Apostila de OP1

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- Capítulo 1 - 
REOLOGIA DE ALIMENTOS 
 
1. Introdução 
A reologia pode ser estabelecida como a ciência que lida com a deformação e o 
escoamento dos corpos. Como regra prática, os materiais podem ser classificados em: 
- Sólidos: associados com a deformação do material. Ex: queijo parmesão. 
- Líquidos: associados com o deslocamento da matéria líquida. Ex: suco de 
fruta. 
As medidas ou predições das propriedades reológicas em alimentos são muito 
importantes em: 
- Cálculos de engenharia de processos que envolvem uma grande quantidade de 
equipamentos tais como tubulações, bombas, extrusores, agitadores, trocadores 
de calor, homogeneizadores e viscosímetros em linha. 
- Determinar a funcionalidade de ingredientes em desenvolvimentos de 
processos 
- Controle de Qualidade do produto intermediário ou final 
- Verificação da vida de prateleira 
- Avaliação da textura de alimentos através na correlação com dados sensoriais. 
 
2. Conceitos fundamentais e nomenclatura 
As definições de tensão, deformação e taxa de deformação devem ser feitas para que se 
possa fazer uma apropriada descrição da cinemática da deformação e escoamento. 
Nesse caso, uma análise tensorial é necessária. 
Considere um elemento de volume com a forma de um cubo e consideremos a resposta 
do material a uma força externa aplicada. Sob estas condições se desenvolverá uma 
força externa agindo sobre esta área (F/A) que é denominada tensão. Assim, a tensão é 
uma função da direção e magnitude da força aplicada e do plano de ação. Existem dois 
tipos básicos de tensão que podem ser exercidas sobre qualquer material neste elemento 
de volume. 
 Tensões Normais: que agem perpendicularmente à face do cubo. 
 Tensões de Cisalhamento: que agem tangencialmente às faces do cubo. 
 
3. Medida Reológica baseada no cisalhamento: 
No caso de líquidos, a maior parte das medidas reológicas é feita com base nas tensões 
de cisalhamento. A figura 1 mostra o que ocorre quando uma tensão de cisalhamento 
simples é aplicada a um líquido. Como a figura mostra, um líquido é mantido entre 
duas placas paralelas infinitas e a placa superior se move a uma velocidade relativa 
à placa inferior. A força por unidade de área é necessária para manter este movimento 
resultando em uma tensão de cisalhamento sobre o prato superior 
 
 
 
produzirá um escoamento viscoso e um gradiente de velocidade será desenvolvido, que 
é equivalente à taxa de deformação 
 
 
 
Figura 1. Modelo de placas paralelas utilizadas por Newton para explicar a viscosidade de um 
líquido. 
 
Taxas de Deformação típicas de processo 
Situação Taxa de 
deformação (s
-1
) 
Aplicação 
Sedimentação de partículas 
em um meio líquido 
10
-6
 – 10-3 Medicamentos, tintas, 
condimentos em molhos de 
saladas. 
Nivelamento devido à tensão 
superficial. 
10
-2
 – 10-1 Coberturas de bolo, tintas, tintas 
de impressora 
Drenagem sob gravidade 10
-1
 – 10-1 Balde, pequenos recipientes de 
alimentos, tintura e cobertura 
Extrusão 10
0
 – 103 Snacks, comida de cachorro, 
pasta de dente, cereais, massa 
polímeros 
Calandrar 10
1
 – 102 Estiramento do glúten 
Derramar de uma garrafa 10
1
 – 102 Alimentos, cosméticos artigos de 
toalete 
Mastigar e engolir 10
1
 – 102 Alimentos 
Recobrimento por imersão 10
1
 – 102 Tintas, confeitaria 
Mistura e agitação 10
1
 – 103 Processamento de alimentos 
Escoamento em tubo 10
0
 – 103 Processamento de alimentos, 
circulação de sangue 
Esfregar 10
2
 – 104 Aplicação de cremes e loções 
Escovar 10
3
 – 104 Pintura, batom, esmalte de unha 
Atomizar 10
3
 – 105 Secagem por atomização, pintura 
“spray” 
Recobrimento a alta 
velocidade 
10
4
 – 106 Papel 
Lubrificação 10
3
 – 107 Engrenagens, motores 
 
As condições necessárias para a realização de um ensaio reológico são: 
Aderência entre o fluido e a parede da geometria: garante que a velocidade do 
fluido é a mesma que a da parede e que a tensão de cisalhamento corresponde à 
verdadeira. 
Regime laminar: a transferência da quantidade de movimento é feita por atrito 
interno entre as camadas de fluido. 
4. Classificação Reológica dos Fluidos 
Os fluidos podem ser classificados quanto à relação existente entre a taxa de 
deformação e a tensão de cisalhamento 
 Fluidos Newtonianos 
O comportamento newtoniano indica que a viscosidade do alimento é independente da 
taxa de deformação a que ele está sendo submetido. Neste caso, um fluido newtoniano 
mostra um único valor de viscosidade, em uma dada temperatura. Exemplos de fluidos 
alimentícios que exibem comportamento newtoniano são: água, soluções de açúcares e 
óleos vegetais. Nessas condições: 
 
Onde:   Tensão de cisalhamento (Pa) 
µ  viscosidade newtoniana (Pa.s) 
 taxa de deformação (s-1) 
 
 Fluidos não-newtonianos 
A maioria dos alimentos de interesse mostra uma relação mais complicada entre taxa de 
deformação e tensão de cisalhamento. Neste caso, já não se pode falar em termos de 
viscosidade, porque esta varia com a taxa de deformação. Em geral, os líquidos não-
newtonianos poderiam ser classificados em: 
 Aqueles que possuem propriedades independentes do tempo de cisalhamento; 
 Aqueles que possuem propriedades dependentes do tempo de cisalhamento; 
 Aqueles que exibem muitas características de sólido 
 
4.1 Fluidos não-newtonianos e independentes do tempo 
A maioria dos alimentos é independente do tempo e podem ser classificados em duas 
categorias principais: 
a) Fluidos que não necessitam de tensão inicial ( 0) para escoar: 
Nessa categoria pode-se citar como o modelo mais comum aquele descrito pela lei da 
potência ou equação Ostwald de Waelle, o qual fica: 
 
Definição de viscosidade aparente: calculada como a viscosidade newtoniana. 
 
Onde: k= índice de consistência 
 n = índice de comportamento do fluido 
Podem ser classificados em pseudoplásticos e dilatantes conforme o valor de n. 
 Pseudoplástico: nesse caso, o valor de n é menor do que 1 (n <1). A viscosidade 
aparente decresce com a taxa de deformação. A maior parte dos alimentos não-
newtonianos apresenta este comportamento. 
Na figura abaixo, pode-se citar como exemplo: 
a. Orientação de partículas: típico em polpas de frutas e vegetais 
b. Estiramento: soluções macromoleculares, que tenham grande quantidade de 
espessantes. Caldas, produtos com substituição de gordura. 
c. Deformação de gotas: ocorre em emulsões, onde existe uma fase dispersa em 
uma fase contínua: maionese, molho de saladas, chantilly, etc. 
d. Destruição de agregados: na homogeneização de produtos. 
 
 
 
 Dilatantes: o comportamento reológico é oposto ao pseudoplástico, ou seja, o 
valor de n é maior que 1 (n >1). Somente encontrado em soluções muito 
concentradas de amido. 
b) Fluidos que necessitam de tensão inicial para escoar: 
 Plásticos de Bingham: o mais simples dessa categoria. Mostram relação linear 
entre tensão de cisalhamento e taxa de deformação, porém possuem uma tensão 
de cisalhamento inicial ou residual para que possa escoar. 
 
Onde: µp = viscosidade plástica (Pa.s) 
 
 Herschel-Bulkley: esses fluidos apresentam comportamento do tipo lei da 
potência com tensão de cisalhamento inicial. 
 
 Equação de Casson: muito utilizada na caracterização de chocolate fundido e 
foi adotado pela International Office of Cocoa and Chocolate. 
 
 
A figura abaixo descreve os tipos de fluidos geralmente descritos para cálculos de 
engenharia. 
 
 
Figura 2. Comportamento reológico de diferentes tipos de fluidos. 
 
4.2 Fluidos não-newtonianose dependentes do tempo 
Essas propriedades não são levadas em consideração para os cálculos de engenharia e 
desde um ponto de vista prático, elas só são realmente importantes em tubulações 
curtas. Podem ser classificadas basicamente em: 
A) Tixotrópicos: esse grupo inclui aqueles alimentos que possuem uma estrutura 
que é quebrada em função do tempo e da taxa de deformação. . A um valor 
constante da taxa de deformação, o valor de tensão de cisalhamento decresce 
com o tempo, enquanto que a estrutura colapsa. Pode ser descrito pelo modelo 
de Tiu-Borger: 
 
B) Reopéticos: inclui poucos materiais que são capazes de desenvolver ou 
rearranjar uma estrutura enquanto são submetidos a uma tensão de cisalhamento 
a uma taxa de deformação constante. Não foi encontrado nenhum alimento que 
siga esse comportamento. 
 
Figura 3. Comportamento reológico de fluidos dependentes do tempo. 
4.3 Fluidos Viscoelásticos 
Muitos alimentos mostram comportamento de sólido (elasticidade) e de líquido 
(viscosidade). A determinação do comportamento viscoelástico exige equipamentos 
mais custosos e é objeto de muita pesquisa na atualidade no desenvolvimento de 
produtos. 
Os problemas que eles podem apresentar em processos são principalmente: 
 Inchamento do fluido: isso pode ser um grande problema em extrusão e em 
enchedeiras 
 Escoamento de Weissemberg: aparece na agitação de fluidos altamente 
viscoelásticos como é o caso de massa de pão e biscoito. À altas taxas de 
deformação, as tensões normais superam as tangências, invertendo o fluxo. 
 
IMPORTANTE: Todos os comportamentos podem ocorrer simultaneamente. 
 
