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UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro Cálculo Diferencial e Inegral II Prof. Hamilton Simões Lista de Exercícios - Integral Dupla 1) Calcular as integrais iteradas abaixo: a) ∫ 5 −2 ∫ 3 1 y 2x− 1 dx dy b) ∫ 0 −1 ∫ x3 0 e y x2 dy dx c) ∫ pi/4 0 ∫ 2 sec z ∫ 1 1/x x cos z dy dx dz d) ∫ 2 1 ∫ y 1 ∫ √3z 0 z ln z x2 + z2 dx dz dy 2) Calcular as integrais duplas: a) ∫ ∫ D x sen y dx dy D = { (x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ x} b) ∫ ∫ D (2x− 3y) dx dy D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 12} c) ∫ ∫ D y dx dy D = { (x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ sen x} d) ∫ ∫ D x dx dy (ver figura no final da lista) e) ∫ ∫ D (6xy − 6y2) dx dy (ver figura no final da lista) f) ∫ ∫ D 1 1 + y2 dx dy (ver figura no final da lista) g) ∫ ∫ D |x− y| dx dy (ver figura no final da lista) h) ∫ ∫ D sen(x2 + y2) dx dy (ver figura no final da lista) i) ∫ ∫ D x√ x2 − y2 dx dy D = { (x, y) ∈ R2/1 ≤ x ≤ 2 e 1/2 ≤ y ≤ x/2} 3) Calcule: a) ∫ 1 0 ∫ 1 y e −3x2 dx dy b) ∫ 2 0 ∫ 6 3y sen ( pi x2 6 ) dx dy c) ∫ 1 0 ∫ √y y sen x x dx dy d) ∫ 2 0 ∫ 8 x3 e x/ 3 √ y dy dx e) ∫ 4 0 ∫ 2 √ y y√ 1 + x5 dx dy 4) Calcular a área das regiões abaixo usando integral dupla: a) {(x, y) ∈ R2/y2 − 4 ≤ x ≤ 9} b) {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 − 8y ≤ 0 e x2 + y2 ≥ 16} 5) Seja A a região do plano uv limitada pelos eixos u e v e pela reta u+ v = 2. Dada a transformação x = u+ v e y = u2 − v; a) Esboce a imagem D de A pela transformação dada. b) Calcule ∫ ∫ D 1√ 1 + 4x+ 4y dxdy. c) Calcule a integral acima usando a transformação dada d) Calcule a integral acima usando a transformação x = v e y = u− v 6) Mostre, usando integral dupla, que a área limitada pela elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 é igual a abpi. (Sugestão: Use a transformação x = au e y = bv) RESPOSTAS 1) a) 21ln 5 4 b) − 1 3e c) − ln( √ 2 + 1) 2 + pi 4 d) pi 3 (2ln 2− 5 4 ) 2) a) pi2 + 4 2 b) 0 c) pi 4 d) 8 3 e) − 54 f) pi 4 − ln 2 2 g) 1 3 h) 2pi i) pi 3 − 2arcsen 1 4 − √ 15 8 + √ 3 8 3) a) 1 6 (1− e−3) b) 0 c) 1− sen 1 d) 12(e− 1) e) 1 5 ( √ 33− 1) 4) a) 52 √ 13 3 b) 16pi 3 + 8 √ 3 5) b) 2 Figuras Figura 1: (d) Figura 2: (e) Figura 3: (f) Figura 4: (g) Figura 5: (h)