Listas 1, 2 e 3 de Fis II da 1ª unidade - Oscilações

Prévia do material em texto

~ 1 ~ 
 
Universidade do Estado da Bahia – UNEB 
Deptº de Ciências Exatas e da Terra — DCET I 
Curso de Engenharia de Produção Civil 
Disciplina: Física II – Prof. Paulo Ramos 
 
 
1ª Lista de Exercícios (MHS) 
 
 
1. Um bloco de 4 ݇݃ distende de 20 ܿ݉ uma mola, em relação ao seu comprimento natural. O bloco é re‐
movido e em seu lugar suspende‐se um corpo de 0,5 ݇݃. Distendendo então a mola e largando o corpo, 
qual será o período de seu movimento? 
2. (a) Um pêndulo simples, de 1,0 ݉ de comprimento, realiza 100 oscilações completas em 204 s, em certo 
lugar. Qual o valor da aceleração da gravidade nesse local?  
(b) Caso se desejasse construir um pêndulo cujo período fosse de exatamente 1 s, em um local cuja gra‐
vidade fosse de 10 ݉/ݏଶ, qual deveria ser o seu comprimento? 
3. Certa mola, com a constante de força ܭ ൌ 250 ܰ/݉ , está pendurada num suporte rígido. Um corpo de 
1 ݇݃ é pendurado na mola não deformada e solto, partindo do repouso.  
(a) A que distância do ponto inicial está a posição de equilíbrio do corpo pendurado na mola?  
(b) De quanto cai o corpo até principiar a subir no seu movimento? 
(c) Qual o período do movimento oscilatório do corpo? 
(d) Qual a velocidade do corpo quando passa, pela primeira vez, pela posição de equilíbrio?  
(e) Em que instante o corpo atinge pela primeira vez esta posição de equilíbrio? 
4. Um corpo oscila com MHS cuja equação é:  ݔሺݐሻ ൌ 6,0 ܿ݋ݏ ቀ3ߨݐ ൅ గ
ଷ
ቁ  ݉ . Determinar, para ݐ ൌ 2 ݏ:  
(a) O deslocamento, a velocidade e a aceleração;  
(b) A fase, a freqüência e o período do movimento. 
5. Uma partícula executa MHS em torno do ponto ݔ ൌ 0. No instante ݐ ൌ 0 a sua posição é 0,37 ܿ݉ e sua 
velocidade é nula. Se a freqüência do movimento for 0,25 ܪݖ, determinar:  
(a) o período, a freqüência angular, a fase inicial e a amplitude;  
(b) a velocidade máxima e o tempo necessário para atingi‐la;  
(c) a velocidade e a aceleração quando o deslocamento é de 0,1 ܿ݉. 
6. Um bloco está sobre uma superfície horizontal que se move horizontalmente com MHS cuja freqüência 
é de 2 ܪݖ. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é 0,5. Que valor máximo pode ter 
a amplitude para que o bloco não escorregue na superfície? 
7. Um bloco está sobre um pistão que se move verticalmente com MHS de período igual a 1,0 s.  
(a) Para que amplitude do movimento o bloco se separa do pistão? 
(b) Se o pistão tiver amplitude de 5,0 ܿ݉, qual a freqüência máxima para a qual o bloco e o pistão per‐
manecerão continuamente em contato? 
8. Quanto às oscilações verticais, um automóvel pode considerar‐se montado sobre molas. Em certo carro, 
as molas são ajustadas para a freqüência de 3 ܪݖ.  
(a) Qual a constante elástica da mola se o carro pesa 1.600 ݂݇݃?  
(b) Qual será a freqüência de vibração se no carro subirem cinco passageiros, cada um de 80 ݂݇݃? 
9. Um cubo de madeira, com aresta ℓ e massa ݉, flutua na água com uma das faces paralela à superfície 
livre do líquido. A densidade da água é ߩ. Calcular o período das oscilações do cubo, na direção vertical, 
se este for ligeiramente empurrado para baixo.  
Nota: todo corpo imerso em um fluido de densidade ߩ fica sujeito a uma força vertical ܧሬԦ, ascendente, 
denominada empuxo, cujo módulo é dado por ܧ ൌ ߩ݃ ௜ܸ, sendo  ௜ܸ  o volume do corpo imenso no fluido. 
 