5. Propriedades reológicas: dependência de temperatura e pressão 
A dependência da temperatura da viscosidade pode ser representada por uma 
equação do tipo Arrhenius: 
ln µ = A - Ea/RT 
Onde A = parâmetro de ajuste 
Ea = energia de ativação para a viscosidade (J/kgmol K) 
R = constante universal dos gases (1,987 cal/gmol K) 
T = temperatura absoluta (K) 
Em fluidos lei da potência, o índice de consistência segue a lei de Arrhenius, porém o 
valor de n deve ser praticamente constante com a temperatura. Portanto: 
 
ln k = k0 - Ea/RT 
 
Em alguns processamentos, os alimentos são submetidos a altas pressões, como é o caso 
da extrusão. Portanto, a viscosidade pode ser relacionada com a pressão como: 
 
μ = μ0 . e
aP 
Onde: μ0 =viscosidade a uma pressão de referência; 
a=parâmetro de ajuste; 
 
- Capítulo 2 - 
VISCOSIMETRIA E REOMETRIA 
 
2.1. Introdução 
Viscosímetros: baseiam-se na medida da resistência ao escoamento em um tubo capilar 
ou pelo torque produzido pelo movimento de um elemento através do fluido. Existem 
três categorias principais aplicáveis a alimentos: 
- capilar 
- rotacional 
- escoamento de esfera 
Reômetros: podem medir um grande intervalo de taxas de deformação e efetuar 
reogramas completos que incluem comportamento tixotrópico e ensaios dinâmicos para 
a determinação das propriedades viscoelásticas do material, além de poder programar 
varreduras de temperatura. 
 
2. Viscosímetros de tubo 
 Podem ser divididos em três categorias: capilares de vidro, capilares de alta pressão e 
viscosímetros de tubo. 
• Capilar de vidro: também chamado de viscosímetro do tubo em U. Operam sob 
gravidade e é o melhor instrumento para medir a viscosidade de fluidos 
newtonianos. Normalmente são de vidro e podem ser encontrados em diferentes 
formatos, sendo os mais populares: Cannon-Fenske, Ostwald e Ubbelohde. Não 
podem ser usados para medir características de fluidos não newtonianos porque 
a força motriz que é a pressão hidrostática varia durante a descarga, que por sua 
vez vai variar a taxa de deformação. 
A figura abaixo mostra esquematicamente um viscosímetro de tubo capilar, do tipo 
Cannon Fenske. 
 
Figura 2.1. Viscosímetro de Cannon-Fenske 
9 Princípio de operação: O fluido a ser testado é colocado no reservatório superior (V) 
a partir do qual ele é descarregado através de um tubo capilar (L) como resultado da 
força motriz (gravidade). É medido o tempo de escoamento que normalmente está 
entre 5 e 10 minutos. As equações desse sistema podem ser definidas como 
(dedução está em anexo): 
 
Portanto: 
 
Onde P= pressão 
L= comprimento do capilar 
V = vazão 
R= raio do capilar 
ρ = densidade do fluido 
 
• Capilar de alta pressão: podem ser construídos de vidro, mas não tem formato 
em “U” e são tipicamente operados à gás ou a pistão. 
 
• Viscosímetro de tubo: Um sistema a gás ou uma bomba podem ser usados para 
dar a força motriz nesses viscosímetros. Podem usar altas pressões como aquelas 
encontradas em processamento asséptico de alimentos. Ideais e servem para 
medidas de fluidos newtonianos e não-newtonianos a tensões de cisalhamento 
muito altas (da ordem de 103 Pa). Esse tipo de equipamento pode ser facilmente 
construído. 
 
A diferença básica entre os capilares e os de tubo é o diâmetro do tubo. 
 
3. Viscosímetros Rotacionais 
Estes instrumentos podem determinar a viscosidade de fluidos newtonianos e 
não-newtonianos contidos entre dois cilindros coaxiais, duas placas paralelas ou 
geometria de cone-placa. 
 
 
• Cilindros concêntricos: 
9 Princípio de operação: consiste basicamente de um par de cilindros coaxiais, os 
quais um gira enquanto o outro permanece estático (sem movimento). O torque 
necessário para manter o rotor a uma determinada velocidade é uma medida da taxa 
de deformação. 
9 Aplicações e limitações: podem ser medidas viscosidades de fluidos newtonianos e 
não-newtonianos e alguns equipamentos mostram efeitos de borda. 
Equações que governam: 
 
Onde: M=torque necessário para manter a velocidade angular (N.m) 
h= altura do cilindro (m) 
Rcil= raio do cilindro (m) 
 
No caso da taxa de deformação existem vários métodos de estimativa, mas o mais 
simples é o do sistema que assume taxa de deformação uniforme através do ângulo entre 
os dois cilindros. 
 
Onde: Ω = velocidade angular (s-1) 
 
 
 A figura abaixo mostra esquematicamente um viscosímetro rotacional de cilindros 
concêntricos: 
 
 
Figura 2.2. Viscosímetro rotacional de cilindros concêntricos 
• Cone-placa: 
9 Princípio de operação: neste tipo de geometria o fluido a ser testado é cisalhado 
entre um cone rotativo e um prato fixo. Tem o mesmo princípio de medida que 
os cilindros concêntricos, porém é muito mais preciso devido a que a distância 
entre as placas pode ser considerada igual a zero, sendo assim a taxa de 
deformação é constante no líquido que se encontra entre o cone e a placa. O 
ângulo do cone não pode ser superior a 4°. 
9 Aplicações e limitações: ideal para medir comportamento reológico de fluidos 
newtonianos e não-newtonianos a altas taxas de deformação, porém pode causar 
aquecimento devido ao atrito. Os efeitos de borda são praticamente desprezíveis. 
É aplicável em fluidos dependentes do tempo. Alimentos particulados deve ser 
feita uma cuidadosa seleção do ângulo do cone e distância entre cone e placa. 
Equações: 
 
Onde: M= torque necessário para manter a velocidade angular (N.m) 
Ω= velocidade angular (s-1) 
R= raio do cone (m) 
θ = ângulo do cone (-) 
 
A figura abaixo mostra esquematicamente um viscosímetro rotacional de cone-placa 
 
 
Figura 2.3. Viscosímetro rotacional de cone-placa 
 
• Placas paralelas: opera de maneira similar ao equipamento cone-placa, exceto 
que a taxa de deformação no espaço entre as placas não é tão uniforme e a 
análise dos resultados de fluidos não-newtonianos torna-se mais difícil. 
 
4. Viscosímetro de bola ou de Stokes 
A figura abaixo mostra esquematicamente um viscosímetrodesse tipo. 
 
 
Figura 2.4 Viscosímetro de Bola 
 
9 Princípio de operação: consiste de um tubo vertical ou inclinado, no qual uma 
bola cai sob a força da gravidade. Essa bola alcança uma velocidade limite 
quando a aceleração devido à força da gravidade é exatamente compensada pelo 
atrito do fluido sobre a bola. Mede-se então o tempo de escoamento da bola 
entre dois pontos predeterminados (ΔL). 
9 Aplicações e limitações: útil na medida de viscosidade de fluidos newtonianos 
transparentes. Existem esferas de diferentes densidades (vidro de 2000 kg/m3 
até aço inox de 8000 kg/m3). O intervalo de medida de viscosidade vai de 20 cP 
até 85000 cP). 
Equações que governam: 
 
Onde: γMax= taxa de deformação com ângulo de inclinação de 90o 
K= constante de calibração 
ρ1= densidade da esfera 
ρ2= densidade do líquido 
t= tempo de queda 
v= velocidade da bola 
R= raio do tubo 
 
Existem vários equipamentos comerciais com diferentes características de medidas 
tanto controlando a tensão como a deformação do fluido. 
 
5. Métodos de medidas empíricas em alimentos 
Existem vários equipamentos comerciais com diferentes características de medidas 
tanto controlando a tensão como a deformação do fluido. Na indústria de alimentos se 
utilizam diversos equipamentos empíricos que não determinam propriedades reológicas 
fundamentais, mas seus resultados têm diversas aplicações: controle de qualidade, 
correlação com análise sensorial ou ainda como padrões oficiais de identidade. 
 
 A tabela abaixo mostra diferentes equipamentos e aplicações em produtos alimentícios. 
 
Equipamento Aplicação mais comum 
Consistômetro de Adams Consistência de purês semi-sólidos 
Medidor de maciez de Armour Maciez de carne 
Compressímetro de padeiro Envelhecimento de pão 
Medidor de pressão Ballauf Punção de frutas e vegetais 
Medidor de textura de biscoito BBIRA Dureza de biscoitos e bolachas 
Gelômetro de Bloom Punção de gelatina e geléias de gelatina 
Consistômetro de Botswick Escoamento de alimento infantil e purês 
similares 
Medidor de pressão Chatillon Punção de frutas e vegetais 
Medidor de pressão Effi-Gi Punção de frutas e vegetais 
Medidor de pressão Magness-Taylor Punção de frutas e vegetais 
Medidor de pressão Van Dorran Punção de manteiga 
Extensígrafo Comportamento do glúten 
Farinógrafo Qualidade dos produtos assados de farinha 
de trigo 
Mixógrafo Qualidade dos produtos assados de farinha 
de trigo 
Resistógrafo 
 
Qualidade dos produtos assados de farinha 
de trigo 
Tenderômetro de ervilhas FMC Qualidade e grau de maturação de ervilhas 
verdes frescas 
Tenderômetro de ervilhas Ottawa Qualidade e grau de maturação de ervilhas 
verdes frescas 
Sistema de textura FTC Acessórios para vários alimentos 
Medidor de textura Pabst Firmeza de alimentos particulados 
Texturômetro GF Acessórios para vários alimentos 
Medidor de Haugh 
 
Qualidade do ovo 
Instron Acessórios para vários alimentos 
Célula de pressão de Kramer Maciez de ervilhas e outros alimentos 
particulados 
Medidor de géis de colóides marinhos Punção de géis de extratos marinhos 
Penetrômetro 
 
Firmeza de manteiga e margarina 
Torsiômetro de coalho de queijo Firmeza do coalho de queijo 
Analisador de resposta de compressão de 
Stevens 
Acessórios para vários alimentos 
Suculômetro Maturidade e qualidade de milho doce 
fresco 
Medidor de dureza SURDD 
 
Dureza de gorduras e ceras 
Homogeneizador de Torry Brown Dureza de peixe 
Consistômetro USDA Consistência de purês de alimentos 
semifluidos 
 
Cisalhamento de Warner-Bratzler Dureza de carne 
 
¾ Outro equipamento largamente utilizado na indústria de alimentos é o 
viscosímetro de Brookfield que tem o princípio rotacional. Os sensores mais 
comuns são discos planos acoplados ao instrumento por um eixo vertical. 
9 Princípio de medida: mede-se o torque necessário para manter uma determinada 
velocidade de rotação. A análise da taxa de deformação neste tipo de geometria 
é bastante complexa sendo, portanto difícil utilizar esse equipamento para 
análise de fluidos não-newtonianos. Porém, estes sensores de disco podem ser 
úteis na obtenção de um índice relativo de consistência com o propósito de 
comparação de produtos ou em julgamento de controle de qualidade. 
- Capítulo 3 - 
CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 
 
