Lista03_vetores

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
MA71B – Geometria Analítica e Álgebra Linear
Profa Ana Cristina Munaretto
Terceira lista de exercícios – Vetores e operações
1. Utilize o paralelepípedo da Figura 1 para determinar o vetor ~x em cada caso:
(a) ~x =
−→
GH−
−→
HE−
−→
FE+
−→
AE+
−→
AB
(b) ~x =
−−→
HD−
−→
CF+
−−→
DG+
−→
BC+
−→
AF−
−→
BE
(c) ~x =
−→
AB+
−→
HG+
−→
AC+
−→
DF+
−→
CE+
−→
BD
2. Quais são a origem e a extremidade de um representante do vetor
−→
BC+
−→
GH−
−→
FA−
−→
GC+
−→
FB? Você não vai precisar de
nenhuma figura para chegar à resposta certa.
3. Sendo ~u, ~v e ~w representados na Figura 2, represente ~x = 2~u−~v+ 5~w/4 por uma flecha de origem O.
Figure 1: Exercício 1 Figure 2: Exercício 3
4. Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê
um exemplo em que a afirmação não é válida.
a) Se ~u = ~v, então ‖~u‖ = ‖~v‖.
b) Se ‖~u‖ = ‖~v‖, então ~u = ~v.
c) Se ~u ‖ ~v, então ~u = ~v.
d) Se ~u = ~v, então ~u ‖ ~v.
e) Se ~w = ~u+~v, então ‖~w‖ = ‖~u‖+ ‖~v‖
f) Se ‖~w‖ = ‖~u‖+ ‖~v‖, então ~u,~v e ~w são paralelos
g) ‖5~v‖ = ‖− 5~v‖ = 5‖~v‖.
h) Os vetores 3~v e −4~v são paralelos e de mesmo sentido.
i) Se ~u ‖ ~v, ‖~u‖ = 2 e ‖~v‖ = 4, então ~v = 2~u ou ~v = −2~u.
j) Se ‖~v‖ = 3, o versor de −10~v é −~v/3.
5. Sabendo que o ângulos entre os vetores ~u e ~v é de 60o, determine o ângulo entre os vetores:
a) ~u e −~v
b) −~u e 2~v
c) −~u e −~v
d) 3~u e 5~v
6. Dados os vetores ~u = −3~j+ 2~i, ~v =~i−~j e ~w = (−2, 1), determinar:
a) 2~u−~v
b) 12~u− 2~v− ~w
c) ~v− ~u+ 2~w
d) 3~u− 12~v−
1
2 ~w
7. Dados os pontos A = (−1, 3), B = (2, 5), C = (3,−1) e O = (0, 0), calcule:
a)
−−→
OA−
−→
AB b)
−→
OC−
−→
BC c) 3
−→
BA− 4
−→
CB
8. Qual deve ser o ponto de origem do segmento orientado que representa o vetor ~v = (−1, 3) e cujo ponto de extremidade
é o (3, 1)?
9. Sendo ~u = (1,−1, 3), ~v = (2, 1, 3) e ~w = (−1,−1, 4), determine a tripla de coordenadas de:
a) ~u+~v b) ~u− 2~v c) ~u+ 2~v− 3~w
10. Escreva~t = (4, 0, 13), como combinação linear dos vetores ~u, ~v e ~w do exercício anterior.
11. Calcular os valores de a para que o vetor ~u = (a,−2) tenha módulo 4.
12. Dado o vetor ~v = (1,−3), determine o vetor paralelo a ~v que tenha:
a) sentido contrário ao de ~v e duas vezes o módulo de ~v
b) o mesmo sentido de ~v e módulo 2
c) sentido contrário ao de ~v e módulo 4
13. Dados os vetores ~u = (2, 3,−1), ~v = (1,−1, 1) e ~w = (−3, 4, 0)
a) determinar o vetor ~x tal que 3~u−~v+ ~x = 4~x+ 2~w
b) encontrar os números a1, a2 e a3 tais que a1~u+ a2~v+ a3~w = (−2, 13,−5)
14. Dados os pontos A = (1, 0,−1), B = (4, 2, 1) e C = (1, 2, 0), determine o valor de m para que ‖~v‖ = 7 onde
~v = m
−→
AC+
−→
BC.
15. Dados A(7, 3, 2), B(5, 1, 1) e C(0, 3, 4) pede-se:
a) Verifique que A, B e C determinam um triângulo.
b) O ponto médioM do segmento AB.
c) O ponto C ′ simétrico de C em relação aM.