 
~ 2 ~ 
 
10. Um túnel retilíneo é aberto através da Terra, como esquematizado na figura seguinte. As paredes do tú‐
nel não proporcionam atrito.  
(a) A  força gravitacional exercida pela Terra sobre uma partícula de massa 
݉ à distância ݎ do seu centro, quando ݎ ൏ ்ܴ, é dada por:  
ܨ௥ ൌ െሺܩ݉ܯ் ்ܴ
ଷ⁄ ሻ ڄ ݎ 
sendo ܯ் a massa da Terra e ்ܴ o seu raio. Mostre que a força resultante 
sobre uma partícula de massa ݉ à distância ݔ do  centro do  túnel é dada 
por: ܨ௫ ൌ െሺܩ݉ܯ் ்ܴ
ଷ⁄ ሻ ڄ ݔ   e que o movimento da partícula é harmônico 
simples;  
(b) Mostre que o período deste movimento é: ܶ ൌ 2ߨඥ்ܴ ݃⁄  e  calcule o 
seu valor em minutos  
Nota: este período coincide com o período de revolução de um satélite em 
órbita junto à superfície da terra e não depende da superfície do túnel. Considere o raio da Terra aproxi‐
madamente igual a 6.400 ݇݉. 
11. O limite elástico do aço empregado num cabo de elevador é 28.000 ܰ/ܿ݉ଶ. Determine a aceleração 
máxima, para cima, que pode ser impressa a um elevador de 2 ݐ de massa, sustentado por um cabo cuja 
seção é de 3 ܿ݉ଶ, se a tensão não pode exceder ଵ
ସ
 do limite elástico. 
12. (a) Qual a carga máxima que pode ser suportada por um fio de alumínio de 0,12 ܿ݉ de diâmetro, sem 
exceder o limite de proporcionalidade de 10.000 ܰ/ܿ݉ଶ?  
(b) Se o fio tem originalmente 6 ݉ de comprimento, de quanto ele se alongará sob a ação dessa carga? 
Nota: o módulo de Young ܻ é definido como:  ܻ ൌ ி ஺
⁄
୼ℓ ℓబ⁄
 . Para o alumínio,  ஺ܻ௟ ൌ 0,70 ڄ 10ଵଶ ݀݅݊/ܿ݉ଶ. 
13. Um peso de 160 ܰ, preso à extremidade de um fio de aço de 0,6 ݉ de comprimento normal, gira num 
círculo vertical com uma freqüência de 2,0 ܪݖ. A seção transversal do fio tem área igual a 0,060 ܿ݉ଶ. 
Calcule a elongação do fio quando o peso está no ponto mais baixo da sua trajetória.  
Dado:  ௔ܻç௢ ൌ 2 ڄ 10ଵଵܰ/݉ଶ. 
14. Considere um bloco de aço estrutural ASTM‐A36 com os seguintes parâmetros: 
ߩ ൌ 7.860 ݃/ܿ݉ଷ; módulo de cisalhamento ܵ ൌ 77 ڄ 10ଽܰ/݉ଶ; área de base 
ܣ ൌ 1 ݉ଶ; altura ݄ ൌ 2 ݉. Suponha que uma força ܨԦ seja aplicada como indica‐
da na figura ao lado, provocando a deformação (exageradamente) mostrada, 
sendo então o bloco liberado. Considere o atrito estático suficientemente alto 
para impedir o deslizamento do bloco sobre o chão. Quantas oscilações comple‐
tas dará o bloco em 12,7 ݏ?  
Nota: o módulo de cisalhamento ܵ é definido como:  ܵ ൌ ி ஺
⁄
௫ ௛⁄
 . 
15. Mostre que cada arranjo de molas das duas montagens esquematizadas abaixo pode ser substituído por 
uma só mola cuja constante elástica ܭ vale: 
a) ܭ ൌ ܭଵ ൅ ܭଶ 
b) 
ଵ
௄
ൌ ଵ
௄భ
൅ ଵ
௄మ
 