3.1 Fluidos Newtonianos 
• Regime Laminar 
Em primeiro lugar vamos fazer a análise do escoamento de um fluido 
newtoniano viscoso (como por exemplo, um óleo comestível qualquer) em uma 
tubulação horizontal de seção constante. 
9 Balanço de forças na direção z feito em um elemento de volume de raio r dentro do 
tubo: 
Considerações: 
- regime laminar 
- fluido incompressível 
- não há efeitos terminais 
 
Para que haja escoamento é necessário que a força aplicada no fluido seja maior (ou 
igual) a da resistência viscosa. Essa força se dá com a elevação da pressão do fluido no 
ponto inicial da tubulação, que, normalmente é fornecida pela bomba. Nesse caso, um 
elemento de perda de pressão dP está causando o escoamento do fluido em um elemento 
de volume de acordo com a Figura 1.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1. Balanço de forças no equilíbrio em um tubo 
 
Em estado estacionário: 
Força normal= Força de cisalhamento 
O qual pode ser escrito como: 
Pressão * Área transversal = Tensão de cisalhamento * Área longitudinal 
(1.1) 
Onde: 
P= pressão em um ponto z ao longo da tubulação 
dP= pressão em um ponto z + dz ao longo da tubulação 
r= um ponto entre o centro e a parede do tubo, ao longo do raio 
τ = tensão de cisalhamento 
dz= elemento de distância ao longo do comprimento do tubo 
 (1.2) 
 
  (1.3) 
É interessante expressar a perda de carga linear (dP/dz) em função da tensão de 
cisalhamento: 
(1.4) 
 
Rearranjando para dar uma expressão à tensão de cisalhamento: 
(1.5) 
 
A tensão de cisalhamento máxima se dá na parede (τ P) e pode ser expressa como: 
(1.6) 
Onde: R= raio do tubo 
A perda de carga em um dado comprimento L pode ser escrita como: 
(1.7) 
Onde: ΔP= diferença de pressão entre dois pontos considerados, no comprimento L 
L= um dado comprimento de tubulação 
Substituindo (1.6) em (1.5) tem-se que: 
(1.8) 
De acordo com a equação (1.8), a tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo do 
raio do tubo, variando desde zero em r=0 no centro do tubo até um valor máximo na 
posição r= R na parede do tubo. 
Os fluidos newtonianos obedecem à lei de Newton e, portanto: 
(1.9) 
Onde: 
μ = viscosidade Newtoniana 
dvz/dr= variação de velocidades ao longo do raio do tubo 
 
No interior de uma tubulação à medida que o raio aumenta, a velocidade diminui, e por 
isso dvz/dr é negativo. Nesse caso, a tensão de cisalhamento no centro do tubo é zero. 
Na verdade esse sinal só indica que a transferência de impulso está sendo feita da região 
de maior concentração de movimento para a de menor concentração. 
Combinando as equações (1.8) e (1.9): 
(1.10) 
 
(1.11) 
Integrando a relação (1.11) entre um ponto r e a parede R tem-se que: 
r = R - vz = 0 
r = r → vz = vz (r) 
 
Desta equação integrada sai a equação do perfil parabólico de velocidade para um fluido 
newtoniano em escoamento laminar. É interessante notar que a derivada dessa equação 
é uma reta: 
(1.12) 
Por outro lado, a velocidade média (v) pode ser calculada pela definição: 
 (1.13), ou ainda: 
 
Onde: 
dA= elemento diferencial de área= 2π rdr 
 
Integrando desde o centro do tubo r=0 até a parede, quando r= R, tem-se que: 
 (1.14) 
Substituindo vz(r) naexpressão acima temos: 
 (1.15) 
 
 (1.16) 
 (1.17) 
 (1.18) 
(1.19) 
Substituindo (1.7) em (1.19) tem-se que: 
(1.20) 
 
Rearranjando (1.20) e dividindo tudo por ρ: 
(1.21) 
 
Multiplicando ambos os lados por tem-se que: 
(1.22) 
O número de Reynolds (Re) para fluidos Newtonianos em tubulações cilíndricas é 
definido como: 
 
Separando o termo 1/Re da expressão (1.22): 
(1.23) 
Então, ficaremos com a expressão para perda de energia por atrito para fluidos 
newtonianos em regime laminar, ou seja, quando Re< 2100: 
(1.24) 
Onde: 
Êf= energia perdida por atrito por unidade de massa (J/kg) 
Nessa expressão pode-se definir o fator de atrito de Fanning (fF) como fF =  
Que também pode ser definido como fator de atrito de Darcy (fD): fD = 
Os dois fatores de atrito podem ser usados, mas na bibliografia recente tem-se 
empregado somente (fF) e, por isso, daqui por diante quando se menciona fator de atrito 
refere-se à fF. 
• Região de transição 
O fator de atrito na região de transição, ou seja, quando 2100< Re< 4000, não pode ser 
predito, com o qual se deve usar a solução gráfica. No caso de fluidos Newtonianos, 
emprega-se o Diagrama de Moody (Figura 1.2). Nesse gráfico deve-se destacar que o 
fator de atrito é função da rugosidade relativa (ε /D). Segue-se abaixo a tradução dos 
materiais de tubos que estão escritos em inglês: 
Em inglês Em portugês 
Smooth pipes= Tubos lisos 
Drawn tubing= Tubos estirados 
Commercial steel= Aço comercial 
Wrought iron= Ferro forjado 
Asphalted cast iron= Ferro fundido asfaltado 
Galvanized iron= Ferro galvanizado 
Cast iron= Ferro fundido 
Wood stove= Aduela de madeira 
Concrete= Concreto 
Riveted Steel= Aço rebitado 
 
 
Figura 3.2. Diagrama de Moody 
 
• Regime turbulento 
Quando o regime de escoamento é turbulento, ou seja, Re> 4000, há três maneiras de se 
obter fF. 
a) Equação de Blasius que só é válida para tubos lisos 
fF = 1,28 ڄ Re−0,25 (1.27) 
 
b) Correlação de von Karman que também só é válida para tubos lisos: 
= 4,0 log10(Re ) – 0,4 (1.28) 
 
c) Diagrama de Moody: os dados necessários para se fazer uso dessa solução gráfica 
são: 
9 As propriedades do fluido (densidade, viscosidade) à temperatura de trabalho para o 
cálculo do número de Reynolds 
9 Vazão de processo 
9 Características da tubulação (D, ε). No caso do processamento de alimentos, no qual 
as instalações são sanitárias, considera-se tubo liso, ou seja, rugosidade igual a zero. 
 
3.2. Fluidos não-newtonianos (Lei da Potência) 
• Regime laminar 
O modelo dos fluidos Lei da potência é um dos mais úteis no projeto de tubulações e 
equipamentos de fluidos não-newtonianos. Tem sido extensivamente estudado e 
expresso com grande precisão o comportamento de muitos alimentos fluidos que 
comumente exibem comportamento pseudoplástico (0< n< 1). De maneira que fosse 
possível obter expressões para a velocidade do processo e cálculo do fator de atrito 
foram usadas as mesmas considerações da dedução do item 1.1, e sabendo que a tensão 
de cisalhamento para esses fluidos é definida como: 
 (1.29) 
A variação da velocidade do fluido ao longo do raio se expressa como: 
= (1.30) 
 
Por outro lado, a velocidade média de um fluido lei da potência em um tubo pode ser 
escrita como: 
= (1.31), ou ainda: 
(1.32) 
Neste caso, a perda de carga por unidade de comprimento pode ser expressa como: 
(1.33) 
A equação (1.33), quando inserida na expressão do fator de atrito, proporciona uma 
expressão do tipo: 
 (1.34) 
Onde o número de Reynolds Lei da potência é definido como: 
 (1.35) 
Dados experimentais indicam que a equação (1.34) costuma sobreestimar o fator de 
atrito para muitos fluidos lei da potência. Isso poderia ser devido ao escorregamento na 
parede ou mudanças nas propriedades reológicas dependentes do tempo que podem se 
desenvolver em produtos alimentícios tipo emulsão ou suspensão. 
A equação (1.34) é apropriada para o escoamento de fluidos lei da potência em regime 
laminar, que ocorre quando a seguinte desigualdade é satisfeita: 
crítico 
O número de Reynolds crítico varia significativamente com n e alcança um valor 
máximo ao redor de n= 0,4. Porém, para efeitos de cálculo poderemos considerar que o 
regime é laminar quando Re for inferior a 2100. 
 
• Regime turbulento 
O fator de atrito nessa região, para fluidos lei da potência, pode ser predito da seguinte 
maneira: 
a) Equação de Dodge-Metzner: é uma equação simples que dá bons resultados em 
comparação com outras equações de predição. Essa equação só é válida para tubos lisos. 
 
 
 
Figura 3.3. Diagrama de Dodge-Metzner 
 
b) Diagrama de Dodge-Metzner (Figura 1.3): essa solução gráfica mostra a forte 
influência do índice do comportamento do fluido sobre o fator de atrito. Esse diagrama 
foi obtido a partir da correlação de Dodge-Metzner e, portanto, só é válido para tubos 
lisos. 
 
9 Fluidos plásticos de Bingham 
• Regime laminar 
O perfil de velocidades de um fluido plástico de Bingham pode ser escrito como: 
(1.38), 
para R0≤ r ≤ R onde τ ≥ τ0. O raio crítico (R0), que define o contorno externo do pistão, 
pode ser calculado a partir da tensão de cisalhamento inicial (τ0): 
(1.39) 
É interessante levar em consideração que o fluido não sofrerá tensão de cisalhamento na 
região empistonada central, ou seja, quando τ < τ0. Então, a função tensão de 
cisalhamento será integrada entre a tensão de cisalhamento inicial (τ0) e a tensão de 
cisalhamento na parede (τp). 
A perda de carga por unidade de comprimento de fluidos plásticos de Bingham 
 pode ser calculada a partir da vazão volumétrica de uma maneira 
similar a aquela usada para fluidos pseudoplásticos: 
 (1.40) 
onde c é uma função implícita do fator de atrito e quanto maior for esse valor, mais 
difícil será iniciar o escoamento: 
(1.41) 
Escrito em termos de velocidade média, a equação (1.40) torna-se: 
(1.42) 
Portanto, o cálculo do fator de atrito fica como: 
 
O fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de Reynolds de 
Bingham (ReB) e o número de Hedstrom (He): 
(1.44) 
onde: 
(1.45); (1.46) 
As equações (1.43) e (1.44) poderiam ser usadas para estimar fF em estado estacionário 
no regime laminar, que ocorre quando se satisfaz a desigualdade: 
(1.47) 
 
onde cc é o valor crítico de c definido como: 
(1.48) 
 
cc varia de 0 a 1 (Figura 1.4) e o valor crítico do número de Reynolds de Bingham 
aumenta com o número de Hedstrom (Figura 1.5). 
 
