Exercícios - Vetores e Espaços vetoriais

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Matemática em Exerćıcios
Lista de exerćıcios - Vetores e Espaços Vetoriais
Professor Guilherme Miguel Rosa
1) Determine o ângulo entre os vetores: (1, -5, 4) e (3, 3, 3).
2) Obtenha o valor de k de modo que os vetores u = (1, k, -3) e v = (2, -5, 4) sejam ortogonais.
3) Encontre um vetor unitário na mesma direção e no sentido oposto de v:
a) v = (4, -3); b) v = (2, 2, 2).
4) Seja v = (-2, 3, 0, 6). Encontre todos os escalares k tais que ||kv|| = 5.
5) Encontre um vetor u com ||u|| = 4, com a mesma direção e sentido do vetor v = (1,1).
6) Mostre que o conjunto dos números inteiros (Z), com as operações usuais, não é um espaço vetorial.
7) Considere os vetores u = (1, 2) e v = (3, 4) ∈ R2.
• a) Verifique que o conjunto B = {u, v} é uma base de R2.
• b) Escreva o vetor w = (5,−5) nesta base, ou seja, como combinação linear dos vetores de B.
8) Quais dos seguintes subconjuntos de R3 são subespaços vetoriais de R3?
• a) {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0};
• b) {(x, y, z) ∈ R3 | x = y = z};
• c) {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y = 0};
• d) {(x, y, z) ∈ R3 | y ≥ 0}.
9) Considere os vetores u, v e w em R3. Mostre que o vetor w = (1,−1, 2) não pertence ao subespaço
gerado por u = (1, 2, 3) e v = (3, 2, 1).
10) Encontre uma base para os seguintes subespaços:
a) {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0}; b) {(x, y, z, w) ∈ R4 | w = x+ y e z = x− y}.
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GABARITO:
1) θ = π/2.
2) k = −2.
3) a) (−4/5, 3/5).
3) b) (−
√
3/3,−
√
3/3,−
√
3/3).
4) k = 5/7 ou k = −5/7.
5) u = (2
√
2, 2
√
2).
6) Multiplicando um número inteiro por um escalar qualquer, nem sempre o resultado é inteiro.
7) a) Verifique que (0, 0) = a(1, 2)+ b(3, 4) apresenta somente a solução trivial a = b = 0. Em seguida,
mostre que para todo vetor (x, y) ∈ R2, existem escalares a e b tais que (x, y) = a(1, 2) + b(3, 4).
7) b) Utilizando o item anterior, determine a e b de modo que (5,−5) = a(1, 2) + b(3, 4).
8) a), b) e c) são subespaços vetoriais de R3.
9) Mostre que o sistema (1,−1, 2) = a(1, 2, 3) + b(3, 2, 1) é imposśıvel.
10) a) B = {(0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
10) b) B = {(1, 0, 1, 1), (0, 1,−1, 1)}.
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