 
16. Um disco delgado, de 5 ݇݃ e raio de 20 ܿ݉, está suspenso por um eixo horizontal, perpendicular ao seu 
plano e que passa por um ponto da sua periferia. O disco é ligeiramente deslocado da posição de equilí‐
brio e solto para oscilar sob a ação do próprio peso. Calcule o período do MHS que se instala. 
17. Um aro circular, com 50 ܿ݉ de raio, está pendurado num eixo horizontal e oscila no seu próprio plano. 
Qual o período da oscilação, admitindo que a amplitude seja pequena? 
m
r
�
x
R
T
x
F
�
 
 
~ 3 ~ 
 
18. Um  corpo plano de  forma  irregular  tem massa de 3,2 ݇݃ e está pendurado numa haste 
delgada, de massa desprezível e de comprimento regulável, que pode oscilar no plano do 
próprio  corpo,  como  mostra  a  figura  seguinte.  Quando  o  comprimento  da  haste  é  de 
1,0 ݉, o período do pêndulo, para pequenas oscilações, é de 2,6 ݏ. Quando a haste é en‐
curtada para 0,8 ݉, o período diminui para 2,5 ݏ. Qual o período do pêndulo quando o 
comprimento há haste for de 0,5 ݉? 
19. A  figura abaixo mostra um disco homogêneo, de  raio ܴ ൌ 0,8 ݉ e massa 6 ݇݃, com pe‐
queno orifício a uma distância ݀ do centro do disco. Por este orifício passa um eixo em tor‐
no do qual o disco pode oscilar.  
a) Qual a distância ݀ para que o período do pêndulo seja de 2,5 ݏ? 
b) Qual a distância ݀ para que este pêndulo físico tenha período mínimo? 
c) Qual o valor deste período mínimo? 
20. Um pêndulo físico é constituído por uma esfera de raio ݎ e massa ݉ pendurada num fio. A distância en‐
tre o centro da esfera e o ponto de suspensão do pêndulo é ܮ. Quando ݎ é muito menor do que ܮ este 
pêndulo é considerado um pêndulo simples de comprimento ܮ.  
a) Mostre que o período das oscilações de pequena amplitude é dado por: 
ܶ ൌ ଴ܶඨ1 ൅
2ݎଶ
5ܮଶ
 
em que  ଴ܶ ൌ 2ߨඥܮ ݃⁄  é o período do pêndulo simples de comprimento ܮ. 
b) Mostre que, sendo ݎ ا ܮ, o período é dado aproximadamente por ܶ ൎ ଴ܶሺ1 ൅ ݎଶ5ܮଶ⁄ ሻ. 
c) Se ܮ ൌ 1 ݉ e ݎ ൌ 2 ܿ݉, calcule o erro da aproximação ܶ ൌ ଴ܶ para o período do pêndulo.  
d) Qual o raio da esfera quando o erro acima for de 1 %? (Considere ܮ ൌ 1 ݉) 
 
 
 
Gabarito 
01.  0,314 ݏ 
02.  (a) 9,49 ݉/ݏଶ    (b) 0,25 ݉ 
03.  (a) 0,04 ݉   (b) 0,08 ݉   (c) 0,4 ݏ   (d) 0,63 ݉/ݏ   (e) 0,1 ݏ 
04.  (a) 0,    െ9ߨ√3 ݉/ݏ,    െ27ߨଶ ݉/ݏ 
 (b) 
ଵଽగ
ଷ
 ݎܽ݀,    1,5 ܪݖ,    0,67 ݏ 
05.  (a) 4 ݏ,    గ
ଶ
 ݎܽ݀/ݏ,    0,    0,37 ܿ݉ 
(b) 0,185ߨ ܿ݉/ݏ,    1 ݏ 
(c) 0,56 ܿ݉/ݏ,    െ0,25 ܿ݉/ݏଶ 
06.  0,032 ݉ 
07.  (a) 0,25 ݉     (b) ହ√ଶ 
గ
 ܪݖ 
08.  (a) 14400ߨଶ ܰ/݉     (b) 2,68 ܪݖ 
09.  ܶ ൌ ଶగ
ℓ ට
௠
ఘ௚
 