Figura 3.4. Variação de cc com He. 
 
Figura 1.5. Variação de ReB com He. B
 
 
 
• Regime turbulento 
O fator de atrito para escoamento em regime turbulento de um fluido plástico de 
Bingham pode ser considerado um caso especial de um fluido Herschel-Bulkley e pode-
se usar a seguinte relação: 
(1.49) 
Com o aumento dos valores de tensão de cisalhamento inicial, o fator de atrito aumenta 
significativamente. Neste caso, quando a perda de carga é muito alta, c poderia ser 
muito pequeno simplificando a equação (1.49) que ficaria: 
(1.50) 
9 Fluidos Herschel-Bulkley 
• Regime laminar 
A velocidade de um fluido Herschel-Bulkley em função do raio pode ser descrita 
como: 
(1.51) 
A velocidade do pistão poderia ser calculada substituindo r = R0 na equação (1.51). Há 
duas maneiras de se calcular o fator de atrito para fluidos do tipo Herschel-Bulkley: 
a) Solução numérica 
O fator de atrito de Fanning para escoamento laminar de fluidos Herschel-Bulkleypode ser calculado a partir das seguintes relações: 
(1.52) 
onde: 
(1.53) 
c pode ser expresso como uma função implícita de ReLP e uma forma modificada do 
número de Hedstrom (HeM): 
(1.54) 
onde: 
(1.35); (1.55) 
Para encontrar (fF) para fluidos Herschel-Bulkley, c é determinado através de uma 
iteração da equação (1.54) usando a equação (1.53) e o fator de atrito poderia ser 
calculado a partir da equação (1.52). 
 
b) Solução gráfica 
Existem soluções gráficas que facilitam os problemas computacionais. Essas figuras 
(Figuras 1.6-1.15) indicam o valor do número de Reynolds crítico a diferentes HeM 
para um valor particular de n. O número de Reynolds crítico é baseado em princípios 
teóricos e tem pouca verificação experimental. 
 
 
 
 
 
Figura 3.6. Fator de atrito de Fanning (fF) para um fluido Herschel-Bulkley com n= 0,1. 
 
 
Figura 3.7. Fator de atrito de Fanning (fF) para um fluido Herschel-Bulkley com n= 0,2. 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.8. Fator de atrito de Fanning (fF) para um fluido Herschel-Bulkley com n= 0,3. 
 
Figura 3.9. Fator de atrito de Fanning (fF) para um fluido Herschel-Bulkley com n= 0,4. 
 
Figura 3.11. Fator de atrito de Fanning (fF) para um fluido Herschel-Bulkley com n= 0,6. 
 
Figura 3.12. Fator de atrito de Fanning (fF) para um fluido Herschel-Bulkley com n= 
0,7. 
 
Figura 3.13. Fator de atrito de Fanning (fF) para um fluido Herschel-Bulkley com n= 0,8. 
 
Figura 3.14. Fator de atrito de Fanning (fF) para um fluido Herschel-Bulkley com n= 0,9. 
 
Figura 3.15. Fator de atrito de Fanning (fF) para um fluido Herschel-Bulkley com n= 1,0. 
 
• Regime turbulento 
Utilizam-se as soluções gráficas. É interessante notar que quando n=1 trata-se do caso 
de um fluido tipo plástico de Bingham. 
 
1.3. Expressão geral para a determinação da perda de carga em um tubo 
Uma expressão generalizada que relaciona vazão volumétrica e perda de carga foi 
deduzida por Metzner para fluidos independentes do tempo em regime laminar. A 
equação global é escrita como: 
(1.55) 
Nesse caso, pode-se obter n em qualquer taxa de deformação. Essa relação é similar à 
equação da lei da potência e no caso dos verdadeiros fluidos lei da potência: 
(1.56) 
Nesse caso, pode-se obter n em qualquer taxa de deformação. Essa relação é similar à 
equação da lei da potência e no caso dos verdadeiros fluidos lei da potência: 
 (1.57) 
 
Na solução geral, (n´) poderia variar com a tensão de cisalhamento na parede e precisa 
ser avaliado para cada valor de τP. A equação (1.55) tem grande valor prático quando se 
considera ampliação de escala direto dos dados tomados com um viscosímetro de tubos 
de pequeno diâmetro ou para casos onde um modelo reológico bem definido (lei da 
potência, plástico de Bingham ou Herschel-Bulkley) não é aplicável. Existem métodos 
similares de ampliação de escala envolvendo o escoamento turbulento de fluidos 
independentes do tempo. 
O comportamento dependente do tempo e o deslizamento poderiam também estar 
envolvidos na predição da perda de carga em tubos. Um método de atacar este problema 
é incluir estes efeitos dentro do índice de consistência. 
-Capítulo 4- 
 
 CÁLCULO DAS PERDAS POR ATRITO NA FORMA DE: 
CONTRAÇÕES, EXPANSÕES, VÁLVULAS E UNIÕES 
 
4.1. Introdução 
O escoamento em um sistema de tubos pode necessitar passar por uma diversidade de 
acessórios, curvas ou mudanças súbitas de área. Perdas de carga adicionais são 
encontradas, sobretudo, como resultado da separação do escoamento. A energia é então 
dissipada na forma de calor devido à mistura violenta nas zonas separadas (Figura 1.1). 
Essas perdas serão menores e serão denominadas de perdas localizadas se o sistema 
consistir em longos trechos de seção constante. 
 
 
Figura 4.1. Escoamento quando há separação das camadas de fluido devido à presença de um 
acessório. 
 
Existem dois procedimentos básicos para o cálculo da perda de energia por atrito que 
ocorre nas válvulas, acessórios e equipamentos de processos existentes em uma 
instalação industrial que são: 
 
9 Método do coeficiente de perda de carga localizada (kf) sendo este o que mais 
aparece nos livros atuais e deve ser determinado experimentalmente para cada 
caso. 
9 Método do comprimento equivalente, expresso em Leq ou Leq/D. 
 
2. Coeficiente de perda de carga localizada (kf) 
Experimentalmente observa-se que a perda de carga em acessórios é 
praticamente constante em regime turbulento e tem uma relação linear com / 2, tal 
como se pode observar na figura 2.1. 
 
Figura 4.2. Comportamento da perda de carga em um acessório de acordo com o regime de 
escoamento. 
 
Como a proporcionalidade entre ΔP e é linear em regime turbulento, a seguinte 
relação é válida para o cálculo da energia de atrito em regime turbulento: 
 
 (4.1) 
No caso de regime laminar, quando não há uma relação linear, a determinação 
de (kf) é mais complexa e necessita de constatação experimental a diferentes números de 
Reynolds. Todavia a quantidade de dados nessas condições ainda é escassa e certo 
procedimento prático é adotado: 
 
a) Os valores de (kf) decrescem com o aumento do diâmetro do tubo (em torno de 30% 
quando comparados tubos de ¾” e 4”). Porém, como o diâmetro ótimo deve ficar entre 
1” e 2” pode-se usar os dados das tabelas colocadas nas próximas seções. 
 
b) Os valores de (kf) aumentam fortemente com o decréscimo do número de Reynolds 
em regime laminar, mas são constantes em regime turbulento e mostram pouca 
mudança quando o número de Reynolds é maior que 500. 
 
Nas próximas seções veremos tabelas de perda de carga para vários acessórios 
em regime turbulento e as regras para cálculos em regime laminar. Todas essas regras 
devem ser usadas com cautela e só devem ser empregadas na ausência de dados 
experimentais. 
2.1 Regime turbulento 
• Fluidos newtonianos 
a) Válvulas e acessórios 
Os valores do coeficiente de perda de carga localizada são praticamente constantes 
nesse regime de trabalho. A tabela 4.1 mostra dados para algumas válvulas e acessórios. 
 
Tabela 4.1. Coeficientes de perda de carga localizada de fluidos newtonianos em 
válvulas e acessórios 
Tipo de união ou válvula  kf 
Joelho de 45o, padrão 0,35 
Joelho de 45o, raio longo 0,20 
Joelho de 90o, padrão  0,75 
Raio longo 0,45 
Canto Vivo 1,30 
Curva a 180o, volta fechada 1,50 
Tê, padrão, ao longo do tubo principal, derivação fechada 0,40 
Usada como joelho, entrada no tubo principal 1,00 
Usada como joelho, entrada na derivação 1,00 
Escoamento em derivação   1,00* 
Luva  0,04 
União  0,04 
Válvula gaveta, aberta   0,17 
¾ abertab   0,90 
½ abertab   4,50 
¼ abertab   24,0 
Válvula de diafragma, aberta   2,30 
¾ abertab   2,60 
½ abertab   4,30 
¼ abertabb   21,0 
Válvula globo, sede chanfrada, aberta   6,00 
½ abertab   9,50 
Válvula globo, sede de material sintético, aberta   6,00 
½ abertab   8,50 
Válvula globo, disco tampão, aberta   9,00 
¾ abertab   13,0 
½ abertab   36,0 
¼ abertabb   112,0 
Válvula angular, abertab   2,0 
“Plug cock” 
 = 0° (aberta)  0,0 
 = 5°  0,05 
 = 10°  0,29 
 = 20° 1,56 
 = 40° 17,3 
 = 60° 206,0 
Válvula borboleta 
 = 0° (aberta) 0,0 
 = 5°  0,24 
 = 10°  0,52 
 = 20° 1, 54 
 = 40° 10,8 
 = 60° 118,0 
Válvula de retenção, portinhola 2,0c 
Disco  10,0c 
Esfera  70,0c 
a) Esta é a perda de carga (inclusive a perda por atrito) entre linha principal e derivação, 
baseada na velocidade da corrente principal antes da derivação. O valor real depende da 
divisão do escoamento, que varia de 0,7 a 1,3 se a correnteprincipal entra no tubo 
principal e de 0,7 a 1,5 se a corrente principal entre na derivação. 
 
b) A fração aberta é diretamente proporcional à elevação da haste ou ao número de 
voltas da manivela. A direção do escoamento através de alguns tipos de válvulas tem 
um efeito pequeno sobre a perda de carga. Para efeitos práticos esse efeito poderia ser 
desprezado. 
 
c) Esses valores se aplicam somente se a válvula de retenção está completamente aberta, 
o que é geralmente o caso para velocidades maiores que 0,9 m/s para água. 
 
b). Contrações e expansões 
O valor de (kf) pode ser calculado através de algumas expressões empíricas que são 
derivadas do balanço de movimento e do balanço de energia mecânica. Assume-se que 
as perdas são devidas aos turbilhões formados no volume de controle, que no caso é a 
expansão ou contração. Nesses cálculos devem-se levar em consideração os diâmetros 
envolvidos e a velocidade média do tubo de menor diâmetro: 
 
b1) Contração súbita: 
v0 v2
 
Figura 4.3. Comportamento das linhas de corrente frente a uma contração súbita 
 
(4.2) 
Onde: D0= diâmetro do tubo de entrada 
D2= diâmetro do tubo de saída 
b2) Contração total: saídas de tanques e reservatórios 
A perda de carga em uma saída de tanques vai depender se a contração é suavizada ou 
não. Isso se explica pelo fato de que na contração, em escoamento turbulento, existe o 
fenômeno de separação de uma porção do fluido devido à inércia, com a formação de 
uma “vena contracta” e a aceleração temporária do fluido (Figura 2.3). 
 
