vetorial_lista1

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Campina Grande — UFCG
Centro de Educação e Saúde — CES
Álgebra Vetorial e Geometria Anaĺıtica
Prof. Josyclesio Lima
Lista de Exerćıcios I
Nome:
Questão 1 Se A(x, 1), B(4, x+2), C(x, x+2) e D(2x, x+6), determine o valor de x para que AB = CD.
Questão 2 Dados A(2, y) e B(3, 3), determine y para que o módulo do vetor AB seja
√
5.
Questão 3 Determine vetores u e v tais que ‖u‖2 + ‖v‖2 = ‖u− v‖2 .
Questão 4 Dados u = (2, 3), v = (−1, 4) e w = (−2,−1). Represente algebricamente e geometricamente
os vetores
a)u + 2v b)− u c)u− v d)3u− 2v + w e)− u− v + 2w f)1
5
v
Questão 5 Dados os vetores u = (2,−1) e v = (1, 3), determine um vetor w tal que 3(u+w)−2(v−w) = 0.
Questão 6 Se u e v são vetores no plano, determine os vetores z e w tais que 2(u + z) − 3(v + w) = u
e 5(u − z) + 2(v − w) = v. (Dica: Monte um sistema e resolva-o deixando as coordenadas de z e w em
função das coordenadas de u e v).
Questão 7 Encontre um vetor
a) Com mesma direção e sentido do vetor (3, 4) e módulo igual a 6.
b) Com mesma direção e sentido contrário ao do vetor (−1, 2) e módulo igual a 5.
Questão 8 Dados os pontos A(2, 3) e B(5, 4), determine um ponto C tal que o vetor AC seja paralelo
ao vetor u = (2, 1) e ‖AC‖ = ‖AB‖.
Questão 9 Dados B(0, 4) e C(8, 2), determine o vértice A do triângulo ABC, sabendo que o ponto
médio de AB é M(3, 2). Entenda ponto médio dos vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) como sendo o ponto
M =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
.
Questão 10 Escreva o vetor (7,−1) como soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,−1) e o outro
paralelo ao vetor (1, 1).
Questão 11 Dados A(1, 3) e B(2, 2), determine x para que a reta definida pelo ponto médio de AB e o
ponto X(x, 0) seja paralela ao vetor v = (1, 2).
Questão 12 Sejam u = (−2, 3) e v = (1, 2). Determine:
a) o produto escalar entre u e v;
b) o ângulo entre u e v;
c) a projeção do vetor u sobre o vetor v.
Questão 13 Encontre um vetor de módulo igual a 6 perpendicular ao vetor (2, 3).
Questão 14 Determine o valor de x para que o vetor (2, x2 − 1) seja perpendicular ao vetor (−6, 4)
Questão 15 Dado o triângulo cujos vértices são A(1, 1), B(4, 0) e C(3, 4). Determine:
a) o ângulo de A;
b) a projeção dos lados AC sobre o lado AB;
c) o pé da altura relativa ao vértice C.
Questão 16 Determine a altura (relativa ao lado AD) do paralelogramo cujos vértices são A(1, 0),
B(2, 2), C(5, 3) e D(4, 1).
Questão 17 Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (5, 1) e v = (2,−3).
Questão 18 Dados u = (4, 2), ‖v‖ = 6 e Pvu = (2, 1).
Questão 19 Escreva as equações paramétricas e cartesiana da reta que:
a) contém o ponto (−1, 1) e tem a direção do vetor v = (2, 3);
b) contém o ponto os pontos A(3, 2) e B(−3, 1).
Questão 20 Faça o que se pede:
a) Mostre que
x = 3 + 2ty = 7− 5t
são equações paramétricas da reta definida pelos pontos A(3, 7) e B(5, 2).
b) Que valores se deve atribuir a t para se obter os pontos A e B.
Questão 21 Determine a interseção da reta y = 2x− 1 com a reta definida pelos pontos (2, 1) e (0, 0).
2
Questão 22 Dados o ponto P (2,−1) e a reta r de equação y = 3x− 5, escreva uma equação da reta que
contém o ponto P e
a) seja paralela à reta r;
b) seja perpendicular à reta r.
Questão 23 Determine o ângulo entre as retas
a) 2x + 3y = 1 e y = −5x + 8;
b) x + y + 1 = 0 e x = 1− 2t, y = 2 + 5t.
Questão 24 Determine a distância entre as retas 2x− y = 6 e 2x− y = −1.
Questão 25 Escreva a equação paramétrica das seguintes circunfern̂cias:
a) x2 + y2 − 11 = 0;
b) x2 + y2 − x + 3y − 2 = 0;
c) x2 + y2 − 6x = 0;
d) x2 + y2 − 2x− 2y + 1 = 0.
Questão 26 Determine um ponto da circunferência de centro (1, 2) e raio 3 que seja equidistante dos
pontos A(6, 6) e B(2, 10).
Sucesso!
Bom trabalho!
3