10.  — 
11.  0,5 ݉/ݏଶ 
12.  (a) 113 ܰ     (b) 8,6 ݉݉ 
13.  0,76 ݉݉ 
14.  100 
15.  — 
16.  0,63 ݏ 
17.  1,4 ݏ 
18.  2,4 ݏ 
19.  (a) 23,8 ܿ݉     (b) 56,6 ܿ݉     (c) 2,1 ݏ 
20.  (a) —   (b) —   (c) 0,008 %     (d) 22,4 ܿ݉ 
 
 
UNEB
Curs
Disci
 
 
 
B — DCET I
so de Engen
iplina: Física
Cilin
Hast
Disco
Aro  
Esfer
Placa
Para
 I 
nharia de Pr
a II   Prof. 
MOME
ndro 
te fina 
o 
ra 
a retangular
alelepípedo 
rodução Civ
Paulo Ramo
ENTOS DE IN
r 
[1] 
vil 
os 
NÉRCIA DE 
 
 
 
 
 ALGUNS SÓÓLIDOS 
21
2
MR  
21 1
4 12
+MR
21
12
ML  
21
2
MR  
  2
1
4
MR  
   2MR  
22
5
MR  
21 (
12
+M a
21
12
Mb  
21 (
12
+M a
2
2
ML  
2 )b  
2 )b  
[2] 
 
 
PROBLEMAS 
 
 
1. Deduzir, por integração, as expressões dos momentos de inércia (presentes na tabela da 
página anterior) dos seguintes sólidos: 
a) Haste fina 
b) Aro 
c) Placa retangular 
d) Paralelepípedo 
2. Deduzir, a partir do momento de inércia do aro circular, a expressão para o momento de 
inércia do disco em relação ao eixo perpendicular que passa pelo seu centro de massa. 
(Dica: considere o disco como sendo formado por uma sucessão infinita de aros concêntri­
cos com momento de inércia ݀ܫ ൌ ݎଶ݀݉, sendo ݀݉ a massa do aro elementar genérico à 
distância ݎ do centro do disco) 
3. Calcular o momento de inércia de um triângulo retângulo de massa ܯ, altura ݄ e base ܾ 
em relação ao eixo tangente à sua altura. (Dica: ache a equação da hipotenusa) 
4. a) Qual a aceleração do sistema mostrado a seguir? Considere a polia, que gira devido ao 
atrito com o fio, como sendo um pequeno cilindro de raio igual a ܴ, massa ݉ e compri‐
mento ܮ. Não existe atrito entre o bloco de massa ݉ଵ e a superfície horizontal.  
b) Quais os valores da tração nos segmentos horizontal e vertical do fio? 
c) Como a resposta seria modificada se a massa da polia fosse desprezível? 
 
5. Usando o teorema dos eixos perpendiculares, deduzir a expressão para: 
a) o momento de inércia de um disco em relação a um eixo que passa pelo seu diâmetro; 
b) o momento de inércia de uma placa retangular em relação ao eixo perpendicular ao 
plano da mesma e que passa pelo seu centro de massa. 
6. Uma bola maciça, de massa 1,4 kg e diâmetro de 15 cm, gira em torno do seu diâmetro a 
70 rpm. 
a) Qual a energia cinética? 
b) Se a bola receber 2 J de energia de rotação extra, qual a nova velocidade angular da 
sua rotação? 
[3] 
 