Figura 4.4. Fenômeno de separação do fluido em uma contração 
 
Esse fenômeno é mais intenso nas conexões com bordas retas ou cantos vivos e 
é menos acentuado quando mais suavizada for a saída, havendo diminuição dos 
redemoinhos (zona de separação). Na tabela2.2 pode-se observar como (kf) é maior nas 
saídas mais retas. 
 
Tabela 4.2. Coeficiente de perda de carga localizada (kf) em saídas de tanques 
 
 
 
b3) Expansão súbita ou saída (equação de Borda Carrot): 
Nesse caso, o cálculo de kf é: 
(4.3) 
Onde: D0= diâmetro do tubo de entrada 
D2= diâmetro do tubo de saída 
 
Figura 4.5. Comportamento das linhas de corrente frente a uma expansão súbita 
 
b4) Expansão Total 
 
É o caso de entrada em grandes reservatórios. De acordo com a equação (4.3) para o 
caso de expansões, o cálculo da perda de carga será: 
(4.4) 
Como no caso da expansão total D2>> D0, o valor de kf será igual a 1,portanto 
Isso significa que a energia cinética é totalmente perdida em casos de expansão total. 
 
• Fluidos não-newtonianos 
a) Válvulas e acessórios
Quando o valor de Reynolds (ReLP ou ReB) for superior a 500 pode-se utilizar os dados 
obtidos para fluidos newtonianos em regime turbulento (Tabela 2.1). 
b) Contrações e expansões
Utiliza-se o mesmo procedimento em a) dessa seção. 
 
 
2.2. Regime laminar 
• Fluidos newtonianos 
São escassos os dados de perda de carga em regime laminar. Na tabela 4.3 pode-se 
encontrar alguns valores de (kf) para válvulas e acessórios. 
 
Tabela 4.3. Coeficientes de perda de carga localizada (kf) para escoamento laminar 
através de válvulas e acessórios 
Tipo de válvula ou acessório 
 Re= 1000 Re= 500 Re=100 Re= 50 
Joelho 90o, raio curto 0,9 1,0 7,5 16 
Tê, padrão, raio longo 0,4 0,5 2,5 Não há dados 
Derivação para a linha 1,5 1,8 4,9 9,3 
Válvula gaveta 1,2 1,7 9,9 24 
Válvula globo, disco 11 12 20 30 
Tampão 12 14 19 29 
Válvula angular 8 8,5 11 1,9 
Válvula de retenção, portinhola 4 4,5 17 55 
 
• Fluidos não-newtonianos 
Algumas observações sobre perda de carga em fluidos não-Newtonianos em regime 
laminar deveriam ser observadas: 
a) A perda de carga na entrada de fluidos lei da potência em escoamento laminar 
decresce com menores valores de n. 
 
b) A perda de carga na entrada para fluidos plásticos de Bingham em escoamento 
laminar decresce com o aumento da tensão de cisalhamento inicial ( ), se a tensão de 
cisalhamento na parede é constante 
 
c) A resistência ao escoamento de fluidos não-Newtonianos sob regime laminar, através 
de válvulas similares, pode ser 133% maior que a observada para fluidos newtonianos. 
Mas, para efeitos práticos usa-se a seguinte relação para valores de número de Reynolds 
entre 20 e 500: 
kf = (4.5) 
 
Onde: N é ReLP ou ReB dependendo do tipo de fluido em questão e é um parâmetro 
com função do tipo de válvula ou acessório, ou ainda, expansões e contrações. É 
calculado a partir da multiplicação entre o coeficiente de perda de carga localizada, kf, 
em escoamento turbulento (Tabelas 4.1 e 4.2) e 500: 
 
 =[(k f) turbulento (500)] (4.6) 
 
Na tabela 4.4 podem-se observar alguns valores de que foram determinados 
experimentalmente e a faixa de número de Reynolds estudada. 
 
Tabela 4.4. Valores de para a equação (4.5). 
Tipo de válvula ou acessório 
 
N 
Joelho 90°, raio curto, 1-2” 842 
 
1-1000 
Válvula gaveta, aberta, 1-2” 273 
 
.1-100 
Válvula globo, tampão quadrado, aberta, 1” 1460 
 
.1-10 
Válvula globo, tampão circular, aberta, 1” 384 
 
.1-10 
Contração, A2/A0= 0,445 
 
110 1-100 
Contração, A2/A0= 0,660 
 
59 1-100 
Expansão, A2/A0= 1,52 
 
88 1-100 
Expansão, A2/A0= 1,97 
 
139 1-100 
 
É importante levar em consideração que números de Reynolds maiores que 20 
cobrem a maior parte das aplicações práticas em alimentos. 
 
3. Método do comprimento equivalente 
Comprimento equivalente (Leq) é o comprimento de tubo que apresentaria perda 
de carga igual a do acessório em questão. Assim, a perda de carga de uma válvula globo 
de 2” totalmente aberta equivale a aproximadamente à perda de carga em 16m de 
tubulação reta. Dessa maneira, como esse coeficiente independe do regime de 
escoamento, esses dados podem ser usados tanto para escoamento laminar como 
turbulento. Portanto: 
 
A tabela 3.1 apresenta valores de comprimento equivalente para diversas 
válvulas e acessórios em função do diâmetro da tubulação. Essa tabela está dividida em 
três partes, mas essa divisão só é feita devido à inviabilidade de serem colocadas juntas 
Tabela 4.5. Perda de carga em acessórios de tubulações – Comprimento equivalente 
(metros) 
Diâmetro 
nominal 
do tubo 
 
Válvula 
gaveta 
aberta 
 
Válvula 
globo 
aberta 
Válvula 
globo 
de sede em 
bisel aberta 
Válvula 
angular 
aberta 
 
Válvula de 
retenção 
basculante 
 
Válvula de 
retenção de 
levantamento 
 
½” 0,061 3,44 4,39 1,31 0,732 5,00 
¾” 0,085 4,91 6,28 1,86 1,04 7,16 
1” 0,119 6,77 8,69 2,56 1,43 9,91 
1 1/4” 0,167 9,60 12,25 3,63 2,04 14,02 
1 ½” 0,204 11,70 14,94 4,42 2,47 17,07 
2” 0,280 15,94 20,36 6,04 3,38 23,26 
2 ½” 0,335 19,81 25,33 7,50 4,21 28,90 
3” 0,457 25,91 33,22 9,81 5,49 37,80 
4” 0,640 36,27 46,33 13,72 7,68 52,73 
5” 0,820 47,55 - 18,11 10,12 69,09 
6” 1,040 59,13 - 22,43 12,53 86,26 
8” 1,460 82,91 - 31,39 17,53 120,70 
10” 1,800 102,7 - 39,01 21,73 149,9 
12” 2,370 135,0 - 51,21 28,62 197,2 
14” 2,590 147,2 - 55,78 31,09 215,1 
16” 3,080 176,1 - 66,75 37,49 256,9 
 
Diâmetro 
nominal 
do tubo 
Válvula de 
retenção de 
bola 
Joelho 
90o 
rosqueado 
Curva longa 
90o 
rosqueada 
Tê 
Direção do 
ramal 
Tê 
derivação 
para ramal 
Tê ramal 
para 
derivação 
½” 33,83 ,365 0,201 0,201 0,762 0,548 
¾” 48,46 ,548 0,286 0,286 1,09 0,762 
1” 66,75 ,732 0,396 0,396 1,52 1,07 
1 ¼” 94,48 1,06 0,548 0,548 2,16 1,52 
1 ½” 115,2 1,28 0,671 0,671 2,62 1,83 
2” 156,0 1,74 0,945 0,945 3,57 2,50 
2 ½” 195,0 2,16 1,16 1,16 4,45 3,11 
3” - 2,83 1,52 1,52 5,82 4,08 
4” - 3,96 2,102,10 8,11 5,70 
5” - 5,21 2,77 2,77 10,70 7,50 
6” - 6,46 3,44 3,44 13,26 9,33 
8” - 9,05 4,85 4,85 18,56 13,01 
10” - 11,25 6,00 6,00 23,01 16,12 
12” - 14,78 7,89 7,89 30,33 21,24 
14” - 16,15 8,60 8,60 32,92 23,20 
16” - 19,29 10,27 10,27 39,62 27,74 
 
Diâmetro 
nominal 
do tubo 
Joelho 45o 
rosqueado 
Joelho 
Duplo fechado 
 
Orifício 
normal de 
aresta viva 
Orifício 
saliente 
interno 
Válvula de pé 
 
½” 0,179 0,731 0,259 0,396 7,53 
¾” 0,259 1,07 0,365 0,579 10,76 
1” 0,365 1,46 0,518 0,792 14,84 
1 ¼” 0,518 2,07 0,732 1,13 21,00 
1 ½” 0,609 2,53 0,884 1,37 25,57 
2” 0,853 3,44 1,18 1,89 34,74 
2 ½” 1,040 4,27 1,49 2,35 43,28 
3” 1,370 5,58 1,95 3,05 56,69 
4” 1,890 7,80 2,71 4,30 79,25 
5” 2,500 10,27 3,60 5,64 104,5 
6” 3,110 12,74 4,45 7,01 129,5 
8” 4,360 17,83 6,22 9,78 181,0 
10” 5,390 22,13 7,71 12,13 224,9 
12” 7,100 29,11 10,15 16,00 295,6 
14” 7,740 31,70 11,09 17,43 322,7 
16” 9,260 38,10 13,25 20,85 385,5 
 
4. Perda de carga em equipamentos 
Muitos cálculos de perda de carga devida ao escoamento através de equipamentos de 
processo (kp) colocados na linha de escoamento, como filtros de peneira, defletores ou 
chicanas, medidores de vazão, trocadores de calor, etc. não se relacionam diretamente 
com a velocidade de escoamento e para cada caso existe uma correlação ou gráfico que 
relaciona a perda de carga. Estas correlações ou gráficos serão vistos no decorrer do 
curso ou em outras operações unitárias. 
 
