1.00 -0.100 -0.067 -0.050 -0.117 0.080 0.025 0.094 0.101 0.075
1.10 -0.11 O -0.064 -0.063 -0.127 0.076 0.041 0.095 0.103 0.089
1.20 -0.122 -0.061 -0.077 -0.139 0.072 0.058 0.096 0.104 0.103
1.25 -0.128 -0.060 -0.085 -0.145 0.069 0.067 0.097 0.104 0.110
1.30 -0.136 -0.059 -0.093 -0.152 0.066 0.076 0.097 0.105 0.118
1.40 -0.151 -0.057 -0.111 -0.168 0.061 0.094 0.098 0.106 0.134
1.50 -0.168 -0.055 -0.130 -0.185 0.055 0.113 0.099 0.107 0.151
1.60 -0.187 -0.053 -o.151 -0.204 0.049 0.133 0.100 0.107 0.169
1.70 -0.208 -0.051 -0.173 -0.224 0.043 0.153 0.101 0.108 0.188
1.80 -0.231 -0.050 -0.197 -0.247 0.036 0.174 0.101 0.109 0.208
1.90 -0.255 -0.048 -0.223 -0.271 0.030