7. Usando o teorema dos eixos paralelos, determinar o momento de inércia de uma esfera 
maciça, de massa M e raio R, em relação a um eixo tangente à sua superfície. 
8. Um cilindro oco tem massa ܯ, raio externo ܴଶ e o interno ܴଵ. Mostrar que o momento 
de inércia em relação ao eixo de simetria longitudinal vale:  ܫ ൌ ܯሺܴଵ
ଶ ൅ ܴଶ
ଶሻ ോ 2. 
09. Quatro corpos cúbicos, cada um com 2 kg e aresta  
10 cm, têm os seus centros  localizados nos vértices 
de um retângulo de lados 3 m e 2 m, como mostra a 
figura ao lado.  
a) Calcular o momento de inércia do sistema em re‐
lação ao eixo ݔ; 
b) O sistema gira em torno do eixo ݔ com energia ci‐
nética  de  124  J.  Calcular  o  número de  voltas  que  o 
sistema completa a cada minuto. 
10. Pretende‐se construir um carro que aproveita a energia de um volante constituído por 
um cilindro de 100 kg e raio ܴ. O volante deve proporcionar energia mecânica média de 
2 MJ/km, com a velocidade angular máxima de 400 rev/s. Calcular o menor valor de ܴ 
para que o carro possa cobrir 300 km sem que o volante seja recarregado de energia. 
 
 
GABARITO 
3)  భ
ల
ܯܾଶ 
4a)  ܽ ൌ ଶ௠మ௚
௠ାଶሺ௠భା௠మሻ
      b)  ௛ܶ௢௥ ൌ
ଶ௠భ௠మ௚
௠ାଶሺ௠భା௠మሻ
  e   ௩ܶ௘௥ ൌ
௠మሺ௠ାଶ௠భሻ௚
௠ାଶሺ௠భା௠మሻ
      
c)  ௩ܶ௘௥ ൌ ௛ܶ௢௥ ൌ
௠భ௠మ௚
௠భା௠మ
 
6a) ൎ 0,34 J    b) ൎ 184 rpm 
7)  ళ
ఱ
ܯܴଶ 
9a) ൎ 52 kgm²    b) ൎ 21 voltas 
10) 1,95 m 
 
 
~ 1 ~ 
 
Universidade do Estado da Bahia – UNEB 
Deptº de Ciências Exatas e da Terra — DCET I 
Curso de Engenharia de Produção Civil 
Disciplina: Física II – Prof. Paulo Ramos 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
(Oscilações amortecidas e forçadas) 
 
 
1. Um pêndulo de torção consiste num bloco de madeira de 8 cm ൈ 12 cm ൈ 3 cm, com uma massa de 0,3 kg,  
suspenso por meio de um fio que passa por seu centro, de modo que a aresta mais curta fique na vertical. 
O período das oscilações de torção é de 2,4 s. qual é a constante de torção ߢ do fio? 
 
2. Um pequeno corpo de 0,1 kg executa MHS de 1,0 m de amplitude e período de 0,2 s. 
(a) Qual o valor máximo da força que atua nele? 
(b) Quantas oscilações terá dado em 10 s? 
(c) Se estivesse oscilando em um meio resistivo (ܾ ൌ 2 kg/s), qual seria o seu novo período? 
 
3. Um pêndulo  de  comprimento  40  cm  e massa  10  g  executa  pequenas  oscilações  em  um  fluido  viscoso 
(ܾ ൌ 20 kg/s), passando pela posição ݔ ൌ 0 em  ݐ ൌ 0, com velocidade ݒ ൌ 1 m/s. 
(a) Que tipo de movimento executa este pêndulo? 
(b) Caso se desejasse obter oscilações amortecidas, qual deveria ser a faixa de valores permitidos de b?  
(c) Admitindo que ܾ ൌ 0,05 kg/s, qual a freqüência de oscilação do pêndulo? E se não existisse atrito? 
(d) Trace o gráfico da posição do pêndulo contra o tempo. 
(e) Qual a função horária do movimento, ݔሺݐሻ, para o amortecimento dado em (c)? 
(f) Quanto tempo levará o pêndulo para que a sua amplitude seja igual a 1% da amplitude inicial? 
(g) Após esse tempo, qual a fração da energia inicial que ainda estará presente no pêndulo? 
 
4. A freqüência ߱Ԣ de um oscilador amortecido é 10% menor do que a freqüência do oscilador não amorte‐
cido.  
(a) Qual o fator de decréscimo da amplitude das oscilações em cada período? 
(b) Qual o fator de decréscimo da energia em cada período? 
 