5. Avaliação da Energia Cinética 
A energia cinética (Ec) é a energia presente devido ao movimento translacional e 
rotacional da massa. A energia cinética, que é definida no balanço de energia mecânica 
como , trata-se da Ec média por unidade de massa. Isso precisa ser avaliado pela 
integração através do raio, porque a velocidade não é constante ao longo do raio. 
A Ec da unidade de massa de qualquer fluido passando por uma dada seção transversal 
de um tubo é determinada pela integração da velocidade sobre o raio do tubo: 
(4.1) 
Como a integração do termo de velocidade ao cubo não é muito simples, 
principalmente quando o comportamento do fluido vai se tornando complexo, recorre-se 
ao fator de correção α Essa correção só é importante quando o termo da energia cinética 
contribui significativamente para o balanço de energia mecânica. 
 
5.1. Regime turbulento 
A solução da equação (4.1) para o escoamento turbulento de qualquer fluido 
independente do tempo (Newtonianos e não-Newtonianos) é: 
(4.2) 
, ou seja, α= 2 neste caso. 
 
 
5.2. Regime laminar 
• Fluidos newtonianos 
Com fluidos newtonianos em regime laminar, = 1 e portanto: 
 (4.3) 
• Fluidos lei da potência 
No caso de escoamento laminar de fluidos lei da potência,  α é uma função de n: 
(4.4) 
Portanto: 
(4.5) 
• Fluidos plástico de Bingham 
Uma solução aproximada que dá um erro de aproximadamente 2,5% é: 
 onde: (4.6) 
Portanto: 
(4.7) 
• Fluidos Herschel Bulkley 
Nesse caso utiliza-se de solução gráfica, pois a solução numérica não é tão 
simples. O fator de correção da energia cinética está disponível na Figura 5.1 em função 
de c, para cada valor de n. Pode-se observar que esta figura inclui soluções para fluidos 
newtonianos, lei da potência e plásticos de Bingham. 
 
Figura 4.6.. Fatores de correção de energia cinética ( ) para fluidos Herschel Bulkley sob 
regime laminar. 
 
Nesse caso, c é definido conforme o modelo de bingham. 
- Capítulo 5 - 
TUBULAÇÕES, VÁLVULAS E ACESSÓRIOS 
 
6.1. Tubulações 
Os tubos são dutos fechados destinados ao transporte de fluidos, e geralmente são de 
seção circular. Tubulação é o termo usado para um conjunto de tubos e de seus 
acessórios. O valor da tubulação pode representar de 30 a 70% do valor de todos os 
equipamentos de uma indústria, dependendo do tipo de processo (sólidos ou líquidos). 
Os tubos podem ser fabricados de vários materiais, mas as tubulações sanitárias são, 
normalmente, fabricadas em aço inoxidável austenístico AISI 304 ou AISI 316. O aço 
inoxidável austenístico tem em sua composição maior quantidade de cromo que os 
ferríticos, além de possuir níquel na liga. A vantagem desse primeiro grupo é a 
extraordinária resistência à oxidação e a temperatura, o que justifica o pagamento do seu 
alto preço em instalações de processamento de alimentos. Caso seja necessário, os tubos 
podem ter acabamento mais liso que os de fabricação padrão. Normalmente são 
definidos pelo diâmetro externo e a espessura da parede é de 1,5 mm para todos os 
diâmetros disponíveis no mercado, com exceção do tubo de 4” (tabela 6.1). 
 
Tabela 6.1. Bitola (polegada) e espessura (mm) normalmente encontrada para tubos 
mantidos em estoque. 
Bitola (polegada) 1 1,5 2 2,5 3 4 
Espessura (mm) 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 2,0 
 
Existem 4 tipos de união em tubulações sanitárias: 
a) Tri-clamp: é uma união tipo abraçadeira, sanitária, que oferece meio liso e não 
contaminante para o produto. É a mais indicada onde existe sistema de limpeza CIP. É 
de fácil desmontagem e é composta de dois niples iguais. 
 
b) Rosca: sanitária e deve ser de fácil desmontagem para limpeza e inspeção. É 
composta de macho, niple, porca e anel. 
 
c) Solda: é o sistema de mais alta sanitariedade e é resistente à corrosão. Proporciona 
fluxo irrestrito, minimizando a perda de carga e a contaminação. Muito usado em 
instalações com sistema de limpeza CIP. 
 
d) Flange: união não sanitária composta por duas flanges de face plana e anel. 
 
 
6.2. Válvulas 
São os acessórios mais importantes nas tubulações, sem os quais estas seriam 
praticamente inúteis. Destinam-se a estabelecer, controlar e interromper o escoamento. 
Em qualquer instalação deve-se usar o menor número de válvulas possível, porque são 
peças caras, sujeitas a vazamentos e que introduzem perdas de carga, que muitas vezes 
podem ser elevadas. Os principais tipos de válvula são: 
- Válvulas de bloqueio 
- Válvulas de regulagem 
- Válvulas que permitem o escoamento em um só sentido 
- Válvulas de controle de pressão 
Há uma grande variedade de sistemas usados para a operação das válvulas e os 
principais são: 
1) Operação manual: por meio de volante, alavanca, engrenagens, parafusos sem-fim, 
etc. 
2) Operação motorizada: pneumática, hidráulica e elétrica. 
3) Operação automática: pelo próprio fluido (por diferença de pressões gerada pelo 
escoamento), por meio de molas e contrapesos. 
6.2.1. Válvulas de bloqueio 
São as válvulas que se destinam a estabelecer ou interromper o fluxo e devem funcionar 
completamente abertas ou completamente fechadas. 
 Válvulas gaveta 
É a válvula de uso mais generalizado, mas que com a aparição de válvulas mais leves e 
mais baratas (esfera e borboleta, principalmente), seu uso é cada vez menor. Não 
aparecem entre as válvulas sanitárias. O fechamento nessas válvulas é feito pelo 
movimento de uma peça denominada gaveta, que se desloca paralelamente ao orifício 
da válvula (Figura 6.1). 
Quando estão totalmente abertas, a trajetória de circulação do fluido fica reta e 
desimpedida, havendo pouca perda de carga. Quando estão parcialmente abertas causam 
perdas de carga muito elevadas, cavitação e violenta corrosão e erosão. 
 
 a) b) 
 
Figura 6.1. Válvulas gaveta. a) Pequena com castelo rosqueado. b) Grande com castelo 
parafusado. 
 Válvulas macho 
São aplicadas nos serviços de bloqueio de gases (em qualquer diâmetro, temperatura ou 
pressão) e, também, no bloqueio rápido de água, vapor e líquidos em geral, inclusive 
com sólidos em suspensão(pequenos diâmetros e baixas pressões). 
 
Figura 6.2. Válvula macho. 
 
Uma das vantagens dessa válvula sobre a válvula gaveta é o menor espaço ocupado. O 
fechamento dessas válvulas se faz pela rotação de uma peça (macho), na qual há um 
orifício, no interior do corpo da válvula (Figura 6.2). Quando o macho gira, o furo se 
alinha à tubulação, dando passagem ao fluido. Quando estão totalmente abertas, a perda 
de carga é bastante pequena, porque a trajetória do fluido é reta e livre. 
As variantes das válvulas macho são: 
A) Válvulas esfera 
a) b) 
Figura 6.3. Válvula esfera. a) Esquema com as partes principais. b) válvula esfera sanitária 
comercial. 
O macho dessas válvulas é uma esfera, que também é furada de lado a lado. O 
material de vedação é bastante flexível, que no caso de válvulas sanitárias devem ser 
elastômeros sanitários, de grau alimentício (buna-N, viton), para garantir que não haja 
vazamentos. 
 
B) Válvulas de 3 ou 4 vias: o macho dessas válvulas é furado em “T” ou “L”, ou ainda, 
em forma de cruz, dispondo a válvula de 3 ou 4 locais para que seja feita a ligação a 
tubulações. 
 
Figura 6.4. Válvula de três vias 
 
6.2.2. Válvulas de regulagem 
São destinadas a controlar o escoamento, podendo trabalhar em qualquer posição de 
fechamento parcial. 
 Válvulas globo 
Nessas válvulas o fechamento é feito por meio de um tampão que se ajusta contra uma 
única sede, cujo orifício está geralmente em posição paralela ao sentido do escoamento. 
Causam, em qualquer posição de fechamento, fortes perdas de carga, devido às 
mudanças de direção e turbilhonamento do fluido dentro da válvula. 
 
Figura 6.5. Válvula globo. 
Destinam-se a serviços de regulagem e de fechamento estanque em linhas de água, 
óleos, líquidos em geral (que não sejam muito corrosivos), e para o bloqueio e 
regulagem em linhas de vapor e de gases. 
As variantes da válvula globo são: 
A) Válvulas em “Y”: nessas válvulas, a haste fica em um ângulo de 45o com o corpo, 
de modo que a trajetória da corrente de líquido fica quase retilínea, com um mínimo de 
perda de carga. São usadas para bloqueio e regulagem de vapor e são preferidas para 
uso com produtos corrosivos. 
 a) b) 
 
Figura 6.6. Variantes da válvula globo. a) Válvula em “Y”. b) Válvula agulha. 
 
B) Válvulas agulha: o tampão nessas válvulas é substituido por uma peça cônica, a 
agulha, que permite um controle preciso do escoamento. São válvulas para regulagem 
fina de líquidos e gases, em diâmetros de até 2”. 
 
Figura 6.7. Esquema de uma válvula agulha. 
 
 Válvulas borboleta 
São basicamente válvulas de regulagem, mas também podem trabalhar como válvulas 
de bloqueio. O emprego dessas válvulas tem aumentado por serem leves, baratas e 
facilmente adaptáveis a comando remoto. O fechamento da válvula é feito por meio de 
uma peça circular que pivota em torno de um diâmetro perpendicular ao sentido de 
escoamento do fluido. 
Podem ser manuais ou com controle pneumático. A válvula borboleta, além de ser 
barata, provoca pequena perda de carga e pode ser usada com líquidos de alta e baixa 
viscosidade. 
 
 
Figura 6.8. Válvula borboleta. a) Esquema de funcionamento. b) Vista por cima. c) 
Válvula comercial. 
 