16. Dados os vetores ~u = (2,a,−1),~v = (3, 1,−2) e ~w = (2a−1,−2, 4). Determinar a de modo que ~u·~v = (~u+~v)·(~v+~w)
17. Sabendo que ‖~u‖ = 2, ‖~v‖ = 3 e ~u ·~v = −1, calcular (~u+~v) · (~v− 4~u)
18. Qual deve ser o valor de α para que os vetores α~i+ 2~j− 4~k e 2~i+ (1 − 2α)~j+ 3~k sejam ortogonais?
19. Seja ~u = (1, 1, 1) e ~v = (3, 1,−1). Encontrar vetores ~w e ~z tais que ~w ‖ ~u, ~z ⊥ ~u e ~w+ ~z = ~v.
20. Seja ~u = 3~i−~j− 2~k, ~v = 2~i+ 4~j− ~k e ~w = −~i+ ~k. Calcule
a) ‖~u× ~u‖
2
b) (~u× ~w) + (~w× ~u)
c) (~u×~v)× (~v× ~u)
21. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores ~u + 2~v e ~v − ~u onde ~u = (−3, 2, 0) e ~v = (0,−1,−2).
Este vetor é único?
22. Calcular a, sabendo que os pontos A = (2, 0, 0), B = (0, 2, 0) e C = (0, 0,a) são vértices de um triângulo de área 6.
23. Dados os vetores ~u = (3,−1, 1), ~v = (1, 2, 2) e ~w = (2, 0,−3) calcule:
a) ~u ·~v× ~w
b) ~w · ~u×~v
24. Seja ~u = (2,−1,a), ~v = (1, 0, 2) e ~w = (a, 3,a). Determine os valores de a para que os vetores sejam coplanares.
25. Sabendo que os vetores ~u = (2, 1,−4), ~v = (m,−1, 3) e ~w = (−3, 1,−2) determinam um tetraedro de volume 3,
calcule o valor dem.
26. Considere os pontos A = (1, 1, 1), B = (2, 1, 1), o escalar α = −1/2 e os vetores ~v = ~i + 4~k + 2~j, ~w =
−→
AB e
~u = α (~v+ ~w). Calcule:
a) ~v · ~u
b) ~v× ~u
c) A norma do vetor ~v× ~u
d) ~u · (~v× ~w)
e) A área do paralelogramo determinado pelos vetores ~v e ~u?
f) O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ~v, ~w e ~u?
g) Os vetores ~v e ~u são ortogonais? (Justifique)
h) Os vetores ~v e ~u são paralelos? (Justifique)
i) Os vetores ~v, ~w e ~u são coplanares? (Justifique)
27. Mostre que se ~u ·~v = ~u · ~w, nem sempre ~v = ~w, ou seja, não vale a lei do cancelamento para o produto escalar.
28. Prove que: ‖~u+~v‖2 + ‖~u−~v‖2 = 2(‖~u‖2 + ‖~v‖2);
29. Seja h a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB. Prove que
h =
‖
−→
AB×
−→
AC‖
‖
−→
AB‖
30. Calcule o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:
(a) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) e D = (4, 2, 7)
(b) A = (−1, 3, 2), B = (0, 1,−1), C = (−2, 0, 1) e D = (1,−2, 0. Para este, calcule também a medida da altura
traçada pelo vértice A.
DESAFIO:
31. Sejam os vetores ~u = (1, 2,−1), ~v = (0, 3,−4), ~w = (1, 0,
√
3) e~t = (0, 0, 2). Calcule o volume do tetraedro ABCD,
sabendo que
−→
AB = proj~v~u, que
−→
AC é o vetor oposto ao versor de ~w e que
−→
BD = proj~t(
−→
AB×
−→
AC).
3
Notes
01.
a)
−→
AG b)
−−→
HD c)
−→
AF+
−→
AF
02. A e H
04. a)V b)F c)F d)V e)F f)F g)V h)F i)V j)V
05. a)120o b)120o c)60o d)60o
06. a) (3,−5) b) (1,−1/2) c) (−5, 4) d) (13/2,−9)
07. a) (−4, 1) b) (2, 5) c) (−5,−30)
08. (4,−2)
09. a) (3, 0, 6) b) (−3,−3,−3) c) (8, 4,−3)
010. ~t = ~u+ 2~v+ ~w
011. ±2
√
3
012. a) (−2, 6) b) (2/
√
10,−6/
√
10) c) (−4/
√
10, 12/
√
10)
013. a) (11/3, 2/3,−4/3) b) a1 = 2,a2 = −3 e a3 = 1
014. m = 3 oum = −13/5
015. b)M = (6, 2, 32 ) c)
016. a = 58
017. −4
018. α = −5
019. ~w = (1, 1, 1) e ~z = (2, 0,−2)
020. a) 0 b) ~0 c) ~0
021. Qualquer vetor paralelo ao vetor (−12,−18, 9)
022. a = 4 ou a = −4
023. a) −29 b) −29
024. a = 6
025. m = −17/2 oum = 19/2
026.
a) −11
b) (0,−2, 1)
c)
√
5
d) 0
e)
√
5
f) 0
g) Não pois ~v · ~u 6= 0
h) Não pois ‖~v× ~u‖ 6= 0
i) Sim pois (~v× ~w) · ~u = 0
030. a) 2 b) 4 e 8√
10
4