5. Diz‐se que a vibração da Terra tem um período de ressonância de 54 minutos e um fator ܳ (fator de qua‐
lidade, definido como ܳ ൌ ݉߱଴ ോ ܾ) da ordem de 400. Afirma‐se que depois de um terremoto muito in‐
tenso a Terra ressoa durante cerca de dois meses. 
(a) Calcule a perda percentual de energia provocada pelas forças de amortecimento durante cada ciclo; 
(b) Mostre que depois de n períodos a energia é ܧ௡ ൌ ሺ0,984ሻ௡ܧ଴, em que ܧ଴  é a energia inicial; 
(c) Se a energia inicial de vibração do terremoto for ܧ଴, qual a energia residual depois de dois dias? 
 
6. Determine a freqüência de ressonância de cada um dos três sistemas esquematizados abaixo: 
 
 
4 kg
4 kg
b = 0,25 kg/s b = 0,015 kg/s b = 0,08 kg/s
16 N/m
400 N/m
12 g
2 m
7º
� = 0,1
a) b) c)
 
~ 2 ~ 
 
7. Um gongo pode ser tratado matematicamente como um sistema em oscilações harmônicas amortecidas, 
cuja  freqüência de oscilação pode ser dada pelo  tom do som emitido e o volume do som pelo valor da 
amplitude ao quadrado. Bate‐se num determinado gongo com uma peça metálica. Após 9,0 s, o volume do 
som diminuiu para 85% do volume inicial. Qual o tempo transcorrido para que o volume do som diminua 
para 25% do valor inicial?  
 
8. Um automóvel, do ponto de vista das oscilações verticais, pode considerar‐se como montado sobre uma 
mola comuma freqüência de vibração de 10/ሺ2 ߨሻ cps. 
(a) Qual é constante da força elástica sabendo que o carro pesa 800 kg ? 
(b) Qual será a freqüência de vibração do carro ao conduzir 5 passageiros, pesando em média 80 kg cada?  
(c) Calcule o coeficiente de atrito dos amortecedores que devem ser adaptados ao veículo (ainda com os 5 
passageiros), de tal maneira que a amplitude das oscilações do carro, inicialmente igual a 10 cm no início 
do movimento, passe a ser igual a 2 cm na oscilação seguinte.  
 
9. Uma partícula de 5 kg de massa move‐se ao longo do eixo ݔ sob a influência de duas forças: (i) uma força 
de atração para a origem O que, em newtons, é numericamente igual a 40 vezes a distância de O a ܲ (ܲ é a 
posição da partícula a  cada  instante)  e  (ii) uma  força de amortecimento proporcional à velocidade,  tal 
que, quando a velocidade é de 10 m/s a força é de 200 N. Supondo que a partícula parte do repouso à dis‐
tância de 20 m de ܱ: 
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento. 
(b) Determine a posição da partícula em qualquer instante ݐ.  
(c) Determine a freqüência natural e o período natural para o movimento da partícula.  
(d) Determine a amplitude e o período das oscilações amortecidas. 
 
10. Um corpo de 2 kg oscila preso a certa mola com a constante de força ܭ ൌ 400 N/m. A constante de amor‐
tecimento tem o valor ܾ ൌ 2,00 kg/s. O sistema é excitado por uma força senoidal cujo valor máximo é  
10 N e a freqüência angular ߱ ൌ 10 rad/s. 
(a) Qual a amplitude das oscilações? 
(b) Se a freqüência de excitação variar, em que freqüência ocorrerá a ressonância?  
(c) Qual a amplitude das oscilações na ressonância? 
 
11. É necessário uma força de 7 N para alongar 2,5 cm uma mola vertical. Coloca‐se uma massa de 1,0 kg na 
sua extremidade e, depois de atingida a posição de equilíbrio, desloca‐se a massa de 10 cm e larga‐se do 
repouso. 
a) Desprezando quaisquer forças de atrito, determine a posição da massa em qualquer instante.  
b) Considere que o movimento é executado em um meio em que existe uma força de amortecimento nu‐
mericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea da massa. Suponha que se sobrepõe às forças de 
atrito uma  força exterior ܨሺݐሻ ൌ 20 cos 20ݐ. Calcule,  em regime estacionário,  a nova amplitude e  a  fre‐
qüência do movimento resultante.  
 
