gaalLista1 - primeira prova

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GAAL- lista 1
12 de Agosto de 2014
1. Dados os vetores ~u = (3, 3, 2), ~v = (5,−2, 1) e ~w = (1,−1, 0)
(a) Determine os vetores ~u− 2~v + 3~w, −2~u + ~v − 4~w.
(b) Calcule a e b tais que ~u = a~v + b~w
2. Dados os pontos A = (1, 1, 2), B = (−1, 3, 0) e C = (2,−3, 7)
(a) Determine o vetor 3
−→
AB − 2−→CA +−−→BC.
(b) Determine um ponto E sobre o segmento AB de tal forma que 2
−→
AE =−−→
EB.
3. Seja ABCD um quadrila´tero, tal que A = (1, 2), B = (6, 3), C = (5, 8) e
D = (−2, 4). Determine o ponto de corte das diagonais AC e BD.
4. Seja ABCD um quadrila´tero (que na˜o contido em um plano), tal que A =
(1, 2, 1), B = (6, 3, 3), C = (5, 8,−2) e D = (−2, 4, 5). Determine as coor-
denadas dos pontos me´dios dos lados e mostre que tais pontos formam um
paralelogramo.
5. Dados A, B e C do problema anterior, determine um ponto D, de tal forma
que ABCD seja um paralelogramo.
6. Determine o valor de a de tal forma que os vetores ~u = (1, a, 1), ~v = (1, 2,−1)
e ~w = (2,−3, 5) sejam linearmente dependentes.
7. Determine o valor de a de tal forma que os vetores ~u = (a,−3, 2), ~v = (3, 1, 5)
e ~w = (2,−3, 5) sejam linearmente dependentes.
8. Mostre uma combinac¸a˜o linear na˜o nula dos vetores ~u = (1, 2, 3), ~v = (2, 1, 3)
e ~w = (1, 0, 1).
9. Dados os vetores ~v = (1, 3,−1) e ~w = (a + 1, 2a, 3), determine os valores de
a de tal forma que os vetores sejam ortogonais.
10. Dados ~u = (1, 2, 3), ~v = (2, 1, 3), determine um vetor ~w de tal forma que
~u− ~w seja paralelo a ~v e ~w seja perpendicular a ~v.
11. Dados os vetores ~v = (1, 2, 3) e ~w = (1, 4, 5) determine um vetor ~u tal que o
aˆngulo entre ~u e ~v mede 60◦ e os vetores ~u e ~w sa˜o ortogonais.
12. Determine o volume de um tetraedro ABCD, onde A = (1, 2, 1), B = (6, 3, 3),
C = (5, 8,−2) e D = (−2, 4, 5). Determine a a´rea da base 4ABC.
13. Dados os pontos A = (1, 2, 1), B = (6, 3, 3) e C = (5, 8,−2) determine todos
os poss´ıveis pontos D sobre o eixo z de tal forma que o volume do tetraedro
ABCD seja igual a 10.