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Exercícios de Geometria Analítica document.write(num)?" frameBorder=no width=468 scrolling=no height=60 ���document.write(num)?" Matemática não tem idade! A - Exercícios resolvidos 1 – E.E. Lins/1968 Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q é: a) 12,32 b) 10,16 c) 15,08 d) 7,43 e) 4,65 Solução: Seja o triângulo PQR abaixo: � Sendo M o ponto médio do lado PR, o segmento de reta QM será a mediana relativa ao lado PR. Sendo os pontos P(1,1) e R(-5,2), o ponto médio M será: M(-2, 3/2). Observe que: -2 = [1 + (- 5)]/2 e 3/2 = (1 + 2)/2. Em caso de dúvida, reveja Geometria Analítica clicando AQUI. O comprimento da mediana procurado, será obtido calculando-se a distancia entre os pontos Q e M. Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, vem: � Portanto, a alternativa correta é a letra D. 2 – EPUSP/1966 Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à equação sen(x – y) = 0 constituem: a) uma reta b) uma senóide c) uma elipse d) um feixe de retas paralelas e) nenhuma das respostas anteriores Solução: O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, , 2 , 3 , 4, ... , k , onde k é um número inteiro. Logo: sen(x - y) = 0 x – y = k Daí, vem: - y = - x + k y = x - k , k Z. Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infinito de retas de mesmo coeficiente angular m = 1 e, portanto, paralelas, ou seja: ........................................................................ k = - 1 reta: y = x + k = 0 reta: y = x k = 1 reta: y = x - , e assim sucessivamente. ......................................................................... Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas). 3 – A equação x2 – y2 + x + y = 0 representa no sistema de coordenadas cartesianas: a) uma hipérbole b) uma elipse c) uma circunferência d) uma parábola e) duas retas Solução: Temos: x2 – y2 + x + y = 0 ; podemos escrever: (x – y)(x + y) + (x + y) = 0; Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2 Fatorando, fica: (x + y) (x – y + 1) = 0 Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter necessariamente: x + y = 0 ou x – y + 1 = 0 ; Logo, y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o que nos leva à alternativa E. B - Exercícios propostos 1 – FAUUSP/1968 – Determine a área do triângulo ABC onde A, B e C são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos MN, NP e PM, sendo M(-1, -5), N(1,3) e P(7, -5). Em caso de dúvida, reveja ponto médio de um segmento e cálculo de área de um triângulo. Resp: 8 u.a (8 unidades de área). 2 – EPUSP/1963 – Dado o ponto A(1,2), determine as coordenadas de dois pontos P e Q, situados respectivamente sobre as retas y = x e y = 4x, de tal modo que A seja o ponto médio do segmento PQ. Em caso de dúvida, reveja equação da reta. Resp: P(4/3,4/3) e Q(2/3,8/3) 3 – FAUUSP/1968 – Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação 2x2 + 2y2 + 4x + 1 = 0 e é perpendicular à reta de equação x + 2y - 1 = 0. Em caso de dúvida,reveja circunferência. Resp: y = 2x + 2 Paulo Marques, 18 de novembro de 2000. VOLTAR
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