 Válvulas de diafragma 
São válvulas muito usadas para regulagem ou bloqueio de fluidos corrosivos (alimentos 
ácidos). A válvula se fecha por meio de um diafragma flexível que é apertado contra a 
sede. O mecanismo que controla o diafragma não tem contato com o fluido e, por isso, 
são recomendadas para processamentos estéreis. Não possuem fendas e asseguram que 
não há retenção de partículas. 
 
6.2.3. Válvulas que permitem o escoamento em um só sentido 
 Válvulas de retenção 
Essas válvulas permitem a passagem do fluido em apenas um sentido, fechando-se 
automaticamente por diferença de pressões, exercidas pelo fluido em consequência do 
escoamento, no caso de haver a tendência à inversão no sentido do fluxo. São, portanto, 
válvulas de operação automática. Costumam provocar elevada perda de carga, como 
todas as válvulas, e só devem ser usadas quando for imprescindível. 
Existem três tipos principais de válvulas de retenção: 
A) Válvula de retenção de levantamento: o fechamento é feito por um tampão 
semelhante aos das válvulas globo. Esse tampão é mantido suspenso, afastado da sede, 
por efeito da pressão do fluido sobre a face inferior. Caso haja tendência à inversão do 
sentido do fluxo, a pressão do fluido sobre a face superior do tampão, aperta-o contra a 
sede, interrompendo o escoamento. 
 
Figura 6.9. Válvula de retenção de levantamento. 
 
B) Válvula de retenção de portinhola: é o tipo mais usual. O fechamento é feito por uma 
portinhola que se assenta no orifício da válvula. Embora, a perda de carga seja elevada, 
costuma ser menor que a introduzida por válvulas de retenção de levantamento, porque 
a trajetória do fluido é retilínea. 
a) b) 
 
Figura 6.10. Válvula de retenção de portinhola. a) Esquema com partes principais. b) 
Escoamento vertical. 
C) Válvula de retenção de esfera: são semelhantes às válvulas de retenção de 
levantamento, porém, neste caso, o tampão é substituído por uma esfera. É a válvula de 
retenção de fechamento mais rápido. 
a) b) 
 
Figura 6.11. a) Válvula de retenção de esfera. b) Válvula de pé. 
 
 Válvulas de pé 
São instaladas na extremidade livre da linha, ficando mergulhadas dentro do líquido no 
reservatório de sucção. Elas impedem o esvaziamento do tubo de sucção da bomba, 
colocada acima do reservatório, eliminando a necessidade do escorvamento cada vez 
que a bomba é posta em funcionamento. 
 
 Válvulas de retenção e fechamento 
São semelhantes às válvulas globo, com um tampão capaz de deslizar sobre a haste. Na 
posição aberta funciona como válvula de retenção e na posição fechada como válvula de 
bloqueio. Usadas nas linhas de saídas de caldeiras. 
 
6.2.4. Válvulas controladoras de pressão 
 Válvulas de segurança e alívio 
Essas válvulas abrem-se automaticamente, quando essa pressão ultrapassa determinado 
valor para o qual a válvula foi ajustada. A válvula fecha-se em seguida, 
automaticamente, quando a pressão cair abaixo do valor de abertura. Essas válvulas são 
denominadas de “segurança”, quando destinadas a trabalhar com fluidos compressíveis 
(vapor, ar, gases) e “de alívio” quando trabalham com líquidos, que são fluidos 
incompressíveis. 
 
Figura 6.12. Válvula de segurança. 
 
 Válvulas redutoras de pressão 
 
Figura 6.13. Funcionamento de uma válvula reguladora de pressão. 1) Válvula em equilíbrio. 2) 
Abaixa a pressão e a válvula fecha. 3) Aumenta a pressão e a válvula abre. 
 
Regulam a pressão dentro de limites pré-estabelecidos. São automáticas e fecham-se por 
meio de molas de tensão regulável, de acordo com a pressão desejada. Esse tipo de 
válvula mantém controle preciso de baixas pressões, independente das variações de 
vazão ou da pressão de entrada. São muito utilizadas nas instalações de vapor e ar 
comprimido, nas redes de abastecimento de água nas cidades e nas instalações de água 
em prédios altos. 
 
6.3. Válvulas sanitárias de duplo assento 
Pode servir como válvula de mistura ou de duplo processo. Com essa válvula é possível 
circular o produto por uma linha, enquanto se faz a limpeza CIP pela outra, sem haver 
risco de contaminação do produto. Esse tipo de válvula tem se tornado norma em muitas 
indústrias, substituindo duas ou três válvulas de simples assento, economizando espaço 
e custos de instalação. 
 
Figura 6.14. Válvulas sanitárias de duplo assento. 
 
6.4.Acessórios 
Os acessórios podem ser classificados de acordo com a sua finalidade: 
1) Fazer mudança da direção do fluxo (45o, 90o e 180o): 
- curvas de raio longo 
- curvas de raio curto 
- cotovelos 
2) Fazer derivações em tubos: 
- Tês normais (90o) 
- Tês de 45o 
- Tês de redução 
- Derivações em “Y” 
- Cruzetas 
- Cruzetas de redução 
3) Fazer mudanças de diâmetros em tubos: 
- reduções concêntricas 
- reduções excêntricas 
4) Fazer ligações de tubos entre si ou de equipamentos a tubos: 
- niples 
- abraçadeira: facilita a limpeza da instalação 
- flanges 
- uniões: facilita a troca de peças 
5) Fazer o fechamento da extremidade de tubos 
- tampão 
- porca – tampão 
 
- Capítulo 6 - 
VELOCIDADE E DIÂMETRO ECONÔMICOS 
7.1. Introdução 
No manuseio de um fluido, a escolha do diâmetro da tubulação deve ser feita 
cuidadosamente, pois se deve levar em consideração os parâmetros econômicos e a 
disponibilidade dos tamanhos de tubos comerciais. A escolha de um diâmetro que não 
seja vendido comercialmente leva a instalações com custos elevados, que serão 
inviáveis. 
Na escolha do diâmetro, dois fatores são importantes: 
- O custo da tubulação a ser instalada (custos fixos ou depreciação do investimento 
inicial). 
Este custo aumenta à medida que se escolhe diâmetros maiores (Figura 7.1). 
- O custo operacional do sistema, ou seja, a energia gasta no bombeamento do fluido 
que decresce com o aumento do diâmetro da tubulação (custos operacionais). 
 
Figura 7.1. Determinação do diâmetro ótimo através de custos. 
 
Os custos totais, que são a soma dos custos fixos mais os custos operacionais, 
apresentam um valor mínimo para certo diâmetro, que é denominado diâmetro 
econômico. Portanto, o diâmetro econômico é aquele que minimiza os custos totais de 
uma tubulação. 
O diâmetro econômico pode ser determinado através de duas metodologias: 
- Através de equações obtidas da derivação da soma entre os custos fixos e 
operacionais, que proporcionará o custo mínimo de tubulação. Este método é bastante 
complexo, porque necessita de vários dados, mas dá o verdadeiro valor ótimo de 
diâmetro. Em sistemas complexos de tubulações, este método deve ser usado devido aos 
altos custos de instalação. 
- Através da velocidade aconselhável, ou, mais especificamente denominada velocidade 
econômica. Este método é bem mais simples, mas é suficientemente preciso para 
pequenas instalações. 
7.2. Obtenção do diâmetro econômico através de custos mínimos 
Solução para fluidos newtonianos: 
- Denn, M.M.(1980) Process fluid mechanics, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. 
Solução para fluidos newtonianos, lei da potência e plásticos de Bingham 
- Darby, R. & Melson, J.D. (1982). Direct determination of optimum economic pipe 
diameter for non-Newtonian fluids, J. Pipelines, 2, 11-21. 
Solução para fluidos Herschel-Bulkley 
Garcia, E.J. & Steffe, J.F. (1986) Optimum economic pipe diameter for pumping 
Herschel Bulkley fluids in laminar flow, Journal of Food Process Engineering, 8, 117-1 
 
7.3. Obtenção do diâmetro econômico através da velocidade econômica 
A determinação do diâmetro é feita através de uma velocidade aconselhada para 
um dado fluido, em função da sua viscosidade ou densidade. Este método está baseado 
no fato que as velocidades obtidas para diferentes vazões, escoando em tubos cujos 
diâmetros sejam os econômicos, estão dentro de uma estreita faixa de valores, isto é, são 
aproximadamente constantes. Esses valores de velocidade são função da densidade, 
quando o escoamento é turbulento e da viscosidade, quando o regime é laminar. 
Tabela 7.1. Valores de velocidade econômica para tubos com diâmetro igual ou inferior 
a 4 polegadas. 
Escoamento Laminar 
µ(cP) 10 100 1000 
v (m/s) 1 0,3 – 0,8 0,1 – 0,24 
 
Escoamento turbulento 
(kg/m3) 0,12 1,2 12 800 1200 
v (m/s) 12,5 – 15,5 5,5 – 7,7 3,2 – 4,0 1,6 – 2,0 0,79 – 1,0 
Consequentemente, fixada a velocidade aconselhável através da tabela 7.1, para um 
dado fluido de densidade ou viscosidade conhecidas, o diâmetro, que será 
aproximadamente o econômico, pode ser obtido pela expressão: 
(7.1) 
Após o cálculo do diâmetro econômico, a escolha da tubulação é feita por meio 
de uma consulta a tabelas fornecidas por fabricantes, que apresentam dimensões reais de 
tubos. O diâmetro econômico calculado, nem sempre corresponderá a um dos 
diâmetros-padrão. 
 
Regras práticas para a determinação do diâmetro ótimo: 
a) Quando o diâmetro calculado é bem próximo de um valor-padrão, toma-se este valor. 
b) Quando o diâmetro calculado é menor que 1”, toma-se o valor-padrão imediatamente 
superior. 
c) Quando o diâmetro calculado é maior que 1”, toma-se o valor mais próximo; se 
estiver na média entre os dois, toma-se o padrão imediatamente inferior. 
Essa regra foi feita de acordo com a forma de variação do custo da tubulação 
com o aumento do diâmetro. 
No caso de fluidos não-newtonianos deve-se calcular a taxa de deformação para 
a obtenção da viscosidade aparente e encontrar a velocidade econômica. Como não se 
sabe o diâmetro da tubulação é necessário supor uma taxa de deformação para um 
cálculo inicial. Em geral, valores entre 100 e 150 s
-1
 são comuns em escoamento de 
fluidos. 
 