12. Uma partícula de massa ݉ oscila em MHS com freqüência natural ߱଴. Ela 
é então submetida à força indicada na figura seguinte, denominada onda 
quadrada, que tem módulo constante, mas muda de sentido a intervalos 
regulares  de  ߨ/߱. Matematicamente,  essa  força  pode  ser  representada 
pela série de Fourier:  ܨ ൌ ସிబ
గ
ሺsen߱ݐ ൅ ଵ
ଷ
sen 3߱ݐ ൅ ଵ
ହ
sen 5߱ݐ ൅ ڮሻ.  
(a) Escreva a equação diferencial do movimento da partícula. 
(b)  Verifique,  por  substituição,  que  sua  solução  pode  ser  escrita  como  ݔሺݐሻ ൌ ܽ senሺ߱଴ݐ ൅ ߙሻ ൅
ܣ sen߱ݐ ൅ ܤ sen 3߱ݐ ൅ ܥ sen 5߱ݐ ൅ ڮ, onde ܽ e ߙ são constantes arbitrárias, e determine os valores dos 
coeficientes ܣ, ܤ, ܥ, . . . , de modo que a equação de movimento seja satisfeita. 
(c) Para quais valores de ߱ haverá ressonância?  
 
~ 3 ~ 
 
Respostas 
1. 0,356 Nm/rad 
2. (a) 10ߨଶ N 
(b) 50 
(c) 0,21 s 
3. (a) supercrítico 
(b) 0 ൏ ܾ ൏ 0,1 kg/s 
(c) 1,45 s;  1,26 s 
(d) — 
(e) ݔሺݐሻ ൌ 0,23݁ିଶ,ହ௧ cos  ሺ4,33ݐ െ గ
ଶ
ሻ  (m) 
(f) 1,84 s 
(g) 0,01 % 
4. (a) ൎ 0,048 
(b) ൎ 0,002 
5. (a) 1,6 % 
(b) — 
(c) 0,423ܧ଴ 
6. (a) 0,32 Hz 
(b) 1,59 Hz 
(c) 0,36 Hz 
7. ൎ 77 s 
8. (a) 80 kN/m 
(b) 8,16 rad/s 
(c) 2160 kg/s 
9. (a) ݔሷ ൅ 4ݔሶ ൅ 8ݔ ൌ 0 (sendo ݔሶ ൌ ௗ௫
ௗ௧
  e  ݔሷ ൌ ௗ
మ௫
ௗ௧మ
) 
(b) xሺtሻ ൌ 28,3 eିଶ୲ cosሺ2t െ ஠
ସ
ሻ 
(c) 0,45 Hz  e  2,2 s 
(d) 28,3eିଶ୲  e  π s 
10. (a) 4,98 cm 
(b) 14,14 rad/s 
(c) 50,00 cm 
11. (a) xሺtሻ ൌ 10 cosሺ16,73tሻ (cm) 
(b) 16,4 cm  e 20 rad/s 
12. (a) ݔሷ ൅ ߱଴ଶݔ ൌ
4ܨ0
ߨ
ሺsen߱ݐ ൅ 1
3
sen 3߱ݐ ൅ 1
5
sen 5߱ݐ ൅ڮሻ 
(b) ܣ ൌ 4ܨ଴ ോ ݉ߨሺ߱଴ଶ െ ߱ଶሻ, ܤ ൌ 4ܨ଴ ോ 3݉ߨሺ߱଴ଶ െ 9߱ଶሻ, ܥ ൌ 4ܨ଴ ോ 5݉ߨሺ߱଴ଶ െ 25߱ଶሻ etc. 
(c) ߱଴,
ఠబ
ଷ
, ఠబ
ହ
, etc.