Lista 1

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1ª Lista de Exercícios – Espaços Vetoriais - MTM 5245 – ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
1. Verifique se V é um espaço vetorial sobre o corpo � , com as operações indicadas 
a) nV = � , 1 2 1 2( , , , ) ( , , , ) (0,0, ,0)n nx x x y y y⊕ =… … … e 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nx x x x x xα α α α=… … . 
b) ( ){ }2, ;V x x x= ∈� , operações usuais. 
c) ( ){ }2, ;V x x x= ∈� , ( ) ( ) ( )( )22 2, , ,x x y y x y x y⊕ = + + e ( ) ( )( )22, ,x x x xα α α=� . 
d) { } *; 0V x x += ∈ > =� � , e x y xy x xαα⊕ = =� . O que ocorre se trocarmos *V += � por 
V += � ou 
*V = � ? 
 
2. Apresente exemplo de espaço vetorial complexo diferente dos triviais { }0V = � e nV = � . 
 
3. Sejam X um conjunto não vazio e K um corpo numérico. Mostre que 
( , ) { : ; é função }X K f X K fℑ = → é um espaço vetorial sobre K , com as operações 
usuais. 
4. Descreva o espaço vetorial das soluções do sistema 
2 0
2 2 5 0
4 4 10 3 0
x y z
x y z w
x y z w
+ + =

+ + + =
 + + + =
. 
 
5. Verifique que [ ]( ) [ ]{ }, , : , ; é função contínuaC a b f a b f= →� � é um espaço vetorial com 
as operações usuais. 
 
6. Verifique se W é subespaço de V quando: 
a) ( ) e { ; }T
n n
V M W A V A A×= = ∈ =� . 
b) ( ) e { ; }T
n n
V M W A V A A×= = ∈ = −� . 
c) ( ) e { ; é inversível}
n n
V M W A V A×= = ∈� . 
d) ( )V = ℑ � e { ; é função par}W f V f= ∈ . 
e) ( )V = ℑ � e { ; (7) (1)}W f V f f= ∈ = . 
f) ( )V = ℑ � e { ; é derivável}W f V f= ∈ . 
g) ( )V = ℑ � e [ ]{ }; é integrável em 0,1W f V f= ∈ . 
h) 2V P= e { }2 2; 2 0W ax bx c P a b c= + + ∈ + − = .