 
- Capítulo 7 - 
CASOS ESPECIAIS DE ESCOAMENTO 
 
5.1. Sistemas não isotérmicos 
Os métodos para cálculo do fator de atrito descritos até agora são somente aplicáveis 
quando não há transferência de calor entre a parede e o fluido. 
No entanto, quando um fluido é aquecido ou resfriado durante o escoamento, existe uma 
alteração nas suas propriedades físicas e o perfil de velocidades muda de acordo com os 
gradientes de temperatura existentes ao longo do sistema. Este fenômeno é mais 
pronunciado nos líquidos cujas propriedades reológicas variam sensivelmente com a 
temperatura. Existem teorias bastante elaboradas para o efeito da transferência de calor 
sobre a distribuição de velocidades, porém para cálculos de engenharia pode-se utilizar 
um método simples tanto para gases como líquidos. Este método será descrito a seguir: 
 
I. Calcular o número de Reynolds com valores de parâmetros reológicos e 
densidade à temperatura média global, ou seja, à temperatura que resulta da 
média aritmética entre as temperaturas médias do fluido na entrada e saída da 
tubulação. 
(5.1) 
 
 
 
II. Com o valor do número de Reynolds e com o parâmetro de rugosidade do tubo é 
possível obter o fator de atrito à temperatura média aritmética. 
 
III. O fator de atrito obtido é corrigido em relação ao tipo de processamento térmico, 
mediante a multiplicação por um fator de correção da viscosidade. O expoente B 
obtém-se da tabela 5.1. No caso de fluidos não-newtonianos deve-se calcular a 
taxa de deformação do processo, para que seja possível obter o valor da 
viscosidade aparente. 
(5.2) 
Onde: viscosidade do fluido à temperatura média aritmética 
 viscosidade do fluido à temperatura da parede do tubo 
 
Tabela 5.1. Valor da constante B para a correção do fator de atrito em sistemas não- 
isotérmicos (equação 5.2). 
Tipo de processo térmico B 
Regime laminar 
Re < 2100 
Regime turbulento 
Re > 2100 
Aquecimento 0,38 0,17 
Resfriamento 0,23 0,11 
 
5.2. Tubos não cilíndricos 
Nas seções anteriores desenvolveu-se a metodologia de cálculo das perdas por atrito em 
tubos de seção cilíndrica, no qual o líquido ocupa totalmente a área de escoamento. 
Em tubos ou canais cuja seção não é circular ou onde o escoamento se dá em condições 
de tubo parcialmente cheio, quando o regime de escoamento é turbulento e o fluido é 
Newtoniano,as mesmas técnicas descritas anteriormente podem ser usadas, sendo 
necessário apenas substituir o diâmetro real por um diâmetro equivalente. 
O diâmetro equivalente é definido, tradicionalmente, como 4 vezes o raio hidráulico. 
(5.3) 
Por sua vez, o raio hidráulico pode ser definido como: 
(5.4) 
 
Portanto: 
 
(5.5) 
 
Perímetro molhado é a porção da parede numa seção transversal do tubo, na qual existe 
contato entre a parede e o fluido. 
 
Abaixo, serão mostradas diferentes situações e o cálculo do diâmetro equivalente: 
- Tubo circular cheio 
 
 
 
 
- Tubos circulares concêntricos (área anular): 
 
 
 
- Tubo de seção quadrada 
 
 
 
Nesses casos, a energia de atrito total é calculada através da equação de Fanning usando 
o diâmetro equivalente: 
(5.6) 
 
 
O fator de atrito será calculado usando o diagrama de Moody, a partir de: 
(5.7) 
 Deve-se ressaltar que as velocidades médias utilizadas nas equações (5.6) e (5.7) 
deve ser a velocidade média efetiva no tubo ou canal, calculada sem usar o diâmetro 
equivalente: 
(5.8) 
 
Por exemplo, no caso de líquido dentro do anel existente entre dois tubos concêntricos, 
a velocidade efetiva é: 
(5.9) 
 
É indevido o uso do diâmetro equivalente no cálculo da velocidade efetiva, pois se 
conhece a área real de escoamento. 
 
 
- Capítulo 9 - 
BOMBAS 
9.1.Introdução 
São equipamentos mecânicos que fornecem energia mecânica a um fluido 
incompressível, com o objetivo de promover o seu escoamento a uma determinada 
vazão e sob desejadas condições de transferência. No caso de fluidos compressíveis são 
denominados compressores e ventiladores. 
 
9.1. Classificação das bombas 
Classificação mais útil: maneira como a energia é fornecida ao fluido que está escoando. 
Dividem-se em 2 grandes grupos: 
- Bombas cinéticas ou dinâmicas (centrífugas) 
- Bombas de deslocamento positivo 
 
9.2. Bombas centrífugas: 
9 O que consiste? 
A energia é fornecida continuamente pela bomba ao fluido, aumentando a sua energia 
cinética. Posteriormente a energia cinética é transformada em energia de pressão. 
9 Bombas centrífugas: princípio de funcionamento 
São as bombas mais utilizadas na indústria de alimentos. O líquido entra axialmente na 
conexão da sucção. O impulsor gira dentro da carcaça e seu movimento produz uma 
zona de vácuo (centro) e outra de alta pressão (periferia). 
 
Figura 9.1. Esquema de uma bomba centrífuga. 
 
O fluido entra no centro do rotor devido à esse vácuo e é acelerado pelas pás que giram 
a alta velocidade. Pela ação da força centrífuga, o fluido é descarregado na voluta ou no 
difusor, onde é desacelerado devido à expansão da seção de escoamento. Assim, a 
energia cinética é convertida a energia de pressão. Quanto maior é o número de 
palhetas, maior é o controle da direção do movimento do fluido e menores são as perdas 
por turbulência. 
Bomba com Difusor: o fluido escoa através de uma série de palhetas fixas formando um 
anel difusor. Isso permite uma mudança mais gradual na direção para o fluido e uma 
conversão mais eficiente da energia cinética em energia de pressão que a de voluta 
simples. 
A uma determinada velocidade, a altura desenvolvida por uma bomba centrífuga varia 
com a vazão volumétrica. À vazão zero, a altura desenvolvida pela bomba é máxima, e 
com o aumento da vazão a pressão desenvolvida cai. Na prática, a vazão de descarga é 
regulada por uma válvula de controle situada na linha de descarga. 
 
Figura 9.2. Escoamento dentro de uma bomba centrífuga. a) Bomba de voluta simples. 
b) Bomba com difusor. 
 
*Vantagens das bombas centrífugas: 
a) Construção simples 
b) Baixo custo 
c) Fluido é descarregado a uma pressão uniforme, sem choques ou pulsações 
d) A linha de descarga poderia ser estrangulada (parcialmente fechada) ou 
completamente fechada sem danificar a bomba 
e) É capaz de manusear líquidos com grandes quantidades de sólidos 
f) Pode ser acoplada diretamente a motores 
g) Não há válvulas envolvidas na operação de bombeamento 
h) Menores custos de manutenção que outros tipos de bombas 
*Desvantagens das bombas centrífugas: 
a) Não pode ser operada a altas pressões 
b) Sujeita à incorporação de ar e normalmente precisa ser escorvada 
c) A máxima eficiência da bomba se localiza em um curto intervalo de condições 
d) Não manuseia líquidos altamente viscosos eficientemente 
*Tipos de escoamento: 
- Axial: descarrega o fluido na periferia axialmente (adequado para altas vazões, mas 
desenvolve baixas pressões) 
- Radial: descarrega o fluido na periferia radialmente (desenvolve altas pressões, mas só 
é adequado para baixas vazões) 
- Misto 
*Tipos de entrada: 
- Simples: utilizada em pequenas unidades 
- Dupla: quando há entradas simétricas em ambos os lados do impulsor. Nesse caso há 
melhor distribuição dos esforços mecânicos, além de proporcionar uma área de sucção 
maior, o que permite trabalhar com uma menor altura positiva na sucção (NPSH). Com 
isso, há uma diminuição na possibilidade de cavitação. 
*Tipos de rotores: 
- Fechado: é o mais usado em bombas centrífugas e manuseia líquidos límpidos. 
- Semi-aberto: incorpora uma parede usualmente no fundo do rotor, onde estão as 
palhetas. Sua função é reduzir a pressão no centro do rotor e prevenir que matéria 
estranha se aloje no fundo do rotor e interfira na apropriada operação da bomba. 
- Aberto: palhetas montadas sobre o eixo. Tem a vantagem de manipular líquidos com 
sólidos em suspensão e tem a desvantagem de que pode sofrer maior desgaste. 
*Número de rotores: 
- Um rotor: simples estágio 
- Vários rotores: múltiplos estágios que permitem o desenvolvimento de altas pressões. 
 
9 Bombas centrífugas: tipos e escorva 
Podem ser: 
- Fluxo axial: simples ou múltiplos estágios - impulsor aberto ou fechado 
- Fluxo misto: sucção simples - auto-escorvante - estágio simples 
- Fluxo radial: sucção dupla - não-escorvante - multi-estágio 
Nos dois últimos casos, o impulsor pode ser aberto, semi-aberto e fechado. 
A bomba centrífuga deve estar cheia de líquido antes de começar a funcionar, ou seja, 
deve estar escorvada. Quando a bomba está cheia de ar, a pressão desenvolvida é muito 
pequena, devido à baixa densidade do ar, porque a altura desenvolvida pelo fluido é a 
mesma, independente do fluido, mas a pressão não. 
(9.1) 
 
9.3. Bombas de deslocamento positivo 
9 O que consiste? 
A energia é fornecida periodicamente, mediante superfícies sólidas móveis, que 
deslocam porções de fluido desde a sucção até a linha de descarga. A pressão de saída é 
regulada através de válvulas de descarga. 
9 Princípio de funcionamento: alternativas e rotativas. 
As bombas de deslocamento positivo liberam um determinado volume de fluido de 
acordo com a velocidade, sem levar em conta a pressão do sistema (desconsiderando o 
deslizamento). Quando a vazão do processo diminui, a pressão desenvolvida aumenta e 
o fluxo da bomba deve ser dirigido para outro lugar, de maneira que se evite a sobre 
pressurização. Para proteger a bomba e o sistema, o fluido deve ser desviado a um by-
pass, ou aliviado dentro da própria bomba, enviando o fluido da zona de alta pressão 
(descarga) para a de baixas pressões (sucção). 
 
Válvulas de alívio internas: Muitos fabricantes fornecem bombas que incorporam 
válvulas de alívio de bomba internas. Essas válvulas devem ser consideradas somente 
como um dispositivo de segurança e não devem ser usadas em controle de processos. 
Quando uma válvula de alívio interna se aproxima do valor máximo de pressão 
permitido, esta se abre e o fluido é dirigido internamente para a zona de sucção